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가우스 소거법으로 연립방정식을 간단하게 풀기

가우스 소거법이란 무엇일까? 가우스 소거법 (Gaussian Elimination) 이란 연립방정식을 풀 때, 위의 식을 이용하여 아래 식의 문자를 하나씩 차례대로 소거하여 정리하는 방법이다. 예시를 들어 설명하는게 간단할 듯 하니, 예시 문제를 풀어보겠다. 첫 번째 방정식 2u + v + w = 5 를 활용하여 두 번째 방정식 4u - 6v = -2의 u를 소거하여 없앨 것이다. u를 소거하기 위해 첫 번째 방정식에 2를 곱하여 4u + 2v + 2w = 10을 만들고 두 번째 방정식에서 빼주면 첫 번째 방정식 2u + v + w = 5 를 활용하여 세 번째 방정식 -2u + 7v + 2w = 9의 u를 소거하여 없앨 것이다. u를 소거하기 위해 두 번째 방정식에 첫 번째 방정식을 더하면 정리하면, 첫 방정식을 제외하고 u가 모두 사라졌음을 알 수 있다. 이제, 두 번째 방정식을 활용하여 세 번째 방정식의 v를 소거하여 없앨 것이다. 위에서 했던 대로, 세 번째 방정식에 두 번째

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기본행연산과 기본행렬이란 무엇일까?

기본행연산이란 무엇일까? 기본행연산이란 아래 세 종류의 연산을 의미한다. 두 행을 서로 바꾸기. 1행[a, b]과 2행[c, d]이 자리를 바꿨고, 이에 따라 그 계산값도 1행[3, 5]과 2행[6, 2]이 자리를 바꿨다. 한 항에 0이 아닌 상수를 곱하기. 2행[c, d]에 2를 곱하여 [2c, 2d]로 바꾸었고, 이에 따라 그 계산값도 2행[6, 2]에서 2행[12, 4]으로 2가 곱해졌다. 한 행에 상수를 곱해서 다른 행에 더하기. 1행에 2를 곱한 [2a, 2b]를 2행에 더하여 [c+2a, d+2b]로 만들었다. 이에 따라 계산값도 1행에 2를 곱한 [6, 10]이 2행에 더하여 [12, 12]가 되었다. 기본행렬이란 무엇일까? 기본행렬(elementary matrix)이란 항등행렬에 한 개의 기본행연산을 수행해여 얻은 행렬이다. 예를 들어, 아래와 같은 행렬들은 모두 기본행렬이다.

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항등행렬이란 무엇일까? (주대각선과 주대각성분)

항등행렬이란 무엇일까? 항등행렬 (identity matrix) 이란 언제나 정사각행렬 형태로써, 같은 크기의 어떤 정사각행렬 A와 곱해졌을 때 그 결과값이 A로 유지되는 행렬을 의미한다. 예를 들어, 어떤 행렬 I와 행렬 A가 곱해지는 연산에서 I × A = A × I = A 라면 행렬 I는 항등행렬이다. 단, 항등행렬 I 가 2 × 2의 정사각행렬이라면 이와 곱해지는 어떤 행렬 A 역시 2 × 2의 정사각행렬이어야 한다. 항등행렬은 어떤 형태일까? 우선, 정사각행렬에서 주대각선이 무엇인지 알아보자. 주대각선이란 정사각행렬에서 왼쪽 위 모서리에서 오른쪽 아래 모서리로 가는 대각선이고, 이 곳에 있는 성분들을 주대각성분이라고 부른다. 예를 들어, 아래 정사각행렬에서 주대각성분은 표시된 곳이다. 항등행렬은 주대각성분이 모두 1이고, 나머지 성분이 모두 0인 행렬이다. 따라서, 아래 행렬들이 항등행렬이다. 연산의 예시 보이는 바와 같이, 곱해도 원래 행렬이 유지되고, 곱셈 순서를

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역행렬이란 무엇일까? (행렬의 가역성)

행렬의 가역성이란 무엇일까? 어떤 행렬 A가 가역적 (invertible) 이 되기 위해서는 A × B = B × A = 항등행렬 I 를 만족시키는 행렬 B가 존재해야 한다. 여기서 행렬 B를 행렬 A의 역행렬이라고 정의하고, 기호로는 A-1 이라고 쓴다. (f(x)의 역함수를 f-1(x)라고 쓰는 것과 비슷하다.) 따라서, A × A-1 = A-1 × A = 항등행렬 I 이 성립한다. 2 × 2 행렬의 역행렬은 어떻게 구할까? 우선, 위 행렬 A가 역행렬을 가지기 위해서는, 즉 가역행렬이기 위해서는 ad - bc ≠ 0 이다. 이 경우, 역행렬 A-1은 다음과 같다.

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붙임행렬 (첨가행렬) 이란 무엇일까?

붙임행렬이란 무엇일까 저번 시간에 연립방정식을 열형식(column form)으로 표현하는 방법을 배웠다. 이렇게 행렬 식으로 표현할 수 있다는 것이었다. 여기서, 문자가 포함된 행렬은 생략하고, 좌변 행렬과 우변 행렬을 합친다. 이 행렬을 우리는 첨가행렬, 혹은 붙임행렬(augmented matrix)라고 부른다. 이 행렬의 의미하는 바는 아래와 같다. 예시 위 연립방정식을 붙임행렬로 나타내보겠다. 단순하게 각 문자의 계수와 식의 값을 자리에 맞게 행렬로 나타내면 된다. 주의할 점은, 문자가 없는 경우에는 계수를 0으로 취급한다는 것이다. 이렇게 표현하면 연립방정식의 붙임행렬 형태 완성이다.

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가우스-조던 소거법으로 역행렬 구하기

역행렬은 어떻게 구할까? 어떤 행렬 A가 주어졌을 때, 그 역행렬을 구하는 방법을 알아보자. A × A-1 = 항등행렬 I 라는 사실에 집중해보자. A × = I 에서 를 구하면 이게 행렬 A의 역행렬이다. 이를 붙임행렬로 표현해보겠다. 행렬 A × 어떤 행렬 = 항등행렬 I 이라는 뜻이다. 여기서 어떤 행렬은 A의 역행렬 A-1이다. 여기서, 행렬 A를 가우스 소거법으로 조작하여 항등행렬로 바꾼다. 왼쪽의 행렬 A는 항등행렬 I로 바뀌고, 이 과정에서 오른쪽의 항등행렬 I은 새로운 행렬 B로 바뀐다. 새로 나온 붙임행렬은 항등행렬 × 어떤 행렬 = 행렬 B 를 의미한다. 항등행렬의 성질에 따라 항등행렬 × 어떤 행렬 = 어떤 행렬 이고, 어떤 행렬 = A의 역행렬 A-1 이었으므로, 행렬 B = 역행렬 A-1 이라는 사실을 알 수 있다. 말로만 해서는 이해가 잘 가지 않을테니, 직접 한번 해보겠다. 가우스-조던 소거법으로 역행렬 구하기. 아래 행렬을 A라고 하고, 그 역행렬

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3차방정식에서 x^2항 없애기

3차방정식에서 x2 항을 없애보자 삼차방정식 x3 + ax2 + bx + c = 0 을 조작하여 ax2 항을 없애보자. Step 1. 임의의 문자 y를 설정하고, x와 y의 관계를 y = x - t 라고 설정한다. 여기서, x = y + t 라는 사실을 알 수 있다. Step 2. 방정식의 모든 x를 y로 바꾼다. Step 3. 전개하여 y에 대한 내림차순으로 정리한다. 여기서, y2 항이 없어지기 위해서는 y2 항의 계수인 3t + a = 0 이면 된다. 따라서, t = -a/3 이라는 사실을 알 수 있다. Step 4. t = -a/3 을 대입하고 방정식을 정리한다. 이제 y에 대한 삼차방정식이 y2항을 가지지 않는다.

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차적이란 무엇일까?

차적 (difference product) 이란 무엇일까? 차적이란 모든 문자들의 차의 곱을 의미한다. A = a(x1, x2, ... , xn)을 차적이라 하면 그 계산은 다음과 같다. 이를 부분곱 ∏를 활용하여 요약하면 아래와 같다. 예시 1 f(1, 2, 3, 4) 의 차적을 구해보자. ▷ (1-2)(1-3)(1-4)(2-3)(2-4)(3-4) = (-1)(-2)(-3)(-1)(-2)(-3) =36

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"차적은 교대식이다"의 증명

Step 1. 차적을 설정하고 증명할 내용 확인하기. 차적을 A(x1, x2, ... , xn) 이라고 쓰자. i < k인 임의의 xi 와 xk 가 자리를 바꾸면 차적 A의 부호가 반대가 됨을 보여야 한다. Step 2. 차적 A가 x1, x2에 대하여 교대식임을 증명하기. 차적 A는 다음과 같다. 우선, x1과 x2가 자리를 바꾼 경우를 A′ 라고 하자. 보시는 바와 같이, A′는 A와 첫번째 줄과 두번째 줄이 바뀐 형태이다. 결론적으로, A와 A′는 딱 한 부분만 제외하면 같은 식이다. 첫 부분, A에서는 (x1-x2)이던 부분이 A′에서는 (x2-x1)로 바뀌었다. 따라서, A = - A′ 이고, x1, x2에 대해 A가 교대식임이 증명되었다. Step 3. 차적 A가 i < k인 임의의 xi 와 xk에 대하여 교대식임을 증명하기. 차적 A는 다음과 같다. i < k인 임의의 i, k에 대하여 xi과 xk가 자리를 바꾼 경우를 A′ 라고 하자. i < k 이므로, x1,

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&quot;교대식은 차적과 대칭식의 곱으로 표현된다&quot;의 증명

Step 1. 교대식을 설정하기. T(x1, x2, ... , xn) 을 교대식이라고 하자. Step 2. 교대식의 성질을 이용해 식 세우기. 교대식의 성질에 따라 x1과 x2의 자리를 바꾸면 부호가 바뀌므로 T(x2, x1, ... , xn) = - T(x1, x2, ... , xn) 이고, T(x2, x1, ... , xn) + T(x1, x2, ... , xn) = 0이다. Step 3. 두 문자가 같다고 가정하여 인수 찾기. x1 = x2 일 때, T(x2, x1, ... , xn) + T(x1, x2, ... , xn) = 0 에서 2T(x1, x2, ... , xn) = 0 이므로 T(x1, x2, ... , xn) = 0. x1 - x2 = 0 이므로 나머지 정리에 따라 (x1 - x2)는 교대식 T의 인수이다. 같은 원리로, (x1 - x2), (x1 - x3), (x1 - x4), ... , (x1 - xn) , (x2 - x3), (x2 - x4), ... ,

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방정식의 판별식을 차적으로 표현하기

판별식을 차적으로 표현하기 n차방정식 f(x) = xn + a1xn-1 + a2xn-2 + ... + an = 0에 대하여 x1, x2, ... , xn을 방정식의 n개의 근이라고 할 때, 이 방정식의 판별식은 x1, x2, ... , xn로 이루어진 차적의 제곱이다. 판별식 D는 차적 A의 제곱이므로 아래와 같이 쓸 수 있다. 부분곱 ∏을 활용하면 다음과 같이 쓸 수 있다. 이차방정식의 판별식의 증명 이차방정식의 판별식이 b2 - 4ac 라는 사실을 증명해보겠다. 이차방정식 x2 + ax+ b 에서 판별식이 a2 - 4b라는 사실을 보이면 된다. 이 이차방정식의 두 근을 x1, x2 라고 하면 이 두 근으로 이루어진 차적은 (x1 - x2) 이고, 판별식 = 차적2 = x12 - 2x1x2 + x22 이다. x12 - 2x1x2 + x22 = (x1 + x2)2 - 4x1x2 이고, 근과 계수의 관계에 의해 x1+x2 = -a, x1x2 = b 이므로 판별식 = x12 - 2x

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행렬이란 무엇일까? (성분, 행, 열)

행렬 (matrix) 이란 무엇일까? 행렬이란 수나 기호, 수식 등을 네모꼴로 배열한 것이다. 대괄호 [ ] 로 묶어서 표시한다. 행렬에서 가로줄을 행(row), 세로줄을 열(column)이라고 한다. m개의 행과 n개의 열로 이루어진 행렬을 m × n 행렬이라고 한다. 예를 들어, 위 행렬은 (가로)행이 두 개, (세로)열이 세 개이므로 2 × 3 행렬이다. 행의 개수와 열의 개수가 같은 행렬을 정사각행렬이라고 한다. 위 행렬은 3 × 3 행렬로, 행의 개수와 열의 개수가 3개로 같다. 따라서, 이 행렬은 크기 3의 정사각행렬이다. 행렬의 성분 (entry) 이란 무엇일까? 행렬 안에 배열된 구성원들을 성분이라고 부른다. 아래 행렬에서 1, 2, 3, π, a, b 가 성분이다. 좌표평면에서 (x좌표, y좌표) 라고 좌표를 표현하듯이 행렬에서도 (행, 열)로 성분을 표현한다. 위 행렬에서 1행, 2열에 위치한 성분은 2이므로 (1,2)성분이 2라고 볼 수 있다. 마찬가지로, (

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세 문자 x, y, z에 대한 '일반대칭식'과 '동차대칭식'

세 문자 x, y, z에 대한 일차대칭식 a(x, y, z) = A(x+y+z) (단, A는 상수) 동차의 일차대칭식: A(x+y+z) 세 문자 x, y, z에 대한 이차대칭식 b(x, y, z) = A(x2+y2+z2) + B(xy+yz+zx) + a(x, y, z) = A(x2+y2+z2) + B(xy+yz+zx) + C(x+y+z) (단, A, B, C는 상수) 동차의 이차대칭식: A(x2+y2+z2) + B(xy+yz+zx) 세 문자 x, y, z에 대한 삼차대칭식 c(x, y, z) = A(x3+y3+z3) + B(x2y+xy2+y2z+yz2+x2z+xz2) + C(xyz) + b(x, y, z) = A(x3+y3+z3) + B(x2y+xy2+y2z+yz2+x2z+xz2) + C(xyz) + D(x2+y2+z2) + E(xy+yz+zx) + F(x+y+z) (단, A, B, C, D, E, F는 상수) 동차의 삼차대칭식: A(x3+y3+z3) + B(x2y+xy2

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이항연산이 정의되기 위한 조건

# 대수학 # 이항연산 # 5 이항연산이 정의되기 위한 조건 어떤 이항연산 *이 집합 S에 대해 정의되기 위해서는 두 가지 조건을 만족시켜야 한다. [조건 1] S의 원소들이 각 순서쌍에 대해 한 개의 원소를 가진다. a * b 를 ab보다 큰 자연수 라는 이항연산으로 정의하면 1 * 2 = 3, 4, 5, ... 무수히 많은 연산값이 나올 수 있다. 이러한 이항연산은 잘 정의되지 않는다고 표현한다. 실수 a, b에 대하여 a * b 를 제곱근 ab 라는 이항연산으로 정의하면 1 * 2 = 루트2 라는 원소 하나와 잘 대응하지만 1 * (-3) 는 실수값이 나오지 않으므로 대응하는 원소가 없다. 이러한 이항연산은 모든 원소들에서 정의되지 않는다고 표현한다. 정리하자면, 어떤 이항연산이 존재하기 위해서는 a * b = c 를 만족시키는 c가 딱 하나 존재해야 한다. [조건 2] S의 원소들의 각 순서쌍에 대하여 닫혀 있다. 자연수 전체의 집합에 대하여 a * b = a - b 로 정

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이항연산에서의 '항등원'

# 대수학 # 이항연산 # 6 항등원이란 무엇일까? 항등원(identity element)이란, a * e = e * a = a 를 만족시키는 원소 e를 의미한다. 항등원이란 연산값에 영향을 주지 않는 원소이다. 항등원은 어떻게 구할까? 예를 들어, a * b = a + b + 10 이라는 이항연산 *를 정의해보자. 이 연산에서의 항등원을 찾아보자. 임의의 원소 a를 잡고, 항등원을 e라고 하자. a * e = a 가 성립해야 한다. 따라서, a * e = a + e + 10 = a 가 성립해야 한다. 여기서 e = -10 이라는 사실을 알 수 있다. 이 항등원은 어떤 원소에 대해서도 a * e = a b * e = b c * e = c ... 를 성립시킨다. 항등원이 언제나 존재하는 것은 아니다. a * b = (a + 1)(b + 1) + 1 이라는 이항연산을 정의해보자. 어떤 원소 a를 잡고, 항등원을 e라고 하면 a * e = a 가 성립해야 하므로 a * e = (a +

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이항연산에서의 '역원'

# 대수학 # 이항연산 # 7 역원이란 무엇일까? a에 대한 역원(inverse element)이란, a * x = x * a = e 를 만족시키는 원소 x를 의미한다. 역원이란 어떤 원소와 연산했을 때 연산값이 항등원이 되는 원소를 의미한다. (항등원은 모든 원소에 대해 성립하지만 역원은 특정 원소에 대해 성립함에 주의한다.) 역원은 어떻게 구할까? 예를 들어, a * b = a + b + 10 이라는 이항연산 *를 정의해보자. 이 연산에서 5에 대한 역원을 찾아보자. 5에 대한 역원을 x라고 한다면 5 * x = e 가 성립해야 한다. 저번 시간에 이 이항연산에서 항등원 e = -10 이라고 구했다. 따라서, 5 * x = -10, 5 + x + 10 = -10 에서 x = -25임을 구할 수 있다. 역원이 여러 개 존재할 수 있을까? 결론부터 말하자면, 역원은 2개 이상 존재할 수 없다. 이를 증명하기 위해 역원이 2개 있다고 가정해보자. 원소 a에 대한 두 역원을 x1

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정렬성의 원리

# 대수학 # 수학적 귀납법 # 8 정렬성의 원리란 무엇일까? 정렬성의 원리(Well Ordering Principle) 공집합이 아니고 자연수를 원소로 갖는 모든 집합 S는 최소 원소를 가지고 있다. 어찌 보면 당연한 얘기다. 자연수로 이루어진 집합 {1, 3, 4, 6, 7} 이 있다고 하면 당연히 '1'이 최소 원소이다. 자연수를 원소로 갖는 모든 집합 S는 최소 원소를 가진다. 다르게 표현하면 아래와 같이 표현할 수 있다. 자연수 집합 S는 S에 속하는 모든 원소 b에 대하여 a ≤ b 를 만족시키는 원소 a를 포함한다. 여기서 a는 모든 원소보다 같거나 작으므로 최소 원소라고 볼 수 있다. 정렬성의 원리는 아르키메데스의 원리를 증명하는데 사용한다.

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아르키메데스의 원리와 그 증명

# 대수학 # 수학적 귀납법 # 9 아르키메데스의 원리란 무엇일까? 아르키메데스의 원리 (Archimedean Property) a, b가 양의 정수이면, na ≥ b 를 만족하는 양의 정수 n이 존재한다. 예를 들어, a = 3, b = 35 라고 하면 3n ≥ 35 를 만족시키는 자연수 n이 존재한다는 것이다. 너무나 당연한 얘기다. 하지만, 당연한걸 증명하는게 수학 전공이다. 저번 시간에 알아봤던 정렬성의 원리를 사용하여 증명해본다. 아르키메데스의 원리의 증명 아르키메데스의 원리: a, b가 양의 정수이면, na ≥ b 를 만족하는 양의 정수 n이 존재한다. 아르키메데스의 원리가 참이 아니라고 가정하자. 그러면 양의 정수 a, b 에 대하여 모든 자연수 n이 na < b 를 만족한다. 이 경우, b - na > 0 이므로, b - na 는 항상 자연수이다. n = 1, 2, 3, ... 를 대입하면 b - na 는 자연수이고, 이를 집합으로 쓰면 S = { b - na Ⅰ

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유한 귀납법의 기본원리와 그 증명

# 대수학 # 수학적 귀납법 # 10 유한 귀납법의 기본원리란 무엇일까? 유한 귀납법의 기본원리 (First principle of Finate Induction) 자연수로 이루어진 집합 S가 다음 두 가지 성질을 만족한다고 하자. ⑴ 정수 1이 S에 속한다. (귀납법의 기저) ⑵ 정수 k가 S에 속하면, 다음 정수 k+1 또한 S에 속한다. (귀납 단계) 이 경우, 집합 S는 모든 자연수를 포함한다. 정수 1은 S에 속한다. k = 1 을 대입하면 k+1 = 2 역시 S에 속한다. k = 2 를 대입하면 k+1 = 3 역시 S에 속한다. ... 모든 자연수가 S에 속한다. 이와 같이 1부터 수를 연쇄적으로 대입하면 확인할 수 있다. 역시나 너무나 당연한 얘기이다. 하지만, 이걸 굳이 증명하는게 수학 전공이다. 유한 귀납법의 기본원리의 증명 집합 T를 S에 속하지 않는 모든 자연수의 집합이라고 하자. 정렬성의 원리에 따라 집합 T는 최소 원소 a를 가진다. a가 T의 최소 원소이

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이항계수의 정의

# 대수학 # 이항정리 # 11 이항계수란 무엇일까? 0 ≤ k ≤ n 을 만족시키는 모든 양의 정수 n과 k에 대해서 이항계수 (Binomial coefficient)는 다음과 같이 정의된다. 식이 복잡해 보이지만, 고등학교 <확률과 통계> 로 보면 아래와 같다. 예시로, 계산을 한번 해보자. 당연한 얘기다. 생각해보니 요즘 수학 전공자들은 확통을 모를지도...? 특수한 이항계수 0! = 1 이라고 정의한다. 따라서, k = 0 인 이항계수는 다음과 같이 계산된다.

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파스칼 규칙과 그 증명

# 대수학 # 이항정리 # 12 파스칼 규칙이란 무엇일까? 파스칼 규칙 (Pascal's rule) 역시, 고등학교 수준에서 이해해보자. <확률과 통계>에서 이와 같은 내용을 배웠다. 이를 일반화하면 아래와 같다. 이를 이항계수로 표현하면 아래와 같은 것이다. 파스칼 규칙의 증명 아래 식은 항등식이다. (통분해서 더해보면 같다.) 양변에 같은 식을 곱해줘도 등식은 여전히 성립한다. 이를 정리하면 위와 같이 정리된다. 이를 통하여 파스칼 규칙을 얻는다. 파스칼의 삼각형 이미지 출처: 나무위키 위와 같은 삼각형을 파스칼의 삼각형이라고 부른다.

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이항정리란 무엇일까?

# 대수학 # 이항정리 # 13 이항정리란 무엇일까? 이항정리 (Binomial theorem) 역시 고등학교 수준에서 이해해 보자. 우선, 완전제곱식은 아래와 같이 표현할 수 있다. 완전세제곱식은 아래와 같이 표현할 수 있다. 이처럼, 전개식의 계수를 이항계수를 사용하여 표현하는 것이다. 이를 일반화해서 하나의 식으로 쓰면 아래와 같다.

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대칭식이란 무엇일까?

대칭식 (symmetric expression) 이란 무엇일까? 다항식 f(x1, x2, ... , xn) 중 어떤 변수 두 개를 서로 바꾸어도 식이 일정하게 유지되는 식을 대칭식이라고 한다. f(x1, ... , xi, ... , xk, ... , xn) = f(x1, ... , xk, ... , xi, ... , xn) xi 와 xk 가 서로 바뀌었지만 식이 여전히 같음 '=' 예시 1 f(x, y) = x+y 라고 하자. 여기서 x, y의 자리를 바꿔도 f(y, x) = y+x = x+y 이다. 따라서, f(x, y) = f(y, x) 이므로 f(x, y)는 대칭식이다. 예시 2 g(x, y, z) = x2 + y2 + z2 라고 하자. x, y의 자리를 바꿔도 g(y, x, z) = y2 + x2 + z2 = x2 + y2 + z2 이다. x, z의 자리를 바꿔도 g(z, y, x) = z2 + y2 + x2 = x2 + y2 + z2 이다. y, z의 자리를 바꿔도

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교대식이란 무엇일까?

교대식 (alternating expression) 이란 무엇일까? 다항식 f(x1, x2, ... , xn) 중 어떤 변수 두 개를 서로 바꾸었을 때 식의 부호가 바뀌는 식을 교대식이라고 한다. f(x1, ... , xi, ... , xk, ... , xn) = - f(x1, ... , xk, ... , xi, ... , xn) xi 와 xk 가 서로 바뀌자 식의 부호가 반대가 됨. 예시 1 f(x, y) = x-y 라고 하자. 여기서 x, y의 자리를 바꾸면 f(y, x) = y-x = -(x-y) 이다. 따라서, f(x, y) = - f(y, x) 이므로 f(x, y)는 교대식이다. 예시 2 f(x, y) = x2-y2 라고 하자. 여기서 x, y의 자리를 바꾸면 f(y, x) = y2-x2 = -(x2-y2) 이다. 따라서, f(x, y) = - f(y, x) 이므로 f(x, y)는 교대식이다.

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대칭식을 기본대칭식으로 표현하기 (대칭식에 관한 기본정리)

대칭식에 관한 기본정리란 무엇일까? 대칭식에 관한 기본정리 (Fundamental Theorem of Symmetric Polynomials). 지금까지 대칭식이 무엇인지, 기본대칭식이 무엇인지 각각 알아봤었다. 대칭식에 관한 기본정리는 모든 대칭식을 기본대칭식으로 나타낼 수 있다는 정리이다. n차인 동차 대칭식을 n차 기본대칭식으로 나타내는 것이 가능하다. (뭔소리인지 모를 때에는 예시를 보는게 빠를 것이다.) 대칭식을 기본대칭식으로 나타내보자. 예시를 들어 설명해보겠다. f(x, y, z) = (x+y+z)3 - (x+y)3 - (y+z)3 - (z+x)3 + x3 + y3 + z3 를 기본대칭식으로 표현해보자. 이 식은 3차의 동차대칭식이므로, 3차 기본대칭식을 활용하여 나타낼 수 있다. 3차 기본대칭식에는 s13 = (x+y+z)3 s1s2 = (x+y+z)(xy+yz+zx) s3 = xyz 이렇게 세 가지 종류가 있다고 배웠다. 따라서, 주어진 식을 f(x, y, z)

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기본대칭식이란 무엇일까?

기본대칭식이란 무엇일까? 2차방정식 f(x) = 0 의 근을 각각 a, b 이라고 하면 f(x) = (x - a)(x - b), = x2 - (a+b)x + ab. 하이라이트된 부분이 기본대칭식이다. 3차방정식 f(x) = 0 의 근을 각각 a, b, c 이라고 하면 f(x) = (x - a)(x - b)(x - c), = x3 - (a+b+c)x2 + (ab+bc+ca)x + abc 하이라이트된 부분이 기본대칭식이다. n차방정식 f(x) = 0 의 근을 각각 x1, x2, x3, ... , xn 이라고 하면 f(x) = (x - x1)(x - x2)(x - x3) ... (x - xn) 이다. 이 식을 전개하면 다음과 같다. 여기서 각 항의 계수가 기본대칭식이다. 기본대칭식을 식으로 표현하면 n차 기본대칭식을 식으로 표현하면 다음과 같다. 요약하자면, 기본대칭식이란 n개의 변수 x1, x2, x3, ... , xn 중에서 k개를 뽑아 곱한 것을 의미한다. 기본대칭식의 차수 1

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두 문자 x, y에 대한 '일반대칭식'과 '동차대칭식'

두 문자 x, y에 대한 일차대칭식 a(x, y) = A(x+y) (단, A는 상수) 동차의 일차대칭식: A(x+y) 두 문자 x, y에 대한 이차대칭식 b(x, y) = A(x2+y2) + B(xy) + a(x, y) = A(x2+y2) + B(xy) + C(x+y) (단, A, B, C는 상수) 동차의 이차대칭식: A(x2+y2) + B(xy) 두 문자 x, y에 대한 삼차대칭식 c(x, y) = A(x3+y3) + B(x2y+xy2) + C(xyz) + b(x, y) = A(x3+y3) + B(x2y+xy2) + C(xyz) + D(x2+y2) + E(xy) + F(x+y) (단, A, B, C, D, E, F는 상수) 동차의 삼차대칭식: A(x3+y3) + B(x2y+xy2) + C(xyz)

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삼차방정식의 근과 계수의 관계

[예비 고1 수학(상) ... 41] 오늘은 근과 계수의 관계에 대해서 공부해볼건데요. 아마 이차방정식의 근-계수 관계에 대해서는 다들 알고 계실 거예요. 이차방정식의 근-계수 관계 링크: https://blog.naver.com/masience/222977965431 오늘은 삼차방정식에서의 근-계수 관계를 알아보려고 합니다. 우선, 교과서에 나와 있는 내용을 보자면 이렇게 되어있습니다. 조금 편하게 한눈으로 보자면 앞에서부터 한개씩 더한거 두개씩 곱해진거 더한거 셋 다 곱한거 이런식으로 근과 계수의 관계가 보인다는 겁니다. 이건 뭐 복잡하게 설명할 것도 없으니 바로 예시 가겠습니다. 이 삼차방정식에서 이렇게 나타낼 수 있게 되겠네요. 확인 들어가볼까요? 아까 근과 계수의 관계로 구한 값과 같죠? 곱셈공식과 연계되어서 출제되는 경우가 많습니다. 아래 링크는 삼차방정식 근-계수 관계와 가장 많이 연계되는 곱셈공식 두 가지입니다. https://blog.naver.com/masience

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사차방정식을 푸는 방법

[예비 고1 수학(상) ... 42] 사차방정식은 고등학교 수학에서 가장 차수가 높은 방정식이지만 사실 삼차방정식만 풀 줄 알면 똑같은 내용입니다. 삼차방정식을 푸는 방법 링크: https://blog.naver.com/masience/223133153629 우리가 삼차방정식을 풀 때 인수정리를 이용해서 일차식 x 이차식 꼴로 인수분해를 했었죠? 사차방정식도 똑같습니다. 인수정리를 이용해서 일차식 x 삼차식 꼴로 인수분해 하고 나서 일차식 x 일차식 x 이차식 꼴로 인수분해를 한번 더 해주면 됩니다. 말이 길어질 필요는 없으니 예시로 바로 가겠습니다. 일단 1단계! 인수정리를 이용해서 일차식 x 삼차식 꼴로 인수분해하기! 2단계! 다시 인수정리를 이용해서 일차식 x 일차식 x 이차식 꼴로 인수분해하기! 3단계! 인수분해가 더 가능하면 한번 더, 불가능하다면 근의 공식을 사용해서 해를 구하자. 이렇게까지 하고 나면? 사차방정식이니까 근이 4개 나올거구요. 계산이 길 뿐, 삼차방정식 푸

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연립이차방정식을 푸는 방법

[예비 고1 수학(상) ... 43] 중학교때 연립일차방정식을 푸는 방법을 배웠어요. 고등학교에서는 연립이차방정식을 푸는 방법을 배웁니다. 알고 계시겠지만, 연립방정식이란 방정식 2개가 엮여있는 형태예요. 연립방정식을 푸는데는 두 가지 방법이 있는데요, 바로 소거법과 대입법입니다. 아마 중학교에서 배운 연립방정식은 대부분 소거법으로 풀라고 배웠을 거예요. 예를 들어보자면, 이런 방정식을 풀 때 위 방정식이랑 아래 방정식을 쓱 더해주면 이런식으로, y가 소거되어서 없어지고 x = 3 이라는 값을 구할 수 있었죠. x값을 대입하면 y = -3 이라는 값도 구할 수 있었구요. 하지만, 연립이차방정식을 풀 때에는 소거법을 사용해서 풀 수 없는 경우가 더 많습니다. 연립이차방정식이다 보니까 이렇게 제곱 형태가 들어있는데요. 그러다보니 위 방정식과 아래 방정식에서 공통된 부분이 없어요. 따라서 연립이차방정식은 대입법을 사용해서 풀어주시면 됩니다. 딱 두 단계만 따라주시면 돼요. Step 1.

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연립일차부등식을 푸는 방법

[예비 고1 수학(상) ... 44] 부등식 푸는 방법은 이미 중학교에서 다 배우셨겠지만 오늘은 연립일차부등식입니다. 부등식 2개가 엮여 있는 경우에는 어떻게 풀어야 하는가? 오늘 한번 알아보겠습니다. 연립부등식을 풀 때에 가장 중요한 것은 두 부등식이 모두 성립해야 한다는 것입니다. 하나만 성립하면 안되고, 둘 모두가 성립해야 해요. 이런 부등식이 있으면, 위 부등식과 아래 부등식이 동시에 성립해야 합니다. 식으로만 보면 헷갈리니까 그림을 그리는걸 강추드려요. 우선 간단하게 정리를 해놓고 나서 부등식 그래프 위에 그리는 겁니다. (중학교때 배웠던 내용입니다) 이렇게, x ≤ 3 은 3을 포함하니까 색칠해주고 x > 1 은 1을 포함하지 않으니까 색칠 안해주고 이렇게 그림을 그려주면? 동시에 성립해야 하기 때문에 두 그래프가 겹치는 부분을 찾아야 합니다. 이렇게 겹치는 부분을 찾아서 식으로 써주면 이렇게 쓸 수 있는거죠. 연립부등식은 이렇게 그래프로 그려서 푸는게 정신건강에 이로워요

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〈 〈 형태의 연립일차부등식을 푸는 방법

[예비 고1 수학(상) ... 45] 저번 시간에 이어 연립부등식을 푸는 방법입니다. 저번에는 이렇게, https://blog.naver.com/masience/223150338225 구분되어 있는 형태였다면 오늘은 하나의 부등식으로 이어져있는 형태입니다. 이런 경우에는 두 파트로 나눠서 계산해주기만 하면 됩니다. 부등호 < 가 2개 있으니까 부등식도 두 개로 쪼개서 생각해주시면 되는거죠. 이렇게 바꿔서~ 저번시간이랑 똑같이 풀어주면 됩니다. 이 둘을 합쳐주면 답이 나오겠죠. 예시를 하나만 더 볼게요. 우선 부등식 2개로 쪼개야겠죠? 이렇게 쪼개서 계산해주면~ 이 둘을 합쳐주면 답이 나오겠죠.

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2024학년도 Epsilon(엡실론) 모의고사 1회 배포 공지

안녕하세요~ 성균관대학교 수학교육과 문제연구학회 엡실론(Epsilon)입니다! 저희 엡실론은 성균관대학교 수학교육과 재학생으로 구성된 학회입니다. ‘엡실론’이란 수학에서 아주 작은 양수를 의미하는데요! 저희는 2014년부터 공교육과 사교육 간의 격차를 엡실론만큼 줄이는 것을 목표로 전국의 수험생들을 위해 양질의 수학 모의고사를 매년 무료로 제작 및 배포하고 있습니다. 올해도 수험생분들의 학습에 조금이나마 도움이 되고자 엡실론 모의고사를 준비했습니다. 2024학년도 Epsilon(엡실론) 모의고사 1회는 선택과목 (확률과 통계, 미적분, 기하) 모두 제작되었습니다! 작년과 다르게 수험생분들의 감각을 위하여 실제 수능 시험지처럼 한 파일 안에 세 선택과목이 포함될 예정입니다! 8월 13일 일요일 오후 7시!!! 오르비 등 각 커뮤니티에 문제지가 업로드 될 예정입니다. 감사합니다!! ε: 이과감수성 구독자들 수학 실력 발휘 함 해야죠?? 다들 한번씩 풀어보자구요~

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절댓값 기호를 포함한 일차부등식을 푸는 방법

[예비 고1 수학(상) ... 46] 오늘은 절댓값 기호 ㅣ ㅣ 가 포함된 부등식을 푸는 방법을 알아보겠습니다. 본격적인 내용 시작에 앞서 중요한 내용 하나 말씀드리자면 절댓값 기호가 포함된 부등식을 푸는 방법은 두 가지입니다. 오늘 보여드릴 방법은 정석적인 방법이지만 계산이 복잡하고, 다음 포스팅에서 보여드릴 방법은 스킬풀하고 계산이 빠릅니다. (https://blog.naver.com/masience/223215887538 ) 가장 일반적으로 부등식을 푸는 방법은 <케이스 분류> 방법입니다. 절댓값 ㅣx - 3 ㅣ 보이시죠? 만약 x - 3 이 0보다 크다면 절댓값 기호는 의미가 없구요. 만약 x - 3 이 0보다 작다면 절댓값 기호의 영향으로 부호가 바뀌어서 x - 3 대신 - ( x - 3 ), 즉 - x + 3 로 바뀌겠죠? 이렇게 되리라는 말입니다. 부등식을 풀 때에도 이렇게 케이스를 나눠주셔야 해요. 이렇게 케이스를 나눠서 정리해주셔야 하고요. 계산을 마저 해주시면 이렇

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절댓값 기호를 포함한 부등식을 빠르게 풀기 (양변 제곱)

[예비 고1 수학(상) ... 47] 저번 시간에 이어 절댓값 기호 ㅣ ㅣ 가 포함된 부등식을 푸는 방법을 알아볼건데요. 저번 시간에는 정석적으로 x의 범위를 나눠서 구했다면 오늘은 범위 나누기 없이, 양변에 제곱을 취해서 푸는 방법을 알아보겠습니다. 우선 원리부터 가볍게 설명해보자면 절댓값 형태는 식이 두 가지로 쪼개집니다. 여기서 집중해야 할 사실은 둘 중 어느 것을 제곱해도, 즉 (x - 2)2 로 계산하나 {- (x - 2)}2 로 계산하나 그 값이 같다는 것입니다. 따라서, 절댓값 기호가 포함된 식을 제곱하면 절댓값 기호가 사라집니다. 이를 이용하면 절댓값이 포함된 부등식에서 양변을 제곱한 후 풀면 절댓값 기호 없이 계산이 가능합니다. 예시 가보겠습니다. 이런 문제가 있습니다. x>2 인 경우와 x<2 인 경우로 나눠서.. 풀기는 너무 귀찮잖아요? 그래서 양변을 그냥 제곱해주는겁니다. 이러면 절댓값 기호가 사라져서 계산만 해주면 되거든요. 이렇게, 무난하게 계산해주셔도 된다

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이항연산이란 무엇일까?

# 대수학 # 이항연산 # 1 이항연산이란 무엇일까? 이항연산(binary operation)이란 집합 S × S 에서 집합 S로 가는 어떠한 연산 *을 의미한다. 당연히 무슨 헛소리인지 이해가 잘 가지 않을 것이다. 이렇게 한번 생각을 해보자. 두 원소 2, 3가 자연수 전체의 집합 N 위에 있다. 따라서, 순서쌍 (2, 3)는 집합 N × N 위에 있다고 볼 수 있다. 여기서, *이라는 연산을 두 원소의 합으로 정의하면 *((2, 3)) 라는 식은 두 원소 2와 3을 더하라는 의미를 가지고 따라서 *((2, 3)) = 5 라는 연산값을 가지게 된다. 여기서 5는 집합 N 위에 있는 원소이다. *이라는 연산은 집합 N × N 에서 집합 N으로 가는 함수이고, 너무나 잘 알듯이 연산 *는 더하기라고 부르며 +라는 기호로 쓴다. 이항연산에는 어떤 것들이 있을까 우리가 너무 잘 알고 있는 덧셈, 뺄셈, 곱셈 등을 이항 연산이라고 볼 수 있다. 하지만, 이는 일반적인 경우에 성립하는

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이항연산이 닫혀 있기 위한 조건

# 대수학 # 이항연산 # 2 이항연산이 닫혀 있다? 어떤 원소 a, b 가 모두 집합 A 위에 있을 때, 이항연산 a * b = c 가 닫혀 있기 위해서는 원소 c 역시 집합 A 위에 존재해야 한다. 예를 들어, 덧셈은 실수 전체의 집합 R에 대해 닫혀 있다. 실수 a와 실수 b를 더하면 그 결과값 a+b 역시 실수가 나오기 때문이다. 비슷한 맥락에서 집합 R은 뺄셈, 곱셈에 대해서도 닫혀 있다. 하지만, 나눗셈은 실수 전체의 집합에 대해 닫혀 있지 않다. 일반적으로, 실수 a, b에 대하여 a ÷ b 역시 실수이다. 하지만, b = 0 인 경우에는 이항연산의 결과값이 실수가 아니기 때문이다. 따라서, 집합 R은 나눗셈에 대해 닫혀 있지 않다. 집합을 바꿔보자. 위 예시에서는 실수 전체의 집합을 예시로 들었다. 이번에는 자연수 전체의 집합 N을 기준으로 생각해보자. 자연수 전체의 집합은 덧셈과 곱셈에 대해 대해 닫혀 있다. 자연수끼리 더하거나 곱하면 그 결과값 역시 자연수이니

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'가환'인 이항연산

# 대수학 # 이항연산 # 3 이항연산의 가환 어떤 이항연산 *이 가환(commutative)이기 위해서는 모든 a, b에 대하여 a * b = b * a 여야 한다. 한마디로, 순서를 바꿔도 똑같다는 것이다. 일반적으로 쓰이는 덧셈, 곱셈은 가환이다. 2 + 3 = 3 + 2 라는 사실은 너무 당연하고 2 × 3 = 3 × 2 역시 너무나 당연하다. 하지만, 뺄셈과 나눗셈은 가환이 아니다. 2 - 3 ≠ 3 - 2 당연히 두 값은 다르고, 2 ÷ 3 ≠ 3 ÷ 2 당연히 다르다. 가환을 표로 그리면 이항연산 *을 표로 그려보자. 이 표에서 p * q는 세로줄 p, 가로줄 q 번째에 매칭되는 원소로 정의한다. 예를 들어, b 세로 b, 가로 c가 만나는 b가 되는 식이다. * a b c a b a c b a c b c a c b 이 이항연산은 가환이 아니다. a * c = c 이지만 c * a = a 이므로 a * c ≠ c * a, 즉 순서를 바꾸면 결과값이 달라지기 때문이다.

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'결합적'인 이항 연산

# 대수학 # 이항연산 # 4 이항연산의 결합성 어떤 이항연산 *이 결합적(assiciateive)이기 위해서는 모든 a, b, c에 대하여 (a * b) * c = a * (b + c) 여야 한다. 흔히 아는 결합법칙이기도 하다. 예를 들어, (2 + 3) + 5 = 2 + (3 + 5) = 10 이 성립하므로 덧셈은 결합적이라고 볼 수 있는 것이다. (2 × 3) × 5 = 2 × (3 × 5) = 30 이 성립하므로 곱셈 역시 결합적이라고 볼 수 있다. 하지만, (2 - 3) - 5 ≠ 2 - (3 - 5 ) 이므로 뺄셈은 결합적이지 않다. 표에서 결합적이기 위해서는 이항연산 *을 표로 그려보자. 이 표에서 p * q는 세로줄 p, 가로줄 q 번째에 매칭되는 원소로 정의한다. 예를 들어, b * c는 세로 b, 가로 c가 만나는 b가 되는 식이다. * a b c a b a c b a c b c a c b 대각선에 대해 대칭인지만 보면 판단할 수 있었던 가환과 달리 이항연산의

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진리표를 이용하여 다양한 명제 증명하기 (Law of Addition, Simplification, Double Negation)

안녕하세요~ 오늘은 <집합론> 에 나오는 명제 논리와 진리표에 대해 알아보겠습니다. 저번 시간에 알아봤던 진리표를 심화해서 활용하는 시간을 가지겠습니다. < P ⇒ P ∨ Q 가 항상 참임을 증명하기 (Law of Addition) > 저번 시간에 알아봤던 논리합 진리표를 그려보면 P Q P ∨ Q t t t t f t f t t f f f 이렇게 나옵니다. 여기에다가, 저번 시간에 공부했던 조건문을 추가하면 P Q P ∨ Q P ⇒ P ∨ Q t t t t t f t t f t t t f f f t P가 참인 경우에 P ∨ Q 도 항상 참이므로 P ⇒ P ∨ Q 가 항상 참이고, P가 거짓인 경우에 P ∨ Q 는 참일 수도, 거짓일 수도 있지만 이 경우에 조건문 P ⇒ P ∨ Q 는 항상 참이었죠. 따라서, P ⇒ P ∨ Q 는 항상 성립하는 명제입니다. < Q ⇒ P ∨ Q 가 항상 참임을 증명하기 (Law of Addition) > P ⇒ P ∨ Q 는 항상 성립하는 명제임을

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Axiom of Extent (외연 공리)

안녕하세요~ 오늘은 <집합론> 에 나오는 Axiom of Extent 에 대해 알아보겠습니다. 원문을 모두 한글로 바꿔서 최대한 쉽게 이해해볼게요. (class는 집합 set과 다른 표현으로, 구분을 위해 원문으로 썼습니다) Axiom of Extent, 외연 공리는 다음과 같이 정의합니다. A, B 는 모두 class 입니다. A = B iff (∀X ) [A ∈ X ⇒ B ∈ X and B ∈ X ⇒ A ∈ X] 만약 A를 포함하는 모든 class가 B도 포함하고 있고, 동시에 B를 포함하는 모든 class가 A도 포함하고 있다면 class A 와 class B 는 같은 class 이다. 해설을 조금 해보자면, A를 포함하는 모든 class 가 B를 포함하고 있으므로 A만 하나 달랑 있는 class 도 B를 포함해야 하니까... A는 B보다 같거나 큰 class 입니다. 반대로, B를 포함하는 모든 class 도 A를 포함하고 있으니까 B도 A보다 같거나 큰 class 겠죠. 이

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이차함수의 최대 최소

[예비 고1 수학(상) ... 38] 오늘 내용은 중학교 3학년 수학에서 이미 한번 보고 온 내용일텐데요. 본격적인 계산에 앞서 그래프 개형을 잠깐 구경하고 최대 최소가 무엇인지~를 가볍게 보는 시간입니다. 최대 최소를 구하기 위한 계산은 다음 시간에 다룰 예정이구요. 그럼 가볼까요? 이차함수 그래프의 개형은 밥그릇 모양이라는 사실을 알고 계실겁니다. 이렇게 생겼다 보니, 이차함수 그래프에는 최댓값 또는 최솟값이 하나 존재해요. 그림으로 설명해볼게요. 이렇게 생긴 이차함수 그래프가 있다고 생각해볼게요. 이 그래프에는 최솟값이 존재해요. 바로 이 초록색 선이죠. 빨간색 그래프 위의 그 어떤 점도 이 초록색 선 아래에 있지 않아요. 빨간색 그래프 위의 모든 점이 이 초록색 선 위에 있는거죠. 이렇게, 이차함수 그래프에서 어떤 점이 가장 아래에 있어 봤자 여기다! 라는 점을 최솟값이라고 부릅니다. 그렇다면 최댓값은 어디에 있느냐? 없습니다! 이차함수 그래프가 위쪽으로는 끝도 없이 뻗어나가

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이차함수의 최대 최소 구하기

[예비 고1 수학(상) ... 39] 오늘 내용은 중학교 3학년 수학에서 이미 한번 보고 온 내용일텐데요. 계산이 상당히 복잡해서 고등학생들도 어려워하는 내용입니다. 수능때까지 사용할, 기본으로 깔고 넘어가야 하는 내용이기 때문에 기억이 잘 나지 않으시는 분은 완벽하게 체크하고 넘어가시기를 바라겠습니다. 각오하시고... 가봅시다. 저번 시간에 이차함수 그래프가 어떻게 생겼는지, 이차함수의 최대 최소가 무엇인지를 살펴봤어요. 이차함수의 최대 최소 [예비 고1 수학(상) ... 38] 오늘 내용은 중학교 3학년 수학에서 이미 한번 보고 온 내용일텐데요. 본격적... blog.naver.com 오늘은 이차함수의 최대/최소를 구해볼건데요. 기억하셔야 하는 논리는 딱 하나밖에 없습니다. 어떤 덩어리의 "제곱"은 항상 0보다 같거나 크다!!!! 이거 하나만 딱 기억해 주세요. 예시를 들어볼게요. (x-2)2 라는, 제곱된 덩어리에 주목해주셔야 해요. 저 덩어리는 제곱된 형태이므로 항상 0이거나

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삼차방정식을 푸는 방법

[예비 고1 수학(상) ... 40] 중학교 1학년때 일차방정식을 푸는 방법을 배웠고, 중학교 3학년때 이차방정식을 푸는 방법을 배웠어요. 이제 고등학교에서는 삼차방정식, 사차방정식을 푸는 방법을 배웁니다. 오늘은 그 중에서도 삼차방정식을 푸는 방법을 알아볼거예요. 이차방정식을 어떻게 풀었는지 한번 떠올려볼까요? 이렇게 생긴 이차방정식을 풀기 위해서는 인수분해! 이렇게 하면 서로 곱해져 있는 두 덩어리 중 하나가 0이 되어야 한다! x - 2 덩어리가 0이어도 되고 ( x = 2 ) x - 3 덩어리가 0이어도 되죠 ( x = 3 ) 이렇게, x = 2 or x = 3 이렇게 답을 쓸 수 있었어요. 또는, 근의 공식을 써도 됐어요. 이차방정식 x2 - 5x + 6 = 0 에다가 근의 공식을 쓰면 이렇게, 똑같은 결과가 나왔겠죠. 요약하자면, 이차방정식을 푸는 방법은 1... 인수분해를 하거나 2... 근의 공식을 쓰거나 이렇게 두 가지가 있었어요. 대체 삼차방정식을 푸는데 왜 이차방

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[개념] 합의 법칙과 곱의 법칙

Season 2. 수학(하) - 3. 순열과 조합 #1 오늘은 수학(하)의 마지막 대단원, 순열과 조합의 첫 시간입니다. 수능 출제 범위인 확률과 통계와 연결되는 내용이다보니 특히 인문계 학생들이 집중해서 공부해주셔야 해요. [개념] 합의 법칙 이해를 돕기 위해서, 옷장을 한번 열어봅시다. 발로 그렸어요. 암튼 그래요. 옷장에 긴바지 두 벌과 반바지 세 벌이 있어요. 여러분이 바지를 골라서 입는 경우의 수는 몇 가지일까요? 긴바지를 입는 사건과 반바지를 입는 사건, 이 두 사건이 동시에 일어날 수 있는지를 생각해봐요. 긴바지와 반바지를 둘 다 입을래!! 라고 하면... 안되겠죠? 이 두 사건은 동시에 일어날 수 없는 사건입니다. 따라서, 긴바지를 골라서 입는 경우의 수 2가지와 반바지를 골라서 입는 경우의 수 3가지를 더해줘 바지를 골라서 입는 경우의 수는 2+3=5가지이다! 동시에 일어날 수 없는 경우 합의 법칙! 이렇게 기억해주시면 됩니다. [개념] 곱의 법칙 이번에도 이해를 돕

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[유형] 합의 법칙과 곱의 법칙

Season 2. 수학(하) - 3. 순열과 조합 #2 [개념] 합의 법칙과 곱의 법칙 Season 2. 수학(하) - 3. 순열과 조합 #1 오늘은 수학(하)의 마지막 대단원, 순열과 조합의 첫 시간입니다... blog.naver.com 저번 내용을 가볍게 요약하자면, 동시에 일어날 수 없는 사건이면 합의 법칙을 사용하고 동시에 일어나는 사건이면 곱의 법칙을 사용한다! 이것만 기억하면서 기본적인 문제들을 풀러 가보겠습니다. 유형 소개 문제 지금 분식점에서 음식 한 가지를 택해서 먹으려고 해요. 김밥, 라면, 볶음밥을 먹는 사건은 동시에 일어날 수 없습니다. 따라서, 음식 하나를 고르는 경우의 수는 4+4+3=10가지가 되겠네요. 이번에는 세 종류의 옷을 하나씩 조합해서 입으려고 해요. 모자, 티셔츠, 바지를 입는 사건은 동시에 일어나야 합니다. 따라서, 옷을 입는 경우의 수는 4×3×5=60가지가 됩니다. 고작 이런게 고등학교 수학...? 일 리가 없죠. 지금부터는 조금 꼬아서

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명제 논리와 진리표 (부정 ¬, 논리합 ∨, 논리곱 ∧)

안녕하세요~ 오늘은 <집합론> 에 나오는 명제 논리와 진리표에 대해 알아보겠습니다. 원문을 모두 한글로 바꿔서 최대한 쉽게 이해해볼게요. 명제 논리란 명제나 문장들 간의 관계를 의미합니다. 물론 문장들 간의 관계를 말로, ~가 참이면 ~도 참이다 하고 쓰면 수학이라는 학문 특유의 간지(...)가 안나겠죠? 오늘은 명제 논리를 기호로 쓰는 방법을 공부해보고, 이를 진리표로 그려보는 시간을 가져보도록 하겠습니다. <부정 ¬ 의 논리표> P ¬P t f f t 처음 보면 조금 헷갈릴 수 있지만 이해하면 간단합니다. "P"가 true 라면 "P의 부정"은 false 이고, "P"가 false 라면 "P의 부정"은 true 겠죠. 당연한 얘기입니다. <논리합 ∨의 진리표> 논리합이란 or(또는)라는 뜻을 가지고 있습니다. "저건 사과 또는 바나나이다." 라는 명제에서 사과여도 참이고, 바나나여도 참입니다. 두 가지 중 하나만 참이여도 전체 명제가 참인거죠. P ∨ Q , P 또는 Q 라는 명

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명제 논리와 진리표 (조건문 ⇒ 과 공허한 참의 증명 )

안녕하세요~ 오늘은 <집합론> 에 나오는 명제 논리와 진리표에 대해 알아보겠습니다. 진리표를 이용해서 조건문을 이해해보는 시간을 가지겠습니다. <조건문 ⇒의 진리표> 조건문이란 만약에 ~이면 ~이다 라는 뜻입니다. 지금까지 본 정의와 달리 매우 복잡해요. P ⇒ Q 라는 조건문 명제는 P가 거짓이거나 Q가 참이면 P ⇒ Q도 참입니다. 다시 말하면. P가 참임과 동시에 Q가 거짓인 경우에만 P ⇒ Q가 거짓입니다. P Q P ⇒ Q t t t t f f f t t f f t 논리가 좀 이상하게 다가오실 수 있는데요. P 가 거짓인 경우에는 P ⇒ Q가 무조건 참이라는 뜻입니다. 만약 2 + 2 = 5 이면 1 + 3 = 4이다 라는 뜻인데, 애초에 2 + 2 = 5 가 아니기 때문에 ~이면 이라는 말 자체가 성립하지 않아요. 이런 경우를 vacuous truth, 공허한 참이라고 부릅니다. 전제인 P가 거짓이면 명제가 상당히 어색해지지만 P ⇒ Q 는 무조건 참입니다. 이걸 공허한

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명제 논리와 진리표 (쌍조건문 ⇔)

안녕하세요~ 오늘은 <집합론> 에 나오는 쌍조건문에 대해 알아보고 진리표로 설명해 보겠습니다. 쌍조건문은 ⇔ 로 표현되는데요. P ⇔ Q 는 오직 P인 경우에만 Q가 참이다 라는 것을 의미합니다. "고등학교를 졸업해야 고졸 학력이다" 오직 고등학교를 졸업해야만 고졸 학력을 가지고요. 고졸 학력을 가진다는건 고등학교를 졸업했다는 뜻이죠. 요약하자면 뭐 하나가 참이면 다른 하나도 반드시 참인거죠. 조금 풀어서 써보자면 P 가 참이면 Q 역시 반드시 참이며, Q 가 참이면 P 역시 반드시 참이다~ 라는 뜻입니다. 기호로 써보자면 (P ⇒ Q) ∧ (Q ⇒ P). 만약 P라면 Q이다. 그리고, 만약 Q이면 P이다. 이걸 요약해서 쓴게 쌍조건문 P ⇔ Q 입니다. 이제 쌍조건문이 참인지 거짓인지 판단하는 진리표를 그려볼게요. P ⇔ Q = (P ⇒ Q) ∧ (Q ⇒ P) 라는 사실을 기억하시면서 이해해주세요. P Q P ⇒ Q Q ⇒ P P ⇔ Q t t t t t t f f t f f t

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진리표를 이용하여 Contrapositive Law 증명하기

안녕하세요~ 오늘은 <집합론> 에 나오는 명제의 증명에 대해 알아보겠습니다. 저번 시간에 알아봤던 진리표를 이용하여 증명하는 시간을 가지겠습니다. < (P ⇒ Q) ⇔ (¬Q ⇒ ¬P) 가 항상 참임을 증명하기 (대우) > 오늘 증명할 첫 번째 명제는 너무나도 유명한, 고등학교를 졸업하신 분들이라면 알고 계실 명제입니다. 어떤 명제가 성립하면 그 대우도 성립한다. 간단하게 표로 그려볼게요. 우선, 계속 하고 있는 조건문 진리표 하나. P Q P ⇒ Q t t t t f f f t t f f t 여기에다가 P, Q 의 역을 이용한 대우 진리표를 더하면? P ⇒ Q 의 참, 거짓과 ¬Q ⇒ ¬P 의 참, 거짓이 일치합니다. P Q P ⇒ Q ¬Q ¬P ¬Q ⇒¬P t t t f f t t f f t f f f t t f t t f f t t t t P ⇒ Q 가 참인 경우에 ¬Q ⇒ ¬P 역시 참이다, 이런 얘기가 됩니다. < (P ⇒ Q) ⇔ (¬P ∨ Q) 가 항상 참임을 증명하기

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이차방정식의 판별식 (실근과 허근 구별하기)

[예비 고1 수학(상) ... 33] 오늘 내용은 수능때까지 계속 나올 내용입니다. 삼차방정식, 사차방정식의 개형 따질때도 쓰는 내용이므로 정말 완벽하게 숙지해주셔야 합니다. 우리가 중학교에서 배웠던 근의 공식을 한번 떠올려볼게요. 여기에서, 중요한 파트는 여기라고 배웠어요. 저기 b2 - 4ac 파트가 (+) 가 나온다면 근의 공식을 간단하게 써서 근을 구할 수 있지만 b2 - 4ac 파트가 (-) 가 나온다면 어떡하죠? 음수의 제곱근은 계산이 불가능하니까 이런 경우 근이 없다고 표현했어요. 예를 들어, 이렇게 나오는데, 루트 -3 이건 불가능한 값이기 때문에 저 이차방정식 x2 + x + 1 = 0 은 근이 없다~ 라고 표현한겁니다. 따라서 이차방정식의 판별식은 이렇게 우리가 중학교에서 배웠습니다. 하지만, 고등학교 수학을 공부하고 있는 우리는 음수의 제곱근이 가능하다는 사실을 알고 있습니다. 바로 허수 i 를 이용해서 표현이 가능하다는 것이죠. 이렇게, 중학교 과정에서는 근이

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방정식과 함수 구분하기

[예비 고1 수학(상) ... 34] 중학교에서 우리는 방정식과 함수를 따로 배웠습니다. 방정식과 함수는 아예 다른 내용이었어요. 고등학교에서 배우게 될 수학에서는 방정식과 함수를 왔다갔다 하면서 다룰 수 있어야 합니다. 방정식을 풀다가도 함수로 써낼 수 있어야 하고 함수에서도 방정식을 찾아낼 수 있어야 하죠. 이제 본격적으로 방정식과 함수를 공부하기에 앞서서 오늘은 방정식과 함수의 정의를 알아보고 이들이 어떻게 연결되는지 알아보는 시간을 가지려고 합니다. (오래 기다리신 분들 정말 죄송합니다. 충분히 재정비하고 왔으니 끝까지 함께 공부해요!) 우선 방정식. 예전 단원에서 한번 공부한 적이 있는데요. 링크: https://blog.naver.com/masience/222954948774 방정식은 미지수에 특정한 값을 줘야 등식이 성립하는 식입니다. 예를 들어, x - 2 = 0 이라는 방정식이 있다면 x 자리에 2가 들어가면 등식이 성립하지만 다른 수가 들어가면 등식이 성립하지 않겠

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이차함수와 이차방정식의 해 (x축과의 교점 좌표)

[예비 고1 수학(상) ... 35] 오늘은 이차함수 그래프와 x축과의 교점을 이차방정식을 풀어서 구할 수 있다는 원리를 알아보겠습니다. 본격적으로 함수와 방정식을 연결해볼거예요. 제목, 그리고 오프닝에서 보셨듯이 이차함수 그래프에서 x축과의 교점은 이차함수를 이차방정식으로 바꿔서 풀면 쉽게 구할 수 있습니다. 예를 들어 설명해볼게요. 여기에 y = x2 - 4x + 3 이라는 이차함수가 있어요. 이 이차함수가 x축과 만나는 교점을 구하고 싶어요. 한번 생각해 보는겁니다. x축을 식으로 표현하면 y = 0 입니다. y 좌표가 0인 모든 점들을 모아놓은게 x축이거든요. 따라서, y = x2 - 4x + 3 와 x축의 교점을 구하라고 하면 y = 0 을 대입해서 방정식으로 바꾸고 풀어주면 이렇게 써주시면 됩니다. 이걸 교과서 설명을 빌려서 설명하자면 이렇게 쓸 수 있습니다. 어떤 함수 y = ax2 + bx + c 그래프가 x축과 만나는 두 점은 ax2 + bx + c = 0 이라는 이

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&lt;이과감수성&gt;과 함께한 2년

안녕하세요~ 이과감수성입니다. 어느덧 제가 블로그 활동을 시작한지 2년이 지났습니다. 지금까지 제 수험생활을 함께하신 여러분들에게 제 이야기를 조금 해볼까 합니다. 이제는 대학생이 된 이과감수성의 블로그 이야기! 거기에 제 고등학교 이야기까지 조금 더해봤습니다. 2021.03.09 ~ 2023.02.09 <이과감수성>의 블로그 이웃 694명 <이과감수성>의 블로그 방문 871,441회 제 광고 수익은 규정상 비밀로... 정말 감사합니다. 블로그를 처음 시작했던건 고2 시작때였는데요. 사실 처음 시작은 블로그가 아니었습니다. 처음에는 유튜브에서 "수학 15분" 이라는 채널에서 15분짜리 개념 설명이나 문제풀이 영상을 올렸어요. (지금은 흑역사라 비공개 처리했습니다..) 그런데 한정된 시간 안에서 영상을 만드려다 보니 영상 퀄리티가 떨어질 수밖에 없었고, 1년동안 조회수 300회 (제가 본게 200회 정도...ㅎ) 사람들에게 알려지지 못하고 묻혀버렸습니다. 사람들과 지식을 나누는게 꿈이

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이차함수의 판별식 (x축과의 교점 개수)

[예비 고1 수학(상) ... 36] 저번 시간에 이차방정식의 두 근을 구하면 이차함수 그래프와 x축의 두 교점을 구할 수 있다고 알아봤는데요. 만약에 이차함수 그래프가 x축과 만나는 교점이 없다면 어떻게 될까요? 예를 들어, y = x2 - 4x + 5 라는 그래프는 이렇게 생겼어요. 저번시간에 배운 대로라면 그래프의 함수식인 y = x2 - 4x + 5 에다가 y = 0 대입. 이 이차방정식에서는 근이 존재하지 않습니다. 따라서 그래프 역시 x축과 만나는 점이 없는거구요. 이렇게 해줘야 하는데.. 매번 너무 번거롭습니다. 그래서 어떤 이차함수 그래프가 x축과 만나는지, 아니면 만나지 않는지를 빠르게 판별해주는 하나의 공식을 만들었습니다. 이름하여 판별식! 오늘 한번 알아보겠습니다. 우선, 판별식이 뭔지는 이차방정식 단원에서 공부했어요. 링크: https://blog.naver.com/masience/222985363860 이런거였는데요. 근 = 함수 그래프와 x축의 교점 이 사실

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곡선과 직선의 위치 관계 (feat. 판별식)

[예비 고1 수학(상) ... 37] 저번 시간에는 곡선, 즉 이차함수 그래프와 x축의 위치 관계를 공부했어요. 링크: https://blog.naver.com/masience/223018304705 정말 간단하게 요약해보자면 이거였습니다. 이차함수 곡선과 x축 사이의 교점 개수를 세는 거였어요. 오늘은 x축에서 한 단계 진화합니다. 꼭 x축이 아니더라도 다른 직선일 수도 있어요. 이렇게, 교점 개수를 셀 수 있는겁니다. 사실 내용은 3줄컷이기는 합니다. 1 . 두 함수를 = 기호로 엮는다. 2 . = 기호 한쪽으로 몰아넣는다. 3 . 판별식을 때린다. 이게 끝이예요. 예를 들어볼게요. 1단계! 두 함수를 등호 = 으로 묶는다! 2단계! 한쪽으로 이항해서 ____ = 0 꼴이 나오게 해줍니다. 3단계! 판별식 때려줍니다. 대충 이렇게 그릴 수 있다는거! 하나만 더해볼까요? 1단계! 두 함수를 등호 = 으로 묶는다! 2단계! 한쪽으로 이항해서 ____ = 0 꼴이 나오게 해줍니다. 3

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Limit Laws (극한 법칙)

안녕하세요~ 오늘은 <미분적분학 I> 에 나오는 Limit Laws 에 대해 알아보겠습니다. 원문에 나와있는 국제어 표현을 최대한 살렸습니다. <합의 법칙> <차의 법칙> <상수 곱의 법칙> <곱의 법칙> <몫의 법칙> 분모가 0이 아니라는 조건이 붙어요. 아마 여기까지가 고등학교때 다 배우셨던 내용일거예요. 이제는 살짝 생소할 수 있는 법칙들이 등장합니다. <멱의 법칙> 지수 n은 양의 정수라는 조건이 붙어야 해요. <제곱근의 법칙> <근호 법칙> 지수 n은 양의 정수라는 조건은 당연히 붙어야 하고요. 고등 수학 I 에서 짝수 거듭제곱근의 개수에 대한 내용을 배웠어요. 음수의 짝수제곱근은 모두 허수이다... 라는 내용을 배웠는데요, 두 번째 조건이 이 내용입니다. n이 짝수일 때, f(x)의 극한값이 존재하기 위해서는 f(x)의 극한값이 양수여야 하는거죠. <이 외의 내용들> 이건 명칭이 없는건지, 아니면 저희 교수님이 설명을 안해주신건지...

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Properties of Continous Functions (연속함수의 성질과 종류)

안녕하세요~ 오늘은 <미분적분학 I> 에 나오는 연속함수의 성질에 대해 알아보겠습니다. 고등학교에서 배운 내용과 크게 다르지 않습니다. 연속인 두 함수는 더하고, 빼고, 곱하고.. 무슨 지랄을 해도 연속성이 유지된다는 내용입니다. 그렇다면, 어떤 형태의 함수가 연속함수일까요? 아래 함수들은 정의역 전체에서 연속인 함수들입니다. 중요한건 정의역 전체에서 연속이라는 점입니다. 유리함수는 분모가 0이 되도록 하는 x값은 정의역에 포함되지 않고 무리함수는 근호 안의 값이 음수가 되도록 하는 값이 정의역에 포함되지 않죠. 모든 실수에서 연속인게 절대로 아닙니다.

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The Squeeze Theorem (샌드위치 정리)

안녕하세요~ 오늘은 <미분적분학 I> 에 나오는 The Squeeze Theorem 에 대해 알아보겠습니다. 한국어로는 샌드위치 정리라고도 부르는데요. 원문에 나와있는 국제어 표현을 최대한 살렸습니다. 우선, 국제어 정의부터 보시죠. 한국어로 번역하자면, 당연한 얘기이겠지만, g(x)에 대한 극한이 f(x)와 h(x) 사이에 있고, f(x)와 h(x)의 극한값이 L로 같다면 당연히 그 사이에 있는 g(x)의 극한값 역시 L이겠죠. 뻔한 소리를 어렵게 써놓았을 뿐입니다. 샌드위치 정리는 다양한 부등식을 증명하는데 유용합니다. 이런 과정으로 증명하는데 사용할 수 있습니다. 직접적으로는 sin1/x.. x2.. 극한값 계산하기 힘들었지만 샌드위치 정리를 사용하니 간단하게 나왔죠?

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허수 i 의 2023제곱 ( i 의 제곱 순환성 확인하기)

[예비 고1 수학(상) ... 24] 저번 시간에 허수 i 에 대해서 자세하게 알아봤었죠? 오늘은 허수 i 의 가장 중요한 성질인 n제곱에 초점을 맞춰서 살펴보겠습니다. 허수 i 의 개념만 이해했다면 정말 간단하고 짧으니까 편하게 봐주세요. i 의 정의는 제곱해서 -1 이 나오는 수라고 했어요. 그렇다면, i 를 3제곱, 4제곱하면 어떻게 될까요? i3 은 이렇게 쓸 수 있습니다. i × i2 로 쪼개서 생각하면 i2 = -1 이므로 i3 = - i 라고 생각할 수 있는거죠. 사실 정말 중요한건 i 의 4제곱인데요. i4 를 i2 × i2 로 쪼개서 생각하면 (-1) × (-1) = 1 이렇게 됩니다. 즉, i4 = 1이 되는거죠. 이 성질을 이용하면 i5 부터는 i4 를 버리고 계산이 가능하죠. 따라서, 이렇게 됩니다. i1 = i i2 = - 1 i3 = - i i4 = 1 i5 = i4 × i = i i6 = i4 × i2 = - 1 i7 = i4 × i3 = - i i8 =

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복소수의 정의 (실수부분, 허수부분)

[예비 고1 수학(상) ... 25] 우리가 중학교에서 배운 수학은 실수 체계였습니다. 실제로 존재하고, 그래프에 표현할 수 있는 수였죠. 하지만, 고등학교에 올라온 뒤 허수 i 라는 개념을 배웠습니다. 허수 i 는 실제로 존재하지 않는 수로, 실수로 설명할 수 없는 개념이었어요. 따라서, 고등 수학은 중학교의 실수 체계에서 한 단계 나아간 복소수 체계입니다. 복소수는 실수와 허수가 섞여 있는 형태입니다. 이게 기본형입니다. 예를 들어, 3 + i , 12 - 3i 와 같이 실수와 허수가 덧셈, 뺄셈으로 엮여있는 형태죠. 여기에서 실수부분과 허수부분을 구분하는데요. 헷갈리시는 분들이 정말 많아요. 실수부분과 허수부분 모두 하나의 숫자입니다. 예를 들어, 3 + 2i 라는 복소수가 있다면 실수부분은 3, 허수부분은 2입니다. 허수부분이 2i 라고 착각하시는 분들이 정말 많은데 허수부분은 i 앞에 달려있는 상수입니다. 교과서 문제입니다. 출처: 신사고 디지털교과서 고등학교 수준이라는게

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복소수 VS 허수 (실수도 복소수일까?)

[예비 고1 수학(상) ... 26] 저번 시간에는 복소수에 대해서 알아봤고 그 전 시간에는 허수에 대해서 알아봤죠. 복소수와 허수. 같은 용어를 다르게 쓴 것일까요? 아니면 뭔가 차이가 있는걸까요? 복소수와 허수는 다른 개념입니다. 복소수의 기본 형태. 여기서 b = 0 이면 어떻게 될까요? 3 + 0i. 이건 허수가 아닙니다. 그냥 3이니까 허수 i 가 없는 실수죠. 이런 경우에도 복소수라고 할 수 있을까요? 네, 이것도 복소수입니다. 허수 부분이 0이어도 복소수예요. 한마디로 요약하자면, 모든 실수는 복소수이다! 입니다. 우리가 1이라는 숫자를 보더라도 이건 1 + 0i 이니까 실수부분 1, 허수부분 0인 복소수입니다. 이런 식으로 생각하면 모든 실수가 복소수 안에 들어가죠. 반대로, 여기서 a = 0 이면 어떻게 될까요? 그냥 3i 를 주더라도 이걸 0 + 3i 니까 실수부분 0, 허수부분 3인 복소수입니다. 모든 허수도 복소수이다! 이겠죠. 이걸 그림으로 표현하면 이렇게 됩

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다양한 수들의 관계 총정리! (자연수, 유리수, 무리수, 실수, 허수?)

[예비 고1 수학(상) ... 27] 본격적인 복소수의 계산에 들어가기에 앞서 우리가 초딩 때부터 10년동안 배워온 수들을 쭉 떠올려보고 이들의 관계를 떠올려보는 시간을 가지려고 합니다. 자연수 (Natural Number) 자연. 영어로 Nature 이죠. 직역이나 다름없습니다. 자연에 존재하는 수! 사과 1개, 2개, 3개, ... 와 같이 1, 2, 3, 4 ... 이렇게 자연 상태에서 셀 수 있는 수입니다. 정수 (Integer) Integrate. '통합하다' 에서 나온 용어죠. 분수나 소수와 같이 쪼개진 수가 아니라 하나의 수를 통째로 의미하는 용어입니다. 1, 2, 3, 4 와 같은 자연수 뿐 아니라 -1, -2, -3, -4 와 같이 음수여도 통째로 1, 2, 3 이 포함되었다면 정수입니다. 그리고 마지막 가족인 0 이 있죠. 그림으로 나타내자면 정수는 세 가지로 구분됩니다. 양의 정수 (자연수) 0 음의 정수 유리수 (Rational Number) Rational.

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켤레복소수

[예비 고1 수학(상) ... 28] 저번에 복소수의 실수부분과 허수부분에 대해 공부했죠? 링크: https://blog.naver.com/masience/222966109560 오늘은 저 내용을 기억하면서 켤레복소수가 무엇인지 알아보도록 하겠습니다. 본격적인 계산에 들어가기 전에 몸풀기 느낌이니 편하게 봐주세요. 다음 시간부터는 복소수로 사칙연산 하니까 계산이 참 길어져요. 켤레복소수의 정의는 이겁니다. 실수부분이 같고, 허수부분의 부호가 반대인 복소수. 실수부분 3 은 둘이 같지만 허수부분은 2i, -2i 로 부호가 반대죠. 켤레복소수는 기호로 복소수 위에 긴 작대기를 하나 그어서 표현해요. 이렇게 부호로 설명하는 겁니다. 예시를 조금 보여드리자면 이렇게, 실수 부분은 그대로 두고 i 가 들어있는 허수 부분만 부호를 바꿔주시면 됩니다. 이제, 헷갈리는 경우의 켤레복소수를 보여드릴게요. 우선, 실수 부분이 0인 경우. 이렇게 부호만 바꿔주면 됩니다. 4i 라는건 0 + 4i 라는

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복소수의 덧셈과 뺄셈 (허수 i가 들어간 식은 어떻게 더할까?)

[예비 고1 수학(상) ... 29] 오늘부터는 복소수의 사칙연산이 시작됩니다. 곱셈은 계산이 길고, 나눗셈은계산이 조오오온나 길어요. 다행히도 오늘 내용인 덧셈과 뺄셈은 정말 간단해요. 딱 하나만 기억하면 되거든요. 실수부분끼리, 허수부분끼리 각각 더하거나 뺀다. 간단한거죠. 예를 들어 이런 덧셈이 있다면 이런식으로, 실수 부분인 3과 5를 더해서 8을 만들고 허수 부분인 4i 와 2i 를 더해서 6i 를 만들면? 8 + 6i 가 나옵니다. 실수 부분끼리, 허수 부분끼리 각각 더하는 겁니다. 뺄셈도 비슷한 맥락이죠? 실수 부분끼리, 허수 부분끼리 각각 뺍니다. 역시 실수 부분은 5 - 4 = 1 허수 부분은 6i - i = 5i. 이렇게 각각 계산해서 붙여주면 됩니다. 교과서에 나와있는 공식은 이렇습니다. 하지만 제가 교과서는 겉멋이 든 책이라고 했었죠? 실수 부분끼리, 허수 부분끼리 각각 더하고 뺀다! 이거만 기억하면 저런 공식 따위는 몰라도 됩니다. 이렇게 숫자끼리 i끼리 계산

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복소수의 곱셈 (허수 i가 들어간 식은 어떻게 곱할까)

[예비 고1 수학(상) ... 30] 저번 시간에는 허수 i 가 들어간 덧셈과 뺄셈을 알아봤는데요. 오늘은 허수 i 가 들어간 곱셈을 처리하는 방법을 알아보겠습니다. 저번 시간은 단순히 실수부분 허수부분 짝짓기 게임이었다면 오늘은 좀 복잡한 계산이 들어가요. 오늘 내용을 공부하기에 앞서서 중요한 내용 딱 한 가지만 복습할게요. 바로 허수 i 의 정의. i 를 제곱하면 -1이 나온다는 사실! i2 = -1 꼭 기억해주셔야 합니다. 이제 본격적으로 복소수의 곱셈을 공부해보겠습니다. 우선, 교과서에 나와있는 공식을 보여드릴게요. 제가 계속 얘기하고 있지만, 교과서 공식 외우는건 무의미해요. 그 원리를 생각해주셔야 합니다. 중학교 곱셈공식에서 x 가 허수 i 로 바뀌었을 뿐입니다. 전개를 한번 직접 해보세요. 이렇게 나옵니다. 덧셈은 실수부분끼리, 허수부분끼리 각각 해준다고 배웠는데요. ac 는 실수부분, adi, bci 는 허수부분입니다. 그리고, i2 = -1 이었으니까... bdi2

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[2022 마이 블로그 리포트] 올해 활동 데이터로 알아보는 2022 나의 블로그 리듬

저와 같은 어려움을 겪는 사람들을 돕기 위해 만든 소소한 블로그를 너무 많은 분들이 사랑해 주셔서 감격스러운 한해였습니다. 2022 마이 블로그 리포트 2022년 올해 당신의 블로그 리듬을 알아볼 시간! COME ON! campaign.naver.com

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복소수의 나눗셈 (분모에 i 가 있는 분수의 유리화)

[예비 고1 수학(상) ... 31] 지금까지 복소수의 덧셈, 뺄셈, 곱셈을 공부했는데요. 오늘은 최종 보스인 나눗셈을 알아보도록 하겠습니다. 분모에는 유리수가 들어가야 한다. 중학교에서 배운 내용이었어요. 이렇게, 분모에 루트 2라는 무리수가 들어있다면 분모가 유리수가 되도록 유리화 해줬죠. 분모에 허수 i 가 들어가는 경우도 마찬가지 입니다. 분모가 유리수가 되도록 유리화해야 합니다. 예를 들어 설명해볼게요. 분모에 1 + i 라는 허수가 들어있습니다. 어떻게 해야 이걸 유리수로 바꿀 수 있을까요? 정답은 합.차 공식을 이용한다! 입니다. 분모와 분자에 각각 1 - i 를 곱해볼게요. 이렇게 나옵니다. 합.차 공식을 이용하면 상수와 i2 부분만 남게 되는데 i2 = - 1 이므로, 허수부분이 모조리 없어지게 되는겁니다. 따라서 분모에는 유리수(숫자)만 남게 되는겁니다. 하나만 더 해볼까요? 분모가 합.차 공식이 되도록 분모 분자에 잘 곱해주면 이렇게! 분모의 i 가 합.차 공식에

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이차방정식의 근과 계수의 관계

[예비 고1 수학(상) ... 32] 오늘 내용은 중학교에서 이미 배웠던 내용입니다. 복습 한번 하고, 식으로 증명까지 해보도록 하겠습니다. 이차방정식의 일반형. 이런 방정식에서 이라고 배웠습니다. 간단한 예시로 설명하자면 이런 이차방정식에서 두 근의 합 = 4 두 근의 곱 = 3 이렇게 되는 식입니다. 실제로 인수분해를 해봐도 합은 4, 곱은 3 이라는 결과가 나오죠? 이걸 식으로 증명할 수도 있습니다. 이 방정식에서 근의 공식을 써주면 이렇게 나오잖아요? 저 두 근을 더하면 이렇게 나오고 곱하면 이렇게 나오게 되는거죠. 증명까지는 모르셔도 되지만, 이런 방정식에서 이건 자유자재로 쓰실 수 있어야 합니다.

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나머지정리: 다항식의 나눗셈에서 나머지 쉽게 구하기

[예비 고1 수학(상) ... 17] 오늘 알아볼 내용은 나머지정리 입니다. 저번 시간에 알아봤던 P(x) = (x-a)Q(x) + R 형태 기억나시나요? 링크: https://blog.naver.com/masience/222955822093 어떠한 다항식 P(x) 를 (x-a) 라는 일차식으로 나누었을 때 그 나머지 R을 간단하게 구하는 방법이 나머지정리 입니다. 저번시간에 공부한 내용을 요약하자면 n차식으로 나누면 그 나머지는 n-1 차식이 되었어요. 다항식 P(x)를 3차식으로 나누면 나머지는 2차식 x2+x+ 이 되었고요. 다항식 P(x)를 2차식으로 나누면 나머지는 1차식, x+ 이 되었어요. 나머지정리는 다항식 P(x)를 1차식으로 나누었을 때 그 나머지가 0차식, 즉 상수가 나온다는 점을 이용합니다. 이를 저번 시간에 식으로 라고 표현한다고 배웠죠. 이 식을 이용해서, R 값을 구하기 위한 추리 게임을 시작할게요. (이해가 가지 않으시는 분은 스크롤 내리셔서 예시 문제를

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인수정리: 인수분해를 빠르게 하는 방법

[예비 고1 수학(상) ... 18] 오늘은 나머지정리에 대한 이해가 기반이 되어야 쉽게 이해할 수 있는 내용입니다. 링크: https://blog.naver.com/masience/222956902682 나머지정리만 이해하셨다면 인수정리는 그냥 따라오는 보너스일 뿐이죠. 그러나 이 둘 사이에 가장 큰 차이점이 있다면 나머지정리는 포기해도 내신 한 문제를 못 풀면 되지만 인수정리는 이해하지 못하면 수학 II 의 미분 적분을 모조리 날리고 수능까지 무조건 망하게 되어있습니다. 앞으로 3차식, 4차식을 인수분해 해야 할텐데 인수정리 없이는 불가능에 가깝거든요. 내용을 보러 가시죠. 나머지정리 내용은 이러했습니다. 쉽게 설명하자면, 이런 문제에서 몫을 임의로 Q(x) 로 잡으면 이렇게 되고, x = 1 을 대입해서 Q(x) 를 날려버리면 나머지 R 을 바로 구할 수 있어요. 여기서 창의력을 발휘해볼까요? 만약에 문제가 이렇게 되었다면? 아까 했던대로 몫을 Q(x) 로 잡아보면 이 식에다가

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인수를 빠르게 찾는 방법

[예비 고1 수학(상) ... 19] 인수정리 링크: https://blog.naver.com/masience/222956984945 저번 시간에는 인수정리에 대해 알아봤습니다. 중학교에서 배웠던 크로-스 인수분해가 불가능한 3차, 4차식도 인수분해할 수 있는 좋은 방법이었죠. 한 마디로 요약하자면, x2 - 3x + 2 에 x = 1 을 대입하면 0이 되므로 x2 - 3x + 2 = ( x - 1 )Q(x) 형태로 인수분해할 수 있다 ~ 이렇게, 인수분해에서 ( x - a ) 형태를 찾아주는 방법이었어요. 하지만... 식이 만약에 2x3 -7x2 + 2x + 3 과 같이 0이 되도록 하는 x값을 찾기 어려운 형태라면? 한번 해보세요 이런 경우 인수분해는 정말 어려울 수 있어요. 위 예시는 정말 간단한 예시고, 사실 저는 암산이 가능해요. 딱 보면 x = 1, x = 3 넣으면 된다는게 보이거든요. 그래서 ( x - 1 ) ( x - 3 ) ( 2x + 1) 라고, 세로 나눗셈 없이

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인수분해 공식 총정리

[예비 고1 수학(상) ... 20] 사실 오늘 내용은 어떻게 설명할까 고민을 정말 많이 했습니다. 방법이 없거든요. 이건 쉽게 할 방법이 없습니다. 곱셈공식을 거꾸로 할 뿐이죠. 그냥 많이 해봐야 해요. 그래서 오늘은 인수분해 공식 총 정리 시간으로 가져왔습니다. 중학교에서부터 고등학교까지, 모든 곱셈공식을 다 모아왔어요. 그걸 거꾸로 하면 인수분해 공식이 됩니다. 중학교 곱셈공식부터 가겠습니다. 자세하게 설명하지는 않아요. 중3 때 다 했던 내용입니다. < 공식 1 : 완전제곱식 > < 공식 2 : 합·차 공식 > < 공식 3 : 합·곱 공식 > < 공식 4 : 곱·곱 공식 > 설명 안해드리려고 했는데... 전 이런 공식 보는걸 정말 싫어해서 크로스 인수분해 한번만 보여드리고 갈게요. 자세한 설명은 생략합니다. 이게 어려우신 분은 중학교 교과서 보고 오세요. 중학교 3학년 수학에 등장합니다. 이제는 고등 수학 (상). 나름 고등학교 수학이고, 제가 다뤘기 때문에 리버스 곱셈공식과

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치환을 이용하는 복잡한 인수분해

[예비 고1 수학(상) ... 21] 이 문제를 풀어볼까요? ( x + 1 )( x - 1 ) 이라고, 중3도 할 줄 알아요. 이번에는 이걸 풀어보죠. 어라라? 4차식..? 어디서 많이 보던 간단한 형태기는 한데.. 4제곱은 어떻게 인수분해 하는걸까요? 오늘은 이렇게, 자주 보던 패턴이지만 차수가 높거나 복잡한 형태의 다항식을 치환해서 인수분해하는 방법을 살펴보겠습니다. 치환. substitution. 어떠한 덩어리를 하나의 문자로 바꾸는 방법입니다. 복잡해 보이는 문제를 간단하게 보이게 하는거죠. 이 문제에서는 x2 = A 라고, 새로운 문자 A로 바꿔서 계산하면 됩니다. A 외에도 자기가 좋아하는 문자로 바꾸면 돼요. 이렇게 하면 인수분해가 간단하게 되죠. 하지만, 답을 이렇게만 쓰면 안됩니다. A 라는 문자는 우리가 임의로 만든 문자이기 때문에 문제를 낸 사람은 A 가 뭔지 몰라요. A = x2 로 다시 바꿔서 답을 써줘야 합니다. 이렇게 해두고 마저 인수분해! x2 - 1 은

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조립제법: 인수분해를 빠르게 하는 방법

[예비 고1 수학(상) ... 22] 지금까지 공부했던 복잡한 인수분해 방법. 세로로 나누고, P(x)=(x-a)Q(x) 꼴로 바꾸고... 머릿속에서 깨-끗하게 날려버리셔도 됩니다. 오늘부터는 웬만한 인수분해가 조립제법으로 끝납니다. 인수정리 → 조립제법 코스를 타면 인수분해 95%는 15초컷. 어떻게 하는 것이냐? 보여드릴게요. 우선, 원리를 간단하게 설명해보자면 세로로 하는 나눗셈에서 숫자만 가지고 계산하는 겁니다. 세로로 하는 나눗셈은 (링크: https://blog.naver.com/masience/222953792896) 다항식의 나눗셈 (세로로 쉽게 계산하기) [예비 고1 수학(상) ... 12] 드디어 다항식의 곱셈, 곱셈공식이 끝나고 오늘 알아볼 내용은 다항식의 나눗... blog.naver.com x2, x , 상수가 모두 섞여 있어서 계산이 복잡했어요. 이 계산을 숫자들만 가지고 조금 간단하게 해보는 겁니다. 딱 하나만 기억해주세요. 숫자들만 가지고 인수정리 → 조

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허수 i : 제곱해서 음수가 되는 수

[예비 고1 수학(상) ... 23] 중학교에서 제곱하면 무조건 양수가 된다고 배웠어요. 2를 제곱하면 22 = 4 -2를 제곱해도 (-2)2 = 4 항상 양수가 나왔죠. 그렇다면, 제곱해서 -4 가 되는 수는 없을까요? 오늘은 제곱해서 마이너스가 나오는 수! "허수" 라고 부르는 상상의 수 i 에 대해서 알아보겠습니다. i (Imaginary Number, 상상의 수) 결론부터 말하자면, 이미 눈치채셨겠지만 제곱해서 음수가 나올 수 있습니다. 물론, 중학교에서 배웠듯이 우리가 알고 있는 1, 2, 3 이런 일반적인 수들은 아무리 제곱해도 무조건 양수, (+)값을 가지겠죠. 따라서, 제곱해서 음수가 나오는 '수'는 실제로 존재하지 않는, 허상의 수인 허수라는 개념으로 배웁니다. 우리가 자연수는 1, 2, 3 이렇게 센다면 허수는 i, 2i, 3i 이렇게, i 라는 단위를 이용해서 셉니다. 허수 i 는 이렇게 정의합니다. 제곱해서 -1 이 되는 수를 i 라고 정의합니다. 이런 수는 우

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좌표평면에서의 각

많은 사람들이 수학을 포기하는 이유는 이 좌표평면 때문이라는 생각이 듭니다. 숫자를 그림으로 바꾸어 나타내는 것은 항상 헷갈리죠. 하지만 수학은 숫자와 문자를 그래프로 그리는 일의 연속입니다. 오늘은 저번 포스팅에서 알아봤던 "각"의 개념을 좌표평면에 나타내 보겠습니다. 우선, 저번에는 간단하게 하고 넘어갔던 '동경'과 '시초선'에 대해 다시 알아보겠습니다. '시초선'은 고정된 반직선을 의미해요. 절대 움직이지 않죠. '동경'은 움직이는 반직선을 의미해요. 한 점을 중심으로 회전할 수 있죠. 좌표평면에 각을 나타낼 때에는 주로 x축의 양의 부분을 시초선으로 고정시킨답니다. 동경이 어디에 있냐에 따라 각의 크기가 달라지겠지요. 위와 같은 그림에서는 각의 크기가 60+360n 이 되겠죠? 하지만, 위 각에서 '작은 부분'은 60가 맞지만 '큰 부분'은 300가 될 수도 있지 않을까요? 이 질문에 대한 답으로 저번 포스팅에서 다뤘던 '방향'에 대해 떠올려볼게요. "반시계방향"은 기본적인

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두 동경의 위치 관계

사실 지금까지 공부했던 일반각과 사분면의 각이 문제로 나오는 일은 많지 않답니다. 고2 수학에서 이렇게 단순하게 360가 반복되고 어쩌고 하는걸 물어볼 리가 없죠. 하지만 오늘 알아볼 내용은 다릅니다. 반드시 시험에 나오는 내용이죠. 조금 헷갈릴 수는 있지만 이해하고 나면 정말 쉬워서 한 문제는 먹고 들어가는 거예요. 책에는 이따구로 나와있습니다. 사실 이런식으로 써놓은 책들을 보면 왜 많은 사람들이 수학을 포기하는지 이해가 되네요. 오늘은 이 복잡하게 정리되어있는 개소리들이 사실은 얼마나 간단한지 알아보도록 할게요. 우선, 첫번째는 두 동경이 일치할 때예요. 첫 시간에 이런 사진을 본 적이 있는데요. 이 각의 크기는 일반각으로 30+360n이라고 나타냈어요. '동경이 일치한다'는 것은 30는 변하지 않고 n의 값만 변하는거죠? (1시 30분과 4시 30분에 분침이 같은 위치를 가르키는 것처럼요.) 뭐 알파네, 베타네 하면서 뭔가를 복잡하게 써놨는데요. 그건 알 바 아니고 중요한건

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두 동경의 위치 관계 문제

저번 시간에 동경의 위치 관계를 다섯 가지 알아봤어요. 헷갈리는 개념을 배웠으니 이제 어떤 식으로 문제가 나오는지를 봐야겠죠? 사실 빈출 유형은 하나밖에 없어요. 바로 보러 갈게요. 뭔가 복잡해 보이지만, 공부했던 대로만 하면 전혀 어렵지 않답니다. 우선, 동경이 일치하는 경우에는 "뺐을 때 360n의 형태" 라고 공부했었죠? 7θ 와 θ 를 뺐을 때 360n의 형태가 나온다면 되겠네요. 너무 간단한 계산이죠? 여기서 90 < θ < 180 라고 조건이 주어졌기 때문에 n=2를 대입해서 θ의 값은 60x 2=120 가 되겠습니다. (n=1이면 60n=0, n=3이면 60n=180 이므로 조건 성립 X) 생각보다 너무 간단해서 놀라셨죠? 딱히 풀 문제가 없다는 생각은 드는데... 여기서 끝내긴 아쉬우니 대칭 문제 하나만 더 풀어드릴게요. 위에 소개했던 문제와 똑같이 하면 되겠죠? 두 동경이 y축 대칭인 경우에는 "더했을 때 360n+180" 라고 공부했었네요, 바로 계산해볼까요? 이번

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호도법

지금까지는 각도의 단위를 '도()' 라고 배우고 사용했었죠? 이렇게 한 바퀴를 360로 보고 각의 크기를 나타내는 방법을 육십분법 이라고 불러요. 그런데, 고2 수학부터는 이 육십분법을 거의 사용하지 않습니다. 오늘은 호도법에서의 새로운 각의 크기 단위인 라디안에 대해 알아보겠습니다. 영어 단어를 한번 살펴볼까요? radian ratio(비율), radius(반지름) 과 관련된 단어처럼 느껴지네요. (제 뇌피셜입니다만) 수학적 정의는 원에서 내리는데요, 다음과 같습니다. "반지름과 호의 길이가 일치하는 부채꼴의 중심각의 크기" 뭐라는건지 하나도 이해가 안되는 개소리네요. 이해하기 위해서는 그림으로 이해해야 합니다. 부채꼴 BOA는 반지름과 호의 길이가 같은 부채꼴입니다. 이런 부채꼴의 중심각의 크기를 1라디안 이라고 정의하는거죠. 1라디안의 값은 항상 57.3 정도로 일정하답니다. 이 그림에서 반지름이 1이라고 하면 호의 길이는 2입니다. 호의 길이가 반지름의 두 배 이므로 이 각의

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부채꼴의 호의 길이와 넓이 문제

저번 포스팅에서 부채꼴 문제는 오늘 다루겠다고 했었죠? 기초적인 문제부터 바로 만나보겠습니다. EBS 중학사이트 중학교에서 이런 문제가 나오면! 일단 당황. 계산 복잡하죠. 그.러.나. 호도법을 이용하면 겁나게 쉽다는 사실! 우선 공식을 떠올릴까요? 호의 길이 = 반지름 x 중심각 정답은 4번 120가 되겠습니다. 이렇게 육십분법과 호도법을 자유롭게 넘나들어야 쉽게 풀 수 있어요. 아쉬운 점은, 고2 수학에서 이런 중등 수준의 문제가 나오지 않는다는 사실입니다. 복잡하게 변형해서 나오거나, 다른 단원의 내용과 엮어서 나오죠. 어떤식으로 나오는지 한번 볼까요? 그림은 없고, 주어진 것도 아무것도 없는데 최댓값을 물어보고 자빠졌네요. 하지만, 그림을 그려보고 나면 그다지 어렵지 않습니다. 반지름을 r이라고 하면 호의 길이는 8-2r이 되겠죠. 공식 한번 떠올려 주면! 부채꼴의 넓이 = 반지름 x 호의 길이 / 2 넓이 한번 계산해 볼까요? 최댓값 구하는 방법은 중3과 고1 이차함수에서

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중학 삼각비 총정리 (복습)

* 오늘 내용은 중3 '삼각비'단원의 내용입니다. 오늘은 삼각함수를 들어가기 앞서 삼각비가 뭐였는지 한번 간단하게 짚고 가겠습니다. 사실 삼각비는 (간지가 생명인) 수학에 생명(겉멋)을 불어넣어준 존재였죠. Sin Cos Tan 하나씩 천천히 살펴볼게요. 뭔가 공부했었던거 같기는 한데... 기억이 안나죠? 오늘은 기억을 되살리는 의식을 치르겠습니다. 이렇게 생겨먹은 직각삼각형은 토나오게 봤었던 것 같습니다. 오늘은 이 곰돌이 뒤지는 이모티콘을 자주 쓰게 되네요. 뭔가 sin cos tan A B C 에 분수에 뭐가 어쩌구 저쩌구 하니까 돌아버리겠죠? 그래서 여러분 모두가 익숙하실 30 60 90 삼각형에서 한번 볼까요? <수학방>에서 가져온 사진입니다 1 루트3 2. 이거 엄청 자주 보던 숫자 아닌가요? 이 삼각형에서 30, 60에 대해서 삼각비값을 구해볼까요? 복잡한 문자가 아니라 숫자로 보니까 기억이 돌아오려고 하시나요? 삼각비에 대한 기억이 돌아오셨나요? 이제 다음시간부터는 삼

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삼각함수의 정의

수I 의 꽃은 삼각함수가 아닐까요? 저는 중학교때부터 삼각함수 문제를 푸는 형들을 신기하게 생각했는데...ㅎㅎ 이제 우리도 삼각함수에 대해 알아보겠습니다. 삼각함수는 삼각비를 좌표평면 위에 올려놓은 겁니다. 삼각비에서 '밑변'은 좌표평면에서는 x좌표를 의미합니다. 삼각비에서 '높이'는 좌표평면에서 y좌표를 의미하겠죠. (이해 안되셔도 일단 계속 읽어보세요.) 그런데, 'x좌표', 'y좌표' 사이에 '빗변'이라는 조선어가 포함되어 있는게 상당히 불편하네요. 그래서 우리는 모든 각의 크기에 대한 빗변을 1로 고정하기 위해 반지름이 1인 원을 그립니다. 위에서 밑변이 왜 x좌표이고 높이가 왜 y좌표인지를 이해하지 못하셨던 분들은 아래 그림을 보시면 이해가 되시겠습니다. 잘 보면 삼각형으로 연결된다는 사실이죠. 밑변은 x좌표, 높이는 y좌표. 빗변은 원의 반지름. 깔끔하게 정리되죠? 이렇게 정의를 이용하면 중학교에서는 구하지 못했던 0와 90사이에 있지 않은 각도의 삼각비도 구할 수 있습니

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각 사분면에서 삼각함수의 부호

오늘 내용은 엄청 간단하지만 미치도록 중요해서 따로 정리할게요. 저번 내용이랑 완벽하게 연결되는 내용이고요. 저번시간에 삼각함수의 정의를 알아봤는데요. 저번 포스팅의 마지막 부분을 보면 삼각비가 음수가 나와요. 그런데, 삼각비가 양수인지 음수인지 궁금할 때마다 빗변, x좌표, y좌표를 구하는건 너무 무식한 짓이잖아요? 그래서 삼각비의 부호(+-)를 결정해주는 규칙이 하나 있어요. 뭔가 이렇게 표로만 보면 어렵죠? 한번 그림으로 보면서 예시를 봅시다. 이거 외우는데 30초밖에 안걸리고요, 사실 외워버리면 편하긴 해요. 하지만, 왜 이렇게 되는지를 알아보는게 좋겠죠? 사실 정말 간단하답니다. 정의를 보면, Sin과 Cos에서는 분모가 '빗변의 길이' 입니다. 그런데, '좌표'와 달리 '길이'는 무.조.건. 양수가 될 수밖에 없어요. 그러니까 y좌표가 양수/음수일 때 Sin값도 따라서 양수/음수가 되고요. 마찬가지로 x좌표가 양수/음수일 때 Cos값도 따라서 양수/음수가 되죠. 탄젠트의

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삼각함수 사이의 관계

삼각함수 단원을 하시면서 '계산'이 없어서 너무 좋아하셨던 분들! 오늘부터는 그 행복을 부숴버리는(...) 시간을 가져보도록 하겠습니다. 삼각함수 사이의 관계식을 두 가지만 살펴볼게요! 첫 번쨰 공식부터 때려 죽여버리고 싶게 생겨먹었네요. 엄청 자주 쓰이니까 일단은 외우시고~ 증명 들어갈게요. 중학교 수학을 마스터하신 분이라면... 여기서 떠올라야 하는게 하나 있죠. "피타고라스의 정리" x좌표, y좌표, 빗변(r) 이 직각삼각형을 이루고 있네요. 이렇게 되는거죠. 쉽게 설명하기 위해서 풀어서 설명해 드렸는데요. 서술형으로 증명하라고 하면 이렇게 증명할 수 있겠네요. 두 번째 공식도... 역시 죽여버리고 싶지만... 이건 증명이 진짜 간단해요. 이 둘이 똑같다는 사실을 알 수 있죠. 삼각함수의 정의를 이해하셨다면 이 공식들 정도는 가볍게 이해하실 수 있을 거예요. 다음시간에는 이 공식들을 어떻게 활용하는지 알아보겠습니다.

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삼각함수 사이의 관계의 활용 1 (곱셈공식)

저번시간에 알아봤었던 삼각함수 사이의 관계를 활용한 유형이에요. 엄청나게 자주 나오는 내용이니까 확실하게 계산할 수 있어야 해요. 곱셈공식에서 '완전제곱식'이라는 새끼를 기억하시죠? 여기에 a, b 대신 Sin θ, Cos θ을 대입한다면 어떻게 될까요? 그런데, 여기서 Sin제곱 + Cos제곱 = 1 이라는 공식이 기억나시죠? 이렇게 공식을 유도할 수 있게 되는거죠. 굳이 외우실 필요는 없고요. 한번 문제를 조지러 가볼까요? 여기서 하나 팁을 드리자면, Sin은 s로, Cos은 c로 바꿔서 풀면 계산이 편해져요. 이해하기 편하시라고 '답'이라는걸 썼는데... 서술형에서 이렇게 쓰시면 감점당할수도... 있으니 이대로 따라하시면 안됩니다 ㅎ

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1-1. 실생활 속 화학

# 화학I # 1. 화학의 첫걸음, # 1. 세상을 바꾸는 화학 화학: 물질의 구조와 성질, 변화를 탐구하는 성질 화학의 역사 - 중세 이전: 불 발견 (화학의 시작) → 철을 제련하기 시작. - 중세 시대: 연금술을 통해 다양한 물질과 화학 반응 발견. - 18세기 이후: 이론적인 체계를 갖춘 하나의 학문으로 자리잡음. - 19세기 이후: 물질을 분자/원자 수준으로 다룸 → 화학 반응에 대한 이해도 증가. 화학과 식생활 - 암모니아의 합성: 화학비료의 대량생산 → 농산물 생산량 증가 - 농약의 이용: 잡초, 해충 피해 감소 → 농산물 생산량 증가 - 플라스틱의 발명: 비닐하우스 등의 등장 → 농산물 생산량 증가, 공간적 제약 극복 화학과 주생활 - 유리의 상용화: 19세기부터 건축 자재로 이용. - 철강 제품, 시멘트 등 성능 향상: 고층 건물, 대형 교량 등장 - 건축 자재가 플라스틱이나 실리콘 등 신소재로 변함. 화학과 의생활 - 합성섬유의 발명: 나일론, 폴리에스터 등의 개발

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1-2. 다양한 탄소 화합물

# 화학I # 1. 화학의 첫걸음, # 2. 탄소 화합물의 세계 탄소화합물: 탄소를 기본으로 다른 원소들과 결합하여 만들어진 화합물. - 신체, 음식, 옷, 플라스틱, 의약품 등 대부분의 물질에 포함됨. - 탄소 원지는 최대 4개의 다른 원자와 결합. 우리 주변의 탄소화합물 - 자연-탄소화합물: 녹말/탄수화물 (곡식), 셀룰로스 (채소, 섬유), 단백질 (동물) - 인공-탄소화합물: 나일론 (옷), 폴리카보네이트 (가방), 폴리우레탄 (타이어), 스타이로폼 * 인공 화합물은 엄청나게 많이 존재하며, 계속 새로운 인공 화합물이 발명됨. 메테인 CH4 - 액화 천연가스 (LNG)의 주성분. → 가정용 연료, 버스 연료 등 - 산소와 반응하면 이산화탄소와 물을 생성하며 에너지를 방출함. - 상온에서 기체 상태 → 대표적인 온실 기체 - 물에 잘 녹지 않음. - 수소 대신 여러 가지 탄화수소가 형성됨. * 탄화수소: 탄소(C)와 수소(H)로만 구성되어있는 물질. 에탄올 C2H5OH - 과일

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<공지사항>

개인사정으로 블로그를 운영하는 계정을 바꾸게 되었습니다. 일일이 손으로 캡쳐해서 옮겨 적었는데, 그 과정에서 어색한 부분이 있을 수 있습니다. 이상한 부분이 있으면 저한테 신고해주시면! 바로 보완하겠습니다.

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삼차함수 사이의 관계 활용 2 (이차방정식)

블로그를 시작하고 수학 포스팅은 매일 하는 것을 목표로 하고 있는데 저도 고2 학기중이다 보니까 시간 내기가 힘드네요ㅠ 내용이 조금 짧은 것은 양해 부탁드립니다. 오늘은 이차방정식에서 저번 시간의 곱셈공식이 어떻게 쓰이는지를 알아봐야겠죠? 중3 2학기 수학, 수학(상), 수학(하)에서 질리도록 해왔던 내용이에요. 이걸 삼각함수랑 연결시키면 어떤식으로 문제가 나올 수 있는지 알아볼게요. (이건 설명 없이 문제를 보면서 말씀드리는 식으로 하겠습니다.) 근과 계수의 관계를 적용해서 S와 C의 관계를 구하고, 곱셈공식으로 박살내서 없애버리면? 깔-끔하게 풀려버립니다. -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 사인/코사인 관련 공식들을 많이 이용하다 보니까 탄젠트는 소외되는 느낌이네요. 탄젠트는 역수 구조

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1-1. 귀납적 탐구 방법과 연역적 탐구 방법

# 생명과학I # 1. 생명 과학의 이해 # 1. 생명 과학의 특성과 탐구 방법 생명과학: 생물의 특성과 생명현상, 본질을 탐구하여 인류의 생존을 돕고 복지를 향싱시킴. 생명과학의 분야 - 기초 분야: 세포학, 분류학, 생태학, 해부학, 형태학 → 생리학, 유전학, 발생학으로 세분화 - 다른 과학 분야 (물화생지)와의 통합: 생화학, 분자 생물학, 생물 물리학 - 다른 학문과의 통합: 생명 공학, 생물 정보학, 생물 통계학, 생물 지리학, 법의학 귀납적 탐구 방법 - 예시: 세포설, 가젤 영양 뜀뛰기, DNA구조 발견(이건 논란이 될수도...), 침팬지의 행동 연역적 탐구 방법 - 가설: 해당 사안에 대한 잠정적인(검증되지 않은) 이론. - 대조 실험: 실험군과 대조하는 실험을 수행한다. → 객관성과 타당성 증가 - 변인: 실험의 조건이나 결과와 같이 실험에 관련된 모든 요인 → 독립변인: 실험에 영향을 줄 수 있는 요인 (조작변인, 통제변인) + 조작변인은 의도적으로 다르게 한 요

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거듭제곱근의 정의

삼각함수를 빨리 다뤄보고 싶어서 먼저 포스팅했는데요. 오늘부터는 순서대로! 거듭제곱근부터 가도록 하겠습니다. 우선, '루트'라고 불리는 제곱근을 한번 떠올려볼게요. a의 제곱근은 "제곱해서 a가 되는 수"를 뜻했어요. 그런데, 제곱근은 2제곱에만 사용할 수 있는 한계가 있었죠. 그래서 3제곱근, 4제곱근 등등의 거듭제곱근을 만들었어요. 16의 제곱근이 "제곱해서 16이 되는 수" 였다면 16의 세제곱근은 "세제곱해서 16이 되는 수"가 되고 16의 네제곱근은 "네제곱해서 16이 되는 수"가 되는거죠. 내용은 간단한데, 그 값을 계산하기 위해서는 수학(상)의 3~4차방정식 풀이가 필요해요. 예를 들어, 16의 제곱근을 계산하기 위해서는 이런 이차방정식을 풀었어요. x를 제곱해서 16이 나온다는 방정식을 세운거죠. 비슷한 방식으로 16의 네제곱근을 구해볼까요? 사차방정식의 꼴이니까 당연히 근이 4개가 나오고요. 제곱근은 2개, 세제곱근은 3개, 네제곱근은 4개. 이렇게 n제곱근은 n개가

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원순열의 정의

수학(하)의 순열/조합을 아직 까먹지 않으셨죠? 몸풀기로 A, B, C, D의 네 사람을 줄세우는 경우의 가짓수를 계산해보죠. 4명이니까 4!, 즉 4x3x2x1=24가지의 경우가 존재하겠네요. ( ! 는 문과들에겐 그저 느낌표 팩토리얼... 기억하시나요?) 수능에 항상 출제되는 원순열은 이 줄세우기에서 시작되는 개념이에요. 줄세우기에서는 다음과 같은 줄세우기가 모두 다른 경우의 수로 취급되죠. ABCD, BCDA, CDAB, DABC. 처음에 누가 오느냐에 따라서 달라져요. 그런데, 원순열에서는 이 네 가지가 똑같은 가짓수로 취급된답니다. 책에는 이렇게 나와있습니다. A의 입장에서 봤을 때 네 가지 경우 모두 왼쪽에 D, 오른쪽에 B, 정면에 C가 앉아있기 때문에 같다고 보는거죠. 자 이해 안됩니다. 제가 직접 돌려봤습니다. 말로 백번 설명하는 것보다 이렇게 그림으로 보는게 더 이해가 잘되죠? 분명히 네 가지 모두 다른 배열이였는데, 돌려보니까 똑같네요. 그러니까, 4명을 줄세우는

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거듭제곱근 중 실수의 개수

저번시간에 거듭제곱근에 대해 알아봤었죠? 16의 네제곱근을 구하기 위해서는 다음과 같은 식을 썼었죠. 이렇게 방정식의 네 근이 네제곱근값이 되었고요, 그 중 실수는 두 개였네요. 그런데, 395의 37제곱근 중 실수인 것은 몇 개나 있을까요? 37제곱근이기 때문에 거듭제곱근 자체는 37개가 나오겠지만, 그 중 실수인 것의 개수는? 계산해서 구할 수가 없죠? 37차 방정식을 누가 계산좀 해보세요. 그래서, 규칙을 하나 만들겁니다. 자습서에 달랑 이렇게 써놓으면 어떻게 알아쳐먹으라는 걸까요? 우리는 이 개넘 자체를 증명하면서 이해해볼게요. 우선, 수학(상)에서 배웠던 개념을 복습해야 합니다. 이런 교점 개수 문제는 곡선과 직선을 직접 그려 봤었어요. 이런식으로 그려봤더니 교점이 두 개 존재하네요. 이런식으로 했을 때, 아까 거듭제곱근 구하는 식으로 돌아올까요? x에 대한 4차방정식을 좌변과 우변으로 분리했어요. 분리해서 각각 좌표평면에 그려보고 교점의 개수를 알아봤죠. 위쪽에 교점 두

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1-3. 아보가드로수와 몰, 원자량과 화학식량

# 화학I # 1. 화학의 첫걸음, # 3. 몰과 화학식량 몰 (mole): 원자 또는 분자의 개수의 묶음 단위 여기서 1몰의 입자 개수인 6.02x10^23을 아보가르도수라고 한다. 원자량: 탄소 원자 1몰의 질량을 12로 정하고 다른 원자들의 상대적인 질량 값. - 주요 원자들의 원자량: 수소 (1), 헬륨 (4), 질소 (14), 산소 (16) - 물 분자의 원자량 계산: H2O에서 수소 2개 + 산소 1개 = 1x2+16=18 화학식량: 염화나트륨(NaCl)과 같이 분자로 존재하지 않는 물질의 원소의 원자량 합. - 포도당(C6H12O6): 탄소 6개 + 수소 12개 + 산소 6개 = 6(12) + 12(1) + 6(18) = 180 - 염화나트륨(NaCl): 나트륨 1개 + 염소 1개 = 23 + 35.5 = 58.5 몰과 질량 사이의 관계 * 해석: 원자량이 1인 수소 한 몰의 질량은 1그램(g) 예를 들어, 탄소 원자 한 몰의 질량은 12g. (탄소 원자의 원자량이 12

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거듭제곱근의 성질

오늘은 거듭제곱근을 어떻게 계산하는지를 알아보겠습니다. 책에는 이렇게 나와있는데요, 저는 이걸 제가 꼴리는대로 재해석해서 공식 6개를 만들었어요. 제 해석에 따라 만들어진 매우 쉬운 공식 6개를 예를 들어 이해하며 갈게요. 첫번째 공식입니다. 사실 이건 거듭제곱근의 정의 자체라 딱히 공식이라고 할 것도 없네요. n제곱근을 한 후 다시 n제곱근을 하면 결국 제자리기 때문이죠. 예시 문제를 보시면, 너무 간단하게 이해가 되죠? 두번째 공식입니다. 이것도 제곱근과 다를게 없는 쉬운 내용이죠. 지수가 같은 경우에는 안의 숫자들만 곱해버리면 된다는 거죠. 세번째 공식인데요, 이거는 그냥 분수 꼴일 뿐입니다. (2)번 공식이랑 똑같아요. 지수가 같은 경우에는 안의 숫자들만 나눠버리면 된다는 거죠. 네번째 공식도 거저먹는 공식이죠. 제곱을 나타내는 지수를 근호 안과 밖으로 맘대로 넣었다 뺐다가 할 수 있어요. 다섯번째 공식도 간단하죠? 근호가 여러개 있을 때, 꽁다리들만 곱해버리면 전체 꽁다리로

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1-3. 아보가드로 법칙

# 화학I # 1. 화학의 첫걸음, # 3. 몰과 화학식량 아보가드로 법칙: 0C, 1기압에서 기체 한 몰의 부피는 종류에 상관없이 22.4L로 일정하다. - 같은 부피에서 수소, 산소, 수증기의 분자 수는 항상 같다. - 수소, 산소, 수증기의 원자 수는 다를 수 있다. (자세한 설명은 표에서) - 같은 부피, 같은 분자 수여도 질량은 다를 수 있다. 부피가 22.4L로 일정할 때 수소 산소 수증기 분자 수 1몰 개 1몰 개 1몰 개 원자 수 수소 원자 2몰 개 산소 원자 2몰 개 수소 원자 2몰, 산소 원자 1몰 개 질량 원자량 1인 수소 원자 2몰 = 2g 원자량 16인 산소 원자 2몰 = 32g 수소 원자 2몰 + 산소 원자 1몰= 18g

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원순열 유형 1 (이웃하는, 마주보는)

수능 문제에 "4명을 원탁에 둘러앉도록 배열하는 경우의 가지의 수는?" 이런것만 물어보고 있으면 개나소나 다 100점이겠죠. 고등 수학에서 저런 기초는 1번에서도 안물어본다는게 현실입니다. 오늘은 원순열 문제가 어떤식으로 나오는지 알아보겠습니다. 고3 9모평 6번 문제였고요, [3점]짜리 쉬운 문제였네요. A와 B가 이웃하도록 배열하는 원순열 문제입니다. 수학(하) 의 경우의 수 단원에서 '이웃하는' 것은 하나로 묶어서 푼다고 배웠었죠? "서로 다른 5개의 용기 (A,B), C, D, E, F 를 원순열로 배열하라" 는 문제와 같네요. 이웃하는 놈들은 하나로 묶어 놓고 그 안에서 자리를 바꾸는 경우의 수를 곱해주죠. 수학(하)의 내용을 잘 기억하고 있다면 쉽게 풀리는 문제였네요. 이건 사설 모의고사에 출제되었던 문제입니다. 일단, 남학생 A를 아무데나 앉혔을 때, 남학생 B의 자리도 마주보는 자동으로 정해져요. '이웃하는' 경우와 마찬가지로 A와 B를 묶어 놓고 8-1=7명의 원순열

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거듭제곱근의 대소 비교

저번시간에 여섯 가지로 나누어서 공부했던 거듭제곱근의 성질. 성질들을 알아두셔야 되긴 하지만, 사실 실전에서는 사용할 일이 거의 없는 내용이였어요. 열심히 공부했는데 무슨 소리냐고요? 단원 이름을 보시면 "거듭제곱근"이 아니라 "지수"죠? 사실 거듭제곱근은 쓸 일이 딱히 없는 내용이랍니다. 지수로 표현하면 정말 쉽기 때문이죠. 그래도 거듭제곱근의 대소 비교 문제는 거듭제곱근을 이용해야 한답니다. 한번 볼까요? 기억해야 하는 점은 "루트"는 "2제곱근"이라는 사실! 2가 생략된 형태죠. 지수를 같게 통일해서 풀어주시면! 27과 25를 비교하는 간단한 문제가 되죠. 이렇게 끝내버리기에는 내용이 너무 짧네요! 그래서 약분되는 쾌감이 쩌는 문제도 하나 보여드릴게요. '제곱근'이 '2제곱근'이라는 사실을 떠올려서 생략된 2를 채워 넣고 <저번 포스팅 캡쳐 1> 이 규칙을 거꾸로 적용해서 전체 거듭제곱근을 작게 분리하면? 이렇게 쪼개놓고, 아래 공식을 이용해서 최종 계산! <저번 포스팅 캡쳐

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자연수가 아닌 지수의 정의

이제 본격적으로 수 I 의 첫 단원을 공부해보겠습니다. 사실 지금까지 거듭제곱근을 배운 이유는 지수를 배우기 위함이었지요. 중2 수학에서 처음 배웠던 지수법칙은 이런 수준이었어요. 이런거 보면 조금씩 기억이 살아나죠? 그런데, 2제곱이나 4제곱이 아니라 이런 지수는 어떻게 계산하죠? 무슨 지수에 음수, 분수, 무리수, 0까지? 말도 안되는 일이 일어나고 있죠? 오늘은 이런 놈들을 정리하는 방법을 알아볼게요. (존나 쉬워서 눈물나네요) 우선, 지수가 0인 경우를 볼까요? 0제곱은 무조건 1이예요. 3의 0제곱은 1, -3235810의 0제곱도 1. 무조건 1이랍니다. 이건 정의라서, 그냥 받아들여야 해요. 이유는? 수학자들 꼴리는대로죠. 그냥 외우세요. "0제곱은 무조건 1" 여담으로, (논리적으로는 이상하지만) 이 문제는 난제로 꼽힌답니다. 지수법칙에서 밑이 0인 경우는 다루지 않으므로 실제로 이런 문제는 존재하지 않습니다. 그냥 D점멸, F점멸같은 쓸데없는 논란이죠. (설마 미개한

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