산술-기하평균을 증명하고 써보자

# 공통수학 2 # 2. 집합과 명제 # 2.

명제 # 13 저번시간에 절대부등식에 대해 알아봤는데요. 오늘은 여기서 한 단계 더 디테일하게, 대표적인 절대부등식인 산술-기하평균에 대해 알아보겠습니다.

줄여서 산-기라고 쓰는게 일반적이죠. 1. 산술-기하평균의 정의 산술-기하평균, 줄여서 산-기는 모든 양수 a, b 에 대해서 성립하는 절대부등식인데요.

증명은 이따가 할거고, 일단 공식부터 보시죠. 이게 반드시 성립해야만 하는데요.

예를 들어, a+b=6일 때 ab의 최댓값을 구해보면 이렇게 정리되어서 ab의 최댓값이 9라고 나옵니다. 표를 그려서 노가다를 뛰어보면 저게 맞다는걸 알 수 있습니다. a 1 2 3 4 5 b 5 4 3 2 1 ab 5 8 9 8 5 2.

산술-기하평균의 증명 그렇다면 저게 왜 성립하는가? 증명을 한번 해볼게요.

양변을 제곱하면 이렇게 되고, 좌변으로 옮겨서 정리하면 이렇게 완전제곱식으로 묶이면서 항상 성립함을 알 수 있고 등호가 a = b 일 때 성립한...