역행렬 구하기 - 수반행렬 이용하기

이제 행렬식 구하기는 끝. 오늘은 역행렬을 한번 구해볼겁니다. 오늘은 수반행렬을 이용하여 역행렬 구하기를 알아보겠습니다. 행렬 A의 수반행렬은 adj(A)로 표기합니다. 영어로 Adjoint 라고 쓰기 때문이구요. 수반행렬을 구하기 위해서는 우선 여인수행렬을 먼저 구해야 하는데요. 여인수행렬은 각 성분에 대한 여인수들을 모아놓은 행렬입니다. 여인수 구하는건 다들 하실 줄 알 거라고 믿습니다. 각 성분에 대한 여인수를 한번 구해볼까요? 얘들을 자리에 맞게 그냥 배열하면 이게 여인수행렬입니다. (계산 9번 해야해서 좃같다는 나쁜 말은 ㄴㄴ요) 이제 이 여인수행렬의 전치행렬을 구하면 그게 바로 수반행렬이 되는겁니다. 하나 조심하셔야 할 부분은 표기가 비슷하지만 행렬식 det(A)는 숫자, 그러니까 스칼라지만 수반행렬 adj(A)는 벡터라는 것을 헷갈리지 않으시면 좋겠습니다. 그럼 이 수반행렬을 왜 공부했는가? 바로 이 공식이 성립하기 때문입니다. 행렬 A를 알 때, adj(A)와 det(

행렬식의 기본 성질

지금까지 우리는 2×2부터 시작해서 3×3, n×n 행렬까지 행렬식을 구하는 여러 가지 방법들을 공부했습니다. 오늘은 이렇게 구한 행렬식의 성질을 공부해볼건데요. 행렬식이 어떤 성질을 갖는지 한번 알아보도록 합시다. 성질 1. A의 어떤 한 행 또는 한 열에 스칼라 k배를 하여 만들어진 행렬 B에 대하여 det(B) = k det(A) 가 성립한다. 자, 무슨 소린지 잘 모르겠죠? 바로 예시 갑니다. A의 행렬식이 4 라는 사실은 잘 알죠. 여기서 행렬식의 성질을 사용해보면 1행 [4 2]를 2로 나누어서 [2 1]로 만들어보는거죠. 이렇게 정리하고 B의 행렬식을 구하면? 이런식으로 나온다는걸 알 수 있게 되겠고요. A의 행렬식은 아까 4였잖아요? A의 한 행, 그러니까 1행을 2로 나눠서 행렬 B가 나왔으니까 B의 행렬식 역시 2로 나눠서 4÷2=2 가 나오게 된다는 겁니다. 이번엔 열을 한번 나눠볼까요? 1열이 4로 나누면 예쁘게 떨어지겠군요. 이렇게 정리하고 C의 행렬식을 구하

2026 9모 공통 13번 풀이

2026 9모 공통 12번 풀이

[26수능] 지수/로그는 어떻게 나올까? (6/9모 분석)

수1의 첫 단원, <지수와 로그> 단원에서 6월, 9월 기출을 비교하는 시간입니다. 수능은 대부분의 문제가 6모, 9모의 기조를 따라가기 때문에 어떤 난이도 어떤 스타일의 문제가 나왔는지 분석하는 것이 중요합니다. 전통적으로 <지수와 로그> 단원에서는 4문제가 출제되는 것이 국룰이었는데 이번에도 그 기조가 유지되었습니다. 6월, 9월 모두 2점 1문항, 3점 1문항, 4점 2문항 기조를 따랐습니다. (문항 1) - 2점짜리 문제 (객관식) 2026 6모 1번 2026 9모 1번 큰 이변 없이 지수법칙이 1번에 그냥 주는 문제로 나왔습니다. 이런건 분석할 가치도 없군요. (문항 2) - 3점짜리 문제 (객관식) 2026 6모 16번 2026 9모 8번 다음. 1~15번의 객관식을 지나고 16번, 그러니까 주관식 1번에 로그 연산 문제가 나오는게 국룰이었습니다. 작년 6모, 9모, 수능, 올해 6월까지 한 번도 아니었던 적이 없는데 올해는 16번에서 로그 연산을 빼버렸습니다. (그 자리

2026 9모 공통 22번 풀이

[26수능] 삼각함수는 어떻게 나올까? (6/9모 분석)

수1의 두 번째 단원, <삼각함수> 단원에서 6월, 9월 기출을 비교하는 시간입니다. 수능은 대부분의 문제가 6모, 9모의 기조를 따라가기 때문에 어떤 난이도 어떤 스타일의 문제가 나왔는지 분석하는 것이 중요합니다. 전통적으로 <삼각함수> 단원에서는 3문제가 출제되는 것이 국룰이었는데 (삼각함수, 삼각함수의 그래프, 삼각함수의 활용 이렇게 세 소단원이니까...) 이번에도 그 기조가 유지되었습니다. 6월, 9월 모두 3점 2문항, 4점 1문항 기조를 따랐습니다. (문항 1) - 삼각함수의 각변환 (3점) 2026 9모 6번 2026 6모 8번 일단 한 문제는 무조건 고정입니다. 삼각함수의 각 변환이 무조건 하나 나오는데요. 번호는 중간~뒤쪽 3점이 고정적이라고 보시면 됩니다. 내용이 기억 안나시는 분들은 여기로.... 마법의 sin cos 각변환공식 오늘 알아볼 내용은 sin과 cos을 넘나드는 각변환 공식입니다. 이런 경우 어떻게 해야하는 걸까요. 이걸 θ... blog.naver.

소행렬식과 여인수

저번 시간에 2×2 행렬에서 행렬식(det)을 구하는 방법을 알아봤는데요. 상당히 간단했죠. 그냥 공식 딸깍 하면 구할 수 있었어요. 이제부터 3×3, 4×4 등 크기가 큰 행렬에서의 행렬식을 구하는 방법을 알아볼건데요. 여기서부터는 계산이 상당히 복잡해지기 시작합니다. 그래서 행렬식을 쉽게 구하기 위한 도구들을 몇 가지 알려드릴건데, 상황에 맞게 사용하면 계산이 많이 빨라질 수 있을겁니다. 우선, 소행렬식이라는 개념을 알아야 해요. 우선, 3×3 행렬 하나를 만들어놓고 출발하죠. 소행렬식은 기호로는 M을 씁니다. 소(小), 말 그대로 작은 행렬식을 의미하는데요. 영어로 Minor of entry 라고 쓰기 때문에 기호 M을 씁니다. 소행렬식은 어떤 성분 하나를 찍어서 그 성분이 속해 있는 행과 열을 제외하고 행렬식을 구하면 돼요. 자, 무슨 말인지 아직 잘 와닿지가 않죠? 예시 보겠습니다. 이건 a11 에 대한 소행렬식을 의미해요. 즉, a11이 속해있는 행과 열을 모조리 날리고

행렬식 구하기 - 여인수전개 이용하기

저번시간에 소행렬과 여인수가 뭔지 알아봤어요. 이제 본격적으로 행렬식을 구하기 시작할 겁니다. 3×3으로 시작해서 4×4 이상의 큰 행렬식도 구해볼거예요. 크기가 큰 행렬에서는 여인수전개를 통해 행렬식을 구할 수 있는데요. 여인수전개란 행이나 열 중 하나를 잡아서 각각의 모든 성분과 각 성분의 여인수를 곱해서 다 더해주면 됩니다. 말로 들어서는 와닿지 않기에, 예시를 바로 보죠. 여기 3×3 행렬이 있습니다. 1행을 가지고 여인수전개를 한번 해볼게요. 1행에는 성분이 세 개가 있군요. 각각의 여인수를 구해봐야 합니다. 안타깝게도 계산은 좀... 있는 편이구요. 이제 해야 하는건 각각의 여인수를 성분이랑 곱해서 싹다 더하면 됩니다. 이렇게 여인수전개를 통해 구한 값 12가 이 행렬의 행렬식(det)이 됩니다. 이번에는 다른 행을 가지고 여인수전개를 해볼까요? 2행을 기준으로 해보죠. 계산이 똑같이 나오죠. 어떤 행을 기준으로 전개하더라도 여인수전개를 통해 구한 행렬식은 항상 일정합니다

행렬식 구하기 - 행줄임 이용하기

저번시간에 여인수전개를 공부했는데요. 3×3 이상의 행렬에서 행렬식을 구하기 위한 정석적인 방법이었어요. 오늘은 이 연산을 훨씬 줄여줄 수 있는 방법! 행줄임을 이용하여 여인수전개를 편하게 하는 방법을 공부해보겠습니다. 기본행연산이 뭔지 기억나시나요? 기본행연산. 행렬에서 가장 기초가 되는 연산이었는데요. - 한 행에 0이 아닌 상수를 모두 곱한다. - 두 행을 교환한다. - 한 행의 배수를 다른 행에 더한다. 이렇게 세 가지 연산이 있었어요. 여기서 마지막, 한 행의 배수를 다른 행에 더한다. 이 연산은 아무리 취하더라도 행렬의 행렬식을 변화시키지 않습니다. 행줄임은 이를 활용해서 여인수전개를 간단하게 하는 겁니다. 저번시간에 봤던 행렬을 다시 가져와보죠. 여기서 한 행의 배수를 다른 행에 더하는 연산을 통해 어떤 행이나 열에서 성분 하나를 제외하고 모두 0이 되게 만들어볼겁니다. 2행에서 1행을 빼면, 2열이 a12를 제외하고 모두 0으로 간단하게 정리됩니다. 여기서 ~는 행 동

[교과 외] 군수열

오늘은 교육과정 외 수열을 한번 다뤄볼까 합니다. 바로 군수열이라는 친구인데요. 교육과정에 없으므로 수능에는 절대 나오지 않고, 내신에는... 학교 쌤의 싸이코력에 따라 나올 수도 있겠군요. 한번 만나보시죠. 1 1 3 1 3 5 1 3 5 7 1 3 5 7 9 1 3 ... 엄... 엄??? 이게 뭐죠. 패턴이...? 있나??? 패턴이 잘 보이지 않아요. 이런 경우, 그룹을 묶어주면 패턴이 잘 보입니다. 1 1 3 1 3 5 1 3 5 7 1 3 5 7 9 1 3 ... 어떤가요, 패턴이 보이죠. 생명과학 I 에 나오는 '군집'이라는 표현이 있어요. 개체군이 모여서 만든 그룹이 군집이였어요. '군'이라는 말은 그룹이라는 의미였어요. 이렇게, 군수열은 그룹을 묶으면 패턴이 보이는 수열을 의미합니다. 대표적인 예시 하나만 더 보여드리겠습니다. 직접 그룹을 한번 묶어보고 정답을 보셔도 좋겠습니다! 정답: 이야~ 처음에 보면 개판이었던게 이렇게 그룹을 짓고 보니 패턴이 쉽게 보이네요!

행렬이란 무엇일까

# 공통수학 I # 4. 행렬 # 1. 행렬의 정의 행렬의 정의 이번 시험에서 어떤 학생이 이런 점수를 받았다고 생각해봅시다. 점수 백분위 등급 국어 61 68 4 수학 80 93 2 이렇게 표로 나타내는건 굉장히 익숙하죠? 행렬이라는건 이 표에서 시작합니다. 표에는 가로축과 세로축을 정확하게 명시하죠. 가로에 <점수> <백분위> <등급> 이라는 정보가 있고, 세로에 <국어> <수학> 이라는 과목이 있죠. 행렬은 표와 똑같은 구조이지만 가로와 세로의 척도를 생략했다고 생각하시면 됩니다. 그냥 숫자만 쓰겠다는거죠. 위에 나온 성적표를 행렬로 표현하면 이렇게 됩니다. 행렬의 성분 행렬은 성분으로 구성되었다고 하는데요. 성분이란 행렬을 이루는 숫자나 문자를 의미합니다. 위에서 예시로 든 행렬을 보면 61, 68, 4, 80, 93, 2 얘들이 성분이 되는거죠. 어떤 두 행렬이 같기 위해서는 각 위치에 있는 성분이 서로 일치해야 합니다. 예를 들어 위 식에서 등호가 성립하려면 각 자리마다

m x n 행렬의 행과 열

# 공통수학 I # 4. 행렬 # 2. 행렬의 행과 열 행렬의 행과 열 저번시간에 봤던 성적표를 다시 가져오죠. 점수 백분위 등급 국어 61 68 4 수학 80 93 2 이 표를 행렬로 변환해서 표현하면 이렇게 됐었죠. 이제 각 성분들이 있는 자리를 말로 나타내고 싶은데... 61: 왼쪽 위에 있는 성분. 68: 가운데 위에 있는 성분. 이런식으로 말하면 너무 짜치잖아요...? (북한식 표현) 그래서, 행렬에서 각 자리를 나타내는 이름을 붙여주기로 했어요. 가로줄을 행, 세로줄을 열이라고 말이죠. 이제 61은 왼쪽 위에 있는 성분 이렇게 짜치게 말하지 말고 1행 1열에 있는 성분이다! 이렇게 표현하시면 됩니다. Quiz. 위 행렬의 2열을 구하시오. Answer: 두 번째 세로줄인 2열을 구하면~ 이렇게 쓰면 되겠군~ Quiz. 위 행렬의 1행을 구하시오. Answer: 첫 번째 가로줄인 1행을 구하면~ 이렇게 쓰면 되겠군~ 행렬의 표현 이제 행렬을 기호로 표현할 줄도 알아야 합니다

행렬의 덧셈, 뺄셈, 실수배

# 공통수학 I # 4. 행렬 # 3. 행렬의 덧셈, 뺄셈, 실수배 행렬의 덧셈과 뺄셈 편안한 마음으로 읽어주시면 되겠습니다. 정말 쉬워요. 같은 자리에 있는 애들끼리 더하고 빼주면 된다! 1행 1열에 있는 3과 4를 더해서 7 되는거고~ 1행 2열에 있는 1과 -3을 더해서 -2가 되는거고~ 이런 식입니다. 뺄셈도 똑같죠. 1행 1열에 있는 3과 -1을 빼서 4가 되고 1행 2열에 있는 5랑 2를 빼서 3이 되고 이런 식인거죠. 개쉽습니다. 행렬의 실수배 행렬에 실수배를 취할 때도 크게 다를게 없습니다. 행렬 앞에 상수를 곱하면 행렬 안의 모든 성분에 곱해준다! 행렬 전체에 3을 곱했으니까 모든 성분에 3씩 다 곱해주면! 된다는 겁니다. 연습문제 그냥 일차방정식 푸는 것처럼 이항해서 풀면 돼요. 이런식으로 이항해서 정리해주고, 2분의 1 곱하면 X로 정리된다는겁니다.

행렬의 곱셈을 그림으로 이해하기

# 공통수학 I # 4. 행렬 # 4. 행렬의 곱 행렬의 곱셈 저번시간에 공부했던 행렬의 덧셈과 뺄셈, 실수배는 되게 간단했는데요. https://blog.naver.com/masience/223831028841 행렬의 곱셈은 조금...! 헷갈립니다. 직관적으로 와닿지 않거든요. 교과서에 나와있는 공식을 보면... 꾸에엑... 당연히 이걸 외우는건 당연히 말이 안돼요. 그래서 오늘은 최대한 직관적으로, 그림으로 행렬의 곱을 이해해볼겁니다. 곱셈은 이렇게, 오른쪽에 있는 행렬을 위로 올려서 써준다고 생각하면 돼요. 그림에서 나온 것처럼, 바깥쪽끼리 안쪽끼리 곱해서 더해주면 되는겁니다. 조금 더 복잡한 행렬의 곱도 크게 다르지 않아요. 똑같이 오른쪽 행렬을 위로 올려서 써줍니다. 그리고 바깥쪽끼리, 안쪽끼리 곱해서 더해주면 되는겁니다. 이런식으로, 위치에만 조심해주면서 네 칸을 전부 채워주면 됩니다. 결론적으로 곱셈을 처리하면 이렇게 되겠죠. 행렬의 곱셈이 가능하기 위한 조건 서로 모양

(고3) 2025 3평 손풀이

부분적분을 5초 안에 계산하기 - 도표적분법

부분적분. 계산이 참 복잡하죠. 그러나 이 부분적분을 굉장히 간단하게 해결할 수 있는 방법이 있습니다. 오늘은 바로 어둠의 스킬, '도표적분법'에 대해서 알아볼거예요. 다항함수와 지수함수가 곱해져 있죠? 서로 다른 로.다.삼.지가 곱해져 있으면 부분적분. 정석으로는 미분이 적분이 나눠서 생각해주고 적분을 졸라게 해야겠죠. 이걸 세로셈을 하듯 도표로 그려서 계산하는 방법을 도표적분이라고 부르는데요. 미분이 적분이를 잡는건 똑같습니다. 이제 이걸 표로 표현할건데요. 미분이는 0이 될때까지 미분해주고 적분이는 따라서 계속 적분해주시면 됩니다. 그리고 오른쪽 아래로 내려가는 대각선을 그리며 곱해주고 부호를 (+) (-) (+) (-) 번갈아가면서 붙이면 끝! 당연히 처음 보면 이게 뭐야 싶으실 수 있습니다. 예시를 하나 더 보죠. 정석으로 하면 부분적분을 두 번 해야해요. 하지만 도표적분을 사용하면? 미분이는 0 될때까지 미분하기 적분이는 줄 수 맞춰서 필요한 곳까지 적분하기 그래서 대각선

수능에서 사용되는 도형의 성질 총정리

항상 수능에는 사인법칙, 코사인법칙이 한 문제씩 나오기 때문에 신박하게 생겨먹은 도형들이 나오기 마련입니다. 이때, 중학교에서 배우는 도형의 성질을 까먹으면 4점을 그대로 날리게 되는데요. 오늘은 수능 D-150을 맞아 여러분이 까먹으셨을만한 도형의 성질들을 정리해봤습니다. 파란색은 주어진 값, 빨간색은 이걸 사용해서 얻을 수 있는 값 이렇게 생각해주시면 됩니다. 그럼 고고링~ 원주각의 성질 어떤 호/현에 대하여 원주각은 항상 같다. 위 그림에서 모든 원주각의 크기가 같음. 지름에 걸리는 원주각은 항상 직각이다. 원에 내접하는 사각형에서 마주보는 두 각의 크기의 합은 180도이다. 각의 이등분선의 정리 변의 중선정리 (파푸스의 정리) 시간 나는대로 더 추가할것임..

(극한) 0분의 1은 얼마일까?

분모가 0으로 가는 상황에서의 극한? 학생들이 많이 헷갈려하는 듯해서 한번 정리해보려고 합니다. 일단 함수 하나를 정의해보겠습니다. 그냥 흔히 아는 y=1/x 꼴의 유리함수죠. 먼저, x=0일 때의 함숫값을 볼까요? 함숫값은 극한처럼 다가가는 개념이 아니라 x = 0 이라는 정확한 지점에서의 값을 의미하죠? 따라서 저런 값은 존재하지 않습니다. 절대 원칙인 분모에는 0이 들어갈 수 없다!! 극한이라면 얘기가 조금 달라집니다. x → 0+ 로의 극한을 먼저 보겠습니다. x → 0+ 로의 극한은 정확한 값을 갖는 것이 아니라 x가 0보다 아주 미세하게 큰 값이 들어간다는 것을 의미하죠? 따라서 분모에 정확히 0이 들어가는게 아니기 때문에 저 값은 존재할 수 있습니다 그럼 그 값이 얼마인가? x=1, 0.1, 0.01, ... 이렇게 x값을 조금씩 줄여가면서 관찰해보도록 하죠. x값이 0에 가까워질수록 그 함숫값도 굉장히 커지는 것을 확인할 수 있죠? 이런식으로, 이 극한은 ∞으로 발산한

극한이 필요한 이유

#수학2 #극한과연속 #극한 #극한의필요성

등비급수의 합 공식 증명하기

여기 공비가 1/2인 등비수열이 있습니다. 이 수열의 모든 항을 다 더하면, 즉 이 값을 구한다면? 우리가 아는 등비급수 공식을 생각하면 이렇게 구할 수 있었죠. 이걸 일반화한 공식을 생각해보자면 첫째항이 a, 공비가 r인 등비수열의 모든 항의 합은 (단, -1 < r < 1인 경우에서) 이렇게 구할 수 있었어요. 그럼, 이런 공식이 왜 만들어지는가? 를 한번 증명해보려고 합니다. 교과서에 나와있는 기본적인 식을 활용한 증명과 그래프를 활용한 직관적인 증명, 이렇게 두 가지를 보여드리겠습니다. 먼저, 식을 활용한 증명. Sn을 아래와 같이 정의합니다. 여기에다가 양변에 r을 곱한 식을 하나 더 준비해요. 이 둘을 서로 빼주는 겁니다. 이렇게 말이죠. 그러면 우리가 Sn을 구할 수 있어요. 여기서 우리는 무한번째 항까지의 합을 구하는 거니까 n이 무한대로 가는 극한을 취해주면 이렇게 되고, r의 범위가 -1 < r < 1 이므로 무한번 제곱하면 rn = 0으로 수렴하게 되겠죠. 따라서

09년생~ 필독! 고등학교 수학이 어떻게 바뀔까?

2025년에 고등학교에 새로 입학하는 학생들, 그러니까 2009년생부터는 22개정 교육과정으로 수업을 받게 됩니다. 고등학교에 들어가기 전에 수학을 미리 예습하고 싶은 친구들이 많을텐데, 교육과정이 아예 바뀌어버리니 뭘 공부해야 하는지를 모르는 경우가 많아요. 그래서, 오늘은 현 교육과정인 15개정 교육과정에서 어떤 부분이 바뀌어 22개정 교육과정이 되는지를 알아보도록 하겠습니다. 입시에 큰 의미가 없는 과목들은 다 빼고 중학생 친구들, 학부모님들이 쉽게 이해하실 수 있도록 작성하였습니다. 1. 과목 구성의 변화 15 개정 교육과정에서 입시에 유의미한 수학 과목은 총 일곱 과목입니다. 2015 교육과정 고등 수학 (2002년생~2008년생) 학년 과목 평가 1학년 1학기 수학 상 전교생 상대평가 (9등급) 1학년 2학기 수학 하 2학년 1학기 수학 I 2학년 2학기 수학 II 3학년 확률과 통계 선택자 상대평가 (9등급) 미적분 기하 절대평가 (A B C) 이 중에서 3학년 과목인

삼차함수의 비율관계

어둠의 스킬 시리즈 1탄! 굉장히 유명한 스킬이죠? 삼차함수에서의 비율관계! 개념과 증명, 실제 문제에 적용까지 한번에 알아보겠습니다. <삼차함수 비율관계>의 개념 사진 출처: 나무위키 아마 찾아보면 이런 그림을 많이 볼 수 있을텐데요. 바로 와닿지가 않을테니 예시를 들어 보여드리자면 이런 삼차함수 그래프에서 적용해보면 이렇게 자동으로, 한 칸이 x좌표 2이므로 다른 점 두 개를 추가로 찾을 수 있다는 겁니다. 다른 예시를 보자면, 이런 그림에서 극댓값의 x좌표는 이렇게 해서 x = 1 에서 극댓값을 가진다고 구해도 되지만 비율관계 슈-웃 하면 이런 식으로 바로 극댓값을 x=1 에서 가짐을 알 수 있죠. <삼차함수 비율관계> 증명하기 이런 그래프가 있다고 가정해봅시다. 그럼 x = 0 에서 x축과 접하고 x = 3t에서 x축과 만나니까 이렇게 잡을 수 있겠죠. (최고차항은 모르니까 a로~) 극소를 구하기 위해서 미분을 해주면 이렇게 나오고, x = 0 에서 극대, x = 2t에서 극

로피탈은 어떻게 쓰는걸까 (사용 방법 및 조건)

입시판에는 도표적분법, 비율관계, 거리곱 등 각종 야매들이 많지만 그 중에서도 단연 으뜸이라고 볼 수 있는 특급 야매!! 바로 로피탈의 정리입니다. 어떨 때 사용할 수 있고, 어떻게 사용하는지를 한번 알아보겠습니다. 1. 로피탈의 정리란? 로피탈의 정리는 수렴하는 어떤 극한에서 분모 분자를 미분해도 극한의 값이 유지된다 이런 정리입니다. 예시를 들어보자면 이런 식이 있으면, 얘가 f'(2) 인건 우리 모두 알고 있죠? 미분계수의 정의에 의해 그렇잖아요? 그런데, 얘를 로피탈의 정리로 설명하자면 분모를 미분하면 x-2 미분해서 1 분자를 미분하면 f(x)-f(2) 미분해서 f'(x) ..f(2)는 상수니까 미분하면 사라지고 결국 이런식으로 식을 조작할 수 있다는 겁니다. 하나 더 예를 들어보자면 정석대로라면 인수분해를 통해 약분을 해야겠죠. 이런식으로 말이죠. 하지만 얘를 로피탈의 정리로 풀면 이렇게 분모와 분자를 모두 미분해서 구할 수 있다는 겁니다. 2. 로피탈의 정리는 언제? 로

(고등 과정에서) 로피탈 증명하기

고등학교 과정 내내 로피탈을 우리가 야무지게 써먹는데 내용: https://blog.naver.com/masience?Redirect=Update&logNo=223677505533 간단하게만 요약하자면 0/0 꼴, ∞/∞ 꼴일 때만 로피탈을 쓸 수 있었어요. 이걸 이제 증명을 하면 논술형에서 쓸 수 있다 이런 얘기가 있는데 고등 과정에서 ∞/∞ 꼴의 경우는 증명이 안돼요. (대학에서 배우는 엡실론-델타 논법으로 증명이 가능합니다.) 하지만, 조금 억지로 끼워맞춘다면 0/0 꼴에서 로피탈이 성립함을 고등 내용으로 증명할 수 있습니다. 오늘 이걸 보여드리려고 해요. 로피탈은 이런겁니다. 이렇게 있으면 0분의 0 꼴의 극한이잖아요? 여기서 이게 성립한다는게 로피탈의 정리였죠. 증명 한번 해보겠습니다. 우선, 여기에 분모 분자에다가 0을 빼볼게요. 0은 빼더라도 값이 달라지지 않죠. 그리고 양변을 이제 x-a 로 나눌건데, x는 a에 가까워지기만 할 뿐, 같아지지는 않으므로 x - a ≠

이산확률변수? 연속확률변수?

이제 본격적으로 3단원 <통계>, 확률분포와 확률밀도함수, 통계적 추정 등을 공부할 겁니다. 본격적으로 내용에 들어가기 앞서, 기본적인 개념을 알고 가야 하는데요. 앞으로 계속해서 등장할 용어, '이산확률변수', '연속확률변수'를 이해하고 공통점과 차이점을 알아야 내용을 이해하기 편할겁니다. 한번 알아보죠. <이산확률변수> 이산확률변수란 확률변수의 개수가 유한한 경우를 의미합니다. 한마디로, 명확하게 끊어진 값을 가지는 확률변수를 의미하죠. 예를 들어, 이런 식입니다. 주사위 두 번을 던져 앞면이 나온 횟수 0 1 2 확률 1/4 1/2 1/4 주사위 두 번을 던져 앞면이 나온 횟수는 0회, 1회, 2회... 세 가지 경우밖에 없죠. 확률변수가 이렇게 딱 유한하게 세 가지만 있는겁니다. 예시를 하나 더 들자면 학생 한 명을 뽑았을 때 풀어온 문제 수 0 1 2 ... 100 확률(비율) 0.3 0.01 0.01 0.001 확률변수가 많기는 하지만... 22.7문제를 풀어온 학생은 있

마법의 sin cos 각변환공식

오늘 알아볼 내용은 sin과 cos을 넘나드는 각변환 공식입니다. 이런 경우 어떻게 해야하는 걸까요. 이걸 θ만 사용해서 표현해야 한다면... 이게 sin인지 cos인지, +인지 -인지 너무 헷갈려요. 뭐 자습서나 문제집을 보면 이렇게 나와있죠. 아니 근데 이게 공식이 16개나 되는데... 이걸 어떻게 외웁니까...? 그래서 오늘은 이런거 외울 필요 없이, 모든 각변환을 깔끔하게 처리할 수 있는 간단한 방법을 알려드리려고 합니다. 사실 쓸 계획이 없었는데 우리 고3들이 너무 헷갈려해서 쓰게 되었습니다... 행준아 보고있냐 STEP 1: θ에 더해진 상수를 통해 sin, cos 를 구분한다. 만약 상수가 정수 π라면 그대로, 상수가 2분의 꼴의 분수 π라면 sin cos을 전환하기 예를 들어보죠. 이 경우에는 sin이 유지됩니다. π + θ 에서... θ에 더해진 값이 π이므로 1π라는 정수 꼴이기 때문에 유지. 이 경우에는 sin이 cos로 전환됩니다. θ에 더해진 상수가 2분의 3

로또 1, 2등 당첨 확률 계산하기

심심해서 (사실 컨텐츠가 떨어져서) 써보는 로또 당첨 확률과 기댓값! 과연 로또 한 장의 가치는 얼마나 될까요? 한번 계산해보겠습니다. 로또는 흔히 아시다시피 공 45개 중 6개의 공을 뽑아 추첨하는 방식입니다. 1등을 하려면 내가 고른 숫자 6개가 당첨 공 6개와 정확히 일치해야 합니다. 당첨 공 여섯 개가 결정되는 경우의 수는 흔히 아는 45C6 입니다. (순서에 상관없이 여섯 개의 공을 뽑기 때문) 그 중에서 내가 고른 공 조합과 정확히 일치하는건 딱 하나 있겠죠? 이걸 계산하면 로또 1등 확률은 8,145,060분의 1이라는 결론이 나옵니다. 2등을 하려면 당첨 공 6개 중 5개가 내가 고른 숫자와 일치해야 하고, 여기에 추가로 뽑은 7번째 공인 보너스공이 내가 고른 숫자와 일치해야 합니다. 말이 복잡한데, 간단하게 요약하자면 7개 공 중 6개의 공이 내가 고른 숫자 6개와 같아야 한다는 거겠죠? 그래서 확률은 위에 쓴 로또 1등 확률에 7C6 을 곱한 값입니다. 이 계산은

Sn이 주어졌을 때 an 빠르게 구하는 개꿀팁(등차수열)

오늘은 알아두면 계산 단축에 크게 도움이 되는 개꿀 야매 공식, 등차수열 an에 대하여 그 합인 Sn이 주어졌을 때 an을 빠르게 구하는 방법에 대해서 알아보겠습니다. 예를 들어보죠. 등차수열의 일반항은 일차식 꼴이라는걸 잘 아실 겁니다. 그럼 Sn 도 간단하게 구할 수 있겠죠? 등차수열의 합 Sn은 이차식 꼴이었어요. 관건은, 문제에서 Sn을 줬을 때 an을 구하기가 너무 귀찮다는 겁니다. 이렇게, an = Sn - Sn-1 이라는 공식을 전개해서 구해야만 했죠. 이 계산을 생략하는 꿀 공식이 있습니다. 이게 무조건 성립합니다. 예를 들어, 위에서 Sn = n2 + 4n 이었죠? 그럼 an = 2n + (4-1) = 2n + 3 이렇게 바로 떨어지게 됩니다. 하나 더? 모든 Sn 에 대하여 an을 간단하게 구할 수 있습니다. 네, 개꿀인건 개꿀인거구요. 증명 한번 해보겠습니다. 이렇게 확인할 수 있습니다. 와우~

일대일함수 VS 일대일대응

# 공통수학 2 # 3. 함수와 그래프 # 1. 함수 # 3 지금까지 함수가 무엇인지를 알아봤는데요. 오늘은 일대일함수와 일대일대응에 대해 알아보겠습니다. 1. 일대일함수 저번에 함수의 정의에 대해서 알아봤었죠? 정의역 X에 있는 모든 원소가 Y에 하나씩 대응해야 한다! 다르게 말하면, 공역 Y에 있는 원소들은 정의역 X에 대응하지 않아도 되고 정의역 X와 여러 번 대응해도 괜찮다는 겁니다. 이렇게 생겨먹은 대응 관계는 정의역 X의 모든 원소 1, 2, 3이 다 Y에 하나씩 대응하므로 함수라고 볼 수 있어요. 공역 Y에서는 c가 정의역 X에 대응하지 못하고 a가 정의역 X에 1, 2 두 번 대응하는데도 말이죠. 이게 좀 불편하다는 겁니다. 그래서, 함수 중에서도 특별한 함수를 만들었어요. 바로 이런 함수들인데, 공역 Y에 있는 원소 중에서 정의역 X와 두 번 이상 대응하는 원소가 없죠. 이런 애들을 일대일함수라고 부릅니다. 공역 Y 중에서 정의역 X와 대응하지 않는 원소가 있는건 상

일대일함수(일대일대응)의 그래프

# 공통수학 2 # 3. 함수와 그래프 # 1. 함수 # 4 저번시간에 일대일대응과 일대일함수에 대해 알아봤는데요. 일대일함수 VS 일대일대응 # 공통수학 2 # 3. 함수와 그래프 # 1. 함수 # 3 지금까지 함수가 무엇인지를 알아봤는데요. 오늘은 일대일... blog.naver.com 오늘은 일대일대응과 일대일함수의 그래프의 특징에 대해 알아보겠습니다. 1. 일대일함수의 그래프 일대일대응이 무엇인가! 저번시간에 공부했었죠? 함수: X 하나에 Y 하나가 대응한다! 일대일함수: Y 하나에 X 하나가 대응한다! 그래서 일대일함수와 일대일대응의 그래프는 어떻게 생겼는가? 그래프를 직접 그려보면서 이해해보죠. 여기 일차함수 그래프가 있군요. y좌표가 다르면 이에 대응하는 x 좌표도 달라요. 그래서 얘는 일대일함수라고 볼 수 있는데요. 이런 이차함수를 보면 y값은 1인데, 이에 대응하는 x값이 -1, 1 이렇게 두 개죠? 그래서 이런 이차함수는 일대일함수가 아닙니다. 결론적으로, 어떤 함

항등함수와 상수함수

# 공통수학 2 # 3. 함수와 그래프 # 1. 함수 # 5 저번 시간에는 일대일함수와 일대일대응에 대해 알아봤는데요. 일대일함수 VS 일대일대응 # 공통수학 2 # 3. 함수와 그래프 # 1. 함수 # 3 지금까지 함수가 무엇인지를 알아봤는데요. 오늘은 일대일... blog.naver.com 오늘은 또 다른 함수인 항등함수와 상수함수에 대해 알아보겠습니다. 1. 항등함수 항등식은 언제나 성립하는 식을 의미한다! 중학교에서 배웠던 내용인데, 기억하시나요? 여기서 핵심은 "언제나" 입니다. (북한에서는 늘같기식 이라고 부른다고 하네요.) 항등함수는 이름에 '항등'이 들어가는 것에서 알 수 있듯이, 비슷한 의미를 가집니다. 항등함수란, 언제나 자기 자신과 같은 원소에 대응하는 함수를 의미해요. 지금 보면 정의역 X의 1은 공역 1에 대응하고, 정의역 X의 2는 공역 2에, 3은 3에, 이렇게 자기 자신과 같은 원소에 대응하죠? 이처럼, 항등함수는 언제나 자기 자신에 대응한다! 고 생각하

합성함수란 무엇일까

# 공통수학 2 # 3. 함수와 그래프 # 1. 함수 # 6 지난 시간까지는 여러 가지 함수들을 알아봤죠? 오늘은 한 단계 더 나아가서, 함수끼리 합쳐져있는 형태의 합성함수에 대해 알아보도록 하겠습니다. 1. 합성함수 합성함수란 두 개의 함수가 합쳐져있는 형태입니다. 말로 설명하기가 너무나 어렵기 때문에 예시를 보면서 바로 이해해보죠. 합성함수의 정의에 따라, g ( ) 안에 f(1)이 들어가겠고, f(1) = 6 이므로 g(f(1)) = f(6)의 값을 구하면 4라고 나오게 되는겁니다. 하나만 더 해보죠. 이제 좀 감이 오실까요? 2. 합성함수 구하기 교과서 예제로 합성함수 구하기를 한번 해보시죠. 괄호 안에 f(x)가 들어가므로, g(x) = 3x + 2 에 x 대신 2x - 1 을 넣어주면 끝! 여기도 마찬가지로, 괄호 안에 g(x)가 들어가므로, f(x) = 2x - 1 에 x 대신 3x + 1 을 넣어주면 끝! 3. 합성함수의 정의역과 치역 여기서 g(x)를 겉함수, f(x

합성함수의 성질 (교환법칙, 결합법칙, 항등함수와 관계)

# 공통수학 2 # 3. 함수와 그래프 # 1. 함수 # 7 저번시간에는 합성함수에 대해서 알아봤죠? 오늘은 합성함수의 성질에 대해서 알아보겠습니다. 1. 합성함수의 교환법칙 합성함수의 교환법칙은 성립하지 않는다! 합성 순서를 바꾸면 다르다는 뜻인데요. 직접 한번 확인해보죠. 서로 다르다는걸 확인할 수 있죠? 2. 합성함수의 결합법칙 합성함수의 결합법칙은 성립한다! 합성 순서가 f g h 순서로 유지된다는 전제 하에 어디를 먼저 합성해도 항상 같다! 는 성질입니다. 이렇게 확인할 수 있는데요, 이번에는 앞에서 f, g 를 먼저 합성해볼게요. 와우, 이렇게 해도 같은 값이 나오네요? 그래서, 아래 결합법칙이 성립합니다! 3. 합성함수와 항등함수 합성 과정에서 항등함수는 무시한다! 이건 굉장히 간단하게 증명할 수 있는데요. 앞에서 항등함수는 자기 자신이 나오는 함수라고 배웠죠? 이렇게 자기 자신이 나오잖아요? 따라서, 얠 합성함수에다가 대입하면 이렇게 나옵니다. 결국 항등함수 I 는 무

역함수란 무엇일까

# 공통수학 2 # 3. 함수와 그래프 # 1. 함수 # 8 저번시간까지 합성함수에 대해서 알아봤죠? 오늘부터는 역함수에 대해서 알아보겠습니다. 1. 역함수 f : X → Y 로 가는 함수라고 보면 그 역함수는 Y → X 로 가는 함수입니다. 역함수는 원래 함수와 정의역과 치역이 뒤바뀐 형태입니다. 이걸 기호로는 f-1 : Y → X 라고, 마이너스 1제곱? 이런 느낌으로 표현합니다. 이해를 돕기 위해 실제 사례를 보죠. f(1) = 6 입니다. 정의역 1이 치역 6에 대응 하는 관계죠. 그 역함수는 f-1(6) = 1 입니다. 정의역과 치역이 반대가 되어, 정의역 6이 치역 1에 대응하는 관계입니다. 이처럼 역함수에서는, f(1)=6 → f-1(6)=1 이렇게, x값과 y값의 자리가 바뀝니다. 이처럼. 원함수가 f(x) = X → Y 라면 그 역함수 f-1(x) = Y → X 입니다. 2. 역함수 구하기 역함수는 x와 y의 자리가 서로 바뀌는 함수이므로 역함수를 구할 때에는 x와

역함수 그래프의 성질

# 공통수학 2 # 3. 함수와 그래프 # 1. 함수 # 9 저번시간에 역함수에 대해 알아봤죠? 오늘은 역함수의 그래프에 대해 알아보겠습니다. 이 내용은 앞으로 수1, 미적분에서 굉장히 깊게 다루므로, 잘 알아둘 필요가 있습니다. 1. 역함수의 그래프 역함수는 x와 y의 자리가 바뀐 함수잖아요? x와 y의 자리가 바뀌는 대칭이동! 앞 단원에서 배운 y = x 대칭이동! 기억나실까요? y = f(x) 그래프 위에 점 ( a , b ) 가 있다면 그 역함수 그래프인 y = f-1(x) 그래프 위에는 x좌표와 y좌표가 자리를 바꾼 ( b , a ) 가 있습니다. 이 두 점은 y = x 대칭이라는 사실, 지난 단원에서 배웠죠. 이렇게 확인할 수 있듯이, 원함수 그래프와 역함수 그래프는 y = x 대칭 관계입니다. 예시를 하나만 보여드릴게요. 저번시간에 예시로 들었던 이 함수를 그래프에 그리면 보시는 바와 같이, y = x 을 기준으로 대칭인 것을 확인할 수 있습니다. 2. 역함수 그래프의

역함수의 성질 (역의 역, 합성함수의 역함수 등)

# 공통수학 2 # 3. 함수와 그래프 # 1. 함수 # 9 저번시간에는 역역함수에 대해서 알아봤죠? 오늘은 역함수의 성질에 대해서 알아보겠습니다. 1. 역함수의 역함수 역함수의 역함수는 원래 함수와 같다! 어떤 함수 f에 대하여 그 역함수를 f-1 이라고 합시다. 여기에 다시 역함수를 취하면? (f-1)-1 이렇게, 역함수의 역함수가 되겠죠? 그럼 이 함수는 원래 함수와 똑같아 집니다. 자, 간단하게 증명을 한번 해보겠습니다. 역함수는 x와 y의 자리를 바꿔야 하죠? 여기서 다시 역함수를 취하니, x와 y의 자리를 다시 바꿉니다. 결국 역함수의 역함수는 원래 함수와 똑같음을 알 수 있습니다. 2. 합성함수의 역함수 합성함수의 역함수를 분배할 때는 순서를 바꾼다! 합성함수에다가 역함수를 취하면 각각 역함수가 되면서 순서가 바뀐다는 법칙입니다. 이것도 간단히 증명해보죠. 원래 f : X → Y 로 가는 함수, g : Y → Z 로 가는 함수죠. f ∘ g : X → Z 로 가는 함수입

부분분수로의 변형 (공식 증명, 문제 적용하기)

# 공통수학 2 # 3. 함수와 그래프 # 2. 유리함수 # 1 이번시간에는 유리식을 처리할 때 자주 사용하는 필수 공식, 부분분수 공식을 알아보겠습니다. 수1 수열에서 자주 사용하므로 꼭 기억해주셔야 합니다! 1. 부분분수 공식 부분분수 공식은 아래와 같습니다. 뭐 일단 외우고 시작하실게요. 2. 부분분수 공식의 증명 위 공식이 어떻게 나왔는가? 이렇게 바꿀 수 있다는걸 생각하면 요렇게, 좌변과 우변이 같음을 증명할 수 있습니다. 3. 부분분수 공식의 활용 예를 들어, 1/15라는 분수를 한번 변형해보죠. 이런식으로 부분분수로 변형할 수 있습니다. 진짜 이게 무슨 쓸데없는 짓이냐고 생각하실 수도 있는데, 아래 식을 한번 정리해보실래요? 이걸 통분을 하고 있으면 피눈물이 나겠죠...? 그래서 부분분수 변형을 사용하는 겁니다. 이렇게 바꿔주고 부분분수 변형을 사용하면 이렇게 다 날라가면서 계산이 간단해짐을 알 수 있어요. 오늘은 이렇게 부분분수로의 변형에 대해 알아봤습니다. 이걸 모르

반비례 그래프란 무엇일까

# 공통수학 2 # 3. 함수와 그래프 # 2. 유리함수 # 2 오늘은 유리함수 그래프를 공부하기에 앞서 중학교에서 배운 반비례 그래프를 떠올려보는 시간을 가지려고 합니다. 1. 반비례 그래프 그려보기 가장 일반적인 반비례 그래프는 우리가 중학교 1학년때 배웠습니다. 이 그래프를 그리기 위해 표를 좀 그려보면 X 0 1/4 1/2 1 2 4 8 16 32 Y - 4 2 1 1/2 1/4 1/8 1/16 1/32 이런식으로, x값이 0에 가까워짐에 따라 그 값은 급격하게 커지고 x값이 커짐에 따라 점점 0에 가까워지지만 0이 되지는 않는 이런 그래프가 되겠습니다. x값이 마이너스가 되면? X -16 -8 -4 -2 -1 -1/2 -1/4 -1/8 0 Y -1/16 -1/8 -1/4 -1/2 -1 -2 -4 -8 0 x값이 0에 가까워지면 무한하게 작아지고, x값이 점점 작아지면 그 값은 0에 가까워지지만 0이 되지는 않는 이런 그림이 완성되는겁니다. 이 때, y = 1/x 그래프를 보

충분조건, 필요조건, 필요충분조건

# 공통수학 2 # 2. 집합과 명제 # 2. 명제 # 8 저번시간에 역과 대우에 대해서 알아봤죠? 오늘은 명제 p → q 에서 간단한 용어를 알아볼거니 편하게 봐주셔도 되는 가벼운 내용입니다. 1. 충분조건과 필요조건 진짜 너무 간단한데요, 명제 p → q 에서 p를 충분조건, q를 필요조건이라고 불러요. 예를 들어, x = 2 → x2 = 4 이런 명제가 있으면 x = 2 가 충분조건, x2 = 4 가 필요조건이 되는 겁니다. 이 순서를 헷갈려하시는 분들이 많은데, 가나다 순이라고 생각하시면 외우기 편해요. 'ㅊ' 충분조건이 앞에 오는 p, 'ㅍ' 필요조건이 뒤에 오은 q라고 생각하는거죠. 2. 필요충분조건 명제 p → q 에서 충분조건은 앞에 오는 p. 필요조건은 뒤에 오는 q. 그렇다면 필요충분조건은 무엇이냐? p → q 가 성립하면: p는 충분조건, q는 필요조건. q → p 가 성립하면: p는 필요조건, q는 충분조건. 만약 이 둘이 모두 성립한다면? p와 q는 충분조건임

정의 VS 정리 구분하기

# 공통수학 2 # 2. 집합과 명제 # 2. 명제 # 9 이제 집합 ⇒ 명제로 이어지는 내용이 다 끝났고요. 다음 시간부터는 명제의 증명과 절대부등식을 공부합니다. 지금까지 했던 내용과는 조금 다른 내용일텐데요. 그래서 오늘은 약간 빌드업 느낌으로, 증명에 필요한 용어들을 짚고 넘어가려고 합니다. 1. 정의 VS 정리 구분하기 정의와 정리, 언뜻 보기엔 같은 내용 같아 보이지만 완전 다른 내용입니다. 정의는 증명이 불가능한, 하나의 약속입니다. 이등변삼각형은 "두 변의 길이가 같은 삼각형"이라고 정의하자, 이런겁니다. 이건 증명을 어떻게 하겠습니까? 그냥 그렇게 약속한거죠. 한편, 정리는 정의로부터 증명해낼 수 있는 내용입니다. "이등변삼각형의 두 밑각의 크기가 서로 같다"는 정리입니다. 이등변삼각형의 정의로부터 찾아낼 수 있는 내용이기 때문이죠. 비슷하게, 직각삼각형을 예시로 들 수 있어요. 직각삼각형은 한 각이 직각인 삼각형이다! ⇒ 얜 정의죠. 그냥 용어의 뜻 그 자체. 변2

귀류법을 이용해 증명하기

# 공통수학 2 # 2. 집합과 명제 # 2. 명제 # 10 이제 드디어 증명으로 넘어왔네요. 증명에는 두 가지 방법이 있어요. 귀류법과 대우를 이용한 증명. 이 중에서 오늘은 귀류법에 대해 알아보겠습니다. 1. 귀류법의 정의 "모든 사람은 언젠가 죽는다" 는 명제를 증명해보죠. 그런데, 음... 이걸 어떻게 증명해야 하죠? 명확한 방법이 보이지 않아요. 이럴 때는, 주어진 명제를 부정하고 모순을 찾아보는 방법이 있습니다. "모든 사람은 언젠가 죽는다"를 부정해서 "어떤 사람은 죽지 않는다"를 만들고, 이 명제의 모순을 찾는거죠. 저건 당연히 모순이 발생하죠? 세상에 죽지 않는 사람은 없잖아요? 그래서 아, 명제를 부정하면 모순이 생기기 때문에 원래 명제가 참이구나! 라는걸 알 수 있는 겁니다. 이처럼, 귀류법으로 어떤 명제 P를 증명하기 위해서는 명제의 부정인 ~P에서 모순을 찾으면 됩니다. 2. 귀류법으로 증명하는 대표적 사례 귀류법을 이용한 증명을 하나만 보여드릴까 하다가, 여

루트 2가 무리수임을 증명하기 (귀류법)

# 공통수학 2 # 2. 집합과 명제 # 2. 명제 # 10-1 "루트 2가 무리수이다" 를 부정하면 "루트 2가 유리수이다" 가 됩니다. 유리수의 정확한 정의는 분모와 분자를 서로소인 자연수로 표현할 수 있는 수 입니다. 예를 들어 2.4는 12/5, 3.5는 7/2, 4는 4/1 이런식으로 분모와 분자를 약분하면 서로소인 두 자연수로 표현할 수 있어요. 우리가 루트 2가 유리수라고 했기 때문에 루트 2 역시 서로소인 두 자연수의 분수로 표현할 수 있어요. 여기서 양변을 제곱하면 이렇게 되고, 정리하면 여기서 n2는 짝수이므로 n도 짝수입니다. 그래서 n = 2p라고 둘 수 있어요. 얠 대입하면 이렇게 정리되므로 이번엔 m2이 짝수이고, 따라서 m도 짝수입니다. 뭔가 이상하지 않나요? m과 n은 서로소인 자연수인데, n도 짝수, m도 짝수라고요? 공약수가 2라고 생겨버려서 얘들은 서로소가 아닌데요. 이렇게 모순이 발생합니다. 따라서 "루트 2가 유리수이다" 에는 모순이 생겨버렸고,

"1 + 루트 2"가 무리수임을 증명하기 (귀류법)

# 공통수학 2 # 2. 집합과 명제 # 2. 명제 # 10-2 "1 + 루트 2 가 무리수이다" 를 부정하면 "1 + 루트 2 가 유리수이다" 가 되겠죠. 유리수의 연산 성질에서 유리수끼리 사칙연산을 한 결과값도 유리수라는 성질이 있습니다. 유리수끼리 더하고 빼면 당연히 유리수겠죠. 우리가 1 + 루트 2 가 유리수라고 했고, 1도 유리수이기 때문에 이 둘이 빼면 유리수 - 유리수 이므로 유리수가 나와야 합니다. 하지만? 저 둘이 빼면 루트 2가 나오고, 우리가 루트 2가 무리수라는건 저번 시간에 증명했죠. 따라서, 유리수 - 유리수 = 무리수라는 모순이 발생해버리고, "1 + 루트 2 가 유리수이다" 라는 명제에 모순이 생기는 겁니다. 따라서 원래 명제 "1 + 루트 2 가 무리수이다" 는 참이 되는거죠.

대우를 이용해 증명하기

# 공통수학 2 # 2. 집합과 명제 # 2. 명제 # 11 저번시간에는 귀류법을 활용한 증명을 공부했어요. 원래 명제를 부정한 후, 모순을 찾아서 증명하는 방법이었죠. 오늘은 대우를 활용한 증명 방법에 대해 알아보겠습니다. 1. 대우를 활용한 증명 방법 "내각의 합이 180가 아닌 도형은 삼각형이 아니다." 라는 명제를 증명해보죠. 내각의 합이 180가 아니다? 그럼 181? 182? 하나하나 다 증명해야 할까요? 우리가 어떤 명제가 참이면 그 대우도 참이라고 배웠습니다. 그래서 이런 경우에는 명제를 직접 증명하기보다 그 대우를 찾아서 그걸 증명하는게 더 편합니다. "내각의 합이 180가 아닌 도형은 삼각형이 아니다." 의 대우는 "삼각형이면 내각의 합이 180이다." 이렇게 되잖아요. 이러면 증명이 한층 쉬워지겠죠. 이처럼, 대우를 활용한 증명은 직접적인 증명이 힘든 명제인 경우 그 대우를 찾아서 대신 증명하는 방법입니다. 2. 대우를 활용한 증명 예시 "n2이 3의 배수가 아니

절대부등식이란 무엇일까

# 공통수학 2 # 2. 집합과 명제 # 2. 명제 # 12 벌써 <집합과 명제> 단원의 마지막 내용까지 와버렸군요. 오늘은 절대부등식에 대해서 알아보겠습니다. 1. 절대부등식의 정의 절대로! 라는 말을 들으면 어떤 생각이 드시나요? 무슨 일이 있어도, 항상 이라는 뜻으로 들려요. 사전을 보면 어떤 경우에도! 라고 나와있네요. 절대부등식이란 이런 의미를 그대로 받는데요. 어떤 경우에도 성립하는 부등식을 절대부등식이라고 부릅니다. 예를 들어, x2 ≥ 0 이라는 부등식을 보면 x에 뭐가 들어가는지에 상관없이 항상 성립하잖아요? 이런 부등식은 항상, 절대로 성립한다는 의미에서 절대부등식이라고 부릅니다. 이처럼, 절대부등식은 항상 무조건 성립하기 때문에 참인 명제라고도 볼 수 있습니다. 2. 절대부등식의 예시 이제 가장 대표적인 절대부등식들을 보여드리겠습니다. 증명은 완전제곱식 꼴로 바꿔서 해주셔야 해요. 이렇게, 제곱 제곱 꼴로 바꿔주고 나면 제곱 덩어리들이 모두 0보다 크거나 같으므로

산술-기하평균을 증명하고 써보자

# 공통수학 2 # 2. 집합과 명제 # 2. 명제 # 13 저번시간에 절대부등식에 대해 알아봤는데요. 오늘은 여기서 한 단계 더 디테일하게, 대표적인 절대부등식인 산술-기하평균에 대해 알아보겠습니다. 줄여서 산-기라고 쓰는게 일반적이죠. 1. 산술-기하평균의 정의 산술-기하평균, 줄여서 산-기는 모든 양수 a, b 에 대해서 성립하는 절대부등식인데요. 증명은 이따가 할거고, 일단 공식부터 보시죠. 이게 반드시 성립해야만 하는데요. 예를 들어, a+b=6일 때 ab의 최댓값을 구해보면 이렇게 정리되어서 ab의 최댓값이 9라고 나옵니다. 표를 그려서 노가다를 뛰어보면 저게 맞다는걸 알 수 있습니다. a 1 2 3 4 5 b 5 4 3 2 1 ab 5 8 9 8 5 2. 산술-기하평균의 증명 그렇다면 저게 왜 성립하는가? 증명을 한번 해볼게요. 양변을 제곱하면 이렇게 되고, 좌변으로 옮겨서 정리하면 이렇게 완전제곱식으로 묶이면서 항상 성립함을 알 수 있고 등호가 a = b 일 때 성립한

코시-슈바르츠 부등식을 증명하고 써보자

# 공통수학 2 # 2. 집합과 명제 # 2. 명제 # 14 저번시간에는 산술-기하평균에 대해 알아봤어요. 오늘은 또 다른 절대부등식, 코시-슈바르츠 부등식에 대해 알아보겠습니다. 1. 코시-슈바르츠의 정의 코시-슈바르츠 부등식, 줄여서 코시는 모든 실수 a, b 에 대해서 성립하는 절대부등식인데요. 이번에도 증명은 이따가 할거고, 일단 공식부터 보시죠. 이게 반드시 성립해야만 하는데요. 예를 들어, a2+b2=40일 때 a+3b의 범위를 구해보면 이런식으로 구해져서 이런 범위를 구할 수 있습니다. 2. 코시-슈바르츠 부등식의 증명 그렇다면 저게 왜 성립하는가? 증명을 한번 해볼게요. (하다보면 코시-씨바르츠 소리가 절로 나오는...) 양변을 전개하면 이렇게 되고, 날릴거 날리고 좌변으로 옮겨서 정리하면 새로운 완전제곱식 꼴로 묶여서 항상 성립함을 알 수 있고, 등호가 ay = bx 일 때 성립한다는 사실도 알 수 있습니다. 오늘 이렇게 코시-슈바르츠 부등식을 공부하면서 집합/명제

대응과 함수의 정확한 뜻

# 공통수학 2 # 3. 함수와 그래프 # 1. 함수 # 1 이제 공통수학 2의 마지막 단원인 함수 단원으로 넘어갈텐데요. 오늘은 가볍게 함수가 정확히 무슨 뜻인지를 알아보려고 합니다. 1. 대응의 정의 함수에 대해 자세히 공부하기에 앞서서 대응이 무엇인지부터 알아야 해요. 대응은 어떤 집합 X와 집합 Y의 원소들의 관계를 의미해요. 지금 보면 집합 X에서 집합 Y로, 원소들이 짝지어져 있죠? 이런 관계들을 모두 대응이라고 부르는 겁니다. 2. 함수의 정의 그렇다면 함수는 무엇인가? 대응 중에서 조건을 만족시키는 녀석이 함수입니다. X의 원소는 Y의 원소 정확히 하나와 반드시 대응 관계를 가져야 한다! (Y의 대응 관계는 아무 상관이 없습니다.) 이 그림을 다시 보자면 (1)번은 X의 원소 3이 대응 관계가 없으므로 함수가 아니고 (2)번은 X의 원소 2가 Y의 b, c와 2번 대응하므로 함수가 아니고 (3)번은 X의 원소 1, 2, 3이 각각 Y 하나씩과 대응하므로 함수입니다. 헷

정의역, 공역, 치역

# 공통수학 2 # 3. 함수와 그래프 # 1. 함수 # 2 저번시간에는 함수가 무엇인지를 알아봤는데요. 이제는 본격적으로 함수에 대해 알아보겠습니다. 1. 정의역과 공역, 치역 함수 f : X → Y 에서 X를 정의역, Y를 공역이라고 부릅니다. 이들은 모두 집합으로 표현해야 하는데요. 여기서 정의역은 X = { 1, 2, 3 } , 공역은 Y = { a, b, c } 입니다. 공역 중에서 X에 대응하는 Y의 원소들을 치역이라고 부릅니다. 공역 a, b는 X에 대응하고, 공역 c는 X에 대응하지 않죠? 그래서 위 예시에서는 치역은 Y = { a , b } 입니다. 이 예시 보겠습니다. 정의역은 X = { 1, 2, 3, 4 } 공역은 Y = { a, b, c, d } 치역은 Y = { a, b, c } 이렇게 하면 되는겁니다. 여담으로 하나만 말하자면, 보시다시피 치역은 공역 안에 들어있는 구조입니다. 그래서 그림으로 표현하면 이렇게 돼요. 2. 함수에서 정의역 공역, 치역 구하기

드모르간의 법칙을 그림으로 이해하기!

# 공통수학 2 # 2. 집합과 명제 # 1. 집합 # 8 드디어 집합의 연산의 마지막 시간입니다. 저번에는 합집합, 교집합의 성질을 주로 다뤘다면 오늘은 여집합의 성질입니다. 마찬가지로 그림을 그려서 살펴볼 예정입니다. 1. 드모르간의 법칙 드모르간의 법칙이란 합집합, 교집합에 전체 여집합을 취하는 성질입니다. ( A ∪ B )c = Ac ∩ Bc ( A ∩ B )c = Ac ∪ Bc 말로 하면 이게 뭔 개소린가 싶으니 바로 공식 보고 그림으로 가시죠. ( A ∪ B )c = Ac ∩ Bc A 합집합 B에 전체 여집합을 때리면 A 여집합과 B 여집합의 교집합이 나온다! 전체 여집합이 각각 여집합으로 바뀌면서 합집합 → 교집합으로 바뀌는거죠. 바로 그림 그려서 이해해보죠. 우선 ( A ∪ B )c 는 A ∪ B 를 제외한 나머지 부분이니 아래와 같고 Ac를 빨간색, Bc 를 파란색으로 색칠하고 겹치는 부분을 찾으면 Ac ∩ Bc 를 확인할 수 있겠죠? 이렇게 ( A ∪ B )c 와

명제 VS 조건(진리집합) 비교하기

# 공통수학 2 # 2. 집합과 명제 # 2. 명제 # 1 이제 <집합> 단원이 끝나고 <명제> 단원으로 넘어왔습니다. 공통수학 2도 벌써 절반이나 지나왔군요. 오늘은 명제와 조건에 대해 알아볼건데요. 앞으로 계속 등장하는 개념이므로 명확하게 구분할 수 있어야 합니다. 1. 명제 명제는 명확하게 참과 거짓을 구분할 수 있는 문장이나 식을 의미합니다. 예를 들어, 1 + 1 = 2 이다! 라는 식은 누가 봐도 참이므로 참인 명제이고 3 × 2 = 11이다! 라는 식은 누가 봐도 거짓이므로 거짓 명제입니다. 하지만, 아래와 같은 문장/식은 명제가 아니죠. 1은 작은 숫자이다! → '작은' 의 기준이 명확하지 않기 때문에 명제가 아님. 현우쌤은 잘생겼다! → '잘생겼다'는 표현이 명확하지 않기 때문에 명제가 아님. x + 1 = 3 → x값에 따라 식의 참/거짓이 달라지기 때문에 명제가 아님. 요약하자면, 명제는 명확하게 참/거짓을 판단할 수 있어야 해요. 2. 조건 조건는 변수의 값에

명제와 조건의 부정

# 공통수학 2 # 2. 집합과 명제 # 2. 명제 # 2 저번시간에는 명제와 조건에 대해 알아봤는데요. 오늘은 이들을 부정하면 어떻게 되는지를 알아보겠습니다. 1. 명제의 부정 명제는 명확하게 참/거짓을 구분할 수 있는 문장이나 식이라고 공부했어요. 그러다보니 명제는 항상 ~이다, ~가 아니다 이런 식으로 끝나게 되는데요. 결론만 말씀드리자면, 부정을 하기 위해서는 이다 → 아니다 로, 아니다 → 이다 로 바꿔주시기만 하면 됩니다. 1과 2는 같다! 를 부정하면 1과 2는 같지 않다! 가 되고 5는 12의 약수가 아니다! 를 부정하면 5는 12의 약수이다! 가 되는거죠. 이걸 기호로는 물결표 ~를 써서 표현합니다. 예를 들어, 명제 p : 3은 2보다 크다! 의 부정은 ~ p : 3은 2보다 크지 않다! 이렇게, ~을 달아주셔야 하는 겁니다. 하나만 더 해볼까요? 명제 q : 사람은 죽는다 명제 ~ q : 사람은 죽지 않는다 굉장히 쉽죠? 하나 주의해주셔야 할 점은 선붇리 표현을

명제 p → q : p이면 반드시 q이다

# 공통수학 2 # 2. 집합과 명제 # 2. 명제 # 3 지난 두 시간동안 명제와 조건에 대해서 알아봤었죠? 오늘부터는 두 조건이 합쳐져셔 하나의 명제를 만드는 경우를 알아볼겁니다. 1. 명제 p → q 명제 p → q 는 p이면 q이다 라는 뜻인데요. p가 참이라면 q 역시 반드시 참이다! 라는 의미를 가집니다. 자, 당연히 무슨 말인지 와닿지가 않죠? 그래서 예시를 보려고 합니다. "가 사람이다" → "가 언젠가 죽는다." 말로 풀어서 쓰면 "가 사람이면 는 반드시 언젠가 죽는다!" 이렇게 됩니다. 우선, "가 사람이다", "가 언젠가 죽는다" 라는 문장은 둘 다 조건입니다. 에 따라서 사람인지 아닌지. 죽는지 아닌지 결정되기 때문이죠. 만약 "가 사람이다" 라는 조건이 참이라면? "가 언젠가 죽는다" 라는 조건도 반드시 참이겠죠. 가 사람이긴 한데 죽지 않을 수는 없는 거잖아요? 따라서, "가 사람이면 는 언젠가 죽는다!" 는 명제입니다. 누가 봐도 참인 명제가 되는거죠. 이

명제 p → q 와 진리집합의 포함관계

# 공통수학 2 # 2. 집합과 명제 # 2. 명제 # 4 지난 시간에 명제 p → q 에 대해서 알아봤죠? 오늘은 이 명제에서 두 조건 p와 q의 진리집합의 관계를 알아볼 겁니다. 저번 시간 내용을 잘 이해했어야 오늘 내용이 쉬울거예요. 1. 명제 p → q와 진리집합의 포함관계 자, 시작하기에 앞서 지난 시간에 공부한 내용을 떠올려야 해요. 두 조건 p와 q에 대하여 명제 p → q는 p가 참이면 q도 반드시 참이다! 라는 뜻이었어요. 조건 p와 q는 "조건"이므로 진리집합이라는게 존재하겠죠? 조건 p, q를 참으로 만드는 진리집합을 각각 P, Q라고 할게요. 조건 p가 참이면 q 역시 반드시 참이므로 진리집합 P에 포함되면 Q에도 반드시 포함되어야 해요. 집합의 포함관계가 이렇게 되어야 진리집합 P에 포함되면, 즉 조건 p가 참이면 진리집합 Q에 반드시 포함, 즉 조건 q도 참이겠죠. 따라서, p → q. p가 참이면 q도 반드시 참이기 위해서는 P의 진리집합이 Q 안에 포함된

삼단논법 ; p → q, q → r

# 공통수학 2 # 2. 집합과 명제 # 2. 명제 # 5 지난 두 시간동안 명제 p → q 에 대해서 알아봤어요. 오늘은 세 조건, p, q, r 사이의 관계에 대해서 알아보려고 합니다. 1. 삼단논법 p → q. p이 참이면 반드시 q도 참이다. q → r. q가 참이면 반드시 r도 이다. 이 두 명제가 참이면 p → r 도 참이다! 이게 삼단논법입니다. 어떻게 생각하면 당연한 이야기입니다. 집합 그려서 생각하면 간단하게 증명이 가능하죠. 우선, p → q가 참이라고 헀으니 진리집합의 포함관계는 이렇게. 그리고 q → r 역시 참이라고 했으니 진리집합의 포함관계에서 R이 Q를 포함시켜야 하므로 결론적으로 P ⊂ R 이므로 p → r 역시 참인 명제이므로 알 수 있는겁니다. 그래서 우리가 실제로 만나게 될 삼단논법은 이렇게 집합으로 표현하는게 굉장히 많을겁니다. 현우정은 사람이다 - 사람은 죽는다 - 따라서 현우정은 죽는다 이 삼단논법도 집합으로 분석할 수 있어요. 사람 안에 현우

&quot;모든&quot;, &quot;어떤&quot;을 포함한 명제

# 공통수학 2 # 2. 집합과 명제 # 2. 명제 # 6 오늘은 "모든"과 "어떤"이 포함된 명제에 대해 알아보려고 합니다. 1. "모든"과 "어떤" 구분하기 "모든"이라는 표현은 단 하나의 반례라도 있으면 거짓이라는 뜻이고 "어떤"이라는 표현은 단 하나의 사례라도 있으면 참이라는 뜻입니다. 예시를 들어볼게요. "모든 한국인은 키가 180cm 이상이다." 이 명제가 거짓임을 보이기 위해서는 반례를 찾아야 합니다. 한국인인데 키가 180cm 이하인 사람을 하나라도 찾으면 이 명제는 거짓이 되는거죠. (일단 나부터 반례임) 이 명제가 참임을 보이기 위해서는 반례가 없음을 증명해내야 합니다. "어떤 한국인은 키가 180cm 이상이다." 이 명제가 참임을 보이기 위해서는 사례를 찾아야 합니다. 한국인인데 키가 180cm 이상인 사람을 하나라도 찾으면 이 명제는 참이 되는거죠. 이 명제가 거짓임을 보이기 위해서는 사례가 없음을 증명해내야 합니다. 2. "모든"과 "어떤" 의 부정 어떤 명제

명제의 역과 대우

# 공통수학 2 # 2. 집합과 명제 # 2. 명제 # 7 지금까지 p → q 꼴의 명제를 공부했죠? 오늘은 이 내용의 연장선상으로 갑니다. 화살표 방향을 바꾸면 어떻게 될 것인가? 1. 명제 p → q 의 역 우선, 명제 p → q 를 말로 풀어서 설명해보죠. p이면 q이다, 다시 말하면 모든 p에 대하여 q이다! 이런 뜻입니다. 역은 말 그대로 p와 q의 자리를 바꿔주기만 하면 됩니다. q이면 p이다, 다시 말해 모든 q에 대하여 p이다! 이렇게 되는거죠. 명제 p → q 의 역 : 명제 q → p 그렇다면, 원래 명제가 참이라면 그 역도 반드시 참일까요? 아닙니다! 명제 p → q 의 진리집합은 이렇게 생겼죠. 그래야 모든 p가 다 q 안에 들어있기 때문에 모든 p에 대하여 q라고 확신할 수 있는거죠. 하지만 이 역인 q → p 를 보면? q이긴 하지만 p는 아닌 부분이 분명히 존재하죠? 그래서 모든 q에 대하여 p라고 확신할 수 없고, 따라서 q → p는 항상 참이라고 볼 수

&quot;a^x 미분하면 a^x · lna&quot; 증명하기

# 미적분 # 지수/로그함수 # 지수함수의 미분 ax 을 미분하면 ax · lna 가 나온다! 교과서에 나와있는 너무나 당연한 내용인데요. 오늘은 왜 그런지를 한번 증명해보려고 합니다. 우선, 수2에서 공부한 미분계수의 정의를 떠올려볼게요. 이게 미분계수의 정의였죠. 이제 여기에다가 f(x) = ax 를 넣어봅시다. 이렇게 하면 좌변과 우변이 모두 ax 를 미분한 식이 되는겁니다. 이제 우변의 분자를 ax로 묶어주면 이렇게까지 정리됩니다. 우리가 지수의 극한에서 이런 공식을 배웠어요. 이걸 위에 정리한 식에다가 넣어주면 이렇게 정리되어 나오게 됩니다. 따라서, y=ax 를 미분하면 y=ax · lna 가 나오게 되는거죠. 증명 끝.

합성함수의 미분 증명하기

# 미적분 # 여러가지 미분 # 합성함수의 미분 합성함수 f(g(x))를 미분하면 f'(g(x)) × g'(x) 가 나온다! 교과서에 나와있는 너무나 당연한 내용인데요. 오늘은 왜 그런지를 한번 증명해보려고 합니다. 우선, 수2에서 공부한 미분계수의 정의를 떠올려볼게요. 이게 미분계수의 정의였죠. 이제 여기 f(x) 대신 f(g(x))를 넣어봅시다. 이렇게 하면 좌변과 우변이 모두 f(g(x))를 미분한 식이 되는겁니다. 복잡해보이는 우변을 미분계수 꼴로 바꿔주고 싶어요. 하나 생각해주셔야 하는 것은, 원래 미분계수의 정의에서 분모 t는 분자 f( ) 에 들어가있는 x+t와 x를 빼서 나온 값이예요. (x+t) - (x) = t 이렇게 말이죠. 따라서, 얘를 미분계수 꼴로 만들어주기 위해서는 분모를 분자 f( ) 에 들어가있는 g(x+t)와 g(x)을 빼서 만들어줘야 해요. g(x+t) - g(x) 얘가 분모가 되어야 하는겁니다. 그래서 주어진 식의 분모와 분자에 g(x+t) - g

벌써 4년차인 &lt;이과감수성&gt;

허허 이 블로그가 벌써 4년째라는게 믿기지가 않습니다. (그만큼 늙어버린 나) 정말 오랜만에 인사드리는 것 같습니다. 안녕하세요, 이과감수성입니다. 다시 한번... 제가 고등학생 때 복습용으로 시작했던 블로그가 이렇게까지 왔다는게 정말 너무나 신기합니다. 2021.03.09 ~ 2024.07.25 <이과감수성>의 블로그 이웃 994명 <이과감수성>의 블로그 방문 1,318,286회 작년 초 100만을 넘어, 130만까지 왔다는게 뿌듯하면서도 한편으로는 그만큼 내용에 오류가 없이 써야겠다는 책임감이 무거워지는 것 같습니다. 댓글, 쪽지로 응원해주시는 모든 분들, 아니면 그냥 읽기만 해주시는 분들.. 모두 감사드리고 힘든 공부 하시는데 조금이나마 보탬이 되었다면 전 너무나 만족합니다. 오늘은 제 근황과 앞으로 블로그가 나아갈 방향에 대해 이야기해보려고 합니다. 우선 저. 반수는 안했고 성균관대학교 사범대학 수학교육과 2학년에 재학 중입니다. 뭐 대학생이면 매일 술먹고 놀겠다! 라고 생각

집합과 원소의 관계 ∈

# 공통수학 2 # 2. 집합과 명제 # 1. 집합 # 1 이 포스팅을 시작으로 수학(하) 내용을 시작하려고 합니다. 수학(하)의 첫 단원, 집합을 본격적으로 공부하기에 앞서, 집합이 무엇인지를 먼저 알아봐야겠죠? 1. 집합이란 무엇일까? 옥상에서 집합한다! 이런 얘기 한번씩은 들어보셨을 텐데요. 사람들이 모이는걸 집합한다고 표현해요. 수학에서의 집합도 비슷합니다. 무언가를 모아 놓은 모임을 집합이라고 불러요. 하지만, 조건이 하나 있는데요. 이 모임에 포함되는 것과 포함되지 않는 것을 명확히 구분할 수 있어야 해요. 예를 들어, "예쁜 사람들의 모임"은 "예쁘다"의 기준이 명확하지 않으므로 집합이 아니지만 "눈이 3cm 이상인 사람들의 모임"은 "3cm" 라는 명확한 기준이 있으므로 집합입니다. 그리고, 집합은 표기를 편하게 하기 위해서 이름을 붙여주는게 일반적입니다. A = "눈이 3cm 이상인 사람들의 모임" 이렇게 써두면, 눈이 3cm 이상인 사람들은 집합 A에 포함된다고 생

집합을 표현하는 세 가지 방법: 원소나열법, 조건제시법, 벤 다이어그램)

# 공통수학 2 # 2. 집합과 명제 # 1. 집합 # 2 저번시간에 집합과 원소가 무엇인지를 공부했어요. 오늘은 집합을 어떻게 표현하는지, 세 가지 방법을 배워보려고 해요. 오늘 제가 사용할 예시는 2, 4, 6, 8, 10 을 원소로 가지는 집합이예요. 1. 원소나열법 첫 번째 방법은 원소나열법입니다. 가장 기본적인 방법이고, 굉장히 쉬워서 자주 쓰게 되실 방법이죠. 모든 집합은 중괄호 { } 로 표현하는데요. 중괄호 사이에 원소들을 다 써주기만 하면 됩니다. 2, 4, 6, 8, 10을 원소로 가지는 집합은 { 2, 4, 6, 8, 10 } 이렇게요. 2. 조건제시법 두 번째 방법은 조건제시법입니다. 이 방법은 한눈에 보이지가 않아서, 문제에서 만나면 원소나열법으로 바로 바꿔주시게 될겁니다. 조건제시법은 아래와 같이 쓰는데요. 작대기Ⅰ의 오른쪽에는 조건이 들어가요. x가 10 이하의 짝수라고 했으니, 2, 4, 6, 8, 10 이렇게 되겠군요. 작대기Ⅰ의 왼쪽에는 집합에 포함될

2025 Epsilon 모의고사 1차 배포

안녕하세요, 성균관대학교 수학교육과 문제연구학회 엡실론(Epsilon) 입니다. 첨부파일 2025 epsilon 1회 모의고사 문제지.pdf 파일 다운로드 첨부파일 2025 epsilon 1회 모의고사 빠른정답.pdf 파일 다운로드 첨부파일 2025 epsilon 1회 모의고사 해설지.pdf 파일 다운로드 '엡실론'은 수학에서 '아주 작은 양수'를 의미합니다! 저희는 2014년부터 공교육과 사교육 간의 격차를 '엡실론'만큼 줄이는 것을 목표로 전국의 수험생들을 위해 양질의 수학 모의고사를 매년 무료로 제작 및 배포하고 있습니다. 미적분, 기하, 확률과통계 세 과목 모두 제작되었으며, 저번달에 있었던 6월 모의고사를 적극 반영하여 실제 트렌드에 잘 맞도록 만들었습니다. 열심히 문제를 풀어주신 분들께는 후기 이벤트도 준비되어 있습니다! 아래에 링크에 들어가셔서 진솔한 후기를 남겨주신 분들께 추첨을 통하여 총 10분을 선정하여 스타벅스 아이스 아메리카노 기프티콘을 드립니다! 많은 참여 부

원소의 개수 n(A)와 유한집합, 무한집합, 공집합 ∅

# 공통수학 2 # 2. 집합과 명제 # 1. 집합 # 3 저번 시간에는 집합을 표현하는 세 가지 방법을 알아봤어요. 오늘은 원소의 개수에 따른 집합의 분류와 원소의 개수를 알아보려고 합니다. 어렵지는 않지만, 시험에서 자주 나오는 낚시 포인트이니 조심해서 봐야해요. 1. 유한집합과 원소의 개수 n(A) 이 집합이 { 2, 4, 6, 8, 10 } 라는 사실은 이제 익숙하죠? 이 집합의 원소의 개수는 5개라는 사실을 쉽게 알 수 있어요. 원소의 개수가 5개라고 셀 수 있는 이 집합은 유한집합입니다. 유한집합 A에 대해 이 집합의 원소의 개수를 n(A) 라고 기호로 표현합니다. 위 집합은 A = { 2, 4, 6, 8, 10 } 에 대하여 n(A) = 5 라고 쓸 수 있는거죠. 2. 무한집합 원소의 개수를 셀 수 있는 집합이 유한집합이었다면 원소의 개수가 무수히 많아서 셀 수 없는 집합은 무한집합입니다. 대표적으로, 자연수 집합 { xⅠx는 자연수 } 이 있죠. 자연수는 무수히 많기

부분집합과 진부분집합 ⊂

# 공통수학 2 # 2. 집합과 명제 # 1. 집합 # 4 지금까지는 집합과 원소 사이의 관계에 집중해서 공부했다면 이제 두 집합 사이의 관계를 본격적으로 공부할거예요. 본격적인 집합 공부의 시작이라고 볼 수 있죠. 1. 부분집합 오늘도 예시로 A = { 2, 4, 6, 8, 10 } 를 가지고 이해해보겠습니다. B = { 2, 4, 8 } 이라는 집합은 A의 부분집합입니다. 왜냐하면, B의 원소 2, 4, 8 이 모두 A에 포함되기 때문이죠. 이처럼, B의 모든 원소가 A에 포함될 때, B를 A의 부분집합이라고 부르고 B⊂ A 라는 기호로 씁니다. C = { 2, 4, 7 } 이라는 집합은 A의 부분집합이 아닙니다. C의 원소 2, 4는 A에 포함되지만 7이 포함되지 않기 때문이죠. 이처럼, C의 모든 원소가 A에 포함되지 않을 때, C는 A의 부분집합이 아니고 C ⊄ A 라는 기호로 씁니다. 벤 다이어그램으로 이해하면 조금 더 쉬울 수 있습니다. 이 그림에서 집합 B는 집합 A

부분집합의 개수 구하기 (곱의 법칙으로 더 빠르게)

# 공통수학 2 # 2. 집합과 명제 # 1. 집합 # 5 저번시간에 부분집합이 무엇인지 알아봤죠? 오늘은 그 부분집합의 개수를 어떻게 세는지 알아보도록 할겁니다. 1. 부분집합의 개수 우선, 원소가 1개인 집합을 보죠. 집합 { a } 의 부분집합의 개수를 구해볼까요? 공집합은 모든 집합의 부분집합이니 ∅, 그리고 { a }. 이렇게 2갭니다. 다음은 원소가 2개인 집합. { a, b } 의 부분집합. 공집합: ∅ 원소가 1개인 부분집합: { a }, { b } 원소가 2개인 부분집합: { a, b } 총 4개네요. 다음은 원소가 3개인 집합. { a, b, c } 의 부분집합. 공집합: ∅ 원소가 1개인 부분집합: { a }, { b }, { c } 원소가 2개인 부분집합: { a, b }, { a, c }, { b, c } 원소가 3개인 부분집합: { a, b, c } 총 8개구요. 다음은 원소가 4개인 집합. { a, b, c, d } 의 부분집합. 공집합: ∅ 원소가 1개인

집합의 연산을 그림으로 이해하기! (합집합, 교집합, 차집합, 여집합)

# 공통수학 2 # 2. 집합과 명제 # 1. 집합 # 6 지금까지는 집합과 원소의 관계, 집합과 집합의 관계를 공부했다면 이제 본격적으로 집합의 연산으로 들어갑니다. 진짜 수학 느낌이 나기 시작할거예요. 오늘은 수식보다 벤 다이어그램으로 보여드릴거라 글보다 그림 위주의 포스팅이 될텐데요. 집합 A, 집합 B. 그리고 전체집합이라고 불리는 U 집합이 등장해요. 1. 합집합 합집합 기호: A ∪ B 두 집합 중 하나에라도 포함되는 원소들을 모아놓은 집합입니다. 벤 다이어그램에서, 한 가지 색이라도 칠해져 있으면 합집합이죠. 2. 교집합 교집합 기호: A ∩ B 두 집합 둘 다에 포함되는 원소들을 모아놓은 집합입니다. 벤 다이어그램에서, 두 가지 색이 모두 칠해져 있으면 교집합이죠. 이 때, 서로 겹치는 부분이 없으면, 즉, 교집합이 공집합인 두 집합을 서로소라고 부릅니다. 이런 경우, 두 집합 A, B가 서로소입니다. 3. 차집합 교집합 기호: A - B 집합 A에는 포함되지만, 집합

집합의 연산법칙 그림으로 이해하기! (교환법칙, 결합법칙, 분배법칙)

# 공통수학 2 # 2. 집합과 명제 # 1. 집합 # 7 저번시간에 집합의 연산을 알아봤어요. 합집합, 교집합, 차집합, 여집합. 다들 기억하실거라고 믿어요. 오늘은 이 집합의 기본 연산들이 여러 개가 섞여있을 때 성립하는 몇 가지 연산 법칙들을 공부해볼거예요. 1. 교환법칙 교환법칙을 숫자로 생각하면 이런겁니다. 1 + 2 랑 2 + 1 이랑 같은거죠. 앞 뒤 순서를 바꿔도 똑같은거예요. 집합에서도 마찬가지입니다. 우선, 합집합에서 A ∪ B = B ∪ A 가 성립하죠. A 합집합 B, B 합집합 A 모두 아래 그림과 똑같기 때문입니다. 비슷하게, 교집합에서도 A ∩ B = B ∩ A 가 성립합니다. A 교집합 B, B 교집합 A 모두 아래 그림과 똑같기 때문이죠. 중요한건, 차집합에서는 A - B = B - A 가 성립하지 않습니다. 그림을 살짝 그려보면 이 둘이 완전히 다른걸 알 수 있어요. 결론적으로, 교환법칙은 합집합, 교집합에서는 성립하지만 차집합에서는 성립하지 않는다는

&quot;sec 미분하면 sec·tan&quot; 증명하기

# 미적분 # 삼각함수 # 삼각함수의 미분 sec를 미분하면 sec·tan가 나온다! 교과서에 나와있는 내용인데요. 오늘은 왜 그런지를 한번 증명해보려고 합니다. 우선, sec의 정의를 떠올려볼게요. 오늘 증명에서는 sec x 를 이렇게 바꾸고 미분할 거예요. 그리고, 앞에서 배웠던 몫의 미분법. 분수 형태의 함수를 미분하는 방법을 떠올려보죠. 이 몫의 미분법 공식에다가 1/cosx 를 넣어서 계산해주는겁니다. 이렇게 하면 좌변과 우변이 모두 sec x 를 미분한 식이 되겠죠. 여기서 우리가 삼각함수의 미분에서 이런 공식을 배웠어요. 위에 식에다가 넣어주면 이렇게 정리해주고 이제 삼각함수의 정의 사용. sec = 1 / cos 이고, tan = sin / cos 이므로 이렇게까지 정리할 수 있는겁니다. 결국 sec x 를 미분하면 sec x · tan x 가 나옴을 증명할 수 있어요. 이렇게 sec을 미분하면 왜 sec · tan 가 되는지를 증명해봤습니다.

&quot;csc 미분하면 - csc · cot&quot; 증명하기

# 미적분 # 삼각함수 # 삼각함수의 미분 csc 를 미분하면 - csc · cot 가 나온다! 교과서에 나와있는 내용인데요. 오늘은 왜 그런지를 한번 증명해보려고 합니다. 우선, csc 의 정의를 떠올려볼게요. 오늘 증명에서는 csc x 를 이렇게 바꾸고 미분할 거예요. 그리고, 앞에서 배웠던 몫의 미분법. 분수 형태의 함수를 미분하는 방법을 떠올려보죠. 이 몫의 미분법 공식에다가 1 / sin x 를 넣어서 계산해주는겁니다. 이렇게 하면 좌변과 우변이 모두 cot x 를 미분한 식이 되겠죠. 이걸 정리해주면 돼요. 우리가 삼각함수의 미분에서 이런 공식을 배웠어요. 위에 식에다가 넣어주면 이렇게 정리해주고 이제 삼각함수의 정의 사용. csc = 1 / sin 이고, cot = tan = cos / sin 이므로 이렇게까지 정리할 수 있는겁니다. 결국 csc x 를 미분하면 - csc x · cot x 가 나옴을 증명할 수 있어요. 이렇게 csc 를 미분하면 왜 - csc · cot

&quot;cot 미분하면 - csc^2&quot; 증명하기

# 미적분 # 삼각함수 # 삼각함수의 미분 cot 를 미분하면 - csc2 가 나온다! 교과서에 나와있는 내용인데요. 오늘은 왜 그런지를 한번 증명해보려고 합니다. 우선, cot 의 정의를 떠올려볼게요. 오늘 증명에서는 cot x 를 이렇게 바꾸고 미분할 거예요. 그리고, 앞에서 배웠던 몫의 미분법. 분수 형태의 함수를 미분하는 방법을 떠올려보죠. 이 몫의 미분법 공식에다가 cos x / sin x 를 넣어서 계산해주는겁니다. 이렇게 하면 좌변과 우변이 모두 cot x 를 미분한 식이 되겠죠. 여기서 분자를 정리해주면 돼요. 우리가 삼각함수의 미분에서 이런 공식을 배웠어요. 위에 식에다가 넣어주면 이렇게 정리해주면 당연히 sin2x + sin2x = 1이고, csc x 의 정의에 따라 정리해주면 이렇게까지 정리할 수 있는겁니다. 결국 cot x 를 미분하면 - csc2x 가 나옴을 증명할 수 있어요. 이렇게 cot 를 미분하면 왜 - cot2 가 되는지를 증명해봤습니다.

삼각함수의 미분 공식 총정리 (암기팁, 증명 포함)

# 미적분 # 삼각함수 # 삼각함수의 미분 15 교육과정 <미적분>, 22 교육과정 <미적분 II> 삼각함수의 미분 공식 총정리입니다. 강 미분 공식마다 증명 링크를 걸어두었습니다. 그냥 외우시기보다, 두개씩 짝지어서 외워주시면 편하고 c로 시작하는건 미분하면 -가 붙고, c가 아닌 알파벳으로 시작하는건 미분하면 +라고 생각해주시면 편합니다. y = sin x 미분하면 → y = cos x y = cos x 미분하면 → y = - sin x 자기들끼리 돌고 도는데, sin 은 s로 시작하니까 미분하면 + cos 으로, cos 은 c로 시작하니까 미분하면 - sin 으로 나온다고 생각해주시면 됩니다. "sin 미분하면 cos" 증명하기 # 미적분 # 삼각함수 # 삼각함수의 미분 sin을 미분하면 cos이 나온다! 교과서에 나와있는 너무나 당연한 ... blog.naver.com "cos 미분하면 - sin" 증명하기 # 미적분 # 삼각함수 # 삼각함수의 미분 cos을 미분하면 - si

자연로그의 밑 e의 뜻과 정의

# 미적분 # 지수/로그함수 # 자연로그 자연로그의 밑 e. 원주율 π와 비슷하게, 무리수이다 보니 기호로 간단하게 씁니다. 고등 수준에서 이 상수 e는 계산을 편리하게 하기 위한 수단이라고 생각하시면 됩니다. 지수함수 y = 2x 는 미분하면 계산이 조금 길어지지만 y = ex = (2.7...)^x 는 미분하면 계산이 간단합니다. 그래서 결국 e는 계산이 가장 간단한 수 정도라고만 알아두시면 돼요. 그렇다면 이 e는 대체 무엇인가? 한번 정의를 살펴보도록 하겠습니다. e를 이해하기 위해서 아래 계산들을 한번 해볼게요. 이런식으로, 밑은 1로 가까워지도록 설정하고 이에 따라서 지수는 쭉 커지게 만드는겁니다. 이 짓을 무한히 반복합니다. 밑은 1보다 아~~~주 살짝 큰 값이 되고 지수는 조오올라 큰 값이 되겠죠. 이런식으로 나오는 겁니다. 우리는 이 값을 e라고 불러요. 살짝 다르게 표현해보면, 이렇게도 표현할 수 있습니다. 결국, 말로 풀어서 설명해보자면 이렇게 생각해주면 된다고

로그의 극한 공식과 그 증명

# 미적분 # 지수/로그함수 # 지수함수의 극한 이 로그의 극한 공식은 교과서에 나와있는 너무나 당연한 내용인데요. 오늘은 왜 그런지를 한번 증명해보려고 합니다. <자연로그의 극한 공식 증명> 이 공식을 증명하기는 굉장히 간단합니다. 수1에서 배웠던 로그의 성질을 활용해주면 간단하게 나오거든요. a log x = log xa 라고 공부했었죠? 이렇게 바꿔주는게 가능합니다. 어라? 어디서 보던 형태 아닌가요? 자연로그의 밑의 정의를 이렇게 공부했었죠? 따라서, 주어진 극한은 이렇게 정리가 됩니다. 자연로그의 성질에 따라 ln e = 1 로 바꿔주면 끝. <그 외 로그의 극한 공식 증명> 위의 방식과 마찬가지로, 일반적인 로그의 극한도 자연로그의 밑 e를 활용해서 증명해줘야만 해요. 위에서 한거랑 똑같아요. 1/x를 지수로 올려다가 e의 정의 사용하기. 그리고, 수1에서 배운 로그의 성질에 따라 이렇게 변환할 수 있죠. 밑이 e인 로그는 logea = ln a 이므로 이렇게까지 정리하면

지수의 극한 공식과 그 증명

# 미적분 # 지수/로그함수 # 지수함수의 극한 이 지수의 극한 공식은 교과서에 나와있는 너무나 당연한 내용인데요. 오늘은 왜 그런지를 한번 증명해보려고 합니다. 지수의 극한의 증명은 로그의 극한을 활용해야 하기 때문에 이 포스팅을 먼저 보고 오시면 도움이 되겠습니다. 로그의 극한 공식과 그 증명 # 미적분 # 지수/로그함수 # 지수함수의 극한 이 로그의 극한 공식은 교과서에 나와있는 너무나 당연한 내... blog.naver.com <밑이 e인 지수의 극한 공식 증명> 이걸 직접적으로 증명하는 방법은 없구요. (로피탈 말고...) 분자인 ex - 1 = t 로 치환해서 정리해야만 합니다. 그럼 x → 0 으로 가는 극한이 t → 0 으로 가는 극한으로 바뀌고, ex = t + 1 에서 x = ln(t+1) 으로 정리할 수 있습니다. 이제 x에 대해 주어진 극한을 t로 갈아끼겠습니다. 여기서 우리가 공부했던 로그의 극한 공식 등장! 얘를 역수 취해주면 위에서 치환한 형태가 나오죠?

&quot;ln x 미분하면 1/x&quot; 증명하기

# 미적분 # 지수/로그함수 # 로그함수의 미분 ln x 를 미분하면 1/x 가 나온다! 교과서에 나와있는 너무나 당연한 내용인데요. 오늘은 왜 그런지를 한번 증명해보려고 합니다. 우선, 수2에서 공부한 미분계수의 정의를 떠올려볼게요. 이게 미분계수의 정의였죠. 이제 여기에다가 f(x) = ln x 를 넣어봅시다. 이렇게 하면 좌변과 우변이 모두 ln x 를 미분한 식이 되는겁니다. 로그의 성질에 따라 분자를 정리해주면 이렇게까지 정리됩니다. 우리가 로그의 극한에서 이런 공식을 배웠어요. 이제 위에 있는 식을 이 꼴로 바꿔줘야 하는데요. 분자는 1 + t/x 꼴이니, 분모도 같은 t/x 꼴로 만들어줘야 해요. 그래서 분모를 살짝 조작해주면 이렇게 되겠죠. 이 식을 정리해주면 이렇게 정리되어 나오게 됩니다. 따라서, y = ln x 를 미분하면 y = 1 / x 이 나오게 되는거죠. 증명 끝.

&quot;log a x 미분하면 1/x·lna&quot; 증명하기

# 미적분 # 지수/로그함수 # 로그함수의 미분 logax 를 미분하면 1/x·lna 가 나온다! 교과서에 나와있는 너무나 당연한 내용인데요. 오늘은 왜 그런지를 한번 증명해보려고 합니다. 우선, 로그의 밑변환공식을 떠올려볼게요. 이렇게 분수 꼴로 바꾸고, 밑에는 아무거나 들어가도 상관 없었어요. 우리가 편하게 미분할 수 있도록 밑에 e를 넣어 자연로그로 바꿔줄게요. 지금부터 이걸 미분할건데요, 몫의 미분법을 떠올리셨다면 함정에 빠진겁니다. 여기서 a는 상수이기 때문에, ln a 역시 상수입니다. 따라서, 그냥 ln x 를 미분한 후 1 / ln a 를 곱하면 미분 끝이예요. y = ln x 를 미분하면 1 / x 가 된다는 사실은 저번에 증명했어요. (링크) 따라서, y = logax 를 미분하면 1 / x · ln a 이 나옵니다. 증명 끝. 물론 미분계수의 정의를 써서 노가다로 증명할 수도 있답니다. 아래 링크로 가시면 확인할 수 있어요.

&quot;log a x 미분하면 1/x·lna&quot; 증명하기 2

# 미적분 # 지수/로그함수 # 로그함수의 미분 logax 를 미분하면 1/x·lna 가 나온다! 교과서에 나와있는 너무나 당연한 내용인데요. 오늘은 왜 그런지를 한번 증명해보려고 합니다. 우선, 수2에서 공부한 미분계수의 정의를 떠올려볼게요. 이게 미분계수의 정의였죠. 이제 여기에다가 f(x) = logax 를 넣어봅시다. 이렇게 하면 좌변과 우변이 모두 loxax 를 미분한 식이 되는겁니다. 로그의 성질에 따라 분자를 정리해주면 이렇게까지 정리됩니다. 우리가 로그의 극한에서 이런 공식을 배웠어요. 이제 위에 있는 식을 이 꼴로 바꿔줘야 하는데요. 분자는 1 + t/x 꼴이니, 분모도 같은 t/x 꼴로 만들어줘야 해요. 그래서 분모를 살짝 조작해주면 이렇게 되겠죠. 이 식을 정리해주면 이렇게 정리되어 나오게 됩니다. 따라서, y = logax 를 미분하면 y = 1 / x lna 가 나오게 되는거죠. 증명 끝.

&quot;e^x 미분하면 e^x&quot; 증명하기

# 미적분 # 지수/로그함수 # 지수함수의 미분 ex 을 미분하면 ex이 나온다! 교과서에 나와있는 너무나 당연한 내용인데요. 오늘은 왜 그런지를 한번 증명해보려고 합니다. 우선, 수2에서 공부한 미분계수의 정의를 떠올려볼게요. 이게 미분계수의 정의였죠. 이제 여기에다가 f(x) = ex 를 넣어봅시다. 이렇게 하면 좌변과 우변이 모두 ex 를 미분한 식이 되는겁니다. 이제 우변의 분자를 ex로 묶어주면 이렇게까지 정리됩니다. 우리가 지수의 극한에서 이런 공식을 배웠어요. 이걸 위에 정리한 식에다가 넣어주면 이렇게 정리되어 나오게 됩니다. 따라서, y=ex를 미분하면 y=ex 그대로 나오게 되는거죠. 증명 끝.

sin 함수의 성질 ; 대칭, 주기, 최대/최소

# Season 2 # 수학 I # 2. 삼각함수 # 8 안녕하세요~ 오늘은 저번 시간에 알아본 sin 함수 그래프의 대칭성, 주기, 최대/최소를 알아보려고 합니다. sin함수 그래프 그리는 포스팅은 여기에서 보실 수 있습니다. https://blog.naver.com/masience/223404280615 <목차> sin 함수 그래프의 대칭성 이해하기 sin함수 그래프의 주기 이해하기 sin 함수 그래프의 최대/최소 알아보기 우선, sin함수 그래프의 대칭성을 알아보겠습니다. 결론부터 이야기 하자면, sin함수 그래프는 원점 대칭입니다. 보시는 바와 같이, 원점 (0,0)을 기준으로 x좌표의 절댓값이 같고 부호가 반대인 두 점은 y좌표 역시 절댓값이 같고 부호가 반대입니다. 수학 (상)에서 (x, y)의 원점 대칭은 (-x, -y) 라고 배웠었죠? x좌표의 부호가 반대면 y좌표 역시 부호가 반대가 되는 sin 함수는 원점 대칭 그래프가 그려지게 되는겁니다. 이를 식으로 쓰면 이런식

사인법칙 증명하기

# 수1 # 삼각함수 # 사인법칙 증명 오늘은 수1에 나오는 사인법칙을 증명해보는 시간을 가져보려고 합니다. 아마 여러분이 사인법칙 공식은 알고 계실거라고 믿어요. 오늘은 이 공식을 증명해보도록 하겠습니다. 우선, 삼각형 ABC에서 사인법칙이 성립함을 증명하기 위해서 각각의 각 A, B, C가 예각인지, 직각인지, 둔각인지를 나눠서 각각의 케이스를 증명해줘야 해요. 일단, 각 A가 예각인 경우를 먼저 볼게요. 이렇게, 원 안에 삼각형을 넣어줄게요. 원주각의 성질에 따라, 현 a에 대한 원주각의 크기는 항상 같죠? 그래서 각 A를 살짝 옮겨줄게요. 이렇게, 현 a를 한 변으로 하는 직각삼각형이 되도록 원주각 A를 옮겨줘도 원주각 A의 크기는 변하지 않아요. 그리고, 직각인 원주각과 마주보는 현은 지름과 같으므로 2R. 여기서 sin의 정의를 활용해서 생각해보면, sin A 는 높이 / 빗변이므로 이라는 사실을 알 수가 있구요. 정리하면 이렇게, 우리가 아는 사인법칙 공식이 나오는 겁니

코사인법칙 증명하기

# 수1 # 삼각함수 # 코사인법칙 증명 저번시간에는 수1에 나오는 사인법칙을 증명했었는데요, 오늘은 코사인법칙을 증명해보는 시간을 가져보려고 합니다. 아마 여러분이 코사인법칙 공식은 알고 계실거예요. 오늘은 이 공식을 증명해보도록 하겠습니다. 우선, 삼각형 ABC에서 코사인법칙이 성립함을 증명하기 위해서 각각의 각 A, B, C가 예각인지, 직각인지, 둔각인지를 나눠서 각각의 케이스를 증명해줘야 해요. 일단, 각 A가 예각인 경우를 먼저 볼게요. 여기서 예각 A에 대한 코사인법칙이 증명하는걸 증명해볼게요. 이렇게, 예각 A와 마주보는 수선을 하나 그려줘야 해요. 각 B에서 선분 AC에 내린 수선의 발을 H라고 할게요. 그러면 직각삼각형 AHB에서 삼각비의 정의에 따라 AH = c cos A, BH = c sin A 라고 알 수 있구요. CH = AC - AH 에서 CH = b - c cos A 라는 사실을 알 수 있습니다. 이번엔 직각삼각형 BHC에서 피타고라스의 정리를 사용하면

&quot;sin 미분하면 cos&quot; 증명하기

# 미적분 # 삼각함수 # 삼각함수의 미분 sin을 미분하면 cos이 나온다! 교과서에 나와있는 너무나 당연한 내용인데요. 오늘은 왜 그런지를 한번 증명해보려고 합니다. 우선, 수2에서 공부한 미분계수의 정의를 떠올려볼게요. 이게 미분계수의 정의였죠. 이제 여기에다가 f(x) = sin x 를 넣어봅시다. 이렇게 하면 좌변과 우변이 모두 sin x 를 미분한 식이 되는겁니다. 이제 우변을 정리해서 간단하게 만들거예요. 우리가 삼각함수의 덧셈정리에서 이런 공식을 배웠어요. 위에 식에다가 넣어주면 이렇게 정리해줄 수 있고, 분자를 공통되는 sin x 로 묶어서 정리해주면 이렇게까지 요약될 수 있습니다. 우리가 삼각함수의 극한은 이미 배웠어요. 얘들을 위에 정리한 식에다가 넣으면 이렇게 정리되는 겁니다. 결국 sin x 를 미분하면 cos x 가 나옴을 증명할 수 있어요. 이렇게 sin을 미분하면 왜 cos이 되는지를 증명해봤습니다.

&quot;cos 미분하면 - sin&quot; 증명하기

# 미적분 # 삼각함수 # 삼각함수의 미분 cos을 미분하면 - sin이 나온다! 교과서에 나와있는 너무나 당연한 내용인데요. 오늘은 왜 그런지를 한번 증명해보려고 합니다. 우선, 수2에서 공부한 미분계수의 정의를 떠올려볼게요. 이게 미분계수의 정의였죠. 이제 여기에다가 f(x) = cos x 를 넣어봅시다. 이렇게 하면 좌변과 우변이 모두 cos x 를 미분한 식이 되는겁니다. 이제 우변을 정리해서 간단하게 만들거예요. 우리가 삼각함수의 덧셈정리에서 이런 공식을 배웠어요. 위에 식에다가 넣어주면 이렇게 정리해줄 수 있고, 분자를 공통되는 sin x 로 묶어서 정리해주면 이렇게까지 요약될 수 있습니다. 우리가 삼각함수의 극한은 이미 배웠어요. 얘들을 위에 정리한 식에다가 넣으면 이렇게 정리되는 겁니다. 결국 cos x 를 미분하면 - sin x 가 나옴을 증명할 수 있어요. 이렇게 cos을 미분하면 왜 - sin이 되는지를 증명해봤습니다.

&quot;tan 미분하면 sec^2&quot; 증명하기 1

# 미적분 # 삼각함수 # 삼각함수의 미분 tan을 미분하면 sec2이 나온다! 교과서에 나와있는 내용인데요. 오늘은 왜 그런지를 한번 증명해보려고 합니다. (인트로 복붙하니 글쓰기가 편한 요즘 증명 시리즈) 우선, 수2에서 공부한 미분계수의 정의를 떠올려볼게요. 이게 미분계수의 정의였죠. 이제 여기에다가 f(x) = tan x 를 넣어봅시다. 이렇게 하면 좌변과 우변이 모두 tan x 를 미분한 식이 되는겁니다. 이제 우변을 정리해서 간단하게 만들거예요. 우리가 삼각함수의 덧셈정리에서 이런 공식들을 배웠어요. 위에 식에다가 넣어주면 이렇게 정리해줄 수 있고, 분자를 통분해주면 분자를 tan t 로 묶어주고 분모와 분자를 정리해주면 이렇게까지 요약될 수 있습니다. 우리가 삼각함수의 극한은 이미 배웠어요. 얘들을 위에 정리한 식에다가 넣으면 이렇게 정리되는 겁니다. 결국 tan x 를 미분하면 1 + tan2x 가 나오고, 삼각함수의 성질에 따라 1 + tan2x = sec2x 이므로

&quot;tan 미분하면 sec^2&quot; 증명하기 2

# 미적분 # 삼각함수 # 삼각함수의 미분 tan을 미분하면 sec2이 나온다! 교과서에 나와있는 내용인데요. 오늘은 왜 그런지를 한번 증명해보려고 합니다. 저번시간에 미분계수의 정의와 탄젠트의 덧셈정리로 증명하는 방법을 보여드렸는데, 오늘은 탄젠트를 sin/cos로 바꾸고 몫의 미분법으로 증명하는 방법을 보여드릴게요. 우선, 수1에서 이런걸 배웠어요. 오늘 증명에서는 tan x 를 일단 이렇게 바꾸고 미분할 거예요. 그리고, 앞에서 배웠던 몫의 미분법. 분수 형태의 함수를 미분하는 방법을 떠올려보죠. 이 몫의 미분법 공식에다가 sinx/cosx 를 넣어서 계산해주는겁니다. 이렇게 하면 좌변과 우변이 모두 tan x 를 미분한 식이 되는겁니다. 이제 우변을 정리해서 간단하게 만들거예요. 우리가 삼각함수의 미분에서 이런 공식을 배웠어요. 위에 식에다가 넣어주면 이렇게 정리해주면 당연히 sin2x + sin2x = 1이고, sec x 의 정의에 따라 정리해주면 이렇게까지 정리할 수 있는

카르다노의 해법: 삼차방정식과 분해방정식

카르다노의 해법으로 삼차방정식을 풀어보자. 우선, 카르다노의 해법은 이차항이 없는 x3 + ax + b = 0 형태의 삼차방정식에서만 쓸 수 있다. 따라서, 저번시간 내용에 따라 이차항을 없애주는게 무조건 Step 0 이다. 여기까지 했다고 가정하고, x3 + ax + b = 0 의 삼차방정식을 카르다노의 해법으로 풀어보겠다. 미리 경고하지만, 미친듯이 길고 복잡하니 이해가 어려울 것이다. 내용 설명 이후에 예시 문제를 풀어드리겠다. Step 1. x = u + v 라고 놓는다. (여기서 u, v는 임의의 문자이다.) 위 식을 전개하고 (u + v) 로 묶으면 아래와 같이 정리된다. Step 2. 3uv = -a 라고 가정한다. 여기서, 3uv = -a 라고 가정하면 식이 아래와 같이 정리된다. Step 3. u3, v3 을 두 근으로 하는 이차방정식을 작성한다. 3uv = - a 라고 가정하였으므로 따라서, u3, v3 의 합은 -b, 곱은 (-a/3)3 이므로 이들을 두 근으로

4차방정식에서 x^3항 없애기

4차방정식에서 x3 항을 없애보자 삼차방정식 x4 + ax3 + bx2 + cx + d = 0 을 조작하여 ax3 항을 없애보자. Step 1. 임의의 문자 y를 설정하고, x와 y의 관계를 y = x - t 라고 설정한다. 여기서, x = y + t 라는 사실을 알 수 있다. Step 2. 방정식의 모든 x를 y로 바꾼다. Step 3. 전개하여 y에 대한 내림차순으로 정리한다.(...) 여기서, y3 항이 없어지기 위해서는 y3 항의 계수인 4t + a = 0 이면 된다. 따라서, t = -a/4 이라는 사실을 알 수 있다. Step 4. t = -a/4 을 대입하고 방정식을 정리한다. 이제 y에 대한 삼차방정식이 y3항을 가지지 않는다.

사차방정식 → 삼차 보조 방정식 (완전제곱식 형태로 바꾸기)

사차방정식을 삼차 보조 방정식으로 바꾸기. 우선, 오늘 알아볼 내용은 x4 + ax2 + bx + c = 0 형태의 사차방정식에서만 쓸 수 있다. 따라서, 저번시간 내용에 따라 삼차항을 없애주는게 무조건 Step 0 이다. Step 1. 새로운 변수 u를 도입하고, x4 + ax2 를 완전제곱식으로 고친다. Step 2. 양변에 bx + c 를 더해준다. 원래 방정식이 x4 + ax2 + bx + c = 0 이었으므로 좌변 = 0 이다. 따라서, 우변 역시 0임을 알 수 있다. Step 3. 큰 제곱 형태만 남기고 이항하여 정리한다. 여기서, 좌변의 이차방정식은 완전제곱식이 나와야 한다. 따라서, 좌변의 이차방정식의 판별식 = 0 이다. Step 4. 판별식 = 0 임을 이용하여 u에 대한 방정식으로 바꾼다. 우선 x에 대한 내림차순으로 정리해주고, 판별식이 0임을 이용하면 이와 같은 계산식이 나온다. 이를 u에 대한 내림차순으로 정리해주면 이렇게 정리되고, 이를 삼차보조방정식이라

일반각 θ = 360× n + α ; 360도보다 큰 각이 존재한다고?

# Season 2 # 수학 I # 2. 삼각함수 # 1 우리가 지금까지 초등학교, 중학교에서 배운 각은 이런 녀석들입니다. 이런 각들을 전문용어(?)로 열각이라고 부르고요. 간혹가다가 180보다 큰 각, 이름하여 요각이 등장하기도 했습니다. 이런 식으로 말이죠. 하지만, 고등학교 2학년. 수학 I 에서는 360보다 더 큰 각이 등장하기도 하고 마이너스 부호를 가진 각이 등장하기도 합니다. 오늘은 각의 범위가 0~360에서 벗어날 수 있다는 내용을 공부해볼게요. <목차> 시초선과 동경이 무엇인지 배우기! 각의 방향과 + - 구분하기! 일반각이 무엇인지 이해하기! 우선, 시초선과 동경이라는 개념을 알아봐야 하는데요. 시초선은 기준이 되는 선입니다. 원점에서 출발해서 오른쪽으로 쭉 나아가는 반직선인데, 이 시초선은 언제나 오른쪽으로 나아가며, 앞으로 모든 각은 이 시초선에서부터 출발합니다. 동경은 시초선과 함께 각을 이루는 녀석인데요. 시초선과 달리 위치가 고정되어있지 않습니다. 시초선

호도법 ; 로 표현된 각을 π로 변환해보자

# Season 2 # 수학 I # 2. 삼각함수 # 2 지금까지 우리가 각을 세는 단위는 였습니다. 360가 한 바퀴를 이루는, 육십분법이라는 방법이었죠. 하지만, 고등학교 2학년. 수학 I 에서는 호도법이라는 새로운 방법을 사용하여 를 사용하지 않고, π를 사용하여 각을 표현합니다. 오늘은 호도법이 어떤 방법인지를 배우고, 육십분법과 호도법을 변환하는 방법을 알아보겠습니다. <목차> 라디안(rad)이 무엇인지 배우기! 육십분법과 호도법 변환하기! 호도법은 라디안이라는 단위를 사용하는데요, 이 라디안이 어떤 단위인지를 먼저 알아야 합니다. 1 라디안은 호의 길이가 반지름의 길이와 똑같은 부채꼴에서 중심각의 크기를 의미합니다. 대략적으로 1라디안 = 57.3정도 되구요. 호의 길이가 반지름의 길이의 두 배인 부채꼴에서 그 중심각의 크기는 2라디안입니다. 이런 식으로 말이죠. 자, 이제 여기가 진짜 중요한데요. 반원의 호의 길이는 πr로, 반지름의 π배입니다. 즉, 반원의 중심각 1

부채꼴의 호의 길이와 넓이 공식을 호도법으로 유도해보자

# Season 2 # 수학 I # 2. 삼각함수 # 3 저번 시간에 육십분법() 말고 호도법(π)으로 각을 표현하는 방법을 배웠죠? 오늘은 중학교에서 배웠던 부채꼴의 호의 길이와 넓이 공식을 호도법으로 변환하면 얼마나 간단하게 나오는지 알아보도록 하겠습니다. 오늘은 호도법이 어떤 방법인지를 배우고, 육십분법과 호도법을 변환하는 방법을 알아보겠습니다. <목차> 부채꼴의 호의 길이와 넓이 공식 이해하기 육십분법과 호도법으로 공식 유도하기 우선, 중학교때 공부한 부채꼴의 호의 길이와 넓이 공식을 볼게요. 이렇게, 부채꼴의 중심각을 θ라고 하면 원 전체 360 중에서 θ 만큼을 떼어낸 것이 부채꼴이기 때문에 원의 둘레와 넓이에다가 θ/360 를 곱해주면 부채꼴의 호의 길이와 넓이가 나오게 되는겁니다. 이렇게 공식을 만들 수 있죠. 근데 공식이 너무 복잡하지 않나요? 막 분수 나오고 파이에... 저번 시간에 배운 호도법을 활용하면 훨씬 쉬운 공식을 유도할 수 있어요. 육십분법 360 = 호

삼각함수의 정의 ; 90를 넘어가는 각의 sin, cos, tan 구하기

# Season 2 # 수학 I # 2. 삼각함수 # 4 중학교에서 질리도록 외운게 있죠. sin 30=1/2 tan 45 = 1 막 이러면서 외우던거 기억 나시나요? 삼각비 표를 외웠던 기억이 나네요. 하지만, 우리가 중학교에서 배운 삼각비는 0 ~ 90 로 범위가 한정되어 있었어요. 고등학교에서 배우는 삼각함수는 각의 범위 제한이 사라집니다. sin 1230, cos(-330) 이런 괴상한 삼각함수 값을 구할 수 있답니다. <목차> 삼각함수의 정의 이해하기 삼각함수 값 구하기 삼각비와 삼각함수의 가장 큰 차이는 높이는 y좌표로, 밑변은 x좌표로 바뀐다는 점입니다. 삼각함수의 값을 구할 때에는 좌표평면을 그려야 하는데요. 저번에 배웠던 시초선과 동경을 기억하면서 그려주시면 돼요. 예를 들어, 60의 삼각함수 값을 구하기 위해서는 60를 나타내는 동경을 그리고, 30 60 90 직각삼각형의 변의 길이인 1 : 2대 :루트3을 표시해줘요. 삼각함수의 정의를 떠올리면 이렇게 구할 수 있

얼사탄코 - 삼각함수 값의 부호 ; 각 사분면에서 sin, cos, tan의 부호

# Season 2 # 수학 I # 2. 삼각함수 # 5 오늘은 저번 시간에 공부했던 삼각함수의 값 구하기에 이어 삼각함수가 각 사분면에서 양수(+)인지, 음수(-)인지 구분하는 방법을 알아보도록 하겠습니다. 본격적인 내용에 앞서 저번 시간에 알아봤던 내용을 숙지하고 계셔야 이해할 수 있음을 다시 한번 강조합니다. 삼각함수의 정의 ; 90를 넘어가는 각의 sin, cos, tan 구하기 # Season 2 # 수학 I # 2. 삼각함수 # 4 중학교에서 질리도록 외운게 있죠. sin 30=1/2 tan 45 &... blog.naver.com <목차> 각 사분면에서 sin의 부호 이해하기 각 사분면에서 cos의 부호 이해하기 각 사분면에서 tan의 부호 이해하기 우선, 저번 시간에 공부했던 삼각함수를 간단하게 요약하자면 삼각비에서 사용하던 '밑변'과 '높이' 대신 삼각함수에서는 'x좌표', 'y좌표'를 활용한다! 따라서 x좌표, y좌표가 음수라면 sin, cos, tan 값 역시 음

삼각함수 사이의 관계 공식 ; s^2+c^2=1, t=s/c 의 증명

# Season 2 # 수학 I # 2. 삼각함수 # 6 저번시간까지 sin, cos, tan에 대해서 알아봤죠? 오늘은 이 삼각함수들 사이에 어떤 관계가 있는지 알아보겠습니다. 내신 뿐 아니라 수능때까지 사용할 중요한 공식들이니 완벽하게 숙지해주셔야 합니다. <목차> sin 제곱 + cos 제곱 = 1 이해하기! tan = sin / cos 이해하기! 우선, 오늘 배울 첫 번째 공식! 어떤 각의 sin 값의 제곱, cos 값의 제곱을 더하면 1이 나온다! 생각해보면, 예를 들어 30˚를 예시로 들어보면 성립한다는 사실을 알 수 있죠. 이걸 증명을 한번 해볼게요. 피타고라스의 정리에 따라 x2 + y2 = r2 이므로 이라는 사실을 증명할 수 있죠. 꼭 기억하세요! 두 번째 공식으로 넘어가겠습니다. tan은 sin ÷ cos 와 같다! 역시나 30˚를 예시로 들어보면 성립하는걸 확인할 수 있죠. 이 공식도 아까 봤던 그림에서 증명할 수 있어요. 여기서 분모, 분자를 모두 r로 나누면

sin 함수의 그래프 그리기

# Season 2 # 수학 I # 2. 삼각함수 # 7 안녕하세요~ 드디어 삼각함수의 기본적인 개념을 끝내고 이제 본격적으로 그래프를 그려보려고 합니다. 오늘은 그 중에서도 가장 기본적인 sin 함수의 그래프를 그려볼게요. <목차> sin 함수 그래프의 개형 그려보기 sin 함수 그래프의 최대/최소와 주기 알아보기 sin 함수 그래프의 특징 이해하기 우선, 가장 기본이 되는 y = sin x 그래프를 그려볼건데요. 우리가 sin 0 = 0 이라는 사실은 알아요. 그래서, y = sin x 그래프는 원점 (0, 0)을 지납니다. 각 x가 0˚ ~ 90˚ 인 경우에는 아래 그림과 같이 각이 커질수록 sin 값 역시 커집니다. sin 0˚ = 0, sin 90˚ = 1 사이에서 각이 커질수록 sin값 역시 커지는거죠. 따라서 그래프는 이런 식으로. 이제 90˚에서 180˚까지. sin 90˚ = 1 , sin 180˚ = 0 사이에서 각이 커질수록 sin값은 작아지겠죠. 따라서 그래프는

행렬의 덧셈, 뺄셈, 실수배와 연산법칙

행렬의 덧셈과 뺄셈 크기가 같은 두 개의 행렬 A, B에서 덧셈과 뺄셈은 같은 위치에 있는 성분끼리 더하고 빼면 된다. (1, 1) 성분끼리 1 + 2 = 3. (1, 2) 성분끼리 3 + 5 = 8. 이런식으로 각 성분끼리 계산해주면 된다. 뺄셈도 마찬가지로, 같은 위치의 성분끼리 계산해주면 된다. 크기가 다른 행렬에 대해서는 덧셈, 뺄셈이 정의되지 않는다. 따라서, 아래와 같은 계산은 정의되지 않는다. 행렬의 실수배 행렬에 상수가 곱해지면 각 성분에 각각 곱하여 계산한다. (1, 1) 성분에 2를 곱하여 1 × 2 = 2. (1, 2) 성분에 2를 곱하여 3 × 2 = 6. 이런식으로 각 성분에 모두 곱해주면 된다. 행렬의 연산 법칙 A, B, C가 같은 크기의 행렬이고, k, l 이 상수라고 하면 다음 연산이 성립한다. (흔히 아는 교환법칙, 결합법칙, 분배법칙)

행렬의 곱셈을 그림으로 이해하기

행렬의 곱셈의 기본 정의 1×n 행렬과 n×1 행렬의 곱은 다음과 같이 정의된다. 예를 들어, 아래와 같은 계산이 가능하다. 행렬의 곱셈이 가능할 조건 행렬의 곱이 존재하기 위해서는 한 행렬의 행의 개수와 다른 행렬의 열의 개수가 같아야 한다. 예를 들어, 2×3 행렬과 3×4 행렬의 곱은 존재한다. 2×3 행렬의 열의 개수와 3×4 행렬의 행의 개수가 3개로 같기 때문이다. 하지만, 2×4 행렬과 3×4 행렬의 곱은 존재하지 않는다. 두 행렬의 행의 개수는 각각 2개, 3개이므로 열의 개수 4개와 같지 않기 때문이다. 따라서, 두 행렬의 곱이 존재하기 위해서는 두 행렬이 k × s 행렬과 s × n 행렬 형태로, 서로 맞물리는 형태여야 한다. 행렬의 곱셈 예시로, 아래 행렬의 곱셈을 그림으로 설명해보겠다. 우선, 두 행렬을 아래와 같이 배치한다. 그림을 활용하면 두 행렬의 곱은 3×3 행렬이라는 사실을 알 수 있다. 지금부터 빈칸에 들어갈 수를 구해보겠다. 각 칸에 들어갈 수

연립방정식의 열형식

이해를 돕기 위해, 아래의 연립방정식을 예시로 들어 설명해보겠다. x = 2. y = 3 이라는 근을 쉽게 구할 수 있다. 연립방정식을 행의 관점에서 좌표평면에 그려보자 행렬에서 행(row)은 가로줄을 의미했다는 것을 기억하자. 연립방정식을 행의 관점에서 바라본다는 것은 주어진 연립방정식에서 가로줄로 식을 분석한다는 것이다. 이렇게, 2x - y = 1 이라는 방정식, x + y = 5 라는 방정식으로 나누어 그려보는 것이다. 사실 중학교, 고등학교에서 배운 내용과 똑같다. 두 방정식이 나타내는 직선의 교점 (2, 3). 따라서, 이 방정식의 근이 x = 2, y = 3 임을 알 수 있는 것이다. 연립방정식을 행의 관점에서 바라보는건 이미 우리에게 익숙하다. 연립방정식을 열의 관점에서 좌표평면에 그려보자 행렬에서 열(column)은 세로줄을 의미했다는 것을 기억하자. 연립방정식을 열의 관점에서 바라본다는 것은 주어진 연립방정식에서 세로줄로 식을 분석한다는 것이다. 1열은 계수 2