등비급수의 합 공식 증명하기

여기 공비가 1/2인 등비수열이 있습니다. 이 수열의 모든 항을 다 더하면, 즉 이 값을 구한다면?

우리가 아는 등비급수 공식을 생각하면 이렇게 구할 수 있었죠. 이걸 일반화한 공식을 생각해보자면 첫째항이 a, 공비가 r인 등비수열의 모든 항의 합은 (단, -1 < r < 1인 경우에서) 이렇게 구할 수 있었어요.

그럼, 이런 공식이 왜 만들어지는가? 를 한번 증명해보려고 합니다.

교과서에 나와있는 기본적인 식을 활용한 증명과 그래프를 활용한 직관적인 증명, 이렇게 두 가지를 보여드리겠습니다. 먼저, 식을 활용한 증명.

Sn을 아래와 같이 정의합니다. 여기에다가 양변에 r을 곱한 식을 하나 더 준비해요.

이 둘을 서로 빼주는 겁니다. 이렇게 말이죠.

그러면 우리가 Sn을 구할 수 있어요. 여기서 우리는 무한번째 항까지의 합을 구하는 거니까 n이 무한대로 가는 극한을 취해주면 이렇게 되고, r의 범위가 -1 < r < 1 이므로 무한번 제곱하면 rn = 0으로 수렴하게 되겠죠.

따라서...