합성함수의 미분 증명하기

# 미적분 # 여러가지 미분 # 합성함수의 미분 합성함수 f(g(x))를 미분하면 f'(g(x)) × g'(x) 가 나온다! 교과서에 나와있는 너무나 당연한 내용인데요.

오늘은 왜 그런지를 한번 증명해보려고 합니다. 우선, 수2에서 공부한 미분계수의 정의를 떠올려볼게요.

이게 미분계수의 정의였죠. 이제 여기 f(x) 대신 f(g(x))를 넣어봅시다.

이렇게 하면 좌변과 우변이 모두 f(g(x))를 미분한 식이 되는겁니다. 복잡해보이는 우변을 미분계수 꼴로 바꿔주고 싶어요.

하나 생각해주셔야 하는 것은, 원래 미분계수의 정의에서 분모 t는 분자 f( ) 에 들어가있는 x+t와 x를 빼서 나온 값이예요. (x+t) - (x) = t 이렇게 말이죠.

따라서, 얘를 미분계수 꼴로 만들어주기 위해서는 분모를 분자 f( ) 에 들어가있는 g(x+t)와 g(x)을 빼서 만들어줘야 해요. g(x+t) - g(x) 얘가 분모가 되어야 하는겁니다. 그래서 주어진 식의 분모와 분자에 g(x+t) - g...