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미적분) 삼각함수의 도함수

안녕하세요! 설공스터디입니다. 지난 포스팅에서 다룬 몫의 미분법과, 삼각함수의 덧셈정리를 바탕으로 삼각함수의 미분, 삼각함수의 도함수를 유도해보도록 하겠습니다. 고등 미적분에서 다루는 삼각함수 sinx, cosx, tanx, secx, cscx, cotx에 대해 다음과 같은 식들이 성립합니다. 먼저, sin함수의 도함수부터 구해봅시다. 도함수의 정의에 따라 다음 극한을 계산하면 됩니다. 여기서 sin(x+h)를 삼각함수의 덧셈정리를 이용해 전개하면 다음과 같은 식을 얻습니다. 여기서 첫 번째 극한은 0으로 갑니다. 분자 분모에 (cosh+1)을 곱한다면 분자는 -sinh의 제곱, 분모는 h(cosh+1)이 되는데, cosh+1의 극한은 2로 수렴하고, sinh/h는 1로 수렴하기 때문에 sinh가 추가로 남습니다. sinh 자체는 0으로 수렴하죠. 따라서 전체 극한은 0으로 수렴합니다. 두 번째 극한 sinh/h는 1이 됨은 이미 잘 알고 있습니다. 따라서 식 (5)와 같이 sinx

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열역학 Ch 6) 재열 사이클

안녕하세요! 설공스터디입니다. 지난 포스팅에서는 가장 기본적인 유체 사이클인 랭킨 사이클의 가장 기본적인 형태에 대해 다뤄보았는데, 이번 포스팅에서는 랭킨 사이클의 응용된 형태 중 하나인 재열 사이클에 대해 다뤄보도록 하겠습니다. 기본적인 랭킨 사이클의 작동 방식은 정리하면 이렇습니다. 펌프에서 등엔트로피 압축 2. 보일러에서등압 흡열 3. 터빈에서 등엔트 로피 팽창 4. 컨덴서에서 등압 발열 그런데, 이번에는 재열 사이클에 대해 다뤄보는데, 재열 사이클이란 말 그대로 reheat cycle, 열을 다시 받는다는 이야기입니다. 즉 위 방식에서 3-4단계 사이에 새로운 단계가 추가된다는 의미이죠. 따라서 재열 사이클의 작동 방식은 총 6단계로 이루어집니다. 펌프에서 등엔트로피 압축 2. 보일러에서 등압 흡열 3. 고압 터빈에서 등엔트로피 팽창 4. 보일러에서 등압 재흡열 5. 저압 터빈에서 등엔트로피 팽창 6. 컨덴서에서 등압 발열 저압 터빈과 고압 터빈이라는 새로운 용어가 있습니다.

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열역학 Ch 6) 재생 사이클, 급수 가열기

안녕하세요! 설공스터디입니다. 지난 포스팅에서는 랭킨 사이클을 응용한 예시로 재열 사이클에 대해 다뤄보았는데, 이번 포스팅에서는 또 다른 응용 예시 중 하나인 재생 사이클에 대해서 다뤄보고, 그것에 사용되는 급수 가열기에 대해서도 알아보도록 하겠습니다. 우선 재생 사이클의 가장 이상적이자, 기본적인 형태는 다음 그림과 같이 작동합니다. 터빈을 나온 유체는 원래 랭킨 사이클에서는 전부 컨덴서로 이동하지만, 재생 사이클의 경우 터빈에서 나온 유체 중 일부를 다시 보일러로 보내 다시 가열시킵니다. 그리고 다른 일부는 컨덴서로 이동하는 것이죠. 따라서 터빈에서 보일러로 가는 유량과, 컨덴서로 가는 유량의 비율을 아는 것이 중요합니다. 그런데, 보통은 재생 사이클에서 feedwater heater, 급수 가열기를 사용합니다. 급수 가열기는 open, closed의 두 가지 형태가 있으며, open feedwaterheater의 경우는 유체 자체의 mixing이 일어나는 것이고, closed의

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공업수학 1 Ch 6) 르장드르 방정식

안녕하세요! 설공스터디입니다. 지난 포스팅에서는 상미분방정식을 급수해로 풀어내는 방식에 대한 내용을 다루었는데, 이번 포스팅에서는 그 대표적인 예시 중 하나인 르장드르 방정식에 대해 이야기하도록 하겠습니다. 르장드르 방정식은 구면좌표계에서 라플라스방정식이라는 일종의 편미분방정식을 풀 때 나타나는 방정식입니다. 쉽게 이야기하면, 어떤 원 모양의 방이 있고, 그 방의 온도는 시간에 따라 변하지 않고 일정합니다. 이런 방의 위치에 따른 온도를 구하고 싶다면, 르장드르 방정식을 풀 수 있어야 합니다. 그 르장드르 방정식은 다음 식과 같습니다. 여기서 n은 상수이며, 0 이상의 정수입니다. 이 미분방정식을 똑같이 급수해로 풀어보도록 하겠습니다. 이 식에 m=0부터 대입하며 a_m을 찾아줍니다. 이런 방식으로 규칙을 찾아 2보다 크거나 같은 수 s에 대해 x^s의 계수를 대입하면 다음과 같은 식을 얻습니다. 즉 르장드르 급수의 s+2번째 항은 n의 값과 s번째 항을 알면 파악할 수 있습니다.

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유체역학 Ch 4) 나비에 스토크스 방정식

안녕하세요! 설공스터디입니다. 지난 포스팅에서는 유체에 대해 미분의 관점으로 분석하는 기법을 간단하게 다루었는데, 오늘은 이에 대해 더 구체적으로 다루어 나오는 식인 나비에 스토크스 방정식에 대해 이야기해보도록 하겠습니다. 먼저, 어떤 아주 작은 control volume을 생각하고, 그 control volume을 지나가는 운동량에 대해 생각해보도록 하겠습니다. 유량을 통해 단위 시간 당 운동량을 생각해야 하고, x축을 따라 들어오는 유량에 대한 momentum은 다음 식과 같이 나타낼 수 있습니다. 유량을 밀도와 면적, 그리고 그 면적을 지나는 유속 u에 대해 표현하면 식 (1)을 얻을 수 있습니다. 질량 보존에서 다뤘던 것과 마찬가지로 나가는 유량에 대해 테일러 정리를 적용하면 momentum을 다음과 같이 구할 수 있습니다. 그러면 마찬가지로, y,z축 방향에 대해서도 비슷한 식을 얻을 수 있습니다. 그리고, steady하지 않은 경우, 시간에 따라 생성되는 momentum의

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미적분) 곱의 미분법과 몫의 미분법

안녕하세요! 설공스터디입니다. 이번 포스팅에서는 미적분에서 다루는 곱의 미분법과 몫의 미분법을 상세하게 다뤄보도록 하겠습니다. 이 곱의 미분법과 몫의 미분법은, 삼각함수를 미분할 때, 즉 삼각함수의 도함수를 구할 때 중요하게 사용됩니다. 우선, 곱의 미분법부터 살펴보도록 합시다. 미분 가능한 두 함수 f(x), g(x)에 대해, 이 식이 성립하는 것은 익히 알고 계실 겁니다. 이 식이 성립하는 이유를 알기 위해서는, 도함수의 정의부터 알아야 합니다. 임의의 지점 x에서 아주 작은 근방에서 평균 변화율을 계산하면, 그건 지점 x에서 순간 변화율이 되므로, 저 극한이 도함수가 되는 것입니다. 그것을 f(x)g(x)에 대해 계산하면 식 (1)을 얻을 수 있습니다. 그러면 몫의 미분법은 어떻게 유도할 수 있을까요? 이는 곱의 미분법에서 유도됩니다. f(x)와 1/g(x)에 대한 곱의 미분을 구하는 것이죠. 그러면 다음과 같이 됩니다. 그런데 저희는 아직 1/g(x)를 미분하는 법을 모릅니다

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재료역학 Ch 7) Torsion

안녕하세요! 설공스터디입니다. 이번 포스팅에서는, 물체에 주로 일어나는 변형 중 하나인 비틀림, Torsion에 대해 알아보도록 하겠습니다. Torsion은, 외부 토크에 의해 물체가 휘어지는 것으로, 길이 변화와는 관련이 없습니다. 결국 물체에 생기는 변형은 길이 변화가 아닌 각도 변화이므로 shear strain만 발생하며, 물체에 생기는 stress도 shear stress입니다. 그러면, 어떤 토크 T가 물체에 작용했을 때, 물체에 생기는 shear stress와 shear strain, 휘어진 각도를 구할 수 있어야겠죠? 오늘 포스팅에서는 그것들을 유도해볼 것입니다. 먼저, 원기둥 모양의 물체가 있고, 양 끝에 점 P,Q가 있다고 합시다. 이 때, 이 물체가 뒤틀렸을 때, P에서 Q를 잇는 직선의 모양은 어떻게 될까요? 그 직선은 곡선이 될까요? 실제로는 그렇지 않고, 직선 상태를 유지합니다. Torsion에 대한 유도는 이 사실로부터 출발합니다. 위 그림은 원기둥의 일부입

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유체역학 Ch 4) differential analysis

안녕하세요! 설공스터디입니다. 지난 포스팅까지는 integral analysis, 즉 적분으로 유체의 흐름을 분석하는 기법에 대한 이야기를 했는데, 이번 포스팅에서는 반대로 differential analysis, 즉 유체의 흐름을 미분의 관점에서 분석해보도록 하겠습니다. 우선 유체의 속도부터 생각해보도록 합시다. 유체의 속도는 위치, 즉 x,y,z값, 그리고 시간 t에 따라 변하므로 4변수이며, 속도의 방향은 3차원이므로, 4변수 함수 3차원 벡터라고 볼 수 있습니다. 따라서 속도 벡터는 다음과 같이 표현할 수 있죠. 그러면 가속도 벡터는 어떻게 구할 수 있을까요? 속도 벡터를 시간에 대해 미분하면 구할 수 있습니다. 다만 미분 대상이 4변수 함수이므로 연쇄 법칙을 이용해야 합니다. 따라서 가속도 벡터는 다음과 같이 구해집니다. 이것은 V라는 벡터 꼴로 표현한 것이고, x축 y축 z축에 대해서 가속도를 표현하려면 다음과 같이 표현해야 합니다. 이 유체의 속도와 가속도를 기반으로,

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공업수학 1 Ch 6. 미분방정식의 급수해

안녕하세요! 설공스터디입니다. 이번 포스팅에서는 지금까지 배운 방식으로 미분 방정식의 해를 구하기가 다소 곤란한 경우에 사용할 수 있는 급수해 기법에 대해 설명하도록 하겠습니다. 이 미분방정식의 급수해라는 기법은 르장드르 방정식, 베셀 방정식 등 중요한 식과도 큰 관련이 있습니다. 미분방정식의 급수해란 말 그대로 미분방정식의 해를 일종의 거듭제곱 급수로 가정하는 것입니다. 다음과 같은 방식으로 말이죠. 이 식을 미분방정식에 대입하면 급수의 일반항을 얻고, 그 급수해로부터 y의 함수를 역으로 추론하거나, 혹은 급수의 형태로만 남겨놓는 것입니다. 거듭제곱급수의 성질에 의해 y'은 (2)와 같이, y''은 (3)과 같이 표현할 수 있겠죠. 이것을 알면 다음과 같은 문제를 풀 수 있게 됩니다. 위와 같은 미분방정식 (4)는 (5)와 같은 해를 가짐을 이미 알지만, 거듭제곱급수 기법을 이용해 다음과 같이도 풀어낼 수 있습니다. 즉, 주어진 급수 형태를, 초등함수로 표현할 수 있는 기본 지식을

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수학 (상) 곱셈 공식의 변형

안녕하세요! 설공스터디입니다. 지난 포스팅에서는 곱셈 공식들을 쭉 유도해보았는데, 이번 포스팅에서는 곱셈 공식의 변형에 대한 내용을 다뤄보도록 하겠습니다. 곱셈 공식의 변형은 이전에 다뤘던 곱셈 공식에서 적절한 변형을 주는 것으로, 이 역시 외우는 것이 아니라 변형 과정을 익히고 있으시면 됩니다. 수학 (상)에서 주로 다루는 곱셈 공식의 변형 식들은 다음과 같습니다. (6), (7)을 제외하고는, 기존의 곱셈공식에서 적절한 이항을 취하면 바로 유도할 수 있으며, (6), (7)의 경우는 직접 전개해서 보거나, 다른 방식의 유도를 하는 것이 편합니다. 우선 (1)~(5)는 다음에 쓰여있는 곱셈 공식들에서 바로 유도할 수 있습니다. 6,7번 식은 직접 전개로 유도하여야 합니다. 결국엔 곱셈 공식을 이용해 식을 변형하는 것이므로, 그 논리를 이해하는 것이 중요합니다. 감사합니다! #서울대 #수학 #수학(상) #수학상 #곱셈공식 #곱셈공식변형 #공부 #고1 #고1수학 #모의고사

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미적분) 삼각함수의 덧셈정리

안녕하세요! 설공스터디입니다. 이번 포스팅에서는 삼각함수의 덧셈정리, 배각의 공식, 반각의 공식에 대한 식들을 하나씩 유도해보도록 하겠습니다. 코사인함수의 덧셈정리부터 알아볼텐데, 먼저 다음 식을 유도해보도록 하겠습니다. 반지름이 1인 원 위에 P(cosA, sinA), Q(cosB, sinB)가 있다고 하면, 각각이 x축과 이루는 각은 A,B입니다. 그러면 선분 PQ의 길이는 코사인 법칙을 이용해 구할 수 있게 됩니다. 여기서, 사인함수는 기함수, 코사인함수는 우함수이므로, 그 사실을 이용하면 다음 식을 얻을 수 있습니다. 여기서, A 자리에 pi/2-A를 집어넣고, 코사인과 사인 사이 각변환을 이용하면, 사인함수의 덧셈법칙을 알 수 있습니다. 그러면 탄젠트 함수의 덧셈법칙은 어떻게 알 수 있을까요? 바로 tan=sin/cos라는 점을 이용해서 바로 계산할 수 있습니다. 다음과 같이 할 수 있겠죠. (6)은 분자 분모를 각각 cosAcosB로 나누면 얻을 수 있습니다. 이것을 이해

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재료역학 Ch 6. 응력과 변형률 관계 (2)

안녕하세요! 설공스터디입니다. 지난 포스팅에서는 응력과 변형률 관계에 대한 이야기 중 수직 응력에 대한 기본적인 이야기들 위주로 다뤘는데, 이번 포스팅에서는 조금 더 추가적인 이야기들을 다뤄보도록 하겠습니다. 먼저, shear stress에 의한 shear strain에 대해 알아보도록 하겠습니다. normal stress, 수직 응력에 의해서는, 그 변형률과 응력 값이 비례하는 것을 알 수 있었는데, 전단 응력과 전단 변형률 사이도 마찬가지입니다. 수식적으로는 다음을 만족합니다. 수직 응력과 변형률에 대해서는 저 비례 상수를 탄성 계수라고 불렀는데, 이 식 (1)에서 비례상수 G는 전단 응력과 전단 변형률에 대한 비례 상수로 전단 탄성 계수라고 부릅니다. 이 전단 탄성계수에 대해서는 다음과 같은 식을 만족합니다. 따라서 전단 탄성계수를 모르더라도, E값과 포아송 비를 알고 있다면 전단 탄성의 값을 구할 수 있습니다. 그리고 중요한 점은, 전단 응력은 전단 변형률만 발생시키고, 수직

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공업수학 1 Ch.5) 위상평면 (2)

안녕하세요! 설공스터디입니다. 지난 포스팅에서는 연립 상미분방정식을 푸는 기법과, 위상 평면에 대한 간략한 소개를 하였는데, 이번 포스팅에서는 연립 상미분 방정식에서 나올 수 있는 해의 type과, stability, 판정법 등을 자세히 알아보도록 하겠습니다. 위상 평면에서 나올 수 있는 특이점의 type은 다음과 같습니다. 1) node 2) saddle point 3) center 4) spiral 이전 포스팅에서는, unstable한 proper node에 대해 알아보았는데요, stability는 특이점 근방에서 위상평면을 그렸을 때, 그 궤적 중 하나라도 무한히 뻗어나가는 것이 있는가로 판정합니다. 하나라도 무한히 뻗어나가는 궤적이 있다면 그것은 unstable입니다. 또한 node는 proper node와 improper node라는 것이 있는데, node 특이점 근처에 직선 궤적이 두 개가 있으면 improper node, 그렇지 않으면 proper node로 분류하시면

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수학 1) 지수의 확장으로 거듭제곱근 이해하기

안녕하세요! 설공스터디입니다. 고등 수학 1에서 가장 먼저 배우는 것이 지수 및 로그인데요. 보통 거듭제곱근에 대한 것을 배우고 나서 지수의 확장을 배우기 시작합니다. 하지만, 지수의 확장을 먼저 이용해 거듭제곱근을 배우면 한 층 더 자연스럽게 거듭제곱근을 이해할 수 있습니다. 먼저, 지수의 확장에 대한 내용을 알아보도록 하겠습니다. 지수의 확장이란, 중학교 과정에서 배운 자연수 지수에 대해 적용되는 지수 법칙을, 음수, 정수, 유리수, 실수에 대해 적용하겠다는 시도입니다. 그렇게 하기 위해 음수 지수, 실수 지수, 유리수 지수를 각각 새롭게 정의하게 되는 것이죠. 먼저, 음수 지수를 정의해 볼까요? 음수 지수를 정의했을 때 지수 법칙을 만족시키게 하려면, 다음과 같은 것을 만족해야 합니다. 당연히, a는 0보다 큰 실수이며, 위와 같은 지수법칙을 만족시키려다 보니 자연스럽게 다음과 같이 확장이 된 것입니다. 유리수에서도 비슷한 것을 해볼까요? (3)번의 식과, 지수 법칙만 이용하면

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유체역학 Ch 3) Integral analysis (2), 베르누이 방정식

안녕하세요! 설공스터디입니다. 지난 포스팅에서는 integral analysis에서 기본이 되는 레이놀즈 수송 정리에 대해 이야기하고, 그것으로부터 질량 보존 식을 유도했습니다. 이번 포스팅에서는, 레이놀즈 수송 정리 식에 다른 물리량을 대입하여 각운동량 보존, 운동량 보존 식을 이끌어내고, 베르누이 법칙에 대해 다뤄보도록 하겠습니다. 레이놀즈 수송 정리 식을 다시 적어보면 다음과 같습니다. 여기서, B를 운동량, mv로 잡으면, linear momentum에 대한 equation 하나를 얻을 수 있습니다. 다음과 같이 계산해서 말이죠. 따라서 system에 작용하는 알짜힘은, 내부 운동량 변화와, 그 surface 출입에 의한 운동량을 이용해 구할 수 있습니다. 다음 식과 같이 말이죠. 이 때, system에 작용하는 힘은 body force와, 외부에 작용하는 압력을 이용해 구하시면 됩니다. 다음은 B에 각운동량을 대입하면, 또 다른 equation 하나를 얻을 수 있습니다. 각

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열역학 Ch 6) 랭킨 사이클

안녕하세요! 설공스터디입니다. 이번 포스팅부터는, 열역학 제 1,2법칙을 이용해 다양한 cycle, 열기관을 알아보도록 할 것입니다. 첫 번째로는 랭킨 사이클에 대해 다뤄보겠습니다. 랭킨 사이클은 크게 4개의 장치로 구성되어 있는 cycle입니다. 주로 위 사진과 같은 형태로 작동하며, 보일러, 터빈, 컨덴서, 펌프의 4가지 장치가 있습니다. 펌프에서 일을 받은 유체가 보일러에서 열을 받아, 터빈에서 일을 한 후, 컨덴서에서 열을 방출하는 방식입니다. 그 각각의 과정은 어떤 방식으로 일어날까요? 랭킨 사이클은 카르노 사이클과 비슷합니다. 두 번의 isentropic 과정과, 두 번의 등온 과정으로 구성되어 있습니다. 다만 실제 유체를 가지고 도는 사이클에서 이런 형태의 과정을 만드는 것은 어렵습니다. 따라서 두 번의 isentropic 과정과 두 번의 등압 과정으로 구성된 랭킨 사이클을 고안해낸 것입니다. 각각의 과정은 다음과 같습니다. 1->2 isentropic(reversibl

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공업수학 1 Ch 5) 비선형, 비제차 연립미분방정식

안녕하세요! 설공스터디입니다. 지난 포스팅에서는 선형 연립 상미분방정식에 대해 위상 평면, type, 궤적을 그리고 안정성을 판단하는 기법에 대해 이야기했는데요, 이번 포스팅에서는 비선형 연립미분방정식을 선형 연립미분방정식처럼 다루는 기법과, 비제차 연립 미분방정식을 푸는 방식에 대해 설명하도록 하겠습니다. 비선형 연립미분방정식을 선형화한다고 이야기하는데요, 선형화 시키는 것은 특이점 근처에서, 테일러 전개를 이용해 일차항만 남겨두는 방식입니다. 예를 들어, 다음과 같은 연립 미분 방정식이 있다고 합시다. 이 연립 미분방정식의 특이점은 y_1=4, y_2=0 또는 y_1=0, y_2=0입니다. 먼저, (0,0)에서 이 연립 미분 방정식을 선형화하면 다음과 같습니다. y_1이 0에 가까우므로, y_1^2의 항은 무시해도 되는 것이 되므로 다음과 같이 선형화할 수 있습니다. 그러면 (4,0)에서는 어떨까요? 다음과 같이 0에 근사하도록 치환을 통해 구할 수 있습니다. 이렇게 선형화를 했

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2023 고3 3월 모의고사 풀이

안녕하세요! 설공스터디입니다. 2023년에 시행한 고3 3월 모의고사 수학 영역 공통, 미적분, 확통 4점 문항들 손 풀이 포스팅하도록 하겠습니다. 이해가 안 되는 파트 있으면 댓글 남겨주세요! <공통> #9 #10 #11 #12 #13 #14 #15 #20 #21 #22 <확률과 통계> #28 #29 #30 <미적분> #28 #29 #30 감사합니다! #서울대 #3모 #수학풀이 #3월모의고사30번 #30번풀이 #미적분 #확통 #모고풀이 #모의고사풀이 #고3

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유체역학 Ch 2. 유체 정역학(2)

안녕하세요! 설공스터디입니다. 지난 포스팅에 이어서 계속해서 유체 정역학에 대해서 다뤄보도록 하겠습니다. 이번 포스팅에서는 곡선 영역에 작용하는 힘, 가속하는 상황에서 유체의 압력에 대한 이야기를 해보도록 하겠습니다. 1) 곡선 영역에서 작용하는 힘 위와 같은 상황에서, 곡선 영역에 작용하는 힘을 어떻게 구할 수 있을까요? 방법은 바로 수직 방향, 수평 방향 힘을 따로 생각하는 것입니다. 그러면 수직 방향 힘은, 유체의 총 무게랑 같게 되고, 수평 방향 힘은 c-a를 따른 라인에서 작용하는 힘과 같습니다. 그 값은 앞에서 다룬 면적분을 이용하면 간단하게 계산할 수 있게 되겠죠. 유체의 무게는 밀도와 부피, 중력가속도를 곱하면 됩니다. 2) 유체가 가속할 때 받는 힘 지금까지 다뤘던 일반적인 상황에서는, 압력의 변화가 중력 방향으로만 일어납니다. 식으로 쓰면 다음과 같습니다. 그런데, 유체가 따로 가속을 받는 상황에서는, 유체의 압력이 중력에 따라서만 변화하지 않습니다. 그 가속의 방

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미적분) 자연상수, 지수, 로그함수의 극한

안녕하세요! 설공스터디입니다. 이번 포스팅에서는 자연상수와 지수, 로그함수의 극한 단원을 다뤄볼 텐데, 결국에는 그 결과값만 외우시는 경우가 많고, 왜 그런지 모르는 경우가 많습니다. 하지만 저는 완벽한 이해가 중요하다고 생각하는 사람으로써 관련된 식을 하나 하나 유도해보도록 하겠습니다. 먼저, 그러기 위해서는 자연 상수 e가 어떻게 정의되는지 부터 알아야 합니다. 이것은 정의이기 때문에 어쩔 수 없이 외워야 하긴 하지만, 결국 자연상수는 1에 가까워지는 수를 무한에 가깝게 제곱한 어떤 상수이고, 이 극한은 이항정리를 적절히 사용하면 2보다는 크고, 3보다는 작음을 알 수 있습니다. 또한 x가 0에 가까이 갈 수록 증가합니다. 따라서 어떤 값으로 수렴할 수 밖에 없으며, 그 값이 바로 e입니다. 그러면 여기에 양변에 자연로그, 즉 밑이 e인 로그를 씌우면 다음과 같은 계산이 가능합니다. 이로써 로그의 첫 번째 극한식을 얻죠. 여기서 밑변환 공식을 사용하면, 또 다른 식을 얻습니다.

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열역학 Ch 5. 엔트로피

안녕하세요! 설공스터디입니다. 지난 포스팅까지는 열역학 제 2법칙에 관련된 이야기를 했는데, 이번 포스팅부터는 그 주제에 조금 더 깊숙하게 들어가보려고 합니다. 열역학 제 2법칙에 관련된 것중 가장 중요한 식 중 하나인 엔트로피 평형식을 이해하기 위해서는 먼저, 엔트로피가 어떤 것인지부터 알아야 합니다. 엔트로피 자체는 가역 과정에서 정의되며, 미소 엔트로피 변화는 열전달이 일어나는 온도와, 열 교환량 사이 관계로 정의됩니다. 따라서 다음과 같은 식이 성립합니다. 또한, 엔트로피도 엔탈피, 비체적, 내부 에너지와 마찬가지로 table에서 찾을 수 있는 경우가 있고, 기존의 것과 같은 방식의 interpolation을 거쳐주시면 됩니다. 건도도 같은 개념으로 사용하시면 됩니다. 식(2)를 이용한다면, 등온 과정에서, 열 전달량만 안다면 엔트로피 변화량을 알 수 있게 됩니다. 이번 포스팅에서는, 이 엔트로피와 기존에 배운 물리량 사이에 성립하는 식들에 대해 더 자세히 알아보도록 하겠습니

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미적분학 Ch 3) 테일러 전개

안녕하세요! 설공스터디입니다. 이번 포스팅에서는, 함수의 급수전개 방식 중 하나인 테일러 전개에 대해 다뤄보도록 하겠습니다. 우선 테일러 전개를 하기 위해서는 근사다항식에 대해서 알아야 합니다. 근사다항식이란, 원점을 기준으로 그 근방에서 n번 미분 가능한 함수 f(x)가 있다고 할 때, 그것과 가장 유사한 다항식을 찾는 것입니다. 그 근사 다항식은 어떻게 찾을까요? 바로 f(x)와 근사다항식의 x=0에서의 값들을 비교합니다. 예를 들어 g(x)가 근사 다항식이라고 한다면, f(0)=g(0), f'(0)=g'(0) 등을 만족시켜야 합니다. 만약 그 근사 다항식이 n차식이라면, 그 f(x)의 n차 다항식은 다음과 같은 식이 됩니다. 결국 이것은 근사 다항식이기 때문에 오차가 있게 됩니다. 그 오차는 원래 함수에서 근사 다항식을 뺀 것이 되는데, 그 나머지 항, 오차 값을 어느 정도 짐작할 수 있게 해주는 것이 바로 테일러 정리입니다. 그런데, 만약 어떤 함수가 f(x)가 무한 번 미분

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재료역학 Ch 6. 응력과 변형률 관계

안녕하세요! 설공스터디입니다. 이번 포스팅에서는 응력과 변형률 사이 관계식에 대한 이야기를 하도록 하겠습니다. 힘을 가하면 물체에 변형이 일어난다는 것. 꽤 당연한 사실입니다. 하지만 저희는 얼만큼의 하중을 주었을 때 어느 만큼의 변형이 일어나는 지 그 값을 정확히 파악할 수 있어야 합니다. 그러기 위해서는 응력과 변형률의 관계에 대해 알아야 하고요. 먼저, 변형체 역학 내용에서 가장 기본적인 식을 유도할 수 있습니다. 단면적과 길이, 탄성 계수를 알고, 가해진 힘을 알면 그 물체의 변형 길이를 알게 됩니다. 그것은 다음과 같은 식으로 나타났습니다. 이 식을 적절히 변형하면, 다음과 같은 식으로 바뀝니다. 따라서, 평균 응력과 평균 변형률은 비례하며, 그 비례 상수는 물체의 탄성 계수가 됩니다. 물론 이것은, 하나의 가정입니다. 또한, 저 식이 성립하는 영역이 따로 있습니다. 실제로 strain과 normal stress 사이 그래프는 다음과 같이 나타납니다. 초기에 작은 변형만 주

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공업수학 1 Ch 5) 위상평면

안녕하세요! 설공스터디입니다. 지난 포스팅에서는 연립 상미분 방정식의 가장 간단한 버전부터 풀어보았는데, 이번 포스팅에서는 나머지 케이스들에 대해서 다루어보고, 각각의 케이스마다 위상 평면과, 그 type을 생각해보도록 하겠습니다. 먼저, det(A-lambda*I)가 0이 되게 하는 lambda를 찾아야 했었는데, 그 식에서 lambda가 서로 다른 두 실근이 나오는 경우만 다루었습니다. 그렇다면 중근을 가지는 경우와 허근을 가지는 경우에 대해서 다뤄야 합니다. 1) 중근을 가지는 경우 먼저 식을 써놓고 설명하도록 하겠습니다. y는 해 벡터, x는 고유값에 해당되는 고유벡터이며, u는 또 다른 하나의 벡터인데, 다음 식을 만족하는 벡터입니다. 보통 2계 상미분방정식에서 결정방정식이 중근을 가지면 해의 기저 중 하나에 t를 곱했듯이, 여기에서도 마찬가지로 t를 곱해주는 항이 추가됩니다. 식 (2)가 성립하는 이유는 식 (1)을 y'=Ay에 대입하면 다음과 같은 식이 나오기 때문입니다

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유체역학 Ch 3.) integral analysis

안녕하세요! 설공스터디입니다. 이번 포스팅에서는 본격적인 유체역학의 유용한 기술 중 하나인 integral analysis에 대해 알아보도록 하겠습니다. integral relation은 기본적으로, 유체의 일정 영역, control volume을 잡고, 그 control volume과 surface에서 어떠한 물리량의 변화를 모아서 보는 것이라고 생각하면 됩니다. 주로 유체역학에서는 질량 보존, 운동량 보존, 각운동량 보존의 3가지 식을 integral analysis에서 얻어낼 수 있습니다. 먼저, 질량 보존 식에 중요하게 사용되며, 나머지 식에서도 중요한 질량 유량에 대해서 다뤄보도록 하겠습니다. 유체가 흐르고 있는 상황이기 때문에, 단위 시간 당 흐르는 질량에 대해서 주로 분석합니다. 유체가 흐를 때, 유량에 대해서는 다음과 같은 식을 만족합니다. 단위 시간 당 부피 유량, 즉 Volume flow rate를 Q라고 표기합니다. Volume flow rate는, 각 지점에서,

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열역학 Ch 5) 엔트로피 평형식

안녕하세요! 설공스터디입니다. 지난 포스팅에서 엔트로피에 대한 내용을 다뤘습니다. 엔트로피라는 것을 어떻게 계산하는지에 대한 방법을 이야기했는데, 이번 포스팅에서는, 엔트로피 증가 법칙, 생성 엔트로피와 같은 내용부터 열역학 2법칙에서 중요한 식 중 하나인 엔트로피 평형식에 대해 다뤄보도록 하겠습니다. 지난 열역학 제 1법칙 포스팅에서 다뤘듯, control mass와 control volume 사이에서 열역학 1법칙이 적용되는 식, 에너지 평형식의 형태가 다소 달랐습니다. 마찬가지로, 열역학 제 2법칙에서 유도되는 엔트로피 평형식도 control mass와 control volume에 따라 그 식이 다소 다르며, 그것은 질량을 통해 전달되는 엔트로피가 있는가, 없는가에 따라 달라집니다. 우선, 엔트로피 평형식을 이해하기 위해서는 엔트로피 생성량을 알아야 합니다. 왜냐하면 엔트로피는 에너지, 혹은 질량과 달리 보존이 되는 물리량이 아니기 때문입니다. 예를 들어, 다음 그림과 같은 상

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공업수학 1 Ch 4. 고계 상미분 방정식

안녕하세요! 설공스터디입니다. 지금까지는 공업 수학에서 2계 상미분 방정식까지를 다루어 보았는데, 3계, 4계 미분 방정식 등을 풀이하는 기법에 대해 소개해드리도록 하겠습니다. 사실 2계까지 배운 내용을 확장하는 것이기 때문에, 전체적으로 간략하게 짚고 넘어가려고 합니다. 먼저, 2계 미분방정식의 해의 기저는 2개였죠. 그렇다면 n계 미분방정식의 해의 기저는 몇 개일까요? n개가 있다고 할 수 있습니다. 따라서 고계 상미분 방정식의 기저를 찾았을 때, 그 일반해는 이렇게 됩니다. 물론 저 기저들 사이에는 일차독립성이 보장되어야 합니다. 일차독립이란, 다음을 의미합니다. 이것을 만족시키는 계수들이 모두 0이어야 한다면 이들은 일차독립이며, 그 이외의 계수가 가능하다면 일차종속입니다. 따라서 상미분방정식을 풀려면 서로 다른, 일차독립인 기저 n개를 찾아야 합니다. 공업수학에서 다루는 고계미분방정식은 앞에서 다룬 것처럼 상수 계수 미분 방정식과, 오일러 코시 방정식이 있습니다. 그 미분방

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재료역학 Ch4) 모어의 원

안녕하세요! 설공스터디입니다. 저번 포스팅에서는 응력에 대한 이야기를 해보았는데, 이번 포스팅에서는 임의의 각으로 기울어져있는 평면을 xx, xy, yy방향 stress로 어떻게 표현해야 할 지에 대한 이야기를 하고, 그것을 계산하는 데에 도움이 되는 모어의 원에 대해 다뤄보도록 하겠습니다. 우선 그것부터 따져봐야 합니다. 응력, stress는 방향이 있고, 크기가 있기 때문에 vector라고 생각할 수 있지만 그렇지 않습니다. 하나의 tensor입니다. 즉 방향에 따른 식을 간단하게 할 수는 없으며, 면적과 방향 등을 복합적으로 계산하여야 합니다. 정확히 하자면, 각을 theta만큼 회전하여 얻은 새로운 x'축 y'축에 대해서 sigma(x'x') sigma(y'y') shear(x'y')를 각각 기존의 x,y축에서 sigma(xx), sigma(yy), shear(xy)에 대해서 표현하고 싶은 것입니다. 이 값을 계산하기 위해서 다음과 같은 상황을 생각합니다. 일종의 빗면을요.

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유체역학 Ch 2. 유체 정역학

안녕하세요! 설공스터디입니다. 오늘은 유체역학의 실질적 첫 단원인 유체 정역학, hydrostatic에 대해 다뤄보도록 하겠습니다. 유체 정역학, hydrostatic이란 유체가 평형 상태에 있을 때 주요하게 써먹을 수 있는 식입니다. 즉 유체가 흐르는 게 아니라 멈춰있는 경우, 유체의 무게가 주요한 경우에 활용됩니다. 유체의 경우, 단순히 힘보다는 압력이라는 개념이 중요합니다. 따라서, 유체의 무게에 의한 압력을 먼저 생각해봅시다. 유체의 무게는 다음과 같이 정의할 수 있습니다. 그런데 압력은, 단위 면적 당 힘이므로, 단면적을 나눈다면 다음과 같은 식을 얻고, 이것을 유체의 무게에 의한 압력으로 계산합니다. 유체가 평형 상태에 있을 때, 이 압력은 방향에 관계없이 같습니다. 한 지점에서 무게에 의한 압력이 예를 들어 100Pa라고 한다면, 그 지점에서 오른쪽, 왼쪽, 아랫쪽으로 가하는 압력도 똑같이 100Pa가 됩니다. 위 그림같은 경우에는 앞에서 다룬 것을 이용하면 다음과 같은

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공업수학 1 Ch 5. 연립 상미분방정식

안녕하세요! 설공스터디입니다. 이번 포스팅에서는 미분 방정식을 연립하여 푸는, 두 개 이상의 미지수로 연립 상미분 방정식을 푸는 기법에 대해 소개하려고 합니다. 이 연립 상미분 방정식은 적절히 대입해서 푸는 방법도 있지만, 행렬을 이해하고 계신다면 더 편하게 다룰 수 있습니다. 따라서 기본적인 행렬에 관한 지식이 있다는 가정 하에, 교유값과 고유 벡터에 대해 설명하고, 이 단원을 다뤄보도록 하겠습니다. 고유값 문제란, 어떤 행렬 A가 주어졌을 때, 다음 식을 만족시키는 벡터 x와 값 lambda를 찾아야 하는 문제입니다. 식으로 나타내면 다음과 같습니다. 이 때, lambda를 고유값, x벡터를 고유벡터라고 부릅니다. 이 때, 우변을 이항하면, 다음과 같은 식을 얻습니다. I는 identity matrix, 항등행렬이며, 결국 A에 고유값을 뺀 행렬과 x벡터의 곱이 영벡터이다라는 것입니다. 물론 고유벡터는 영벡터가 아니라고 칠 것입니다. 너무 trivial하기 때문에요. 여기서, 선

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미적분학 Ch 2) 거듭제곱급수, 수렴반경

안녕하세요! 설공스터디입니다. 지난 포스팅에서는 일반적인 급수의 수렴 및 발산을 판정하는 방법에 대해 설명했는데요, 이번 포스팅에서는 그 다음 단원인 거듭제곱급수와 수렴 반경에 관련된 이야기를 해보도록 하겠습니다. 거듭제곱 급수를 굉장히 쉽게 표현한다면, 무한차수 다항식이라고 볼 수 있습니다. 이 거듭제곱 급수를 따지는 취지도 어떤 함수와 유사한 다항함수를 찾기 위해서입니다. 테일러 전개를 통해서죠. 하지만 거듭제곱 급수가 다항함수라고 보기는 어렵습니다. 결국 일종의 급수이기 때문이죠. 거듭제곱 급수는 주로 다음과 같이 표현합니다. 임의의 값 x=m을 중심으로 거듭제곱급수 전개를 한다면 (1)과 같은 식, 원점을 중심으로 한다면 (2)와 같은 식을 얻을 수 있는데, 미적분학에서는 주로 (2)와 같은 식을 사용합니다. 결국에 먼저 따져야 할 건 이 급수의 수렴, 발산 여부입니다. 결국 이 거듭제곱 급수는 x의 값에 따라 수렴 발산 여부가 달라지겠죠. 이 급수의 수렴, 발산 여부는 어떻

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열역학 Ch 4) 카르노 기관

안녕하세요! 설공스터디입니다. 지난 포스팅에서는 열역학 제 2법칙이 의미하는 바와, 열역학 1,2법칙을 모두 훼손하지 않으면서 만들 수 있는 가장 이상적인 열기관이 카르노 기관이며, 모든 과정이 가역적이다라는 설명까지 드렸습니다. 이번 포스팅에서는, 카르노 기관에 대해 더 자세히 알아보도록 하겠습니다. 그러기 위해서는 먼저 가역 과정에 대한 이해가 필요합니다. 가역 과정이란 말 그대로, 해당 시스템이나, 그 surrounding을 변화하지 않고도, 스스로 그 원래 상태로 돌아올 수 있어야 하며, 열역학 1,2법칙을 위배하지 않는 선에서 가장 이상적인 과정입니다. 하지만 실제로는 그런 가역 과정을 만들기는 어렵습니다. 그 요인은 무엇이 있을까요? 예를 들면 마찰력과 같은 것이 있습니다. 열 전달이라거나, mixing과 같은 현상도 비가역성을 발생시키는 원인이죠. 그렇다면 1,2법칙을 위배하지 않는 선에서 가장 이상적인, 가역적인 cycle을 만든다면 어떨까요? 그렇다면 열역학 1,2법

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재료역학 Ch 5) strain, 변형률

안녕하세요! 설공스터디입니다. 이번 포스팅에서는 응력과 함께 재료역학에서 중요한 개념 중 하나인 변형률, strain에 대해 다뤄보도록 하겠습니다. stress에 normal stress와 shear stress가 있었듯이, strain에도 normal strain과 shear strain이 있습니다. 수직 응력이 수직 변형을 만들어내고 전단 응력은 전단 변형을 만들어냅니다. normal strain은 길이 변화와 관련있고, shear strain은 모양 변화와 관련있는 물리량이며, 각각 다음과 같이 정의합니다. 식의 의미는 이렇습니다. (1)의 경우, 수직 변형률은 변화한 길이를 원래 길이로 나눠준 값이며, (2)의 경우, 전단 변형률은 어떤 물체가 기존에 90도를 이루고 있는 모서리를 가지고 있을 때, 변형 이후 각을 빼준 값을 의미합니다. 따라서 변형 이후 그 모서리의 각이 90도보다 작아졌다면 shear strain 값은 양수, 90도보다 크다면 그 값은 음수가 되겠죠. 재밌

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재료역학 Ch3) 특이함수

안녕하세요! 설공스터디입니다. 지난 포스팅에서부터 전단력, 굽힘 모멘트에 대한 내용을 다루고 있었는데, 이번에는 복잡한 시스템에서도 한 번에 전단력, 굽힘 모멘트 diagram을 그릴 수 있도록 하는 편리한 도구인 특이함수에 대해서 다뤄보도록 할 것입니다. 우선, 특이함수, singularity function이 무엇인지를 아셔야 합니다. 특이 함수는, 구간에 따라 달라지는 함수라고 생각하시면 되며, <>의 기호로 표기합니다. 주로 <x-a>에 그 차수를 지수 위치에 표시합니다. 다음 사진을 보시는 게 이해가 편하실 것입니다. 각각 특이함수는, 재료역학적 상황에서 각각의 의미를 갖습니다. 1차와 경우는, x가 a보다 작을 때는 0, a보다 클 때는 원래 함수라고 보시면 됩니다. 0차의 경우는 x가 a보다 작을 때는 0, a보다 클때는 1이 됩니다. -1차, -2차의 경우는 따로 정의하는데, -1차의 경우는 a 지점에서 크기가 1인 힘이 작용하고 있다는 것을 의미하며, -2차의 경우는

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공업수학 1 Ch3) Wronskian, 매개변수 변환법

안녕하세요! 설공스터디입니다. 지난 포스팅에서 nonhomogenous ode를 풀 수 있는 간단한 방법을 다루었는데요, 일반적인 상황에서 사용하기는 어렵습니다. 따라서 보다 일반적인 상황에서 사용할 수 있는 매개변수 변환법에 대해 이야기해보려 하는데요, 그를 알기 위해서는 우선 wronskian이라는 개념과, 해의 존재성, 유일성과 독립성을 알아야 합니다. Wronskian과 매개변수 변환법을 이용한 해는 고계 미분방정식에서도 다루고, 이는 행렬로 표기되기도 합니다. 하지만 2계의 경우는 간단하게 표기할 수 있습니다. 2계 미분방정식의 경우, 해의 기저가 2개가 있습니다. 그 해를 각각 y1, y2라고 할 때, wronskian은 다음과 같이 계산합니다. wronskian은 하나의 함수라고 볼 수도 있겠죠. wronskian은 W로 표기합니다. 여기서 중요한 점이 하나 있는데, 이 W라는 함수 자체가 영함수가 될 수 있겠죠. 그렇다면 저 두 개의 해는 독립적이지 않게 됩니다. 하나

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공업수학 2 Ch 1) 푸리에 급수, 함수의 직교

안녕하세요! 설공스터디입니다. 이번 포스팅에서는 공업수학 하편에서 제일 처음으로 다루는 푸리에 급수에 대해 소개하고, 그 급수의 계수를 찾는 데 중요한 함수의 직교성을 먼저 소개하도록 하겠습니다. 보통 직교는, 내적이 0인 경우를 의미합니다. 함수에서도 내적을 정의할 수 있고, 그 내적 값이 0이면 함수의 내적이 0이므로 두 함수가 직교한다고 생각할 수 있죠. 함수 구간 a,b에서 함수 f(x)와 g(x)가 있다고 합시다. 그러면 f(x)와 g(x)의 구간 a,b에서의 내적은 다음과 같이 정의할 수 있습니다. 벡터의 경우, 내적을 모든 항에 대해서 곱한 것을 더하죠. 함수의 내적도 역시 쪼개서 더한다. 적분이라는 개념이 적절합니다. 그러면, 여기서 삼각함수 사이에도 내적을 정의할 수 있고, 삼각함수 사이의 직교성을 파악할 수 있습니다. 결론부터 이야기하자면, 1(상수함수), cosx, cos2x, ..... , cos(mx), sinx, sin2x, sin3x, ......., si

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재료역학 Ch4) 응력

안녕하세요! 설공스터디입니다. 지난 포스팅에서는 물체 내부에 걸리는 loading을 임의의 점에서 쉽게 확인할 수 있는 기법인 특이함수를 소개드렸는데, 이번 포스팅에서는 또 다른 주제를 다루려고 합니다. 바로 응력(stress)입니다. stress와 strain은 재료, 고체역학의 제일 중심이 되는 단어입니다. 차례로 응력과 변형률에 대해 알아보고, 그 사이 관계를 다룰 것입니다. 제일 먼저, 응력에 대해서 알아보도록 합시다. 응력이라는 것도 결국 하나의 힘입니다. 단, 단위 면적 당 힘이죠. 따라서 압력과 같은 단위를 가집니다. 응력에는, 두 가지가 있습니다. 면적에 수직인 방향의 수직 응력(normal stress)와 면적에 평행하게 작용하는 전단 응력(shear stress)가 있습니다. 영어 표현을 보시면 대충 눈치를 채실 수가 있죠. normal force에 대응되는 응력이 normal stress고 shear force에 대응되는 응력이 shear stress입니다. 각각

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유체역학 Ch 1) 기본 개념, 용어 정리

안녕하세요! 설공스터디입니다. 유체역학 관련 포스팅을 하기 전에 기본적으로 알아두면 좋은 식이나, 용어, 개념들 위주로 정리해보도록 하겠습니다. 유체의 정의란? shear force를 견딜 수 있는가로 나눌 수 있습니다. 어떠한 물체에 shear를 가했을 때, 그 물체에 velocity gradient가 생긴다면, 그런 경우 유체라고 볼 수 있습니다. 2. 밀도 : 단위 부피 당 질량으로, 유체의 무거움과 관련이 있다고 볼 수 있습니다. 이 밀도가 유동 중에 일정한 것을 incompressible flow, 그렇지 않은 것을 compressible flow라고 합니다. 3. dimension : 어떠한 물리량의 단위를 의미하며, 두 물리량이 같다는 것은, 그 차원 및 단위가 같음을 의미합니다. 그것을 dimensional homogeneity라고 합니다. dimension에는 길이, 시간, 온도, 질량 등의 기본적 단위인 fundamental dimension이 있고, 이 funda

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열역학 Ch 4) 열역학 제 2법칙

안녕하세요! 설공스터디입니다. 이번 포스팅에서는 열역학 제 2법칙에 대해 다뤄보도록 하겠습니다. 고등 물리학에서 열역학 제 2법칙을 이렇게 배우셨을 것입니다. 엔트로피는 무질서도를 의미하고, 엔트로피는 증가한다. 저희는 이 개념을 엔트로피에 대해 구체적으로 다루고, 가역적, 비가역적 일이라는 개념을 도입해서 한 층 더 자세하게 다뤄볼 예정입니다. 우선, 그에 앞서 열기관을 개략적으로 살펴보도록 합시다. 주로 Heat engine과 refrigerator를 살펴볼 텐데요. 먼저 heat engine을 보면 다음과 같은 메커니즘으로 작동합니다. 고온으로부터 열을 받아 일을 한 후 저온으로 열을 방출하게 되죠. 이 때, 열과 일 사이에는, 에너지 보존에 의해 다음과 같은 식이 성립합니다. 또한 열효율에 대해서는 (2)와 같은 식이 성립합니다. 냉장고나, 보일러 Heat pump에 대해서는 반대입니다. 저온으로부터 열을 끌어오고, 일을 받아 고온으로 열을 방출하게 되죠. 따라서 (1) 식은

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미적분학 Ch 1) 급수의 수렴과 발산 판정

안녕하세요! 설공스터디입니다. 이번 포스팅에서는 대학 교양수학 미적분학을 다뤄볼 텐데요, 급수의 수렴과 발산을 판정할 수 있는 판정법들에 대해 다뤄보도록 하겠습니다. 대학 수학 과정에서 주로 배우는 급수의 수렴 발산 판정법은 일반항 판정법, 비교판정법, 비율판정법, 거듭제곱근 판정법, 교대급수 정리, 적분 판정법 총 6가지 정도가 있습니다. 각각에 대해 소개하고, 그것이 어떻게 수렴과 발산을 판정지을 수 있는지에 대해 설명하도록 하겠습니다. 1) 일반항 판정법 : 고등 미적분에서도 배웠던 가장 기본적인 급수의 수렴 발산 판정법입니다. 말로써 설명하자면, 급수가 수렴하면 일반항은 0으로 수렴한다는 것이고, 역은 성립하지 않는다입니다. 반례로는 a_n=1/n이 있죠. 위 명제는 다음과 같이 증명할 수 있습니다. 2) 비교판정법 : 양향급수에 대해서, 즉 모든 수열의 항 값이 양수인 수열에 대해서, 수열하는 수렴보다 크기가 작으면 수렴, 발산하는 수렴보다 크기가 크면 발산한다는 의미입니다

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물리학 Ch 1. 등가속도 운동 공식 유도

안녕하세요! 설공스터디입니다. 이번 포스팅에서는 교양물리학에서 처음으로 다루는 등가속도 운동 공식을 볼 텐데요, 그 공식들이 어떻게 유도되는 건지, 그리고 같이 사용하면 좋은 개념인 평균 속도에 대해서 설명하도록 하겠습니다. 먼저, 결론부터 적어놓고 시작하자면, 등가속도 운동 공식은 크게 3가지가 있죠. 다음과 같습니다. (1)은 처음 속도와 나중 속도 사이의 관계, (2)는 처음 위치와 나중 위치 사이의 관계, (3)은 변위와 속도 변화 사이의 식을 가속도 없이 나타낸 식입니다. 이 식은 가속도의 정의로부터 유도가 가능한데요. 먼저 변위, 속도, 가속도 사이의 관계부터 살펴보겠습니다. 위치를 미분하면 속도, 속도를 미분하면 가속도입니다. 왜냐하면 속도의 정의가 위치의 순간 변화율, 가속도의 정의가 속도의 순간 변화율이기 때문입니다. 이 식을 열심히 쓴 이유는 바로 (4) (5)로부터 (1) (2) (3)의 일반화된 식을 유도하기 위함입니다. 식 6,7,8은 식 1,2,3의 일반화된

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재료역학 Ch3) internal force, 분포하중

안녕하세요! 설공스터디입니다. 지금까지는 물체에 작용하는 외력에 대해서 알아봤다면, 이번에는 내력, internal loading에 대해서 다루려 합니다. 물체 시스템에 외력이 가해지면, 그 반발로 내력이 생기는데, 그 내력은 지점마다 다르게 나타나며, 그 힘의 종류도 다양합니다. 재료역학에는 물체의 한 지점에 작용하는 내력을 분석하는 것이 중요합니다. 각각의 지점마다 하중을 알아야 그 변형까지 생각할 수 있기 때문이죠. 당연히 지점마다 작용하는 내력, loading이 다 다른 경우도 있고, 최대 하중이 발생하는 지점도 생각해볼 수 있겠죠. 양 쪽이 고정된 beam의 중심에 힘을 가하고 있다면, 직관적으로 중심에 가장 큰 internal loading이 걸린다고 생각할 수 있을 것입니다. 오늘 포스팅에서는 그 internal force의 세 가지 종류에 대해서 소개하고, 관련 문제를 풀기 위해 필요한 배경인 분포하중을 어떻게 분석해야 하는지에 대해서 이야기해 보도록 하겠습니다. 재료

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공업수학 1 Ch3) 오일러 코시 방정식

안녕하세요! 설공스터디입니다. 지난 포스팅에서는 상수계수 2계 선형 ode를 푸는 방법에 대해서 설명을 했었는데, 비슷한 방식으로 풀 수 있는 o de가 하나 더 있습니다. 오일러 코시 방정식이라 부르고, 다음과 같은 미분방정식을 의미합니다. 이 미분 방정식도 상수계수 2계 선형 ode처럼, 해의 꼴을 가정할 수 있습니다. 이 미분방정식을 자세히 잘 보면, y를 미분할 때마다 x가 붙습니다. 따라서 y함수는 미분할 때마다 차수가 하나씩 내려가는 함수, 즉 다항함수라고 가정하는 겁니다. 그 차수를 미지수로 가정하면 다음과 같은 방정식을 얻을 수 있습니다. (2)가 바로 오일러 코시 방정식의 결정 방정식의 역할을 함을 알 수 있습니다. 이 때, 일차항의 계수가 a가 아니라(a-1)임을 주의해야 합니다. 이 방정식이 실근 2개를 가진다면 ode를 금방 풀 수 있겠죠. 따라서 다음과 같은 예제는 이렇게 푸시면 됩니다. 그러면 상수계수 ode를 풀 때처럼 다음과 같은 난관에 봉착합니다. 결정

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열역학 Ch2) 주어진 state에서 물리량 찾기

안녕하세요! 설공스터디입니다. 지난 포스팅에서 주어진 물리량을 통해 state를 판정했다면, 이번에는 한 단계 더 나아갈 겁니다. 주어진 물리량을 이용해 state를 판정하고, 해당 state에서 주어진 물리량으로 다른 물리량을 찾아낼 것입니다. 예를 들어, 온도와 압력이 주어졌을 때, 그 state를 판정하고, 그 state에서 해당 온도와 압력을 이용해 table에서 비체적, 내부 에너지, 엔탈피 값 등등을 찾을 수 있겠죠, 그리고 그 과정에서 linear interpolation(선형 보간)을 사용해야 하는 경우가 있는데, 그것에 대해서도 설명하도록 하겠습니다. 특히 중요한 식이 하나 있습니다. 포화액-증기 혼합물에서는 건도라는 것이 정의가 되죠. 그 건도를 통해서 물리량을 계산하는 식을 하나 알아야 합니다. 비체적에 대해서 그 식을 바로 적어보도록 하겠습니다. 이 식은 비체적 뿐만 아니라 내부 에너지, 엔탈피, 엔트로피에 대해서 모두 사용 가능합니다. 이 식의 의미는, 건도가

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열역학 Ch 3) 열역학 제 1법칙(1)

안녕하세요! 설공스터디입니다. 이번 포스팅에서부터는 본격적인 열역학 내용을 담게 될 텐데, 그 중 가장 기본이 되는 열역학 제 1법칙에 대해 다뤄볼 예정입니다. 열역학 제 1법칙은 closed system인가, open system인가에 따라 그 메커니즘이 조금 달라집니다. 이번 포스팅에서는, 질량 출입이 없는 closed system, control mass에서의 열역학 제 1법칙에 대해 다루도록 하겠습니다. 고등학교 과정에서 열역학을 배우셨다면 내용은 별반 다르지 않습니다. 열역학 제 1법칙의 의미는 에너지 보존입니다. 다만 그것이 closed system이냐, open system이냐에 따라 에너지 평형 식이 다른 형태로 기술될 뿐이죠. 열의 경우 들어오는 경우를 +, 일을 해주는 경우를 +라고 할 때, 열역학 제 1법칙은 다음과 같은 형태로 배우셨을 것입니다. 하지만 이 식의 더 본질적인 의미를 다룰 필요가 있습니다. 시스템 내부의 에너지는 외부에서의 열 출입과, 일에 따라서

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공업수학 1 Ch 3) 비제차 상미분방정식

안녕하세요! 설공스터디입니다. 지금까지는 2계선형 상미분방정식 중에서 homogenous, 즉 우변이 0인 경우만 다뤘는데, 이번 포스팅에서는 우변이 0이 아닌 경우에 사용할 수 있는 대표적이고, 한정적인 방법을 설명하려고 합니다. 포인트는, 제차, homogenous 상미분방정식의 해와, nonhomogenous 상미분 방정식의 간단한 해를 아무 거나 하나 알면, 두 개의 해를 이용하여 완전한 형태의 미분방정식의 해를 구할 수 있습니다. 그 방법으로는 간단한 방법이 있고, 일반적인 방법이 있는데, 그 중 간단한 방법을 다룰 것입니다. 일단 그 전에, 다음과 같은 nonhomogenous 상미분 방정식(2계)가 있다고 합시다. 이 때, r(x)가 0일 때 일반해를 알고, (1)을 만족 시키는 하나의 해를 안다고 합시다. 그러면 위 미분방정식의 일반해는 다음과 같이 표현합니다. 이 식의 요지는, 제차 미분방정식의 해를 알고, 비제차 미분방정식의 해 아무거나 하나를 알면, 비제차 미분방

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재료역학 Ch3) 전단력, 굽힘 모멘트

안녕하세요! 설공스터디입니다. 지난 포스팅에서는 internal loading을 구하는 법을 다뤘는데, 이번 포스팅에서는, 임의의 x 지점에서 전단력과, 굽힘 모멘트를 구해 그래프를 그리는 과정 3개 중 두 가지를 소개해드리려고 합니다. 방법은 간단합니다. 1) 임의의 원점에서, 거리가 x가 되는 지점에서 물체를 자른다. 2) 그 지점에서 발생하는 전단력, 굽힘 모멘트를 미지수로 둔다. 3) 그 지점에서 V(x)와 M(x)를 정역학적 평형식을 이용해 구한다. 4) 모든 지점에서 V(x)와 M(x)를 구한 후, 그 그래프를 그린다. 다만 V(x)와 M(x)가 불연속이 되는 점을 주의한다. 방법 자체는 이전 포스팅에서 다룬 것과 큰 차이가 없으므로, 바로 예제를 풀어보도록 하겠습니다. 다음과 같은 시스템에서, V(x), M(x)를 구하려고 합니다. 우선, A와 C에 걸리는 반력을 알아야 합니다. 정역학적 평형 식을 이용하면, 각각 2.5kN이 됨을 알 수 있습니다. 여기서 중요한 점은,

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열역학 Ch3) 열역학 제 1법칙(2)

안녕하세요! 설공스터디입니다. 지난 포스팅에서는, 닫힌 시스템에서 열역학 제 1법칙에 대해 다루어봤는데, 이번에는 control volume에서, 즉 질량 출입이 있는 상태에서의 열역학 제 1법칙에 대해 다루도록 하겠습니다. 우선, 질량 출입이 있는 상황에서, 에너지 보존 식에 앞서 사용해야 할 식이 하나 있습니다. 바로 질량 보존입니다. 식으로 쓰면 다음과 같습니다. 이 식의 의미를 설명드리자면, 시스템 내부에서의 질량 변화는, 들어오는 질량에서 나가는 질량을 뺀 것이라는 뜻입니다. 이것을 단위 시간당으로 표현하면 (2)와 같은 식이 되는 것입니다. 어떤 시스템이, 질량을 생성하지 않는다고 한다면, 들어오는 질량과 나가는 질량이 같아야겠죠. 이는 식 (3)을 의미합니다. open system에서는, 질량 보존과, 에너지 보존. 두 개의 식을 동시에 고려하여야 합니다. 다만, 질량 출입으로 인해 에너지 보존 식이 다소 복잡합니다. 일단 열역학 제 1법칙의 식을 써보도록 하겠습니다.

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재료역학 Ch2) 변형체 역학(2)

안녕하세요! 설공스터디입니다. 지난 포스팅에서는 변형체 역학을 소개하고, 전형적인 문제풀이 단계까지 했었는데요, 이번에는 조금 더 복잡한 케이스들에는 어떻게 문제를 풀어야 하는지에 대해서 다뤄보도록 하겠습니다. 저희가 정역학적으로만 분석해서 확실한 답을 얻을 수 없을 때, kinematics를 고려해야 하는 경우를 statically indeterminate system이라고 부릅니다. 그런 문제들의 예시들은 다음과 같은 것들이 있습니다. 1) 두 개 이상의 bar가 변형하는 경우 위 그림과 같은 상황에서 bar CD와 BD가 모두 변형할 수 있다고 생각해봅시다. 이 때 D점에서 평형을 고려하면, x축 힘 평형, y축 힘 평형 두 개의 식으로 CD와 BD에 걸리는 힘을 구할 수 있게 됩니다. 힘의 방향을 생각하면 AD는 늘어나고, CD는 줄어든다는 것도 알게 되죠. 그런데, 여기서부터 문제입니다. 두 개의 bar는 어느 방향으로 변형해야 될까요? 두 개의 bar가 동시에 변형하므로

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