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지수법칙과 지수법칙의 조건

중 2 수학에서 다뤘었던 지수법칙. 우리는 그 범위를 실수까지 확장시켰습니다. 이런식으로, 분수, 음수 지수까지 모두 지수법칙에 적용될 수 있다는 거죠. 그런데, 여기서 밑인 a의 값은 항상 양수여야 한다는 규칙이 있습니다. 무슨 개소리냐고요? 이 문제를 푸는 방법은 위와 아래 중 어느 것이 맞을까요? 위의 것을 보면, 밑이 -2로 음수인데 지수법칙을 적용하고 있어요. "밑이 양수인 경우에만 지수법칙이 적용될 수 있다"는 규칙을 무시한거죠. 아래 것처럼 밑을 먼저 양수로 만들어준 후 계산해야 한답니다. 오늘 내용은 심하게 짧은 느낌이기는 하지만 일단 개념은 다 끝난겁니다. 이제는 문제만 풀어보면 돼요. 다음시간부터는 유형을 하나하나 짚어보겠습니다.

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원순열 유형 2 (도형에서)

'원'순열이다 보니 원탁에 사람들을 배열하는 문제가 많았는데요. 오늘은 정사각형같은 아무 모양에 사람들을 배열하는 문제를 살펴볼게요. 우선, 이 정사각형 모양의 탁자에 8명을 배열해 볼건데요. 일일히 하면 끝도 없는 계산이 펼쳐지거든요? 그래서 이웃하는 사람 3~4명만 뽑아서 돌려보고 겹치는 경우의 수를 구하는게 좋아요. 직접 해볼게요. 이 중에서 겹치는게 몇번이나 있을까요? 한번 제가 직접 돌려볼게요. 잘 보시면 (1), (3), (5), (7)은 돌려서 같은 모양이고 (2), (4), (6), (8)도 돌리면 같은 모양이 됩니다. 계산은 이렇게, 일반 순열인 8!를 겹치는 만큼 4로 나눠버리면 되는거죠. 어? "4" 어디서 봤던 수 아닌가요? 그렇죠? 정4각형에서의 4입니다. 이건 공식으로 나타내자면 정k각형에서 n개를 배열하는 경우 굳이 외우실 필요는 없지만, 익숙해지면 시간 절약에는 큰 도움이 된답니다. 다음은 지랄맞은 도형인데요. 안타깝지만 이건 일일히 그려봐야 돼요. 겹치

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판 구조론의 정립 과정

# 지구과학I # 1. 지권의 변동 # 1. 판 구조론의 정립 과정 쥐스: 남반구 대륙들이 과거에는 하나의 대륙이였다고 주장. 판 구조론 (베게너): 과거에는 모든 대륙이 하나로 뭉쳐진 초대륙이 있었다고 주장. 근거 : 대서양 양쪽 끝의 남아메리카와 아프리카의 해안선 모양이 비슷함. : 멀리 떨어진 서로 다른 대륙에서 같은 종류의 고생물 화석이 발견됨. : 멀리 떨어진 대륙에서 암석과 지질 구조가 연결되어 있던 흔적이 있음. : 여러 대륙의 빙하의 흔적이 한 곳 (남극)에서 뻗어져 나간 모양임. * 초대륙: 모든 대륙이 하나로 합쳐진 엄청 큰 대륙. 역사상 여러 개가 있었음. * 판게아: 초대륙 중에서 고생대 말~중생대 초에 존재했던 것. 가장 최근 초대륙의 이름. → 결과: 받아들여지지 못함. (대륙을 이동하는 힘을 설명하지 못함) 맨틀 대류설 (홈스): 맨틀 내 온도 차이로 열 대류가 발생함 → 대륙이 이동함. → 결과: 받아들여지지 못함. (대륙을 움직이는 원동력을 100% 설

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판 구조론의 정립

# 지구과학I # 1. 지권의 변동 # 1. 판 구조론의 정립 과정 해저 확장의 증거 1: 고지자기 * 고지자기: 암석이 생성될 때 자기장 방향에 따라 배열됨 → 관찰해서 암석 생성 시기 예상. - 과정: 자력계를 이용해 해령의 고지자기를 측정 → 해령을 가운데 두고 좌우 대칭을 이룸. → 결론: 해령에서 새로운 판이 형성되어 양쪽으로 퍼져 나간다. 해저 확장의 증거 2: 해양 지각의 나이 측정 - 과정: 탐사선을 보내 해양 지각의 나이를 측정 → 해저에는 1.8억년 이상된 지각이 존재하지 않음. → 결론: 해양 지각은 생성하고, 그만큼 또 소멸한다. 해저 확장의 증거 3: 섭입대 주변의 지진 발생 깊이 - 과정: 해령에서는 얕은 지진이 일어나지만 섭입대에서는 대륙쪽으로 갈수록 깊은 곳에서 지진이 발생함. → 결론: 해양 지각은 해령에서 생성되어서 대륙 지각 아래로 깔려들어가 소멸함. 판 구조론의 정립 - 윌슨: 해령의 축이 연결되어있지 않고 끊어져 있다고 주장함. → 해령과 해령

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지수법칙 유형 1 (소인수분해, 인수분해)

지금까지 열심히 공부했는데 문제가 안풀려서 걱정하셨던 분들? 유형들을 하나씩 살펴보면서 본격적으로 문제를 풀어볼게요. 우선, 중1 수학인 소인수분해와 연결된 지수법칙을 알아보겠습니다. 느낌이 오시나요? 5의 8제곱은 390625, 8의 6제곱은 262144... 라고 하네요. 이걸로 200을 표현하기는 불가능하다고 할 수 있어요. 그러니까 지수를 a, b로 옮겨서 계산하는거죠. 200=5x5x8 정도의 소인수분해로 마무리하면 답이 나오네요. 자, 다음은 중3 수학에 나오는 인수분해와 지수법칙의 관계입니다. 보기에는 굉장히 복잡하지만, 실제로는 그렇게 어렵지 않아요. 분모와 분자를 공통인수로 묶어서 잘 인수분해 해내면 단순한 분수로 약분된답니다. 인수분해가 어렵다고요? 이건 연습밖에는 방법이 없겠네요. 문제를 많이 푸셔야... (i) 부분이 헷갈리는건 정상! 연습 많이 하셔야 지수가 익숙해집니다. 그런데, (ii) 부분이 헷갈리신다면? 개념부터 다시 잡고 오셔야 됩니다. 오늘은 여기까

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1-2. 생물이 되기 위한 조건

# 생명과학I # 1. 생명 과학의 이해 # 2. 생물의 특성 1. 세포로 구성 - 세포: 생물을 구성하는 구조적 단위이면서 생명활동이 얼어나는 구조적 단위. - 단세포 생물: 하나의 생물이 그 자체로 하나의 개체. 예: 달걀, 아메바, 유글레나 → 세포 분열로 생식. (생식 담당 세포가 따로 존재하지 않음) - 다세포 생물: 여러 세포가 체계적이고 유기적으로 조직된 생물. 예: 각종 동물, 식물 → 세포 < 조직 < 조직ㄱ계(식물) < 기관 < 기관계(동물) < 하나의 개체, → 생식 담당 세포가 따로 존재함. 2. 물질대사 - 물질대사: 생명체에서 일어나는 모든 화학 반응. - 생물은 물질대사를 통해 몸에 필요한 물질과 에너지를 얻어 생존함. - 물질대사가 일어날 때에는 반드시 에너지 출입도 함께 일어남. - 물질대사 과정에는 생체 촉매인 효소가 관여함. 3. 자극에 대한 반응 - 생물은 환경 변화를 자극으로 받아들이고 이에 반응함. → 예: 박쥐가 빛 자극을 피해 동굴로 들어감

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1-2. 바이러스는 생물일까?

# 생명과학I # 1. 생명 과학의 이해 # 2. 생물의 특성 바이러스란? - 살아있는 세포에 기생하는 감염성 병원체. - 크기가 세균보다 작고 모양이 매우 다양함. - 생물적 특성과 비생물적 특성을 모두 나타냄. <바이러스의 생물적 특성> 1. 유전물질인 핵산을 가지고 있음. 2. 숙주세포 안에서는 물질대사와 증식이 가능함. 3. 증식 과정에서 유전과 변이가 일어남. <바이러스의 비생물적 특성> 1. 완성된 세포의 형태가 아님. (핵산+단백질 껍질) 2. 숙주세포 밖에서는 물질대사와 증식이 불가능함. 3. 단백질 결정체의 형태로 존재함. + 바이러스 지구에 나타난 최초의 생명체가 아닌 이유 바이러스는 숙주 세포가 존재하지 않는다면 물질대사와 증식을 할 수 없다. 고로, 숙주가 될 수 있는 다른 생명체가 생겨난 이후 바이러스가 뒤늦게 생겨났다.

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지수법칙 유형 2 (겹거듭제곱근)

오늘도 지수법칙과 관련된 유형을 하나 볼게요. 거듭제곱근 여러 개가 엮여서 지저분한 형태를 만드는 경우! 벌써부터 없애버리고 싶게 생겨먹었어요. 이걸 거듭제곱근을 이용해서 풀어볼까요? 838만 8천 6백 8 ㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋ 저도 계산기를 사용했고요, 계산 가능한 범위를 넘어섰죠? 이렇게 "초고난도" 문제를, 지수로 바꿔서 풀어볼까요? 이것도 길기는 무쟈게 깁니다만, 계산이 무슨 8백만까지 가진 않잖아요? 거듭제곱근만 배웠을 때는 빡세던 내용이, 지수법칙으로는 기초 문제예요. 지수를 배우는 이유를 딱 알려주는 문제네요.

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1-2. 종족 유지 현상 VS 개체 유지 현상

# 생명과학I # 1. 생명 과학의 이해 # 2. 생물의 특성 1-2. 생물이 되기 위한 조건 # 생명과학I # 1. 생명 과학의 이해 # 2. 생물의 특성1. 세포로 구성- 세포: 생물을 구성하는 구조적 단... blog.naver.com 종족 유지 현상: 세대를 거치면서 자손을 남겨서 멸종하지 않기 위한 생물의 특성. - 생식, 유전, 적응, 진화 개체 유지 현상: 한 개체가 생존하기 위한 생물의 특성. - 물질대사, 항상성, 자극에 대한 반응, 발생, 생장. A에 들어갈 말은? 동화작용! 딱히 다룰 생각은 없었던 내용인데, 시험 빈출이라고 해서 추가적으로 다룹니다! (엄청 짧으니까 포스팅 날짜와 상관없이 그냥 보너스로 올리겠습니다.)

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1-2. 동화 작용 VS 이화 작용

# 생명과학I # 1. 생명 과학의 이해 # 2. 생물의 특성 1-2. 생물이 되기 위한 조건 # 생명과학I # 1. 생명 과학의 이해 # 2. 생물의 특성1. 세포로 구성- 세포: 생물을 구성하는 구조적 단... blog.naver.com 복습! 물질대사: 생먕체 내에서 일어나는 모든 화학 반응. - 물질대사가 일어날 때에는 반드시 에너지 출입이 함께 일어난다. - 물질대사가 일어날 때에는 반드시 생체 촉매인 효소가 관여한다. 동화 작용 VS 이화 작용 동화 작용 이화 작용 정의 간단한 물질을 복잡한 물질로 합성한다. (저분자 물질 → 고분자 물질) 복잡한 물질을 간단한 물질로 분해한다. (고분자 물질 → 저분자 물질) 에너지 출입 에너지 흡수 (흡열 반응) 에너지 방출 (발열 반응) 예 광합성 (물 + 이산화탄소 → 포도당) 단백질 합성 (많은 아미노산 → 단백질) 세포 호흡 (포도당 → 물 + 이산화탄소) 이건 너무 중요해서 따로 다루기로 결정했습니다! 당장 얼마전 수능에도 1

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지수법칙 유형 3 (곱셈공식)

중 2와 수(상)에서 우리를 괴롭혔던 빌어먹을 곱셈공식들. 여기에 지수법칙을 적용해서 일종의 공식같은걸 만들 겁니다. (앞으로 지수 곱셈공식, 로그 곱셈공식, 삼각비 곱셈공식 ㅋㅋㅋㅋ ㅅㄱ~) 자 우선, 첫번째! 완전제곱식. 이런 형태의 완전제곱식 공식이 존재합니다. 외우실 필요 없어요! 문제 만날때마다 직접 계산해보다 보면 계산도 빨라지고 자동으로 외워집니다. 다음은 완전세제곱식(??)으로 가볼까요? 복잡해 뒤지겠네요. 어떤 식으로 푸는지 예시를 한번 보고 오겠습니다. 곱셈공식을 적용해서 원하는 값이 나오도록 유도하면 되는거죠. 익숙해질때까지! 문제집 문제나 교과서 문제로 연습하시면 되겠습니다.

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2-1. 세포 호흡과 ATP

# 생명과학I # 2. 사람의 물질대사 # 1. 생명 활동과 에너지 세포 호흡: 영양소를 분해해서 생명활동에 필요한 에너지를 얻는 과정. - 미토콘드리아에서 포도당이 산소와 반응하여 이산화탄소와 물로 분해됨. (이화 작용) - 분해 과정에서 에너지가 방출되어 ATP에 화학에너지 형태로 저장되거나 열 에너지로 방출. ATP : 생명 활동에 직접적으로 사용되는 에너지원. - 사용할 때: 인산기와 인산기 사이의 결합을 끊음. → ADP와 무기 인산으로 분해되며 에너지 방출. → 다양한 에너지로 전환되어 생명 활동에 사용됨. - 저장할 때: 세포 호흡으로 인해 방출된 에너지를 이용해 인산기를 결합하여 ADP를 ATP로 결합. 동화 작용 VS 이화 작용이 선지 하나로 출제된다면 이 ATP와 세포호흡 부분은 문제 자체로 통으로 나옵니다. 이것도 직접 한번 보세요. 2021 평가원 6모평 생명과학 I 2번 문제 (ㄱ): 인산이 연결되어 있는건 ATP, 끊어져 있는건 ADP. ㄱ은 ADP입니다.

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지수법칙 유형 4 (정수가 되도록 하는 n의 개수)

말로 백번 설명하는거보다 문제를 직접 보는게 훨씬 도움이 되겠네요. 분모의 제곱이랑 전체 제곱같은 새끼들은 지수법칙으로 정리해버려요. 그러면 딱 정리되는데요, 저놈이 정수가 되기 위해서는, 이렇게 지수가 양의 정수가 나와야만 해요. (12/n이 0이 될 수는 없으니까요.) 2의 몇제곱이 3인가? 무한소수 값이다 보니 '유리수 n의 값'이 아니랍니다. 결론은 지수가 1, 2, 3, 4, 5, 6... 이 되어야만 한다는 거죠. 헷갈리실 수 있는 내용인데요. 이런 논리를 가지고 고난도 문제에 도전해봅시다 ㅋ "쎈"에도 이런 문제가 있다는게 놀랍네요. 계산 겁나 헷갈;

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지수법칙 유형 5 (밑을 통일하는 계산)

오늘도 유형 하나 볼게요. 마지막 유형이니까 힘내서 가 봅시다! 구해야 하는 값에는 x, y가 분모에 깔려있네요? 그러면, 지수법칙에 따라 x, y를 분모로 보내줘야겠죠. 이렇게, 지수를 반대방향으로 옮겨버리면? 분모로 깔려요. 아? 이렇게 보니까, 27은 3의 3제곱. 81은 3의 네제곱. 문제 변형은 이정도 하고, 이제 최종 계산만 하면 되겠네요. 이렇게 깔끔하게 계산이 되고요. 이렇게 계산이 안되는 경우도 한번 살펴보겠습니다. 이건 아까 했던거처럼 문제 변형이 되지 않아요. 이런 경우에는, 우리 꼴리는대로 문자를 하나 설정해줘야 해요. 저는 k라고 뒀고요. 이제 아까 했던거처럼 계산만 하면 되죠? 이런식으로, 문자 하나를 정해서 지수를 몰아주는거죠. 저도 이 유형 다섯 개를 포스팅하면서 정말 지루했고요. 조회수도 더럽게 안나와서 고민이 많았습니다. 그래도 열심히 썼으니까 한번씩 읽어 주시고요! 다음편에는 로그를 알아보겠습니다.

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로그의 정의와 조건

여러분! 반갑습니다! 지수 유형 보다가 지루해 뒤지는줄 알았네요. 오늘은, 로그가 무엇인지를 알아보는 시간을 가지도록 하겠습니다. 일단 로그의 정의는 이렇습니다. "a의 몇제곱을 해야 b가 될 수 있는가?" 예시를 한번 볼게요. 연습은 직접 해보시고요~ 그렇다면, 로그의 조건에는 뭐가 있을까요? 이 그림에서 세 가지 조건이 존재합니다. 로그의 조건 1: a=1이 아니다. 네, 말도 안되는거 아시겠죠? 1을 아무리 곱해도 1인데, 어떻게 2가 되나요? a는 절대로 1이 될 수 없습니다. 로그의 조건 2. a>0이다. -2의 1제곱은 -2, 2제곱은 4, 3제곱은 -8. 이렇게 양수/음수를 넘나드는 미친놈이고요. 이러다 보니까 정의가 안되는 새끼들이 존재해요. -2의 몇제곱을 해야 2가 되는가? 이딴거 없어요. 마찬가지로 0도 아무리 곱해도 절대로 2가 될 수 없죠. 로그의 조건 3. b>0이다. 이건 2번 규칙이랑 비슷해요. 2의 몇제곱을 해야 -2가 되는가? 이딴거는 당연히 없고요.

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판게아와 판 이동의 역사

# 지구과학I # 1. 지권의 변동 # 2. 지질 시대 대륙 분포의 변화 12억 년 전: 대륙이 합쳐져서 '로디니아'라는 초대륙을 형성. 8억 년 전: 초대륙 '로디니아'가 분리되기 시작함. 2억 4천만 년 전: 대륙들이 다시 합쳐져서 '판게아'라는 초대륙을 형성. 판게아의 분리 과정 - 2억 4천만 년 전: 열곡들이 열리면서 초대륙 분리 시작. → 대서양 양쪽 끝, 태평양 서쪽 끝의 화산암들이 증거. - 1억 5천만 년 전: 대서양 북쪽 부분이 열리면서 테티스해의 면적이 좁아짐. : 로라시아와 곤드아나가 분리되어 서로 다른 대륙이 됨. - 1억 년 전: 대서양의 남쪽 부분이 열리면서 인도와 오스트레일리아가 분리됨. → 인도판이 빠른 속도로 아시아 대륙과 충돌해서 히말라야 산맥을 형성함. 미래의 초대륙 - 초대륙 형성의 주기는 3~5억년으로 추정되며, 앞으로 2~2.5억년 후에 다시 초대륙이 형성될 예정. <비상> 교과서 사진

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2-1. 소화계의 역할 (+ 실전 문제)

# 생명과학I # 2. 사람의 물질대사 # 1. 생명 활동과 에너지 소화계 - 필요성: 음식 속 영양소는 분자 크기가 너무 커서 세포막 통과가 안됨 → 소화계가 영양소들을 흡수될 수 있는 크기로 잘게 쪼갬. - 과정: 식도 → 위 → 소장 → 대장을 거치며 대부분의 영양소는 소장에서 흡수됨. → 식도, 위, 소장, 대장은 소화관, 간, 이자, 쓸개는 부속 기관. (직접 관여 X, 소화액 생성) - 분해: 녹말 → 포도당 , 단백질 → 아미노산 , 지방 → 지방산 , 모노글리세리드 소장의 구조와 역할 - 소장의 주름과 융털은 영양소와 접촉하는 표면적을 늘려줌 → 소화의 효율성 증가. - 수용성 영양소는 모세혈관, 지용성 영양소는 암죽관으로 흡수됨. * 수용성: 물에 잘 녹는 물질, * 지용성: 기름에 잘 녹는 물질. 소화계 하나의 내용은 너무 적기 때문에 다른 기관계와 엮어서 출제되는 문제가 자주 보이네요. 직접 한번 만나보실까요? 2021 9모평 생명과학 I 2번 문제 제기랄. 수능

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고지자기와 지자기 북극을 이용한 대륙 이동 모습 추정

# 지구과학I # 1. 지권의 변동 # 2. 지질 시대 대륙 분포의 변화 고지자기란? 암석이 생성될 때 자기장 방향에 따라 배열됨 → 배열 방향을 분석하면 암석 생성 당시 자기장을 파악할 수 있음. 그런데... 유럽과 북아메리카에서 고지자기를 분석해서 지자기 북극, 쉽게 얘기하면 당시 북극점이 어느쯤이었는지를 분석해봤는데. (북극점이랑 지자기 북극이 완전히 똑같은 개념은 아닙니다! 일단은 이정도!) 서로 다른 결과가 나왔다? 세상에 북극이 2개일 수는 절대로 없죠? 여기서 암석이 생성되었을 당시에는 대륙 위치가 달랐다는 사실을 알 수 있습니다. 두 지자기 북극의 위치가 같도록 대륙을 옮겨보면? 이렇게, 대륙이 붙어있네요. 이렇게 고지자기를 분석해서 옛날에는 대륙들이 붙어있었다는 사실을 알 수 있습니다. + 지자기 북극이란? 막대자석의 N방향 축과 지평면이 수직으로 만나는 점.

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로그의 기본 성질 5가지

로그도 지수나 거듭제곱근처럼 계산할 수 있는 기호랍니다. 거듭제곱근과 달리 이쪽은 엄청나게 자주 쓰이는 계산이니까 잘 알아두세요! 저는 공식 싫어하는거 아시죠? 느낌으로 외우시는겁니다! 그럼 Let's get it! <로그 기본 성질 1> 로그의 정의를 떠올려볼까요? "a의 몇제곱을 해야 1이 되는가?" a에 어떤 수가 들어가던지 0제곱은 무조건 1이었죠? 그래서 로그 a 1은 무조건 0이라는 사실! <로그 기본 성질 2> 이번에도 로그의 정의를 떠올려볼까요? "a의 몇제곱을 해야 a가 되는가?" a가 뭔지는 중요하지 않아요. 그냥 1제곱을 하면 자기 스스로잖아요? 그러니까 "a의 1제곱은 a" 단순한 내용이죠. 여기까지는 날로 먹는 내용이었고요. 이제부터는 계산 공식입니다. <로그 기본 성질 3> 로그와 지수는 서로를 거꾸로 해놓은 모양새였죠. <지수법칙>에서 곱셈은 지수끼리의 덧셈이였죠. 그러니까 <로그법칙>에서 덧셈은 로그끼리의 곱셈이죠. 물론 <로그법칙> 이딴거는 그냥 제가

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2-1. 호흡계 + 순환계 + 배설계

# 생명과학I # 2. 사람의 물질대사 # 1. 생명 활동과 에너지 호흡계 - 과정: 입(코) → 기관 → 기관지 → 폐 - 공기 중의 산소는 폐포에서 모세혈관을 지나 온몸으로 전달됨. - 세포호흡의 결과로 발생하는 이산화탄소는 온몸에서 혈액을 통해 폐포로 전달됨. → 폐포에서 호흡을 통해 몸 밖으로 방출됨. * 폐포의 역할: 공기와 접하는 표면적을 넓게 해서 가스 교환의 효율성을 증가시킴. 순환계 - 영양소는 혈액의 혈장이 운반하고, 산소는 적혈구가 운반함. - 혈액: 혈관을 따라 움직이며, 조직세포에 영양소와 세포를 공급하고 노폐물을 받아옴. 영양소의 분해 - 세포호흡을 통해 다음 영양소들을 분해하면 → 탄수화물, 지방 (C, H, O 구성) : 분해되어서 이산화탄소와 물 발생. → 단백질 (C, H, O, N 구성) : 분해되어서 이산화탄소, 물, 암모니아 발생. 노폐물의 배설 - 혈액에 의해 호흡계나 배설계로 이동한 후 몸 밖으로 배출됨. → 이산화탄소: 폐에서 날숨으로 배출

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중복순열의 정의

<수학 하>에서 다뤘던 순열에서 이런 숫자 카드 문제 많이 보셨죠? <확률과 통계>에서 다루는 중복순열도 이것과 비슷한데요, 틀린그림찾기 한판 하고 오실까요? 위 문제와 아래 문제. 딱 한글자 차이로 답이 완전 달라져요. 네, 역시 중복해서 사용할 수 '없다' '있다'의 차이죠. 이 문제에서, 중복해서 사용할 수 없으므로 예를 들면 첫 자리에 3을 넣으면 둘째 자리에는 3을 제외한 2장의 카드만 넣을 수 있었죠. 그래서 하나씩 줄여가면서 3 x 2 x 1 이렇게 곱해버리면 되었어요. 여기에서는? 중복해서 사용할 수 있으니까 첫 자리에 3이 들어가던 말던 둘째 자리에도 3을 넣을 수 있어요. 그러니까 그냥 같은 수를 곱하면 되죠. 3 x 3 x 3 이렇게요. 일일히 한번 해볼까요? 엄청난 차이가 느껴지시죠? 이걸 기호로 어떻게 쓰는지 비교해보죠. 중복 허용 X 중복 허용 정의 일반 순열 중복 순열 기호 nPr (엔 피 알) nΠr (엔 파이 알) 계산 n(n-1)(n-2)... (r번

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로그의 밑 변환 공식

로그를 계산하는 공식은 몇 개가 있을까요? 저는 총 9개의 공식으로 로그 계산을 완성해요. 그 중 5개의 기본 공식을 저번 시간에 공부했고요. 오늘 공부할 여섯 번째 공식은 엄청나게 중요합니다. 로그 단원 전체를 주름잡는 공식이죠. 가볼까요? <로그의 밑 변환 공식> (기본 공식 6) 제기랄, 이번에는 a, b에 c 까지 있어서 짜증나네요. 이건 공식을 안외워도 몸에 자동으로 장착될 정도로 자주 나옵니다. 예시를 한번 볼까요? 이런식으로, c에 들어갈 숫자는 마음대로 정하셔도 되고요. 아래에 있던게 분모, 위에 있던게 분자로 이동하면 완성. 대표적인 문제로는 이런 문제가 있습니다. 로그끼리의 곱셈은 계산이 불가능하죠? 그렇지만, 이렇게 밑변환공식을 이용하면? 약분 가능한 꼴로 나타나죠. 여기서 저는 c 자리에 2를 넣었는데, 이건 뭘 넣던지 상관이 없어요. 상용로그를 배우고 나면 그냥 생략해버려도 되죠. 이건 중요하니까 증명을 하겠습니다. 히엑;;; 이런 병신같은 증명방법이 있다는걸

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로그의 응용 성질 3가지

오늘 세 가지 성질을 공부하고 나면 로그의 정의 부분이 끝나게 됩니다. <로그 응용 성질 7> 로그 안에 지수가 들어가는 경우에 지수를 로그 밖으로 옮길 수 있어요. 밑변환공식으로 loga를 딱 해주면? 계산 유도가 가능하죠. 이 계산이 이해되지 않으신다면 로그 기본 성질과 밑 변환 공식을 다시 공부하셔야 해요. 로그의 기본 성질 5가지 로그도 지수나 거듭제곱근처럼 계산할 수 있는 기호랍니다. 거듭제곱근과 달리 이쪽은 엄청나게 자주 쓰이... blog.naver.com 로그의 밑 변환 공식 로그를 계산하는 공식은 몇 개가 있을까요?저는 총 9개의 공식으로 로그 계산을 완성해요. 그 중 5개의 기... blog.naver.com <로그 응용 성질 8> 이번에는 지수에 로그가 들어있는 경우였네요. 중요한건 a끼리 같은 경우에만 성립한다는 사실이예요. 증명은 양변로그를 취해서 기본 로그법칙을 적용했고요. 이번에도 역시 기본법칙을 이해하지 못하면 과정을 이해하기 힘들어요. <로그 응용 성질

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함수와 중복순열

"다음을 만족시키는 함수의 개수를 구하여라" 확통에서 반드시 나오는 시험 문제입니다. 오늘은 중복순열과 함수 사이의 관계를 알아볼게요. 이게 우리가 전에 배우던 순열, 즉 P를 이용하는 함수예요. 이렇게 "일대일함수", 즉 같은 Y에 다른 X값이 들어가면 안되는 경우였죠. 두번째 그림에서는 f(1), f(2), f(5)가 모두 A를 향하기 때문에 일대일 함수가 아니죠. 바람피는 새끼들 없이 딱 짝이 맞게 맺어주는, 이런 함수의 개수는 P 를 이용해서 구해요. x=1이 y=A의 짝이라면, x=2의 짝은 y=A를 제외한 나머지 Y=B, C, D, E. 이렇게 하나씩 줄여가면서 곱하는 일반순열의 계산이었어요. 중복순열의 경우에는, 겹쳐도 상관이 없는 함수예요. B, D, E는 비워놓고 A, C에 모든 x값이 몰려도 되고요. 아니면 그냥 B에 몰빵해버려도 되죠. 이런 함수의 개수는 중복순열을 이용해서 구하는 거예요. x=1이 y=A의 짝이라고 할 때, x=2의 짝은 y=A도 되고 나머지 B

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로그의 대소 관계

거듭제곱근을 공부하고 나서 대소 관계. 지수를 공부하고 나서 대소 관계. 이제는 로그의 대소관계를 알아봐야겠죠? 놀라운 사실은, 지수나 거듭제곱근과 달리 로그는 밑을 통일하는게 불가능해요. 그러면 지수를 통일해야겠나? 하고 봤더니 이것도 불가능합니다. 그러면 대소관계를 어떻게 구해야 할까요? 값을 직접 구해버리면 됩니다. 예시를 한번 볼까요? 전에 공부했던 로그의 계산 공식을 이용해서 값을 직접 구해버리면 돼요. 4의 5제곱만 되어도 1000을 넘어가서 계산하기 벅찼던 지수와 달리 로그는 계산이 간단하기 때문이죠. 복잡하게 뭘 통일하고 이것 저것 곱하고 제곱하고 이런거 하나도 없이 그냥 값이 깔끔하게 나와버리니까 쉽네요. (개꿀)

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1-5. 퍼센트농도와 몰농도

# 화학I # 1. 화학의 첫걸음, # 5. 퍼센트농도와 몰 농도 퍼센트농도는 용질(녹아있는 물질)과 용액의 질량의 비율입니다. 하지만, 이런 단점이 있습니다. 화학식을 만드는데 가장 중요한 것은 '몰 수' 인데요. 그러나, 퍼센트농도로는 몰 수를 계산하기 복잡하고 같은 퍼센트농도여도 물질의 '양'이 달라요. 매번 계산해서 분수를 어쩌고 저쩌고... 하기 너무 힘들잖아요? 그래서 화학식을 편하게 쓰기 위해 '몰 농도'라는 개념을 만들었어요. 몰 농도는 용액 1L에 녹아 있는 물질의 몰 수 입니다. 이 때의 단위는 mol/L 또는 M을 씁니다. 1mol/L = 1M = 1L에 1몰의 입자가 있는 경우. 말로 백날 설명해봤자 글로는 100% 전달이 불가능하죠. 문제를 만나보시면 이해가 훨씬 쉬우실 겁니다. + 아보가드로 법칙에서 22.4L에 1mol의 입자가 있었죠? 그러니까 1L에 들어 있는 입자 수는 0.0몇 정도로 작은 값인 경우가 많답니다. 계산이 무슨 0.0025M 이따구여도

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로그의 정수 부분과 소수 부분

저번시간의 대소관계는 10줄로 끝나버려서 너무 좋았어요. 오늘도 비슷한 날먹으로 가볼게요. 정수 부분과 소수 부분이라는 말이 나왔는데요. 예를 들어 간단한 수에서 한번 볼까요? 이런 느낌으로, 3.5가 3과 4 사이에 있다는 사실을 이용했어요. 우리가 log5100의 값을 정확히 알지는 못하지만, 이정도는 알 수 있죠. 정수 부분은 말그대로 정수니까 로그의 범위를 이용해서 구하면 되고 소수 부분은... 로그의 값은 무리수이므로 정확히 구할 수가 없습니다. 이렇게 뺄셈 형태로 남겨두시면 되는거죠.

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상용로그의 정의

로그가 수능과 내신에서 어떻게 다뤄지는가? 오늘은 이 이야기를 하면서 상용로그를 시작할게요. 우선, 수능에서는 상용로그 문제가 출제되지 않습니다. 옛날에는 자주 나왔지만, 트랜드가 바뀌면서 사라졌죠. 하지만, 내신에서는 얘기가 달라집니다. 어렵게 내거나 복잡하게 내기에는 상용로그가 딱이기 때문에 온갖 유형들이 다 나오고, 하나하나 짚으면서 지나가야 합니다. 본격적으로 시작할게요. 상용로그의 정의는 10을 밑으로 하는 로그 입니다. 이런식으로, 아래에 10이 있는 로그를 상용로그라고 부르죠. "상용": 상업적으로 이용할 수 있는 것 사전적 정의에서 알 수 있듯이, 상용로그는 온갖 계산에 모두 사용됩니다. 그 기본적 배경은 값을 구하기가 쉽기 때문이예요. 예를 들어볼게요. 저 값을 구해볼까요? 제기랄. 이걸 구하는건 너무 어렵죠? 계산기에 돌렸더니 262144=2^18 입니다. 그래서 저 값은 18이 됩니다. 그런데, 상용로그는 밑이 10이니까 저런 계산을 할 필요가 없어요. 뒤에 있는

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상용로그표

지금까지 배웠던 표들을 한번 기억해볼까요? - 제곱근표: 난이도 최하, 중요도 최하 - 삼각비 난이도 최하, 중요도 최하 "아~ 상용로그표도 그냥 형식적으로 배우는 내용이군요! 그냥 설렁설렁 보고 넘어가겠습니다!" 라고 생각하시면 여러분의 미래는 이렇게 됩니다. - 상용로그표: 난이도 최하, 중요도 최상 사실 상용로그표 자체는 중요하지 않습니다. 그러나, 그 값을 조작하는 과정을 이용하지 않는 상용로그 문제는 단 한 문제도 존재하지 않습니다. 한번 예시를 볼까요? 로그의 성질을 이해하지 못하신다면 절대 풀 수가 없는 문제입니다. 이런식으로 소수점을 한 자리 옮기기 위해서는 이런 식으로 log 10을 빼거나 더해주시면 되는데 상용로그에서 log10=1이기 때문에 간단하게 구할 수 있습니다. 이렇듯 소수점이 움직임에 따라 상용로그값이 어떻게 변하는지는 모든 문제에서 기본으로 깔고 가는 내용이라고 할 수 있습니다. 자, 이제 상용로그표를 외우세요. ㅋ (설마 진짜로 외우시는 분은 없겠죠?

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상용로그의 정수 부분과 소수 부분

로그의 정수 부분과 소수 부분 저번시간의 대소관계는 10줄로 끝나버려서 너무 좋았어요. 오늘도 비슷한 날먹으로 가볼게요. 정수 부분과 ... blog.naver.com 저번에 공부했던 로그의 정수 부분과 소수 부분. 그러나, 상용로그에서는 조금 다른 점이 있답니다. 정의를 한 번 살펴볼게요. 여기서 주목해야 하는 부분은 + 입니다. 예를 들어, log 503 = 2.7016 이라면 2 + 0.7016. 정수부분 2, 소수부분 0.7016. 간단하게 구할 수 있죠. 그런데, -log 503 = -2.7016 이라면 얘기가 달라집니다. -(2+0.7016) 이기 때문에 분배법칙을 적용하면 -2 - 0.7016, 소수부분이 더하기가 아니라 빼기로 나타나죠. 소수부분은 항상 +이기 때문에 -0.7016이 될 수 없어요. 그러면 어떻게 해야할까요? 1을 더 뺴주는거죠. 이렇게, 앞에 1을 빼주고 뒤에는 1을 더해주는거죠. 그러면 정수 부분이 -3, 소수 부분이 0.2984라는 사실을 알 수

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상용로그의 활용: 2^100은 몇 자리의 자연수일까?

2^100은 몇 자리의 자연수일까? 모 블로그에서 이렇게까지 정리를 해뒀네요; 그런데 이런 식으로는 100제곱같이 터무니없이 큰 수는 계산이 불가능해요. 상용로그를 활용하면 상당히 간단하게 자릿수를 구할 수 있답니다. 한번 해볼까요? 이렇게 설정 하고 출발. 양변에 상용로그를 취할겁니다. 이렇게 양변에 로그를 취하고 로그의 성질을 이용해서 제곱을 곱셈으로 바꿔요. 그러면 log 답 = 30.1 이라는 사실을 알 수 있네요. 그런데 우리가 구해야 하는 것은 'log 답' 이 아니라 '답' 이죠? 이제는 상용로그의 성질을 이용해요. 뭔가 느껴지지 않나요? log a 에서 a가 한 자릿수면 log a = 0.xxxx a가 두 자릿수면 log a = 1.xxxx a가 세 자릿수면 log a = 2.xxxx 이런 규칙에 따라 가겠죠. 답이 31 자릿수면 log 답 = 30.xxxx 이런 결과까지 도출해 낼 수 있는거예요. 그래서 2^100은 31자릿수라는 사실을 알 수 있어요. 여담으로 31

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상용로그의 활용: 3^14의 최고 자리의 숫자는?

저번 시간에는 2^100이 몇 자리 숫자인지를 알아봤었죠? 오늘은, 3^14의 최고 자리 숫자가 몇인지 구하는 방법을 알아볼게요. 스포를 하자면... 4782969가 되어서 최고 자리 숫자는 4라고 합니다. 하지만, 이것 또한 계산하고 자빠져 있을 수는 없죠? 이번에도 양변에 상용로그를 가하면 쉽게 구할 수 있겠죠? (단, log 2 = 0.3010, log 3 = 0.4771 이다.) 이렇게 소수 부분의 대소를 구할 수 있었죠. 이제, 로그의 성질을 활용하기만 하면 돼요. 여기서, log 3^14 = 6.6794 였으니까 이렇게 구할 수 있죠. 그래서 최고 자리의 숫자는 4입니다. 사실 되게 쉬운 내용인데 풀어 쓰다 보니 길어졌네요.

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같은 것이 있는 순열

원순열, 중복순열과 달리 이름이 간지가 안나는 순열입니다. 그.러.나. 수능에는 매년 출제될 정도로 엄청 중요한 내용이기도 합니다! 올해부터는 수능이 바뀌어서 이과들은 수능에서 만날 일은 없겠지만 내신에는 무조건 나오기 때문에 지금 당장은 봐둬야겠죠? 참고로 X나게 쉽답니다. 가장 대표적인 유형은 알파벳 배열 문제입니다. 일곱 개의 문자가 있습니다. 일곱 개를 배열하는 경우의 수는 7! 였죠? 그런데, s가 3번, c가 2번이 존재해요. 7!로 계산하면 앞 c와 뒤 c가 따로 계산되는데요, 앞C뒤C 나 뒤C앞C 모두 쓸 때에는 CC로 똑같이 쓰이죠. 그러니까 전체에서 2!로 나눠줘야 하는 겁니다. 마찬가지로 SSS의 경우에는 3개가 겹치니까 3!로 나눠줘야죠. 최종적으로 계산해보면 이렇게 나오게 되는거죠. 책에는 이렇게 나와있는데... 사실 이건 공식으로 외울 이유가 전혀 없는거 아시겠죠? 전체 순열에 겹치는 놈들은 나워서 없애준다! 이렇게 생각하시면 되겠습니다!

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최단거리로 가는 경우의 수

A에서 B로 최단 거리로 이동하는 경우의 수는? 이렇게 생겨먹은 문제들은 초딩때부터 엄청 많이 접해보셨을 거예요. 일일히 하나 하나 따지는게 초딩 방식이죠. 이렇게 하니까 너무 오래 걸리고, 답이 틀리는 경우도 많았어요. 그래서 중학교에 들어가서는 이런 방식을 사용하기도 했어요. 직선 위에 1을 써놓고 그들의 합으로 천천히 키워 나가는 방식. 그런데 이것도 그림이 복잡해지면 날이 새는 단점이 있었어요. 그래서, 이제부터는 확통에 나오는 "같은 것이 있는 순열"을 활용해서 문제를 상당히 쉽게 풀 수 있답니다. "최단거리"로 가기 위해서는 오른쪽으로 3번, 위로 2번을 움직여야 해요. 아래나 왼쪽으로 움직이는 순간 그건 최단거리가 아니게 되는거죠. 간단하게 생각하면 "오른쪽"3번과 "위쪽"2번을 배열하는 경우의 수를 구하면 되는겁니다. 이렇게 구하면 되는거죠. 조금 더 한눈에 보이도록 설명하자면 이런거죠. - (위) (오른) (위) (오른) (오른) - (오른) (위) (오른) (위)

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2-2. 에너지 대사와 기초 대사량

# 생명과학I # 2. 사람의 물질대사 # 2. 물질대사와 건강 기초 대사량: 생명을 유지하는데 필요한 최소한의 에너지양. 활동 대사량: 생명유지 외의 신체 활동을 하는데 필요한 에너지양. 1일 대사량: 하루에 필요한 총 에너지량. 1일 대사량 = 기초 대사량 + 활동 대사량 + 음식물을 소화/흡수하는데 필요한 에너지양 전체 칼로리 소비량 중 6~70%를 기초대사량이 차지함. 근육 지방은 지방 조직보다 더 많은 에너지를 소비하므로 몸에 근육이 많으면 기초 대사량이 높아짐.

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2-2. 대사성 질환

# 생명과학I # 2. 사람의 물질대사 # 2. 물질대사와 건강 대사성 질환: 몸의 물질대사에 문제가 생겨 발생하는 질병. - 원인: 장기간 과도한 영양을 섭취하거나 운동 부족으로 인한 에너지 불균형의 지속 + 유전적 요인과 스트레스 당뇨병: 혈당량이 비정상적으로 높게 유지되는 질병. - 증상: 흡수되었어야 하는 당이 오줌에 섞여 나옴. - 원인: 이자에서 인슐린 생산 감소 or 세포에서 인슐린에 적절한 반응 못함 - 영향: 조직 괴사, 심혈관계 질환, 뇌졸중, 만성 신부전증 등 합병증 고혈압: 혈압이 정상 범위보다 높은 만성 질환 - 원인: 스트레스, 식사 등 환경적 요소와 유전적 요소. (롤) - 영향: 동맥 경화증, 뇌졸중, 심혈관계 질환, 콩팥 질환 등 합병증. 고지혈증: 혈액에 필요 이상의 콜레스테롤이나 중성 지방 등 지방 성분이 존재하는 질환. - 영향: 고혈압, 동맥 경화증, 뇌졸중 지방간: 간에 지방이 비정상적으로 많이 축적된 상태. - 알코올성 지방간: 술을 많이 먹

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중복조합 공식 그림으로 증명!

중복조합은 확통에서 가장 중요한 내용이라고 해도 무방합니다. 정말 무슨 일이 있더라도 고난도 문제로 등장하게 되어있죠. 작년에도 수학 가형 6모, 9모, 수능에 모두 29번 킬러 문제로 등장했습니다. 2021학년도 고3 수학 가형 6모 29번 2021학년도 고3 수학 가형 9모 29번 2021학년도 고3 수학 가형 수능 29번 중복조합은 책에 나와있는 공식만 보고도 기겁해버리는 경우가 많아요. 실제로는 그렇게 어렵지 않은 문제임에도 불구하고 노가다로 열심히 조지는 선배들이 많더라고요...? (킬러 문제들인 정답이 세 자릿수로 가기 때문에 찍지도 못한답니다) 그런데, 설명하는 꼬라지들을 보면 왜 포기하는지 알 것 같기도 합니다. 이해하려고 하지 마세요! 제가 그림으로 쉽게 이해시켜 드릴게요. 우선, 중복조합의 정의를 알고 가야겠죠? 중복조합은 전체 r개를 n명에게 나누어 주는 경우의 수입니다. 쓸 때에는 이렇게 씁니다. 예시를 들어 볼게요. 이런 문제가 중복조합 문제입니다. 저는 이런

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상용로그와 이차방정식

상용로그 마지막 활용입니다! 딱 보면 감 오시죠? 무조건 근과 계수의 관계를 이용하는 문제입니다. log A = n + a 라고 하면, n이 정수부분, a가 소수부분. 이차방정식의 근은 n, a가 되는거죠. 상용로그의 소수부분은 항상 양수라는 사실을 활용해서 정수부분과 소수부분을 각각 구해줍니다. 두 근의 곱도 근과 계수의 관계로 구하면 되겠죠? 상용로그와 이차방정식의 연계 문제는 식 변형을 하기보다는 각각의 값을 구해서 푸는 문제가 더 많답니다.

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복잡한 최단 거리로 가는 경우의 수

최단거리로 가는 경우의 수 A에서 B로 최단 거리로 이동하는 경우의 수는?이렇게 생겨먹은 문제들은 초딩때부터 엄청 많이 접해보... blog.naver.com A에서 B로 가는 최단 거리의 가짓수! 지난 시간에는 이렇게 직사각형 모양에서만 알아봤는데요. 오늘은 장애물이 있거나 복잡한 모양에서의 경우를 알아볼게요. 하필이면 공사중이네요. 이런 경우에는 두 가지 풀이 방법이 있습니다. 우선 첫 번째! 핵심점 찍기! A에서 B로 가기 위해서는 이 네 점 중 한 점은 반드시 지나야 해요. 또, 두 점을 동시에 지나는 경우에는 최단 거리가 아니게 되죠. 결론적으로, 이 네 점을 지나서 B로 가는 경우의 수를 다 더하면 됩니다. 그림이 복잡한 경우라면 이렇게 푸는게 상당히 쉽게 느껴질 수 있어요. 하지만, 그림이 간단한데 이렇게 나눠서 일일히 더하고 있으면 시간이 아깝죠? 그래서 간단하게 푸는 방법도 있습니다. 임의로 도로를 만들어주는 겁니다. 전체 A --> B 경로에서 임의의 도로를 지나가

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지수함수 그래프의 개형과 특징

지금까지 지수와 로그에 대해서 공부했는데요. 이제는 그래프로 나타낼 일만 남았네요. 생각보다 쉽지만 헷갈릴 수 있으니 집중해서 보도록 하죠. 우선, 지수함수는 개형이 두 가지 존재합니다. 우선, a > 1일 때를 볼까요? x값이 커질수록 y값도 커지죠. 2, 4, 8, 16, 32... 커질수록 커지는 폭이 커지죠. 그러니까 확 올라가는 그래프를 그리게 되죠. 이번에는 a < 0 인 경우를 볼까요? 이번에는 x값이 커질수록 y값은 작아지네요. 0.5, 0.25, 0.125, 0.0625... 이번에는 작아질수록 작아지는 폭이 줄어듭니다. 이 두 그래프의 특징을 두 가지 알아볼게요. <첫 번째 특징> (0,1)을 지납니다. 지수에 0이 들어가면 a에 뭐가 들어가는지에 상관없이 무조건 1이예요. 이걸 다른 말로 표현하면 'y절편이 1이다' 와 같은 말이죠. <두 번째 특징> 지수함수는 a > 0 이라는 중요한 조건이 있습니다. 예를 들어, 이런 식은 그래프로 표현할 수가 없어요. 이런

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플룸 구조론과 열점

# 지구과학I # 1. 지권의 변동 # 3. 맨틀 대류와 맨틀 구조론 배경: 판 경계가 아닌 곳에서 대규모 화산 활동이 일어난다. - 판 구조론에 따르면 "판 경계에서만" 화산 활동이 일어남. - 하와이 열도와 같은 곳들은 판 경계가 아니지만 화산 활동이 일어난다. 플룸: 외핵과 맨틀의 경계에서 생성된 물질. - 뜨거운 플룸: 외핵과 맨틀 사이에서 생성된 물질. - 차가운 플룸: 섭입대에서 해양판에 의해 형성되는 차가운 물질. - 아프리카, 태평양에서 뜨거운 플룸이 상승해서 화산 활동이 일어남. - 아시아 대륙 주변에서 해양판이 섭입해서 차가운 플룸이 형성됨. 열점: 뜨거운 플룸이 상승하여 분출하는 곳. - 판이 움직이는 것에 상관 없이 항상 같은 위치. - 판이 움직이면서 화산섬이 연속적으로 만들어짐. - 대표적인 예시로 하와이 열도가 있음. - 전 세계적으로 대륙판, 해양판 내부에 수십 개의 열점이 있음. 2021 대수능 지구과학 I 4번 문제 당연히 수능에도 등장합니다만, 다음

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마그마의 생성조건 그래프

# 지구과학I # 1. 지권의 변동 # 4. 판 구조 운동과 마그마 활동 교과서에 나와있는 그림인데요. 이해가 잘 안가시는 분들 계실거예요! (제가 처음에 이해를 못했거든요...) 점선, 실선에 온갖 설명까지 다 붙어있으니까 어려운겁니다. 하나씩 찢어서 생각하면 상당히 쉽습니다. 시험 3주남은 제가 일일히 그린거니까 잘 봐주세요. 빨간색 선은 지하의 온도 분포이고요. 파란색 선은 맨틀이 녹기 위해 필요한 온도입니다. 빨간색 선이 파란색 선보다 왼쪽에 있다는 뜻은 맨틀이 녹기에 충분한 온도가 아니라는 뜻입니다. 일반적인 상황에서 맨틀이 녹아서 마그마가 형성되지는 않습니다. 필요한 온도(파란색) 보다 실제 온도 (빨간색)이 오른쪽에 있어야 맨틀이 녹아서 마그마가 생성되겠죠. 방법은 세 가지가 있습니다. 첫번째 방법은 맨틀에 물이 들어가는 경우입니다. 맨틀에 물이 들어가면 녹기 위한 온도가 확 내려갑니다. 얇은 파란색 선에서 굵은 파란색 선으로 이동하는거죠. 이제는 빨간색 선이 파란색 선

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현무암질 마그마 VS 유문암질 마그마

# 지구과학I # 1. 지권의 변동 # 4. 판 구조 운동과 마그마 활동 마그마에는 두 종류가 있습니다. 현무암질 마그마와 유문암질 마그마. 이 두 가지를 구분해서 외워야 하는거죠. 그림으로 살펴볼게요. 여기는 해령입니다. 맨틀 대류에 의해 맨틀 물질이 상승하며 압력이 감소합니다. 결국 맨틀 물질이 녹아서 마그마가 형성되는데요. 현무암질 마그마가 생성됩니다. 맨틀 물질 상승, 압력 감소, 맨틀 용융... 저번 포스팅에서 소개했던 내용들이죠? 마그마의 생성조건 그래프 # 지구과학I # 1. 지권의 변동 # 4. 판 구조 운동과 마그마 활동교과서에 나와있는 그림인데요. 이해가 잘... blog.naver.com 이곳은 판의 경계가 아닌 곳, 즉 열점입니다. 여기서도 마찬가지로 압력이 감소해서 맨틀 물질이 상승. 현무암질 마그마가 형성되는거죠. 가장 헷갈리는게 바로 이 섭입대일텐데요. 해양 지각이 대륙 지각 아래로 깔려들어가면서 온도와 압력이 증가, 함수 광물의 물이 방출됩니다. (함수

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화성암 VS 심성암

# 지구과학I # 1. 지권의 변동 # 4. 판 구조 운동과 마그마 활동 아~ 어렵네요. 이것도 하나하나 찢어서 봐야겠죠. 우선! 화산암과 화성암은 엄청나게 다릅니다! (헷갈리는 사람들 ㄷㄷ) 화성암: 마그마가 굳어져서 만들어진 암석. (화산암과 심성암으로 나뉨) - 화산암: 지표 근처에서 빠르게 냉각되어 만들어진 암석. - 심성암: 깊은 땅속에서 천천히 냉각되어 만들어진 암석. 염기성암 중성암 산성암 화산암 현무암 안산암 유문암 심성암 반려암 섬록암 화강암 마그마 종류 현무암질 안산암질 유문암질 이런 식으로 나눌 수 있습니다. 여기서 보여지는 특징은 이와 같습니다. 화산암은 입자가 작아서 하나의 색이죠. 이걸 세립질이라고 합니다. 반대로 심성암은 입자 크기가 커요. 이건 조립질이라고 합니다. 조립질 광석은 화강암처럼 검은색, 흰색, 갈색 등등 입자가 눈에 보일 정도로 큽니다. 염기성암, 중성암, 산성암은 어떤 차이를 보일까요? 염기성암 중성암 산성암 SIO2 (이산화규소) 분포량

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우리나라의 화성암 지형

# 지구과학I # 1. 지권의 변동 # 4. 판 구조 운동과 마그마 활동 지금까지 고생들 하셨는데, 오늘은 수능에 나올 일이 없는 내용으로 쉬어가겠습니다. (물론 내신에는 그런거 없죠... 단순 암기 물어볼 수도...) 우선, 화산암(현무암, 안산암, 유문암) 지형부터 살펴볼까요? - 지표 부근에서 급속히 냉각되어서 부피가 수축함. - 기둥 모양의 주상절리가 형성됨. - 제주도, 울릉도, 독도 등 섬 주변에 주로 분포. 한탄강 재인폭포 (현무암) 제주도 주상절리 (현무암) 제주도 마라도 (안산암) 변산반도 주상절리 (유문암) 다음은 심성암(반려암, 섬록암, 화강암) 지형입니다. - 지하 깊은 곳을 마그마가 통과하며 생성된 암석. - 지표면에 노출되며 압력이 감소함, 판상절리 발달. - 설악산, 북한산 주변에 주로 분포. 부산 황령산 (반려암) 경주시 양북면 해안 (섬록암) 북한산 인수봉 (화강암) 설악산 울산바위 (화강암)

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지수함수 그래프의 대칭이동과 평행이동

저번시간에 지수함수의 기본 개형에 대해서 알아봤는데요. 이제 이걸 평행이동시키거나 대칭이동 시켜봐야겠죠? <평행이동> x에 x-m를 대입하면 x축 방향으로 m만큼 평행이동. y에 y-n를 대입하면 y축 방향으로 n만큼 평행이동. 중2와 수학(상) 에서 배웠던 내용이죠? 그림으로 나타내면 이렇게 되는데요, 아직 기억이 잘 안나시죠? 예시를 들어볼게요. 이렇게, x 대신 x-3을 대입하면 x축 방향으로 3만큼 평행이동 되는거죠. <대칭이동> x에 -x를 대입하면 y축에 대하여 대칭이동. y에 -y를 대입하면 x축에 대하여 대칭이동. 마찬가지로 기억이 쉽게 나지 않으실 텐데요. 이것도 예를 들어볼까요? 대칭이동에서 한 가지 중요한 부분은 이렇게 지수법칙을 이용해서 변형할 수 있는데요. 변형된 식을 보고 대칭이동된 식이라는 사실을 깨달으셔야 합니다. 이런 식으로요.

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지수함수의 대소 관계와 최대/최소

지수함수의 대소 관계. 중1 수학보다 쉬워서 논란이 되는 내용입니다. ㅎ a>1 일 때, 증가함수이므로 x값이 클수록 y도 커짐. 0<a<1 일 때, 감소함수이므로 x값이 작을수록 y가 커짐. 이 논리를 가지고 지수함수의 최대.최솟값을 구하는 겁니다. 설명은 필요 없고, 예시 문제를 만나보면서 느낌을 보도록 하죠. 이게 서술형 풀이이긴 하지만, 꼼수도 있습니다. 지수의 최솟값과 최댓값을 둘다 대입해보고 더 큰 놈이 최댓값, 작은 놈이 최솟값이 됩니다. 굳이 밑을 a>1, 0<a<1 로 나누지 않아도 되는거죠. 물론 객관식 한정입니다. 서술형은 안됩니다.

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3-1. 뉴런의 종류

# 생명과학I # 3. 신경계 # 1. 자극의 전달 지금까지의 내용들은 문과랑 다를게 없는 간단한 내용이였어요. 오늘부터의 내용은 상당히 까다로워진답니다. 이 그림은 생명과학의 상징과도 같은 그림입니다. 생명과학 교과서 앞표지 배경이기도 하고요. 이게 뉴런이라는 사실도 아시는 분들 많으실 겁니다. 사실은 이렇게 뱀처럼 생겨먹은 새끼였네요. 신경세포체: 핵과 세포 소기관을 가지고 있어서 세포의 생명 활동, 물질대사를 함. 가지돌기: 다른 뉴런이나 세포에서 오는 신호를 받아들임. 축삭돌기: 다른 뉴런이나 세포로 신호를 전달함. 거창하게 설명했지만, 단순하게 생각하면 "대가리로 신호를 받아서 꼬리로 내보낸다" 가 되겠네요. 뉴런은 크게 두 가지로 나뉩니다. 말이집, 민말이집. 민말이집 신경에서는 자극이 천천히 전달되지만 말이집 신경에서는 말이집을 건너뛰어서, 도약 전도를 합니다. 한걸음씩 가는게 아니라 10걸음씩 한번에 가는거죠. 그래서 자극 전달 속도는 말이집 신경에서 훨씬 빠르답니다.

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3-1. 흥분의 전도

# 생명과학I # 3. 신경계 # 1. 자극의 전달 흥분이란 무엇일까요? 제기랄, 이게 아니죠. 생명과학에서 흥분의 정의는 다음과 같습니다. 뉴런이 자극을 받아 세포막의 전기적 특성이 변하는 현상. 좀 아쉽네요. (??) 참고로, 오늘 포스팅은 제 82번째 글인데요. 그 어느 때보다 자세히 설명하기 위해서 시간을 많이 들였답니다. 그림도 제가 일일히 다 그린거예요. 우선, 아무런 흥분이 일어나지 않은 일반 뉴런을 볼게요. 이러한 상태의 뉴런을 분극 상태라고 합니다. 이게 기본 구조입니다. Na+ 통로를 통해 나트륨 이온이 안으로 들어오고, K+ 통로를 통해 칼륨 이온이 밖으로 나갑니다. 이 과정은 '확산'에 의해 이루어지기 때문에 에너지를 소비하지 않습니다. Na+ - K+ 펌프는 거꾸로, 즉 Na+를 밖으로 보내고 K+를 안으로 들여오는 펌프인데요. 이 과정은 자연적으로는 이루어지지 않기 때문에 ATP를 분해하는 에너지를 소비합니다. 뉴런 내부에는 (-)전하를 띠는 단백질이 있습니

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2차(??)인 지수함수와 치환

이런 유형의 문제인데요. 치환했을 때 2차함수의 꼴이 된답니다. 이런식으로, t에 대한 이차식으로 바꿔주는거죠. 그러면 우리가 잘하는 최대 최소를 쓰는거죠. 최댓값은 없고, 최솟값은 t=1일 때 -1. 여기서, t=1은 x=1이라는 뜻이 아니죠? 이렇게, 원러 x에 대한 값을 구해야 하는겁니다. 로그함수의 최대/최소도 이런 방식으로 풀기 때문에 잘 연습해두면 두 문제가 동시에 풀릴 수도 있답니다. 오해하지 마시라고 말씀드리는데, 지수함수는 이차함수가 아닙니다. 제가 제목에도 '2차(??)인 지수함수'라고, ??를 써놨죠? 지수함수는 차수를 가지지 않습니다. 그냥 지수함수예요. 2차항의 형태라는 의미였습니다.

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지수함수와 산술-기하평균

이런식으로, 지금까지 배운 내용으로는 도저히 구할 수 없는 새ㄲ들도 나옵니다. 수학(하)에서 공부했던 산술-기하평균을 사용해야 할 때입니다. 이런 공식이었는데요. 양변에 제곱을 해서 증명도 했었고요. 이 사실을 이용해서 이 문제를 한번 풀어볼게요. 이렇게, 산술-기하평균을 활용하면? 최솟값을 딱 구할 수 있네요. 쉽지 않습니다! 고1 수학의 기억을 되살리는것이 상당히 중요하겠죠!

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이항정리 그림으로 증명

이항정리! 숫자가 복잡하고 기호 C도 많이 등장해서 많이들 멘탈 나가시는데요. 이것도 자연스럽게, 그림으로 보면서 느낌으로 받아들이시면 됩니다. 중학교, 고1 에서 배웠던 곱셈공식을 살펴볼게요. 굳이 4차까지 나타내자면 이런식으로 찾아볼 수 있겠네요. 다들 공식은 외우고 계실텐데, 왜 이런 공식이 존재할까요? 이렇게 전개하면 공식이 나온다고요? 저 전개식이 뭡니까 대체? 그림으로 한번 살펴볼게요. 이런식으로 전개되는거 맞죠? 자, 그러면 이걸 찢어서 생각해볼게요. 이런식으로, aa, ab, ba, bb. 이걸 정리했을 때 a^2+2ab+b^2 이렇게 정리되는거죠. 여기서 규칙성을 찾자면, 이렇게 생각해볼 수 있지 않을까요? 자리가 두 개가 존재합니다. 여기서, b는 무시하고 a만 생각해볼까요? a를 먼저 두 칸에 넣고, 나머지 자리에 b를 채워넣으면 되니까요. 이런식으로, 계수 대신해서 조합 공식을 사용할 수 있어요. 3차식을 볼까요? 여기도 마찬가지죠? 세 자리에다가 a를 배열하기

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3-1. 흥분의 전달

# 생명과학I # 3. 신경계 # 1. 자극의 전달 3-1. 흥분의 전도 # 생명과학I # 3. 신경계 # 1. 자극의 전달흥분이란 무엇일까요?제기랄, 이게 아니죠. 생명과학에서 ... blog.naver.com 한 뉴런 안에서 자극이 어떻게 받아들여지는가? 는 저번에 알아봤고요. 오늘은 이 자극이 다른 뉴런으로 전달되는 과정을 살펴볼게요. 우선, 자극의 전달 방향을 살펴봅시다. <뉴런의 구조>에서 등장했던 그림인데요. 자극의 전달 방향에 집중해서 볼게요. 가지돌기에서 축삭돌기 방향으로 자극이 전달됩니다. 쉽게 말하면, 대가리에서 꼬리 방향으로 자극이 전달되는거죠. 이렇게, 축삭돌기로 자극이 나가서 가지돌기로 자극이 전달됩니다. 축삭돌기와 가지돌기의 경계 부분을 시냅스라고 부릅니다. 조금 더 자세히 알아볼까요? 우선, 축삭돌기와 가지돌기는 서로 붙어있지 않습니다. 서로 떨어져 있고, 그 사이에는 공간이 존재하죠. 그 공간을 시냅스 틈 이라고 부릅니다. 시냅스 소포 안에 신경 전달 물

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지수방정식

함수와 방정식, 부등식은 밀접한 관련이 있죠? 그래서, 함수를 배우면서 방정식도 1+1 행사로 딸려옵니다. 그런데, 과장 1도 없이 중1 내용보다 쉽습니다. 한번 볼까요? ????????? 이게 뭐죠? 장난치나요? 그런데, 이게 지수방정식 맞습니다. 고2 수학 ㅈ밥이네요. 약간 꼬아 볼까요? 그냥 지수끼리만 비교하면 돼요. 이차방정식, 복잡해야 삼차방정식의 풀이입니다. 그냥 중딩 내용이랑 다를게 없다는 거죠. 그나마 유의해야 할 부분은 미지수가 여러 곳에 있는 경우입니다. 그나마 복잡한 형태의 문제입니다. 미지수가 지수와 밑에 모두 있기 때문에 각가 생각해줘야 하는데요. 밑이 x+3 으로 같기 때문에 지수가 같은 경우를 먼저 생각하고, 1은 아무리 제곱해도 1이기 때문에 x+3 이 1이 되도록 하는 x값도 생각해서 그 값들을 엮으면 정답이 되는 거죠. 어렵게 들어가면 빡셀 수 있는데, 개념 자체를 확실하게 이해한다면 거저먹기나 다름없답니다.

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지수방정식과 치환 (feat. 연립방정식)

치환! 지수함수, 로그함수 뿐만 아니라 방,부등식까지 모두 등장하고요. 삼각방,부등식은 그냥 치환이 전부입니다. 치환만 익숙하게 받아들여도 등급은 거저 나옵니다. 복잡하게 보여지는 식은 무조건 치환하는 겁니다. 우리가 쉽게 풀 수 있는 이차방정식 꼴로 표현하는거죠. 주의해야 할 점은 t=2 대신 x=2 라고 뇌절박는 사람들이 있더라고요? 이런 내용을 활용해서 연립방정식 형태의 지수방정식도 풀 수 있습니다. 구글에 있는 아무문제나 집어왔습니다. 수능이나 EBS 모의고사 문제로 보여지고요. 이것 역시 치환으로 간단하게 풀립니다. 이런식으로! 치환해서 중2 수학으로 푸는거죠. 수1 에서는 문제를 직접적으로 풀 수 있는 기술을 공부하지 않습니다. 고2 문제를 중등 문제로 분해하는 기술을 공부하는거죠. 치환을 하면 문제가 중3 이차방정식이나 중2 연립방정식 형태로 나온다는 사실!

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지수방정식과 근/계수 관계, 판별식

지수방정식 알고보니 너무 쉽더라! 지금까지는 중2~중3 내용과 연결지어서 문제를 풀었는데요. 고1 수학과 연결되면 난이도가 살~짝 상승합니다. 우선, 판별식부터 볼게요. 으아아아악! 이차방정식의 형태? 바로 치환해야겠죠. 이게 핵심입니다. '실근'을 가진다, 즉 x에 실수가 들어간다는 뜻인데, 양수의 x제곱은 무조건 양수죠. 이제 판별식이랑 근의 분리를 사용하면 끝. 이런식으로 구하는 겁니다. 자연스럽게 t에 대한 이차방정식이 만들어졌고요. 두 t의 근이 모두 양수, 즉 실수이므로 판별식 한번 써주고 두 근이 양수니까 더하거나 곱해도 양수. 근과 계수의 관계도 적용. 이건 고1 수학이 완벽하지 않으면 어려운 내용이죠. 비슷한 맹락에서 지수방정식 근/계수 관계가 고난도 문제로 꼽히는데요. 이 문제가 어렵다고 평가받는 이유는 바로 (ii) 단게 때문입니다. 이 논리가 이해되지 않는다면... 이 문제는 조금 어렵고요. 블로그 포스팅으로 설명하기에는... 이정도가 최선입니다. 부디 이해되기

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퇴적암의 생성 과정

# 지구과학I # 1. 지권의 변동 # 4. 판 구조 운동과 마그마 활동 "지구과학은 암기과목이다" 과연 사실일까요? 제 대답은 NO. 절대 아닙니다. 수능 지구과학은 상당한 논리와 이해, 문제풀이를 요구하는 과목이죠. 그러나, 내신 시험을 기준으로 삼는다면... 맞는 말이기도 합니다. 오늘은 지구과학에서 외울게 가장 많은 부분을... 살펴봅시다. 퇴적암이 만들어지기 위해서는 이 세 단계를 거쳐야 합니다. - 풍화 작용: 암석이 잘게 부서짐. - 침식/운반 작용: 지표면이 깎이고, 그 퇴적물이 운반됨. - 퇴적 작용: 운반된 퇴적물이 쌓임. 퇴적 작용으로 쌓인 퇴적물들은 속성 작용을 거쳐서 굳어집니다. - 다짐 작용: 아래에 깔린 퇴적물이 위 퇴적물에 눌리면서 다져짐. - 교결 작용: 지하수에 녹아 있던 규질, 석회물질 등이 입자 사이의 간격을 메움. 이런 퇴적암의 종류...를 싸그리 다 외우셔야 하는데요. 막무가내로 외우기보다는 카테고리를 나눠서 외워봅시다. 쇄설성 퇴적암 암석이

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4월 마지막주...

4월 26일 ~ 4월 30일 5일간 시험이라 포스팅이 불가능합니다! 아직 로그함수도 포스팅 못했고... 지구과학 뒤쪽 부분도... 시험이 다가오니까 좀 불안해진 것 같습니다. 그래도 포스팅 하면서 복습 많이 했으니 성적이 잘 나오리라 믿습니다! 제 블로그를 거쳐가신 분들도 시험 화이팅! 감사합니다!

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로그함수 그래프의 개형과 특징

지수함수를 완벽하게 마스터하신 분들이라면 로그함수는 상당히 비슷해서 전혀 어렵지 않습니다. 문제는 엄청 많이 나오는데, 1+1 행사 느낌이죠. y=logax 그래프의 개형인데요. a>1 인 경우에는 x가 증가하면 y도 따라 증가하고 0<a<1 인 경우에는 x가 증가하면 y는 감소하는 형태예요. 자세하게 한번 볼게요. a>1인 경우를 볼까요? 증가하는 폭이 줄어든다는 사실을 알 수 있습니다. x값이 커질수록 완만한 경사를 그리면서 커지는거죠. 0<a<1 인 경우도 볼까요? 이번에는 작아지는 폭이 점차 감소하네요. x값이 커질수록 완만하게 감소하는 그래프가 나오겠죠. 이렇게 기본 개형들을 알아봤는데요 이런 그래프들의 공통적인 특징에는 뭐가 있을까요? <첫 번째 특징> (1,0)을 지납니다. 로그의 정의를 떠올리면 저렇게 지수로 표현할 수 있고 어떤 수의 0제곱은 무조건 1이 되는거죠. 그래서 a값과 상관없이 저 그래프는 무조건 (1,0)을 지나게 됩니다. 다른 말로는 x절편이 1이다 라

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지수함수 VS 로그함수 (역함수 관계)

헷갈리는 두 함수를 정리해서 알아볼까요? 우선, 이 두 함수의 관계를 생각해보죠. 역함수는 x와 y 의 자리를 바꾼 함수였죠? 지수를 로그로 표현해보면 지수함수와 로그함수가 역함수 관계라는 사실을 알 수 있습니다. 별거 아닌것 같지만 난이도가 있는 문제들은 모두 역함수 관계를 활용한 문제랍니다. (이게 어딜 봐서 6번 문제야) y=f(x)와 y=g(x) 그래프는 서로 역함수 관계에 있다는 사실을 이용하면 D(1,a) 에서 A(a,1) B(b,a) 에서 C(a,b) 라는 사실을 알 수 있죠. 지수, 로그함수 그래프가 나오고 y=x 그래프까지 딱 등장하는 문제들은 다 이런 역함수 성질을 물어보는 문제라고 생각하셔도 됩니다. 모든 지수함수 그래프는 (0,1)을 지난다. 모든 로그함수 그래프는 (1,0)을 지난다. 이 성질도 역함수이기 때문에 존재하는 성질입니다. (0,1)과 (1,0)은 x값과 y값이 반대가 된, 두 역함수 위의 점이죠. 어렵기는 한데... 이것만 이해하면 로그함수도 꽁으

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파스칼의 삼각형

다들 파스칼의 삼각형, 어디선가 한번씩은 들어보셨을 내용인데요. 어디선가 본듯한, 그런 삼각형이죠. 그런데, 이게 정확히 어떤 목적으로 그려진 삼각형인지 아시나요? 사실 파스칼의 삼각형은 이렇게 조합을 이용한 값을 쌓아 올린 모양이고 이걸 잘만 활용하면 식을 전개하는데 큰 도움이 됩니다. (a+b)를 계속 제곱하는 식을 한번 생각해볼까요? 뭔가 패턴이 보이지 않으신가요? 저 전개식의 계수는 파스칼의 삼각형의 숫자들과 일치합니다. 전개한다고 끙끙대지 말고, 그냥 삼각형 하나 그려보면 전개가 가능한거죠. (a+b)의 5제곱도 한번 계산해볼까요? 다음 층을 그려보고, 그대로 식을 쓰면 되죠. 복잡하게 전개하지 않아도 깔끔하게 나온다는 사실을 알 수 있어요.

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파스칼의 하키스틱 증명

파스칼의 하키스틱. 한 직선 위의 모든 수의 합은 구부러진 곳의 수와 같다. 초록색: 1+7+28+84+210+462=792 빨간색: 1+6+21+56=84 파란색: 1+10=11 많이들 그냥 때려 외우시고, 원리도 모른 채 사용합니다. 엄청 신기하니까... 그러려니~ 하고 넘어가는 부분이죠. 옛날에 수능에 등장해서 많은 학생들을 놀라게 했던 문제입니다. 요즘은 내신에 정말 자주 나와요. (당장 저희 학교도 나왔거든요) 이건 하키스틱을 변형한건데, 그냥 외우셨다면 그냥 틀리게 되는거죠. 그 원리를 한번 알아볼게요. 파스칼의 삼각형의 정의를 떠올려봐요. 위 두 수를 더해서 아래 수가 나오는 구조죠. 이런 구조라고 볼 수도 있습니다. 파스칼의 삼각형은 조합을 나열한 도형이니까요. 여기서는 숫자가 나오지만, 이걸 문자로 일반화시켜볼까요? 복잡하다고 생각할 수 있어요. (굳이 몰라도 됨) 그래도 느낌은 알고 있어야 하는거죠. 이런 문제를 만났을 때 부담 없이 풀 수 있도록. 이런식으로, 연

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수열

드디어 수 I 의 마지막 단원, 수열을 공부할 시간이네요! "수열"하면 어떤 생각이 드시나요? 초딩때 많이 봤던 내용이죠? 너무 쉬워서 눈물이 다 나는 그런 내용이었잖아요? ???: 고2 수학이 그렇게 쉬울리가 없죠 ㅋㅋㅋㅋㅋ 근데 진짜 요정도. 겁나 쉽습니다. 지금까지 수학 포기하셨던 분들! 수학 하나도 몰라도 수열은 풀 수 있답니다. 아예 새로운 과목이라고 생각하시면 좋아요. 그런데... 수학 선생님들은 '간지'가 생명이라고 생각하십니다... 그래서, 뭔가 멋들어진 표현을 써야돼요. 예시를 들어볼게요. "첫번째 숫자는 4입니다" 이건 좀 멋이 없죠. 고딩같지가 않잖아요. 그래서, 수학 선생님들은 (쓸데없이) 멋있는 용어들을 만들었습니다. 수열에 있는 숫자를 '항' 이라고 부르게 되는거죠. 이제는 "첫째항은 4입니다" 라고, 조금 고급지게 읽을 수 있게 된거죠. 그런데, 서술형 답안에 '첫째항', '둘째항' 이런거 있으면 멋이 없어요. 그래서, 이 항을 기호로 나타내기도 합니다.

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등차수열과 일반항

오늘부터는 다양한 수열들을 하나씩 알아보겠습니다. 우선, 가장 귀여운 등차수열입니다. "앞의 항에 일정한 수를 더한 항들을 나열한 수열" 책에서는 뭔가 복잡하고 거창하게 설명했지만, 저번에도 알아봤었던, 그 간단한 수열이죠. 그냥, 일정하게 커지는 수열이라는 뜻입니다. 수학쌤들이 좋아하는 간지나는 말로 하면 Arithmetic Progression. (산술적인 증가) 줄여서 AP 라고 부르기도 합니다. 영어로 이름도 지어주는 판국에, "이 수열에서는 3씩 커집니다!" 라고 말하면... 멋대가리가 없죠. 그래서 커지는 정도를 '공차'라는 용어를 사용해서 말합니다. 이 수열에서는 3씩 커지니까 공차가 3이 되는거죠. 그런데... 수학쌤들은 이과들이면서 왜케 영어를 좋아하까요? '공차' 쓰기도 귀찮아서 영어로 Differnce, 줄여서 d 라고만 씁니다. 이제는, 숫자 없이 영어만 보고도 등차수열이라는 사실을 꺠달아야 합니다. 이런식으로, 첫째항에 공차가 몇번 더해졌나를 이해해해야 하는겁

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로그함수와 산술-기하평균

고1 수학에 등장하는 산술-기하평균은 계속 써먹고 있어요. 지수함수와 산술-기하평균 이런식으로, 지금까지 배운 내용으로는 도저히 구할 수 없는 새ㄲ들도 나옵니다. 수학(하)에서 공부했던 산... blog.naver.com 지수함수에서도 산술-기하평균이 등장했는데! 로그함수에서도 당연히 적용되어야겠죠. 로그의 기본 성질을 이용하는 겁니다. 덧셈은 곱셈으로 바꿔서 합친다! 어떻게 생각하면 너무나도 당연한 얘기죠. 밑이 1보다 큰 로그함수에서는 진수가 클 수록 함숫값이 커지게 됩니다. 산술-기하평균을 활용해 진수의 최솟값을 구하고 진수가 최소일 때 로그함수의 값도 최소겠죠. 반면, 최댓값은 존재하지 않습니다. (무한하게 증가하기 때문)

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등차중항

오늘은 진짜 간단한 내용입니다. 아마 다들 아시는 내용들인텐데, 수학쌤들은 이것조차 공식으로 만들어버린거죠. 맨날 써먹는 이 등차수열에서 생각해볼게요. 4와 10의 평균값은 7이죠. 7과 13의 평균값은 10이죠. 10과 16의 평균값은 13입니다. 이렇게, 등차수열에서는 양옆의 수를 평균내면 가운데에 있는 수가 나온답니다. 어찌 보면 당연한 이야기이지만, 증명까지 해야겠죠. 굳이 증명까지 하자면 이렇게 되는거죠. 여기서 가운데에 있는 수 (k+d) 를 등차중항이라고 한답니다. 거창한 용어를 사용했지만, 그냥 양옆에 있는거 평균낸 값이예요. 엄청쉽죠? 문제까지 한번 풀어볼게요. 이런식으로, 그냥 평균값 구하는 간단한 문제입니다. 복잡한 용어를 사용할 뿐, 사실 엄청 쉽다는 사실을 기억하시면 멘탈 강화에 도움이 된답니다.

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등차수열과 연립방정식

수열 파트가 좋은 이유는 변칙적인 문제가 별로 없기 때문입니다. 문제를 꼬아서 낼만한 부분이 없어요. 항상 같은 패턴의 문제가 숫자만 바꿔서 나오게 되는거죠. 시험에 안나올수가 없는, 출제율 100%의 미친 고효율 문제. 오늘 한번 풀어보겠습니다. 언뜻 보기에는 뭔가 뒤지게 복잡해 보입니다. 그런데, 첫째항을 a, 공차를 d 로 두고 문제를 다시 쓴다면 어떨까요? 이렇게 일반항에 첫째항 a, 공차 d로 두고 정리하면? 일차식 두 개가 나오죠. 그럼 단순한 연립방정식으로 바뀝니다. 결국은, 등차수열 {an} 이 첫째항 5, 공차가 3인 5 , 8 , 11 , 14 , 17 , ... 이런 수열이라는 사실을 알 수 있네요. 일반항을 다시 구해보면 이렇게 구할 수 있는거죠. 첫째항과 공비를 하나의 문자로 잡은 다음 연립방정식으로 풀어서 각각 구하는 형태의 문제. 엄청 많이 나오는 유형이니 반드시 알아둬야 합니다.

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등차수열: 처음으로 양(음)의 값을 가지는 항

말로 백번 하는것보다 문제를 보는게 좋겠죠. 이런식으로, 첫째항과 공차를 주는거죠. -62, -57, -52, ... , -7, -2, 3, 8, ... 이런식이 될텐데, -2에서 3이 되는 딱 그 시점. 그 시점부터 양의 값을 가지게 되겠죠. 과연 3은 몇번째 항일까요? 저번에 공부했던 일반항 공식 딱 써버리고요. 이제는 부등식 세워서 풀어버리면 되죠. n 이 13.4 이상의 자연수, 즉 14. 14번째 항에서 처음으로 양의 값을 가지겠네요. 검산도 간단하게 이루어질 수 있습니다. 13번째 항에서 -2. 14번째 항에서 +3 의 값을 가지면서 처음으로 양의 값을 가지게 되겠네요.

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등차수열의 합 공식 쉽게 이해하기

수열이 알고보면 정말 쉬운 단원인데요. (삼각함수같은 계산보다는... 훨씬 낫죠) 많이들 포기해버리는 이유가 바로 개같이 생겨먹은 공식들 때문입니다. 뭐 이딴게 다 있나요. 근데, 알고보면 정말 쉽습니다. 여러분, 1부터 100까지 더하기가 암산 가능하신가요? 고등학생이라고 해도 당연히 쉽지 않겠죠. 그런데, 천재 수학자 가우스는 초딩때 이런 방식으로 암산을 했다고 합니다. 1부터 100까지를 쭉 나열해놓고 1+100 = 101. 2+99 = 101. 3+98 = 101. 이렇게 양끝에서 짝짓기를 해서 101씩 묶은거죠. 100개니까 50쌍. 101 x 50 = 5050. 이런짓을 초딩이 했다는거죠. 뭐 이런게 천재라고 하는거겠죠. 그런데, 등차수열도 비슷한 방법으로 증명할 수 있습니다. 여기 첫째항이 A, 공차가 D인 수열이 있습니다. 이 수열을 써보고, 같은 수열을 순서가 거꾸로 오게 다시 써봅니다. 이렇게 거꾸로 배열하니까... 짝짓기가 가능하죠. 더했을 때 같은 값이 나온다는

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등차수열의 합의 최대/최소

등차수열의 합 공식! 오늘은 공식을 사용하지 않습니다. 편하게 읽어 주셔도 되는 내용이라는 말이죠. 문제를 한번 만나보겠습니다. 뭔가 어렵게 생겨먹었죠? 한번 일일히 나열해볼까요? 이렇게 나열해보면, 음수가 양수로 넘어가는 순간을 찾아야 합니다. 첫째항, 둘째항, ... 해서 8째항까지는 음수니까 더하면 전체 합이 줄어들죠. 그런데, 9째항부터는 양수니까 더하면 전체 합이 늘어나게 되는겁니다. 그래서 Sn 은 n이 8일 때 최솟값을 가지게 됩니다. ㅎ 초딩 내용같다고요? 근데 n이 100 일 때 최솟값을 가지면 어떻게 하나요? 100개의 수를 일일히 나열해보나요? 갑자기 기분 팍 안좋아지셨죠. 이건 부등식으로 풀어야 하는 유형입니다. 등차수열의 일반항 공식을 딱 떠올려 봅시다. 우리는 첫째항 a 와 공차 d 의 값을 알죠? 이렇게 식을 쓴 다음. 이 항이 음수가 나오도록 하는 n의 최댓값을 구해볼까요? n이 8 일 때는 전체 값이 음수, n이 9 일 때는 전체 값이 양수. 결국은,

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수열의 합과 일반항 사이의 관계

이 내용은 등차수열 파트에 있기는 하지만, 등차수열 뿐만 아니라 모든 수열에 모두 적용되는 내용입니다. 복잡해 보이지만 알고보면 쉬운, 그런 내용입니다. <기본 원리 1> 어떻게 생각하면 당연하죠? Sn 은 첫째항부터 n째항까지의 합. S1 은 첫째항부터 첫째항까지의 합. S1 = 첫째항 이라는 사실은 너무나 당연합니다. <기본 원리 2> 이것도 정의를 떠올려봅시다. Sn과 Sn-1 은 한 가지의 차이점을 제외하면 일치합니다. 그 한 가지의 차이점이 an의 존재 여부입니다. Sn에서 Sn-1을 빼버리면 an을 제외한 모든 식이 소거되는거죠. 열심히 이해 하시고! 이것도 역시 문제를 만나봐야 실감이 나겠죠? 두 가지 성질을 모두 활용해야 풀 수 있는 문제입니다. 이렇게 두 가지를 모두 물어보는 문제가 많이 나온답니다.

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등비수열과 일반항

등차수열이 모든 항 사이에 일정한 차가 존재하는 것이라면 등비수열은 모든 항 사이에 일정한 비가 존재하는 것입니다. 여러분도 모두 알고 계실, 그런 내용이죠. 뒤의 항은 앞의 항에 2배를 해준 값이죠. 이처럼, 일정한 수를 곱해서 만들어지는 수열을 등비수열이라고 합니다. 정말 간단하죠? 그런데, 수학쌤들은 어려운 용어들을 정말 좋아한다고 말씀드렸어요. 등차수열은 AP (Arithmetic Progression, 산술적 증가) 라고 불렀는데요. 등비수열은 GS (Geometric Sequence, 기하급수적 배열) 라고 부릅니다. 물론 교과서에는 나오지 않는 경우가 많기 때문에 그냥 흘리셔도 되는 내용이고요. 중요한건 이겁니다. "이 수열에서는 항이 2배의 비율로 커집니다" 이건 너무 멋이 없잖아요? 이런 긴 문장을 보면 수학쌤들이 욕합니다. 등차수열에서는 일정하게 커지는 값을 공차라고 부르고 d (differnce) 라는 기호를 썼는데요, 등비수열에서는 일정하게 커지는 비를 공비라고

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등비중항

등차수열의 등차중항은 정말 쉬웠었는데요 등비수열의 등비중항도 진짜 쉽습니다. 그런데 등차중항처럼 한눈에 들어오지는 않아요. 한번 볼까요? 등차수열은 일정한 값이 더해진 수열이니까 가운데 값을 구하려면 양쪽을 더하고, 2로 나눴었죠. 그런데, 등비수열은 일정한 값이 더해진 수열이니까 가운데 값을 구하려면 양쪽을 곱하고, 2제곱근을 씌워야 해요. 뭔 개소린지... 이해가 안되실겁니다. 예시를 보죠. 이런식으로, 양 끝에 있는 항들을 곱해서 루트를 때리면 중간에 있는 항이 나온다는 사실을 알 수 있어요. 증명도 가능합니다. 양 옆을 곱하면 공비 r 이 한번 덜 곱해지고 더 곱해져서 결국은 원래 자기 자신이 나온다, 이런 느낌인거죠. 자 문제 보러 갑시다? 뭐가 이렇게 쉽냐고요? 이렇게 쉬운걸 포기하면 안되겠죠? 아~ 쉽다!

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등차중항 VS 등비중항

우리는 등차중항과 등비중항에 대해 마스터했어요. 그런데, 이런 문제를 만나면 당황하게 됩니다. 수수께끼 놀이하나요? 숫자 하나 없고 문자로 a, b. 수열이 등차인지 등비인지도 모르고. 아는게 없는데 저걸 어떻게 구하느냐! 그래도, 공부했던 공식이 아까우니까 한번 적용이나 시켜 봅시다. 이렇게 써놓고 나니, 뭔가 보이시나요? 산술-기하평균이 느껴져야 합니다! 이렇게 정리해놓고 나니 대소관계가 딱 보이네요! 이 수열이 등차수열일 때의 x값이 등비수열일 때의 x값보다 같거나 큽니다. (같은 경우는 a=b 일 때)

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등차수열의 합과 연립방정식

등차수열과 연립방정식 수열 파트가 좋은 이유는 변칙적인 문제가 별로 없기 때문입니다. 문제를 꼬아서 낼만한 부분이 없어요. 항... blog.naver.com 등차수열과 연립방정식! 이걸 완벽하게 이해하셨다면 오늘 내용도 정말 쉽겠습니다. 저번에는 이렇게, 등차수열의 항 각각의 값을 가지고 연립해서 첫째항과 공차를 구하는 연습을 했는데요. 오늘은, 항 각각의 값 대신 전체의 합을 물어보는 문제를 봅시다. 그림으로 보면 이런 느낌이겠죠. 저번에 살펴봤던 합 공식을 활용해야겠다는 느낌이 들죠? 이 공식에 맞춰서 연립방정식을 작성하는겁니다. 이렇게 첫째항과 공차에 대한 연립방정식 완성. 두 방정식을 연립해서 풀어버리면? 이렇게, 10부터 2씩 커지는 등차수열이라는 사실을 알 수 있습니다! 다시, 합 공식으로 돌아가서 이번에는 n=15 대입. a=10, d=2 까지 대입해서 계산하면 끝입니다. 첫째항에서 열다섯째항까지의 합은 360이 되겠네요. 쉽지는 않지만! 이해만 하신다면 2~3문제 꽁

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합의 기호 시그마 Σ

수I 간지의 상징인 시그마 Σ 단원으로 넘어왔습니다. 등차수열, 등비수열 공부했던거 다들 기억 나시죠? 수열의 항들의 합을 구하는 방법도 공부했었죠. 예를 들어, 이런 문제가 있습니다. 이 문제를 시험지에 출제하기 위해서는 어떻게 써야할까요? "일반항이 4+(n-1)3 인 등차수열에서 두번째 항부터 다섯번째 항까지의 합을 구하시오." 길고, 복잡하네요. 무엇보다, 수학쌤들이 좋아하는 그 특유의 겉멋이 없어요. 이걸 어떻게 하면 짧고 멋지게 쓸 수 있을까... 생각하다가 그들은 '시그마'라는 기호를 만들어냅니다. 시그마는 수열의 항들의 합을 간단하게 표현한 기호입니다. (전혀 간단하지 않아 보이네요 ^발) 시그마 기호 Σ 아래 시그마 기호 Σ 아래쪽에는 어느 항부터를 계산하는지를 씁니다. 위 식에서는 n=2 이므로 두번째 항부터 계산하라는 뜻이죠. 시그마 기호 Σ 위 시그마 기호 Σ 위에는 어느 항까지를 계산하는지를 씁니다. 위 식에서는 5 라고 써있으므로 다섯번째 항까지 계산하라는

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시그마 ∑의 기본 성질 3가지

시그마의 기본 성질이 교과서에 적혀있는 것을 보시고는 복잡하게 생겨먹었다고 겁먹으시는 분들 많으신데요! 사실 이따구로만 달랑 써놓으면 어렵게 느끼시는게 당연하겠네요. 사실은 증명이라고 할 것도 없을 정도로 간단한데 말이죠. 제 설명은 100% 이해하기 쉬운거 아시죠? 성질 설명 뒷부분에 예시가 적혀 있으니 이해가 잘 가지 않으신 분들은 맨 아래로 내리셔서 예시를 함께 보시면서 이해하시면 되겠습니다. <시그마 ∑의 성질 1> 괄호를 풀 수 있는 성질입니다. 증명은 시그마 ∑ 의 정의 자체로 할 수 있습니다. 우선, 이렇게 쭉 나열이 가능하죠? 여기서, a는 a끼리, b는 b끼리 묶어서 나열해볼까요? 이걸 각각 시그마로 표현하면? 이렇게 쪼갤 수 있게 되는거죠. 이걸 하나의 성질로 정리한 것이고요. 당연히 마찬가지로 뺄셈도 성립합니다. <시그마 ∑의 성질 2> 수열에 있는 계수를 시그마 전체 계수로 바꿀 수 있는 성질입니다. 증명 역시 시그마의 정의를 활용하면 금방 가능합니다. 덧셈에서

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시그마 ∑ 와 등비수열

이런 형태의 시그마는 어떻게 계산할까요? 문제 이해가 잘 가지 않을 때에는 한번 쭉 나열해 보는게 좋습니다. k 에 1부터 n까지를 모조리 넣으면 되니까 이런 수열에서 모든 항들을 더하라는 뜻이네요. 저 수열은 어디서 많이 본 수열인데요?? r배씩 커지는 등비수열이었군요. 첫째항이 r이고, 공비가 r인 등비수열이네요. 간단하게 등비수열의 합 공식을 적용하면 되겠네요! 역시 말로만 설명하면 이해하기 쉽지 않죠. 예시 문제를 살펴보러 갑시다. 직접 해보니 이런 형태는 등비수열이라는 사실을 알 수 있죠. 이 등비수열의 합 공식을 적용해서 계산하면 끝. 복잡해는 보이지만, 실제로는 어렵지 않답니다.

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Σ와 자연수 거듭제곱의 합

많이들 시그마를 어려워하는데요. 이 미친 공식들 때문입니다. 증명 과정이 뒤지게 길어요. "난 시험 벼락치기다" 하는 분들은 맨 아래로 내려서 예시 문제들만 보시고 그래도 제대로 공부해 보겠다 하는 분들은 제가 끊어서 쉽게 증명할테니 한번 읽어봐 주시면 감사하겠습니다. <공식 1> 우선, 첫번째 공식은 거저먹기입니다. 첫째항이 1, 공차가 1인 등차수열이라는 사실을 알 수 있네요. 등차수열의 합 공식 기억하시나요? 예를 들어볼까요? 우선, 쪼개 내려야합니다. 시그마의 성질을 활용해서 간단하게 하는거죠. 이렇게 쪼개면 이제 공식 활용이 가능해지죠. 적절하게 쪼개서 적절한 공식 활용. 그래도 이 정도는 이해가 가긴 합니다. 이제부터는 피똥쌀 준비 하시죠. ㅋ <공식 2> 지옥의 공식입니다. 증명이 뒤지게 복잡하죠. 우선, 곱셈공식의 변형을 이용합니다. 이제, k=1 부터 n 까지를 대입합니다. 싸그리 다 더해야 합니다. 더하는 과정에서 좌변은 플러스 마이너스가 소거되어 없어지고 우변은

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사인법칙의 정의

삼각함수의 마지막 소단원 삼각함수의 활용인데요. 알아야 할 공식이 많아서 짜증나는 단원입니다. 그러나! 잘 정리해서 공부하기만 한다면 어렵지 않게 고득점을 거둘 수 있는 단원이기도 합니다. 오늘은 첫 번째 공식인 사인법칙에 대해 알아보겠습니다. 우선, 삼각형을 표현하는 방법에 대해 알아봅시다. 일반적인 삼각형은 이렇게 표현합니다. 세 꼭짓점을 A B C 라고 두고, 그 맞은편 변을 a b c 라고 둡니다. 이 삼각형을 기준으로 생각해봅시다. 삼각형 ABC의 외접원이 있다고 칩시다. 이 외접원의 반지름이 존재하겠죠. 이걸 R이라고 둡시다. 이 그림에서 사인법칙을 찾아볼 수 있습니다. 이게 사인법칙입니다. 분수 나오니까 복잡해서 뇌정지가 오죠? 예시를 들어서 이해해봅시다. 이 문제에서 b의 값을 구해볼까요? 여기서 기억해야 하는것은, 외접원의 반지름 R은 알바가 아니라는겁니다. 중요한건 이놈들이 같다는 거죠. 각 B, 변 c, 각 C 를 알 수 있으니 가벼운 계산이 가능합니다. 간단한

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2-1. 톰슨의 음극선 실험 (톰슨 원자 모형)

# 화학I # 2. 원자의 세계 # 1. 원자의 구조 누구나 원자가 전자와 원자핵으로 이루어졌다는 사실은 알고 있을 겁니다. 옛날 과학자들은 이 사실을 몰랐으니 뻘소리를 해댔죠. 화학 I 2단원은 과학자들이 원자의 구조를 발견해 나가는 과정과 디테일에 대해 공부합니다. 덕분에 외워야 할 이름이 졸라 많이 나옵니다. 과학자 톰슨이 한 가지 실험을 하게 됩니다. 책에는 뭔가 복잡하게 되어있지만, 간단하게 보면 이런거예요. 음극선을 쏘고, 중간에 전기장을 걸어줬더니 음극선이 (+) 방향으로 휘더라는 거죠. 그 이유가 뭘까? 하고 생각해봤더니 음극선이 (-) 전하를 띤다는 사실을 깨닫게 되었습니다. (-) 전하를 띄니까 (+)극 방향으로 휘게 되는거죠. 톰슨은 바람개비에 음극선을 쏘는 실험도 진행했는데요. 바람개비가 돌아가더랍니다. 음극선이 질량을 가지는 입자의 흐름이라는 사실을 알게 된거죠. 이걸 종합하면, 음극선은 (-)전하를 띠며 질량을 가지는 입자의 흐름입니다. (-)전하를 띠며 질

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사인법칙의 증명

저번에 알아봤던 사인법칙을 증명해 보겠습니다. 이 과정에는 중학교 수학이 결정적으로 관여하는데요. 중학교 3학년때 배운 내용이고요. 하나의 호 AB 에 대한 원주각들은 모두 크기가 같습니다. (빨간 각들) 그리고 이들은 중심각 (파란 각) 절반의 크기를 가지죠. 이걸 가지고 한번 증명해보겠습니다. <증명 1 - 각 A 가 예각인 경우> 원래는 삼각형 ABC가 있었습니다. 그런데, 이걸 움직여서 직각삼각형 A'BC 가 되었죠. 같은 원주각이니까 각 A 와 각 A' 는 같은 크기를 가집니다. 여기서, 각 A의 sin값을 나타내면 이렇게 간단하게 증명이 가능한거죠. <증명 2 - 각 A 가 직각인 경우> 이건 너무 당연한 얘기죠. 직각삼각형의 외접원의 중심은 빗변 위에 (중점에) 있으니까 각 A와 마주보는 a 와 외접원의 지름 2R은 같죠. 여기에, Sin 90 = 1 라는 사실을 기억해서 적용하면 간단하게 설명할 수 있게 되는겁니다. <증명 3 - 각 A 가 둔각인 경우> 여기가 가장

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2-1. 러더퍼드의 알파 입자 산란 실험 (러더퍼드 원자 모형)

# 화학I # 2. 원자의 세계 # 1. 원자의 구조 톰슨의 음극선 실험 (톰슨 원자 모형) # 화학I # 2. 원자의 세계 # 1. 원자의 구조 누구나 원자가 전자와 원자핵으로 이루어졌다는 사실은 알고 ... blog.naver.com 처음에는 원자가 이렇게 생겨먹은 줄 알았는데 톰슨이 전자를 발견해서 이런 원자 모형을 만들었었죠. 전자가 발견되기까지 94년이 걸렸어요. 그런데, 러더퍼드는 톰슨 원자 모형 이후 고작 14년만에 새로운 실험에 성공합니다. 여기서 금박은 흔히 생각하는 그런 금박이 아니고 졸~~~~~~~~~~~라 얇은 금박입니다. 알파 입자는 질량이 전자의 7300배나 되니까 전자에 부딪혀도 그냥 뚫고 지나갈 것이라고 예상했죠. 그런데, 놀라운 일이 일어납니다. 일부 알파 입자가 원자에 맞고 튀어 나온겁니다. 이건 톰슨이 제시한 원자 모형으로는 설명이 불가능합니다. 러더퍼드는 이런 비유를 사용했습니다. "휴지에 대포를 쏘았는데 대포알이 튕겨 나왔다(...) " 알파 입

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사인법칙의 변형

이제는 익숙하신 사인법칙 공식입니다. 이 공식을 실전적으로 변형한 공식 세 가지를 볼건데요. 이거 하나는 꼭 기억합시다. "절대 쫄거나 외우지 말자" 사실 전혀 걱정할게 없습니다. 있는걸 그대로 왔다갔다 하는것밖에 없으니까요. 기본 공식만 외우면 이거 외울 필요도 없습니다. <변형공식 1> 사실 전혀 달라진게 없죠? 이 기본 공식에서 저런 공식이 유도된다는 사실은 중1 수학으로 설명이 가능하죠? 양변을 Sin A 로 곱하고 2R 로 나눠준다는 것. 이것도 사실은 실전성이 별로 없습니다. 그런데, 여기서 실전성이 엄청 큰 공식이 등장합니다. <변형공식 2> 뭔가 좀 쌩뚱맞은 느낌이죠. 이게 무슨 헛소린가...? 예시를 들어서 느낌을 볼까요? 항상 보던, 이제는 너무 익숙한 30 60 90 삼각형이 있습니다. 중딩때, 고1 때 엄청나게 했던 부분이죠. 이번에는 각들의 사인값을 계산해볼까요? 어? 변의 길이 비와 각의 사인값 비가 똑같네요! 이게 성립하는군요! 그런데, 왜? 증명은 어떻게

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3-2. 중추신경계 VS 말초신경계

# 생명과학 I # 3. 항상성과 몸의 조절 # 2. 신경계 축하드립니다. 생명과학 I 에서 두번째로 어려운 3-1 단원을 건너오셨습니다! 이제부터는 '극악'의 유전 단원이 나오기 전까지는 편하게 때려 외우기만 하면 됩니다! 오늘은 인트로 느낌이니 편하게 읽어 주시면 되겠습니다. 우리 몸에는 신경계가 퍼져 있는데요. 신경계는 크게 중추신경계와 말초신경계로 나눕니다. 우선 중추신경계. 말 그대로 '중추'. 가장 핵심적인 신경계입니다. 뇌와 척수를 포함하고 있습니다. 딱 봐도 몸 정가운데를 관통하고 있잖아요? 중추신경계의 역할은 감각기와 반응기를 이어주는 역할이예요. 감각기에서 감각 정보를 받아들이면 중추신경계는 이걸 통합해서 반응기에 명령을 내리게 되죠. 자세한 내용은 앞으로 ㅈ빠지게 외울거니까 그냥 그러려니 하시면 돼요. 물론 저는 이미 다 외웠죠 ㅋ (Wls) 말초신경계는 중추신경계에서 뻗어 나온 작은 가지들이예요. 뇌에서 뻗어 나온 말초신경계는 뇌신경. (12쌍) 척수에서 뻗어

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3-2. 뇌의 구조와 기능

# 생명과학 I # 3. 항상성과 몸의 조절 # 2. 신경계 생명과학 들어와서 가장 외울게 많은 단원입니다. 그래도 여기서 무조건 문제 나오니까 각잡고 공부해야겠죠? 일단 위치 외우시고 ㅎ 각 부분마다 역할 정리 들어갑니다. <대뇌> 좌우 두 개의 반구로 나뉘며 주름이 많아서 표면적이 넓습니다. 또한, 뇌 전체 질량의 80%를 차지합니다. 매우 크다는 소리죠. 쪼개서 각각의 기능을 살펴볼까요? - 전두엽: 말하기 - 측두엽: 후각, 청각 - 두정엽: 미각, 읽기, 말하기, 운동감각 - 후두엽: 시각 겉질은 신경세포체가 모여서 회색을 띠고 있어서 회색질입니다. 속질은 축삭돌기가 모여서 백색을 띠고 있어서 백색질입니다. 다음시간에 볼 척수에서는 이게 반대니까 헷갈리지 않게 잘 외워둡시다. 대뇌의 역할도 세 가지로 나눕니다. - 감각령: 감각기로부터 자극을 받아들임. - 운동령: 수의 운동과 복잡한 골격근의 활동을 조절함. - 연합령: 지적이고 감성적인 처리를 함. 여기서 수의 운동은 의

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코사인법칙의 정의

코사인법칙은 정말 복잡하게 생겨먹은 공식입니다. 사인법칙은 맛보기였다면, 코사인법칙은 메인요리입니다. 실제로도 코사인법칙이 2배정도 더 많이 쓰여요. 이게 코사인법칙입니다. 어떻게 쓰이는지를 살펴봅시다. 보시다시피, 각은 딱 한번, 뒤에 등장하고 나머지는 모두 변의 길이로 계산을 처리해요. 그래서, 세 변의 길이가 주어지는 경우 많이 사용합니다. RPM 개념원리에 나와있는 기본 문제인데요. 이 공식들 중 어떤 공식을 사용해야할까요? 1번 공식을 사용해야겠죠? Cos A 값을 구한 다음에 삼각방정식으로 처리하는거죠. 대입하면 되겠죠. 이렇게 세 변의 길이가 주어질 때 코사인법칙을 이용하면 꽁다리에 붙어있는 Cos A 값을 구할 수 있고요. A 가 60 라는 사실은 저번 단원 내용이죠?

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지사학 법칙과 상대 연령

# 지구과학I # 1-2. 지구의 역사 # 3. 지층의 생성 순서 명탐정 셜록 홈즈, 아니면 코난이 범인을 찾아내듯이 복잡한 그림을 보고 어떤 지층이 먼저 생성되었는지를 추리하는 것이 지구과학의 진정한 재미라고 할 수 있겠죠. 그 근거로 사용되는게 지사학 법칙입니다. 지사학 법칙은 지층의 생성 순서를 결정하는 공식(?)입니다. 지구과학 탐정놀이의 시발점이라고 할 수 있죠. <수평 퇴적의 법칙> "퇴적물은 일반적으로 수평으로 쌓인다" 퇴적물이 중력의 작용을 받기 때문에 수평으로 쌓입니다. 수평모양으로 줄무늬가 존재하죠? 모든 지층은 항상 이런 모양으로 쌓입니다. 그런데, 이런 모양의 지층들도 존재하죠. 막 휘고, 구부러지고, 심지어는 끊어진 것들도 있어요. 이런 지층들은 쌓이고 난 후에 지각 변동을 받은 것입니다. 퇴적 --> 지각 변동 의 순서가 되는거죠. <지층 누중의 법칙> "지층이 쌓일 때 아래쪽은 위쪽보다 먼저 퇴적되었다" 이것도 당연한 얘기죠. 아래쪽에 깔려있는 지층이 먼저

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코사인법칙의 증명

* 낚시가 아니라 진지하게 증명하는 글임을 알려드립니다. (첫줄만 읽고 나가지 마시라고요) 사실 블로그 조회수의 핵심은 제목입니다. 제목이 어그로를 끌어야 조회수가 잘 나오고, 많은 분들이 광고 제 컨텐츠를 많이 봐 주시겠죠? 그런데 요즘은 제목 정하기가 너무 쉽네요. 계속 정의, 증명, 변형만 하면 되잖아요? 여러분이 공부할 때도 마찬가지랍니다. 사인법칙, 코사인법칙만 완벽하게 이해하면 이 두 공식을 씹고 뜯고 맛보고 즐기는 단원이 삼각함수 단원이예요. 서론이 길었죠? 오늘의 내용으로 가봅시다. 오늘은 코사인법칙의 증명입니다. 사인법칙의 증명 저번에 알아봤던 사인법칙을 증명해 보겠습니다. 이 과정에는 중학교 수학이 결정적으로 관여하는데요. 중... blog.naver.com 저번에 이런 포스팅이 있었는데요. 각 A 가 예각, 직각, 둔각인 세 경우로 나눠서 증명했어요. 코사인법칙도 마찬가지겠죠? < ∠A 가 예각일 때 > 이런 그림이 있습니다. 삼각형 ABH 를 볼까요? 피타고라스

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2-1. 양성자, 중성자, 전자

# 화학I # 2. 원자의 세계 # 1. 원자의 구조 2-1. 톰슨의 음극선 실험 (톰슨 원자 모형) # 화학I # 2. 원자의 세계 # 1. 원자의 구조 누구나 원자가 전자와 원자핵으로 이루어졌다는 사실은 알고 ... blog.naver.com 2-1. 러더퍼드의 알파 입자 산란 실험 (러더퍼드 원자 모형) # 화학I # 2. 원자의 세계 # 1. 원자의 구조 처음에는 원자가 이렇게 생겨먹은 줄 알았는데 톰슨이 전자를... blog.naver.com 톰슨이 전자를 발견하였고 러더퍼드가 원자핵을 발견하였습니다만 당시 자세히 알려진 사실은 별로 없었죠. 그런데, 과학 기술이 발달한 지금은 연구를 통해 디테일한 내용들을 알아냈죠. 그 사실을 표로 정리하면 다음과 같습니다. 숫자 꼬라지를 좀 보세요. 이걸 외우기보다는 쉽게 이해하는게 중요해요. 우선 질량부터 볼까요? 잘 보면 양성자와 중성자의 질량이 상당히 비슷합니다. 사실 같다고 봐도 화학 I 수준에서는 크게 문제가 생기지 않는 수준입

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2-1. 동위 원소와 평균원자량

# 화학I # 2. 원자의 세계 # 1. 원자의 구조 중학교 과학을 떠올려봅시다. - 중 2: 양성자의 개수, 전자의 개수는 원자 번호와 같다. - 중 3: 양성자의 개수는 원자 번호와 같지만, 전자의 개수는 다를 수 있다. (이온) 여기서 등장하는 '원자 번호', 즉 '양성자'의 개수는 절대 변하지 않는 고유한 개수입니다. 산소 원자에는 8개의 양성자, 8개의 전자가 있죠. 산화 이온에도 8개의 양성자가 있고, 전자는 10개가 있네요. 이 둘은 같은 '산소'입니다. 같은 양성자의 개수면 같은 원소입니다. 전자의 개수는 물질의 화학적 성질을 결정합니다. 우리가 공부했던 이온화 반응, 중화 반응 (중3), 산화 반응 (고1) 모두 전자의 이동에 의해 일어나는 반응들이죠. 나트륨 이온과 산화 이온. 애초에 나트륨과 산소는 전혀 다른 원소이지만 전자의 개수가 같다 보니까 유사한 화학 성질을 가지기도 합니다. 이렇게 양성자와 전자, 모두 물질의 종류나 성질을 결정합니다. 그러면 중성자는?

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2-2. 수소 원자의 선 스펙트럼, 양자화

# 화학I # 2. 원자의 세계 # 2. 현대 원자 모형 2-1. 톰슨의 음극선 실험 (톰슨 원자 모형) # 화학I # 2. 원자의 세계 # 1. 원자의 구조 누구나 원자가 전자와 원자핵으로 이루어졌다는 사실은 알고 ... blog.naver.com 2-1. 러더퍼드의 알파 입자 산란 실험 (러더퍼드 원자 모형) # 화학I # 2. 원자의 세계 # 1. 원자의 구조 처음에는 원자가 이렇게 생겨먹은 줄 알았는데 톰슨이 전자를... blog.naver.com 2-1 단원에서는 원자 모형이 어떻게 만들어졌는지를 살펴봤어요. 돌턴, 톰슨을 거쳐 러더퍼드가 근대적인 원자 모형을 만들었죠. 그런에, 오늘은 러더퍼드의 원자 모형도 잘못된 부분이 있답니다. 이걸 과학적 팩트로 후드려 패는게 2-2단원 입니다. 여기 전구가 하나 있어요. 이 전구의 빛을 분광기로 분석해보면 아래와 같은 연속 스펙트럼을 관찰할 수 있어요. 전구의 밝기, 즉 사용하는 에너지의 양은 우리 멋대로 조절할 수 있죠. 전기를

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코사인법칙의 변형

코사인법칙의 정의 코사인법칙은 정말 복잡하게 생겨먹은 공식입니다. 사인법칙은 맛보기였다면, 코사인법칙은 메인요리입니다... blog.naver.com 지난 두 시간에 걸쳐서 코사인법칙을 정의하고 증명까지 했죠. 오늘은 이 공식을 활용하는 방법을 알아볼게요. 사실 사인법칙의 변형은 좀 복잡했다고 볼 수 있는데요. (변형공식 3개 ㄷㄷ) 코사인법칙의 변형은 저도 날로먹는 포스팅이라고 할 수 있어요. 여기서 제곱은 제곱끼리, 코사인은 따로 묶으면 진짜 이렇게만 하면 끝이예요. 이건 공식이 복잡하게 생겨먹었죠. 그래서 저는 그림으로 익히기를 추천해요. cos A의 값을 구하는게 목표예요. 굳이 공식은 이렇게 되는데, 그림에서 볼까요? 1. 각 A 양쪽의 변을 제곱해서 더하고 2. 각 A 와 마주보는 변을 빼요. 3. 1~2 과정의 값을 각 양쪽 변의 곱의 2배로 나눠요. 자 말로 써놓으니까 ㅈ같기 짝이 없습니다. 예시를 들어보죠. cos A 의 값을 구하여라. 이런 문제가 있습니다. a =

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2-2. 보어 원자 모형과 에너지 준위 계산

# 화학I # 2. 원자의 세계 # 2. 현대 원자 모형 2-2. 수소 원자의 선 스펙트럼, 양자화 # 화학I # 2. 원자의 세계 # 2. 현대 원자 모형 2-1 단원에서는 원자 모형이 어떻게 만들어졌는지를 살펴... blog.naver.com 저번 포스팅에서 스펙트럼과 양자화를 통해 만들어진 보어의 원자 모형이 어떻게 생겼는지 알아봤는데요. 조금 더 자세하게 알아볼까요? 보어는 전자가 특정 궤도에서만 돌아다닌다고 주장했는데요. 1번 전자 궤도, 2번 전자 궤도 이렇게 말하면 너무 길고 복잡하죠? 그래서 알파벳으로 안쪽부터 K, L, M, N 이렇게 이름을 붙여줬답니다. 각각의 껍질의 에너지 준위를 계산하는 공식도 존재합니다. 여기서 -가 붙는 이유는 전자가 (-) 전하를 띠기 때문입니다. 계산을 직접 해봐야 이해하기 쉽겠죠? 이렇게 계산이 가능합니다. 원자핵과 가까운 전자껍질 K 에서는 에너지 준위가 매우 작고 원자핵과 멀어질수록 에너지 준위가 커지는 모습을 볼 수 있어요. 이걸

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2-2. 바닥상태 VS 들뜬상태

# 화학I # 2. 원자의 세계 # 2. 현대 원자 모형 저번시간에 알아봤던 보어의 원자 모형입니다. 전자는 특정 궤도 (K, L, M, N, ...) 위에만 존재한다고 했었죠. 일반적으로 전자는 원자핵에서 가장 가까운 전자 껍질에 존재합니다. 이걸 바닥 상태라고 합니다. 원자핵 주위에 딱 붙어있는거죠. 바닥에 딱 붙어있다. 원자핵에 딱 붙어있다. 비슷한 느낌이죠. 그런데, 전자가 원자핵에서 멀리 떨어진 전자 껍질로 이동할 수도 있습니다. 이 경우에는 들뜬 상태라고 부르는데요. 딱 붙어있거나, 들떠있거나 둘 중 하나라고 생각하시면 됩니다. 여기까지는 쉽죠. 여기서 정말 중요한 내용이 등장하는데요. 2-2. 보어 원자 모형과 에너지 준위 계산 # 화학I # 2. 원자의 세계 # 2. 현대 원자 모형 저번 포스팅에서 스펙트럼과 양자화를 통해 만들어진 보어... blog.naver.com 저번시간에 알아봤던 공식을 떠올리면 원자핵에 가까운 껍질은 에너지의 크기가 작고 원자핵에 먼 껍질은

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2-2. 보어 모형과 수소 원자의 선 스펙트럼

# 화학I # 2. 원자의 세계 # 2. 현대 원자 모형 어려워 보이지만 사실은 거저먹기인 내용! 가볍게 살펴봅시다. 그림은 전혀 가볍지가 않네요. 뭐 이딴게 있나... 싶지만 천천히 분석해봅시다. 2-2. 바닥상태 VS 들뜬상태 # 화학I # 2. 원자의 세계 # 2. 현대 원자 모형 저번시간에 알아봤던 보어의 원자 모형입니다. 전자는 특... blog.naver.com 저번 글에서 바닥 상태와 들뜬 상태에 대해서 알아봤어요. 들뜬 상태의 원자는 불안정하기 때문에 바닥 상태로 돌아가려는 성질이 있다고 했었죠. 에너지가 많은 들뜬 상태에서 에너지가 적은 바닥 상태로 돌아가면 에너지를 방출하는데 그 에너지는 빛 에너지의 형태라고 했죠. 복습하셨다면 이정도는 ㅈ밥이라고 할 수 있습니다. 바닥 상태에서는 에너지가 적은 첫 번째 껍질에 있어야 하는 전자가 들뜬 상태에서 에너지가 많은 두 번째, 세 번째 껍질에 존재합니다. 들뜬 상태에서는 불안정하기 때문에 바닥 상태로 돌아오려고 하므로 전자

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∑의 활용: 5+55+555+... 의 값 구하기

지금까지 시그마 공식들을 쭉 알아봤는데요. 오늘부터는 활용하는 경우 몇 가지를 알아보려고 합니다. 그냥 제 기준에서 참신하다고 생각되는 풀이를 소개할게요. RPM에 실려있는 1047번 문제입니다. 문제에서 5+55+555+...+555555555 의 값을 구하라고 합니다. 이런 경우에는 규칙을 찾아야 하는데... 아무리 쪼개봐도 계산하기 쉬운 규칙이 나오지를 않습니다. 이런 유형의 문제가 나온다면 항상 9를 떠올리는 연습을 하셔야 합니다. 마법의 수 9등급는 이런 규칙이 있기 때문이죠. 그러면 처음 식을 어떻게 변형해야 할까요? 이렇게 변형해주는 거죠. 555...(20개)...5 였으니까 n=20으로 하고 괄호 안을 시그마 처리해주면? 시그마 ∑ 와 등비수열 이런 형태의 시그마는 어떻게 계산할까요? 문제 이해가 잘 가지 않을 때에는 한번 쭉 나열해 보는게 좋습니... blog.naver.com 등비수열의 형태죠? 이걸 최종적으로 대입하면 이렇게 계산이 나오게 되는겁니다. 정말 지저

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3-2. 뇌사 VS 식물인간

# 생명과학 I # 3. 항상성과 몸의 조절 # 2. 신경계 3-2. 뇌의 구조와 기능 # 생명과학 I # 3. 항상성과 몸의 조절 # 2. 신경계 생명과학 들어와서 가장 외울게 많은 단원입니다. 그... blog.naver.com 저번시간에는 뇌의 각 부분들의 기능들을 공부했습니다. 오늘은 쉬어가는 느낌으로 뇌사와 식물인간의 차이를 알아볼게요. 우선, 뇌사와 식물인간의 공통점은 대뇌 겉질이 죽었다는 겁니다. 대뇌의 겉질은 생각하는 기능을 한다고 공부했었죠. 대뇌 겉질이 기능을 못하면 생각을 못하게 되는겁니다. 또한, 골격근을 움직이도록 명령을 내릴 수가 없어서 움직이지도 못하죠. 이번에는 차이점을 볼까요? 이들의 차이점은 뇌줄기가 살아 있느냐 죽었느냐에 있습니다. 뇌줄기는 중간뇌 + 뇌교 + 연수 를 의미하는데요. - 중간뇌: 안구 운동, 홍채 운동 등 동공 반사의 중추 - 뇌교: 호흡 운동을 조절 - 연수: 호흡 운동, 심장 박동, 소화 운동, 반사 등등... 뇌사의 경우에는 뇌

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3-2. 척수의 구조와 기능

# 생명과학 I # 3. 항상성과 몸의 조절 # 2. 신경계 저번에는 뇌를 공부했다면 오늘은 척수를 알아볼 차례입니다. 저번만큼 외울게 많지 않으니 편하게 봐주시면 됩니다. 본격적으로 들어가기 전에 이것부터. 척추와 척수를 많이들 헷갈려 하시더라고요? 척추는 우리가 아는, 그 등에 있는 뼈이고 척수는 척추 안에 (?) 들어있는 아주 중요한 신경입니다. "머리쓴다"는 말이 있습니다. 뇌는 머리에 있죠. 생각하는 작용은 머리에 있는 뇌에서 일어납니다. 여자친구랑 손을 잡고 있습니다. 당연히 기분이 좋겠죠? 이 때, 잡고 있는건 손인데 기분이 좋은건 머리에 있는 뇌죠. 척수는 온 몸에서 (여기서는 손에서) 감각 정보를 뇌로 전달하는 역할을 합니다. 또한, 손을 더 꽉 잡고 싶어요. (Tiqkf) 그러면 뇌에서 손으로 명령을 내려야겠죠. 척수는 뇌에서 반응 명령을 온 몸으로 전달하는 역할도 합니다. 아 여러분은 없으시다고요? 어쩌라구여 이따구로 그려져있는 그림을 보면 공부하기 싫어지는데요.

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3-2. 척수 반사

# 생명과학 I # 3. 항상성과 몸의 조절 # 2. 신경계 3-2. 척수의 구조와 기능 # 생명과학 I # 3. 항상성과 몸의 조절 # 2. 신경계 저번에는 뇌를 공부했다면 오늘은 척수를 알아볼 차례... blog.naver.com 저번시간에 척수의 구조와 기능에 대해 공부했고요. 그냥 이어지는 내용인데 너무 길어지길래 (광고 하나 더달려고) 여러분(돈)을 위해 끊어가는 내용입니다. "급박한 상황에서는 뇌를 거치지 않고 척수가 독단적으로 명령을 내립니다." 저번 포스팅 마지막 문장입니다. 그 종류에 무엇이 있을까...를 살펴보는 시간을 가져봅시다. <젖분비> 임신을 하고, 아기를 낳게 되면 어머니의 몸에서 모유가 나옵니다. 어머니가 "아기는 분유 먹일거니까 모유 나오지 마라 뿅!" 한다고 해서 모유가 안나오지는 않겠죠. 의지와 상관없으니까요. '생각'을 하는 뇌가 아닌 척수에서 다이렉트로 명령하는 일입니다. <땀분비> 마찬가지죠? 운동하고 더울 때 "땀 나지 마라 뿅!" 한다고 땀

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