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[P26] 포물선과 사다리꼴

포물선에 내접하는 사다리꼴과 관련된 문제를 살펴본다. 어떠한 기하적 성질을 발견할 수 있을까? 문제 시리즈 링크 [P0] Problems List [P25] 두 포물선의 공통접선 포물선과 현의 중점 풀이에 앞서 포물선의 현의 중점과 관련된 정리를 짚고 넘어가자. 다음 정리는 '[P24] 정다각형과 포물선 (2)'에서 언급한 '정리 3'을 재구성한 것이다. 풀이 + Comment 1) (P, C, B, A, D)의 y좌표가 등차수열을 이루고 (O, C, A)가 일직선임을 발견하면 계산량을 크게 줄일 수 있다. 2) 사다리꼴이 제4사분면에서 포물선에 내접하는 경우도 가능한데, 이 경우 D의 x좌표는 19 + 8√3이 된다. 왜 그런지 생각해보자.

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[P25] 두 포물선의 공통접선

두 포물선의 세 공통접선이 직각삼각형을 이루는 특수한 경우를 살펴본다. 포물선의 어떠한 성질들을 이용해야 할까? 문제 시리즈 링크 [P0] Problems List [P24] 정다각형과 포물선 (2) [P26] 포물선과 사다리꼴 포물선의 정의와 반사 성질 초점 F와 준선 ℓ (F ∉ ℓ)이 주어질 때, F와 ℓ에 이르는 거리가 같은 점의 자취를 포물선이라고 한다. 이 때, 축 (F를 지나고 ℓ에 수직인 직선)과 포물선의 교점 O를 꼭짓점이라 하고, 포물선과 한 점에서만 만나는 직선을 접선이라 한다. 포물선 (F, ℓ) 위의 점 P에서 ℓ에 내린 수선의 발을 D라 하고, P를 지나는 직선 m과 ℓ의 교점을 G라 하면, 다음의 조건들은 서로 필요충분조건이다. i) m은 포물선의 접선이다. ii) m은 ∠FPD의 이등분선이다. iii) m은 FG와 ℓ이 이루는 각의 이등분선이다. iv) m은 FD의 수직이등분선이다. 'ii) ⇔ iii) ⇔ iv)'는 PF = PD로부터 얻어지는 결과

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[P24] 정다각형과 포물선 (2)

저번 문제에서는 일반적인 홀수 정다각형의 네 변에 접하는 포물선과 관련된 성질을 다루었다면, 이번 문제에서는 정오각형 또는 정칠각형에서만 성립하는 성질을 다룬다. 문제 * 해당 문제의 (2)번은 Crux Mathematicorum Vol. 49(4) (Problem 4839)에 게재되었다. 시리즈 링크 [P0] Problems List [P23] 정다각형과 포물선 (1) [P25] 두 포물선의 공통접선 Review: 포물선과 관련된 정리들 풀이에 앞서 '[P23] 정다각형과 포물선 (1)'에서 언급했던 '정리 1', '정리 2', '정다각형-포물선 정리'를 다시 복습해보자. 포물선과 현의 중점 추가로 포물선의 현의 중점과 관련된 유용한 정리 하나를 소개한다. 이는 좌표를 이용해서 쉽게 보일 수 있으므로 증명에 도전해보자. 물론 논증적 접근도 가능한데, '정리 3-i)'은 '[P25] 두 포물선의 공통접선'에서 언급한 포물선의 두 접선과 관련된 정리로 보일 수 있으며, '정리 3-

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[P23] 정다각형과 포물선 (1)

GeoGebra를 통해 홀수 정다각형의 네 변에 접하는 포물선과 관련된 흥미로운 성질을 찾았는데, 이를 문제로 만들어 보았다. 다른 풀이가 있다면 언제든 제보 바란다. 문제 * 해당 문제의 정칠각형 버전은 Crux Mathematicorum, Vol. 49(4) (Problem 4839)에 게재되었다. 시리즈 링크 [P0] Problems List [P22] 정오각형 문제 (2) [P24] 정다각형과 포물선 (2) 포물선과 세 접선 풀이에 앞서 포물선의 세 접선과 관련된 유용한 정리를 소개한다. '정리 1-i)'의 각도 관계는 '[P25] 두 포물선의 공통접선'에서 언급한 포물선의 두 접선과 관련된 성질을 참고하자. 이 정리의 직접적인 결과인 '정리 1-ii)'는 람베르트 정리 (Lambert's theorem)라고 부른다. 포물선의 극점과 극선 (pole and polar) 이차곡선에서 극점 (pole)과 극선 (polar)은 상호 대응되는 관계로, 언제나 쌍으로 묶인다. 포물

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[P22] 정오각형 문제 (2)

두 포물선에 내접한 정오각형과 관련된 문제를 하나 소개한다. 정오각형의 대표적 성질인 황금비를 어떻게 활용할 수 있을까? 문제 시리즈 링크 [P0] Problems List [P21] 정오각형 문제 (1) [P23] 정다각형과 포물선 (1) 정오각형의 황금비 풀이에 앞서 정오각형의 가장 대표적인 성질 하나를 소개한다. 정오각형에서 대각선과 한 변의 길이의 비는 황금비 (golden ratio) Φ에 해당되며, 이는 이차방정식 Φ2 - Φ - 1 = 0의 양수근이기도 하다. 증명은 다음과 같이 두 삼각형의 닮음을 이용한다. 포물선과 넓이비 풀이에 도움이 되는 포물선의 성질 또한 소개한다. 포물선은 적당히 회전시켜 이차함수로 만들 수 있으며, 포물선과 직선으로 둘러싸인 넓이는 다음과 같이 적분을 통해 구할 수 있다. 이를 이용하면 포물선과 대칭축을 공유하는 내접삼각형에 대해 다음과 같은 넓이비를 얻을 수 있다. 풀이 + Comment 황금비 성질을 이용하여 사다리꼴 BCDE와 삼각형

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[P21] 정오각형 문제 (1)

정오각형 내 각도와 관련된 세 문제를 풀어본다. 어떠한 방법을 사용해야 할지 고민해보자. 문제 시리즈 링크 [P0] Problems List [P20] 정칠각형 문제 (3) [P22] 정오각형 문제 (2) (1)의 풀이 + Comment 길이 관계로부터 외심을 발견하는 것이 핵심이다. (2)의 풀이 + Comment 대칭성과 정삼각형을 활용하는 것이 핵심이다. (3)의 풀이 + Comment 공원점 관계를 발견하는 것이 핵심이다.

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[P20] 정칠각형 문제 (3)

정칠각형 내 각도와 관련된 문제를 풀어본다. 정칠각형 속 정삼각형을 어떻게 활용할 수 있을까? 문제 시리즈 링크 [P0] Problems List [P19] 정칠각형 문제 (2) [P21] 정오각형 문제 (1) 풀이 + Comment 1) AR : DM과 AQ' : AB를 구할 때 사인법칙과 배각공식 sin(2α) = 2 · sinα · cosα가 이용되었다. 2) ∠RDE = 90, ∠ABR = 30의 특수각들을 발견하는 것이 핵심이다.

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[P19] 정칠각형 문제 (2)

정칠각형의 대각선 길이와 관련된 문제를 하나 소개한다. 어떻게 접근해야 할까? 문제 시리즈 링크 [P0] Problems List [P18] 정칠각형 문제 (1) [P20] 정칠각형 문제 (3) 풀이 + Comment 1) 풀이에서 사용되진 않았지만 ACDG에 대한 톨레미 정리에 의해 c2 = a2 + bc를 얻을 수도 있다. ABCF에 대한 톨레미 정리에 의해 얻어지는 식 bc = ab + ac의 변형식 1/a = 1/b + 1/c도 알아두면 유용하다. 2) 근과 계수의 관계에 의해 p, q, r은 삼차방정식 x3 - x2 - 2x + 1 = 0의 세 근임을 알 수 있다.

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[P18] 정칠각형 문제 (1)

정칠각형과 관련된 재밌는 문제를 하나 소개한다. 어떠한 성질을 이용해야 할까? 문제 * 출처: Crux Mathematicorum, Vol. 47(9), November 2021, Problem 4684. 시리즈 링크 [P0] Problems List [P17] 정구각형 문제 (2) [P19] 정칠각형 문제 (2) 풀이 + Comment 톨레미 정리를 이용하면 정칠각형의 한 변과 두 대각선의 길이 a, b, c에 대한 관계식들을 이끌어 낼 수 있다.

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[P17] 정구각형 문제 (2)

정구각형 내 각도와 관련된 두 문제를 풀어본다. 어떠한 방법을 이용해야 할까? 문제 시리즈 링크 [P0] Problems List [P16] 정구각형 문제 (1) [P18] 정칠각형 문제 (1) (1)의 풀이 + Comment 외심 잡기는 각도 문제를 푸는데 있어 가장 기본적인 테크닉이다. (2)의 풀이 + Comment 변의 중점이 주어졌으므로, 중점연결정리를 이용해서 풀 수 있다.

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[P16] 정구각형 문제 (1)

정구각형과 관련된 문제를 하나 소개한다. 단순한 문제지만 다양한 방법으로 풀어보길 바란다. 문제 시리즈 링크 [P0] Problems List [P15] 2016 IMO Shortlist G2 [P17] 정구각형 문제 (2) 풀이 1 + Comment XEF, XFI, XIY에 대한 사인법칙이 이용되었다. 풀이 2 + Comment 1) 삼각함수를 사용하지 않는 풀이다. 정구각형에 대한 새로운 성질을 발견할 수 있는 풀이기도 하다. 2) 위 풀이로부터 정18각형 A1A2 … A18의 다섯 대각선 A1A7, A3A8, A4A9, A5A11, A6A15는 한 점에서 만남을 알 수 있다.

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[P15] 2016 IMO Shortlist G2

IMO shortlist 중 재밌게 풀었던 문제를 하나 소개한다. 어떤 기하적 성질을 이용할 수 있을까? 문제 시리즈 링크 [P0] Problems List [P14] 2022 AIME II [P16] 정구각형 문제 (1) 유용한 정리들 풀이에 앞서 유용한 정리들을 소개한다. 1. 내접원 및 방접원과 관련된 정리 '[P6] 사등분점 문제 (2)'에서 언급한 적이 있다. 2. 나비 정리 (butterfly theorem) 상당히 유명한 정리지만 실제 풀이에 사용되는 경우는 많지 않다. 잘 알려진 여러 증명 중 하나를 소개한다. 3. Mixtilinear incircle ABC의 외접원 Γ와 T에서 내접하고 AB, AC와 각각 F, E에서 접하는 원 ωA를 A-mixtilinear incircle이라 하며, 다음을 만족한다. i) EF의 중점은 ABC의 내심 I이고, EF ⊥ AI. ii) I에서 BC에 내린 수선의 발이 D일 때, BC의 수직이등분선에 대한 DT의 대칭선은 A를 지난

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[P14] 2022 AIME II

2022년 2월 16일 시행된 AIME II의 기하 영역 문제들을 풀어본다. 문제 시리즈 링크 [P0] Problems List [P13] 2022 AIME I [P15] 2016 IMO Shortlist G2 P3 풀이 P7 풀이 P11 풀이 P12 풀이 + Comment 연립이차방정식의 형태지만 대놓고 타원의 방정식으로 주어졌기 때문에 (x, y)를 두 타원의 교점으로 생각하는 것이 자연스럽다. P15 풀이 + Comment ab의 값을 구했다면 다음과 같이 브라마굽타 공식 (Brahmagupta's formula)을 통해 두 내접사각형의 넓이 합을 구할 수도 있다.

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[P13] 2022 AIME I

2022년 2월 8일 시행된 AIME I의 기하 영역 문제들을 풀어본다. 문제 + Bonus 아래 문제는 연립방정식 문제지만, 기하적으로도 접근할 수 있다. 시리즈 링크 [P0] Problems List [P12] 2022 FKMO P1 & P4 [P14] 2022 AIME II P3 풀이 P8 풀이 P10 풀이 + Comment 반지름이 13, 19인 두 구가 접한다는 조건은 풀이에서 사용되지 않았으므로, 문제에 필요하지 않은 조건이다. P11 풀이 P14 풀이 + Comment 1) 작도 관점에서 접근하면 M, N에 대한 분할선 m, n의 성질을 파악하는데 큰 도움이 된다. 2) p, q에 대한 디오판틴 방정식 (Diophantine equation)의 자연수 해를 구하는 부분이 까다롭다. 73 = 82 + 12 + 8 · 1임을 파악한다면 x2 + x + 1 = 0의 두 복소근 α, β로 인수분해 (factorization)를 하여 해를 바로 구할 수 있다. P15 풀이 + C

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[P12] 2022 FKMO P1 & P4

2022년 4월 23일에 시행된 제35회 FKMO의 기하 영역 두 문제를 풀이해본다. 문제 시리즈 링크 [P0] Problems List [P11] 사각형의 넓이 [P13] 2022 AIME I P1 풀이 + Comment 다음 그림에서 알 수 있듯이 ABC가 둔각삼각형이어도 성립한다. 서술의 편의성을 위해 예각삼각형으로 조건을 제한한듯 하다. P4 풀이 + Comment 1) EPX는 E를 중심으로 하는 회전 변환과 확대 축소 변환의 합성 변환을 통해 EOB와 합동이 되게 만들 수 있다. 이러한 두 도형의 관계를 나선닮음 (spiral similarity)이라 한다. 2) MB와 BDE 외접원의 교점 Y를 잡아서 풀 수도 있다. (AoPS 참고)

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[P11] 사각형의 넓이

직각이등변삼각형과 각이등분선으로 만들어지는 사각형의 넓이를 구해본다. 흥미로운 성질들을 발견할 수 있는 문제다. 문제 * 출처: Mathematics Stack Exchange 시리즈 링크 [P0] Problems List [P10] 육각형의 넓이 (1) [P12] 2022 FKMO P1 & P4 풀이 1 + Comment 1) APQ에 대해 외각의 이등분선이 주어져 있으므로 자연스레 방심 X를 잡는 아이디어를 떠올릴 수 있다. 2) ABC의 넓이에서 APQ, BPR, CQS의 넓이를 빼서 구할 수도 있다. 풀이 2 + Comment 앞부분은 '풀이 1'과 거의 비슷하지만 새로운 성질을 발견할 수 있는 풀이다. (A, P, R, S, Q)는 공원점이며, 평행선을 통한 등적변형으로 PRSQ의 넓이가 ARS의 넓이와 같음을 보였다.

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[P10] 육각형의 넓이 (1)

모든 내각의 크기가 같은 육각형의 넓이를 구해본다. 모든 변의 길이가 자연수라는 조건을 어떻게 활용할 수 있을까? 문제 시리즈 링크 [P0] Problems List [P9] 팔각형의 넓이 [P11] 사각형의 넓이 풀이 + Comment 모든 내각의 크기가 같은 육각형의 넓이는 큰 정삼각형의 넓이에서 귀퉁이의 세 정삼각형의 넓이를 빼서 구할 수 있다. 세 변의 길이를 미지수로 두면 부등식 관계를 통해 이차함수의 최솟값을 구하는 문제로 바꿀 수 있다.

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[P9] 팔각형의 넓이

원에 내접하는 팔각형의 넓이를 구해본다. 어떻게 하면 간단하게 풀 수 있을까? 문제 * 출처: 1978 Putnam Competition B1 (변형) 시리즈 링크 [P0] Problems List [P8] 그림자의 넓이 [P10] 육각형의 넓이 (1) 풀이 + Comment 1) 8개의 부채꼴을 재배치하면 정사각형 넓이에서 직각이등변삼각형 네 개의 넓이를 빼는 간단한 문제로 바뀐다. 물론 팔각형의 외접원 반지름을 R로 놓고 α, β에 대한 코사인법칙을 이용해도 답을 구할 수 있다. 2) 일반화를 시도해보면 다음과 같은 식을 얻으며, a = b인 경우 정팔각형의 넓이를 얻는다.

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[P8] 그림자의 넓이

두 광원과 수직벽에 의한 그림자는 어떤 모양일까? 단순해 보이는 문제지만 몇 가지 함정이 숨어있다. 문제 시리즈 링크 [P0] Problems List [P7] 십이망성 자르기 [P9] 팔각형의 넓이 풀이 + Comment 1) 점광원에 의한 원의 그림자는 타원이 아니라 원임에 주의하자. 광원을 닮음의 중심으로 생각하면 자명한 결론이다. 수능에 다음과 같은 문제가 등장한 적이 있는데, 그림자를 타원으로 착각한 사람들이 많았다고 한다. 참고로, 비스듬한 평행 광선에 의한 원의 그림자는 타원인데 이 문제와는 다른 상황이다. * 출처: 1994학년도 제2차 수능 19번 2) P, Q에 의한 두 그림자 영역의 합집합이 아닌 교집합을 고려해야 한다. 한 광원에 의해서만 도달할 수 없는 영역은 다른 광원에 의해 그림자가 사라지기 때문이다. 또한 벽의 내부 영역은 그림자가 될 수 없으므로 제외해야 한다.

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[P7] 십이망성 자르기

일본의 @mathlava 트위터에서 열린 케이크 넓이 삼등분 대회. 그 중 최우수상작, 십이망성 자르기를 소개한다. 실제로 넓이가 삼등분이 되는지 어떻게 보일 수 있을까? 문제 * 출처: @mathlava (twitter) 시리즈 링크 [P0] Problems List [P6] 사등분점 문제 (2) [P8] 그림자의 넓이 풀이 + Comment 1) 정사각형 세 개의 공통 영역을 생각해보면 노란색 도형과 파란색 도형이 닮음임은 분명하다. 2) 정십이각형에서 한 변에 대한 중심각의 크기는 360 / 12 = 30이므로, 한 변에 대한 원주각의 크기는 30 / 2 = 15이다. 3) '[P2] 십이각형의 넓이'의 아이디어를 이용하는 다른 풀이도 생각해볼 수 있다. 직접 도전해보자.

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[P6] 사등분점 문제 (2)

사등분점과 관련된 다른 문제를 소개한다. 두배각임을 증명하는 여러 방법에 대해 알아보자. 문제 * 출처: 1998 BWM Round2 P3 (Bundeswettbewerb Mathematik, Germany) 시리즈 링크 [P0] Problems List [P5] 외심과 내심을 지나는 직선 (2) [P7] 십이망성 자르기 풀이 1 + Comment 1) 이등변삼각형을 통해 두배각을 유도하는 방법이다. 2) ∠B가 둔각인 경우의 풀이는 다음과 같다. 내접원 및 방접원과 관련된 정리 두 번째 풀이에 앞서 내접원 및 방접원과 관련된 유용한 두 정리를 소개한다. ABC에서 내접원과 A-방접원의 닮음의 중심이 A임을 통해 '정리 2'를 직관적으로 이해할 수 있다. 풀이 2 + Comment 다소 발상적이지만 내심을 통해 두배각을 유도하는 방법이다. 앞서 살펴봤던 내접원 및 방접원과 관련된 두 정리가 사용되었다.

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[P5] 외심과 내심을 지나는 직선 (2)

삼각형의 외심과 내심을 지나는 직선에 대한 다른 문제를 살펴본다. 이 직선이 외접원과 내접원에 의해 분할될 때, 선분의 길이들은 어떠한 관계식을 가질까? 문제 * 출처: Wolfram Demonstrations Project (변형) 시리즈 링크 [P0] Problems List [P4] 외심과 내심을 지나는 직선 (1) [P6] 사등분점 문제 (2) 오일러 삼각형 정리 풀이에 앞서 외심과 내심의 거리를 구할 때 사용되는 오일러 삼각형 정리와 그 증명을 소개한다. 참고로 '정리 1'은 한국에서 맨션 정리 (Mansion's theorem)라는 이름으로 알려져 있다. 두 정리 모두 자주 사용되므로 알아두자. 풀이 + Comment 1) 풀이에서 알 수 있듯이 외심과 내심의 거리는 상수이기 때문에 오일러 삼각형 정리를 통해 내접원 반지름을 구할 수 있다. 2) 일반화를 시도해보면 내접원 반지름이 XZ와 YW 길이의 기하평균 (geometric mean)이라는 재밌는 결론을 얻을 수 있다

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[P4] 외심과 내심을 지나는 직선 (1)

삼각형의 외심과 내심을 지나는 직선은 알려진 성질이 별로 없다. 이 직선이 삼각형의 중선과 수직을 이루는 특수한 경우를 소개한다. 문제 * 출처: Mathematics Stack Exchange (변형) 시리즈 링크 [P0] Problems List [P3] 대칭점으로 이루어진 삼각형 [P5] 외심과 내심을 지나는 직선 (2) 풀이 + Comment 1) 일반화를 시도해보면 BC의 길이가 AB와 AC 길이의 조화평균 (harmonic mean)이라는 재밌는 결론을 얻을 수 있다. 2) 출처 링크의 답변자는 복소평면을 이용해서 풀었지만, 피타고라스 정리만 이용해도 간단하게 풀리는 문제이다.

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[P3] 대칭점으로 이루어진 삼각형

내촉삼각형 (intouch triangle)의 넓이와 관련된 재밌는 성질 하나를 소개한다. 핵심 아이디어만 얻으면 생각보다 단순하게 풀린다. 문제 * 출처: Crux Mathematicorum, Vol. 47(10), December 2021, Problem 4694. 시리즈 링크 [P0] Problems List [P2] 십이각형의 넓이 [P4] 외심과 내심을 지나는 직선 (1) 풀이 + Comment 1) A, B, C는 각각 EF, FD, DE의 수직이등분선 위에 있기 때문에 이들의 대칭점 P, Q, R을 통해 세 개의 마름모가 형성되고, 평행선을 활용한 등적변형으로 절묘하게 풀리는 문제이다. 2) 넓이가 S인 ABC의 내접원, 외접원 반지름이 각각 r, R이면, 내촉삼각형 DEF의 넓이는 (r / 2R) · S이다.

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[P2] 십이각형의 넓이

단순한 도형 퍼즐이지만 약간의 함정이 숨어 있다. 어떻게 접근하는 것이 가장 좋을까? 문제 * 출처: Crux Mathematicorum, Vol. 46(4), April 2020, Problem 4537. 시리즈 링크 [P0] Problems List [P1] 사등분점 문제 (1) [P3] 대칭점으로 이루어진 삼각형 풀이 + Comment 문제의 십이각형을 정십이각형으로 생각하여 한 변의 길이로부터 넓이를 구할 생각을 했다면 낚인 것이다! 잘 살펴보면 모든 변의 길이는 같지만 모든 내각의 크기는 같지 않아 원에 내접하지 않는다.

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[P1] 사등분점 문제 (1)

선분의 사등분점과 관련해서 GeoGebra를 통해 찾은 몇 가지 재밌는 성질들을 엮어 만든 문제다. 다른 풀이가 있다면 언제든 제보 바란다. 문제 * 해당 문제는 Crux Mathematicorum, Vol. 48(9) (Problem 4789)에 게재되었다. 시리즈 링크 [P0] Problems List [P2] 십이각형의 넓이 메넬라우스 정리와 역 풀이에 앞서 메넬라우스 정리를 소개한다. 참고로 직선 DEF가 반드시 ABC와 만날 필요는 없다. 역 또한 성립하는데, 세 점이 일직선임을 증명할 때 유용하다. 풀이 + Comment 1) 메넬라우스 정리와 방멱을 통해 성질을 발견하는 것이 핵심이다. 2) CZ와 EX의 교점이 Γ 위에 위치하게 되면, B와 C가 고정되어 있을 때 F와 G의 위치는 A의 위치와 상관없이 일정함을 알 수 있다. 3) 네 점 (D, G, F, C)에 대해 DF · GC = GF · DC가 성립하는데, 이러한 네 점을 조화점열 (harmonic range)이

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[P0] Problems List

흥미로운 문제들을 풀거나 만들 때마다 올리는 기록용 저장고. 자작 문제는 표시로 구분한다. 시리즈 링크 [P1] 사등분점 문제 (1) [P2] 십이각형의 넓이 [P3] 대칭점으로 이루어진 삼각형 [P4] 외심과 내심을 지나는 직선 (1) [P5] 외심과 내심을 지나는 직선 (2) [P6] 사등분점 문제 (2) [P7] 십이망성 자르기 [P8] 그림자의 넓이 [P9] 팔각형의 넓이 [P10] 육각형의 넓이 (1) [P11] 사각형의 넓이 [P12] 2022 FKMO P1 & P4 [P13] 2022 AIME I [P14] 2022 AIME II [P15] 2016 IMO Shortlist G2 [P16] 정구각형 문제 (1) [P17] 정구각형 문제 (2) [P18] 정칠각형 문제 (1) [P19] 정칠각형 문제 (2) [P20] 정칠각형 문제 (3) [P21] 정오각형 문제 (1) [P22] 정오각형 문제 (2) [P23] 정다각형과 포물선 (1) [P24] 정다각형과

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[7.11] 유클리디아 (Euclidea) 방접원 공략

4L 8E 주어진 세 직선으로 이루어진 삼각형의 방접원을 작도하는 문제. 이번 게시글에서는 Euclidea Eta 챕터의 11번째 문제 '내접원'의 공략을 다룬다. 다른 Eta 공략은 아래 링크 참고. 시리즈 링크 [+] Euclidea 소개 및 공략 모음 [7] Eta 공략 모음 [7.10] 이등변 각도 공략 4L 해답의 힌트 ABC의 한 변과 나머지 두 변의 연장선에 접하는 원 (방접원)의 중심을 ABC의 '방심'이라 부른다. ABC의 방심은 총 3개가 존재하며, A, B, C의 반대편에 위치하는 방심을 각각 'A-방심', 'B-방심', 'C-방심'이라 부른다. 아래 그림에서 C-방심 JC가 ∠C의 내각의 이등분선과 ∠A, ∠B의 외각의 이등분선의 교점임을 이용해보자. 세 이등분선이 한 점에서 만나는 것에 대한 증명도 함께 소개한다. ∠A, ∠B의 외각의 이등분선의 교점 JC에서 CA, BC, AB에 내린 수선의 발을 각각 PC, QC, RC라 하자. AJCPC ≡ AJCRC

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[7.10] 유클리디아 (Euclidea) 이등변 각도 공략

2L 5E 주어진 점을 지나고 각의 양변을 동일한 길이로 절단하는 선분을 작도하는 문제. 이번 게시글에서는 Euclidea Eta 챕터의 10번째 문제 '이등변 각도'의 공략을 다룬다. 다른 Eta 공략은 아래 링크 참고. 시리즈 링크 [+] Euclidea 소개 및 공략 모음 [7] Eta 공략 모음 [7.9] 중점을 통한 선분 공략 [7.11] 방접원 공략 2L 해답의 힌트 이등변삼각형에서 꼭지각의 이등분선과 밑변의 수직이등분선은 동일함을 이용한다. 2L 7E 해답 아래 그림에서 PQ = PR을 만족하고 O를 포함하는 선분 QR을 작도하는 것이 목표다. ∠QPR의 이등분선이 QR과 수직임을 이용한다. 우선, 주어진 두 반직선이 이루는 각의 이등분선을 작도한다. ① ∠TPU의 이등분선 ℓ3 [1L 4E] (T ∈ ℓ1, U ∈ ℓ2) 수선 도구로 마무리하면 2L 7E 해답을 얻는다. ② O를 지나는 ℓ3의 수선 ℓ4 [1L 3E] (Q, R, M = ℓ1, ℓ2, ℓ3 ∩ ℓ

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[7.9] 유클리디아 (Euclidea) 중점을 통한 선분 공략

3L 5E 주어진 점을 중점으로 하고 주어진 각의 양변을 연결하는 선분을 작도하는 문제. 이번 게시글에서는 Euclidea Eta 챕터의 9번째 문제 '중점을 통한 선분'의 공략을 다룬다. 다른 Eta 공략은 아래 링크 참고. 시리즈 링크 [+] Euclidea 소개 및 공략 모음 [7] Eta 공략 모음 [7.8] 세 직선에 접하는 원 공략 [7.10] 이등변 각도 공략 3L 해답의 힌트 아래의 중점연결정리를 참고하여 문제를 해결해보자. 3L 6E 해답 아래 그림에서 O가 중점이 되게 하는 선분 QR을 찾는 것이 목표다. S를 PQ의 중점이라 하면, OS // PR임을 이용하여 S → Q → R의 순서로 작도할 수 있다. 우선 평행선 도구로 S를 작도한다. ① O를 지나는 ℓ2의 평행선 ℓ3 [1L 4E] (S = ℓ1 ∩ ℓ3) S가 PQ의 중점이 되도록 Q를 작도한다. ② P를 지나는 원 S [1L 1E] (Q = ℓ1 ∩ 원 S) Q, O를 지나는 직선을 작도하면 3L

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[7.8] 유클리디아 (Euclidea) 세 직선에 접하는 원 공략

4L 6E 주어진 세 직선 중 두 직선이 평행할 때, 세 직선에 접하는 원을 작도하는 문제. 이번 게시글에서는 Euclidea Eta 챕터의 8번째 문제 '세 직선에 접하는 원'의 공략을 다룬다. 다른 Eta 공략은 아래 링크 참고. 시리즈 링크 [+] Euclidea 소개 및 공략 모음 [7] Eta 공략 모음 [7.7] 내접원 공략 [7.9] 중점을 통한 선분 공략 4L 해답의 힌트 원의 두 접선이 이루는 각의 이등분선이 원 중심을 지남을 이용한다. '7.7. 내접원'의 4L 해답과 접근 방식이 상당히 유사하다. 4L 12E 해답 (ℓ3, ℓ2), (ℓ1, ℓ2)가 이루는 각의 이등분선의 교점으로 원의 중심 I를 찾는다. ① (ℓ3, ℓ2)의 이등분선 ℓ4 [1L 4E] ② (ℓ1, ℓ2)의 이등분선 ℓ5 [1L 4E] (I = ℓ4 ∩ ℓ5) 수선 도구로 ℓ1 위의 해답 원의 접점 D를 찾는다. ③ I를 지나는 ℓ1의 수선 ℓ6 [1L 3E] (D = ℓ1 ∩ ℓ6) D를

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[7.7] 유클리디아 (Euclidea) 내접원 공략

4L 8E 주어진 삼각형의 내접원을 작도하는 문제. 이번 게시글에서는 Euclidea Eta 챕터의 7번째 문제 '내접원'의 공략을 다룬다. 다른 Eta 공략은 아래 링크 참고. 시리즈 링크 [+] Euclidea 소개 및 공략 모음 [7] Eta 공략 모음 [7.6] 외접원 공략 [7.8] 세 직선에 접하는 원 공략 4L 해답의 힌트 ABC의 내심 (내접원의 중심) I가 세 내각의 이등분선의 교점임을 이용한다. 다음 그림에서 AIE ≡ AIF, BIF ≡ BID, CID ≡ CIE (RHS)로부터 얻어지는 결과다. * 내심은 이미 '2.2. 각이등분선의 교점'에서 소개한 적이 있다. 4L 12E 해답 ABC의 두 내각의 이등분선의 교점으로 내심 I를 찾는다. ① ∠CAB의 이등분선 ℓ1 [1L 4E] ② ∠BCA의 이등분선 ℓ2 [1L 4E] (I = ℓ1 ∩ ℓ2) 수선 도구를 통해 CA 위의 내접원의 접점 E를 찾는다. ③ I를 지나는 CA의 수선 ℓ3 [1L 3E] (E

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[7.6] 유클리디아 (Euclidea) 외접원 공략

3L 7E 주어진 삼각형의 외접원을 작도하는 문제. 이번 게시글에서는 Euclidea Eta 챕터의 6번째 문제 '외접원'의 공략을 다룬다. 다른 Eta 공략은 아래 링크 참고. 시리즈 링크 [+] Euclidea 소개 및 공략 모음 [7] Eta 공략 모음 [7.5] 헤론의 문제 공략 [7.7] 내접원 공략 3L 7E 해답의 힌트 외접원의 중심만 찾으면 끝나는 단순한 문제다. 이미 비슷한 작도를 '1.6. 원의 중심'에서 한 적이 있다. 3L 7E 해답 우선, 두 변의 수직이등분선의 교점으로 외심 (외접원의 중심) O를 찾는다. ① AB의 수직이등분선 ℓ1 [1L 3E] ② BC의 수직이등분선 ℓ2 [1L 3E] (O = ℓ1 ∩ ℓ2) 외접원을 완성하면 3L 7E 해답을 얻는다. ③ A를 지나는 원 O [1L 1E] (증명) O는 AB, BC의 수직이등분선 위의 점이므로, OA = OB = OC. + Comment 주어진 삼각형은 이등변삼각형이 아니므로 '1.6. 원의 중심'

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[7.5] 유클리디아 (Euclidea) 헤론의 문제 공략

4L 4E AC + BC가 최소가 되도록 하는 주어진 직선 위의 점 C와 선분 AC 및 BC를 작도하는 문제. 이번 게시글에서는 Euclidea Eta 챕터의 5번째 문제 '헤론의 문제'의 공략을 다룬다. 다른 Eta 공략은 아래 링크 참고. 시리즈 링크 [+] Euclidea 소개 및 공략 모음 [7] Eta 공략 모음 [7.4] 세 점에서 등거리에 있는 직선 공략 [7.6] 외접원 공략 4L 4E 해답의 힌트 ℓ에 대한 A의 대칭점 A'과 ℓ 위의 점 D에 대해 AD + BD = A'D + BD임을 이용한다. AD + BD가 최소가 되려면 D는 어디에 위치해야 할까? 4L 4E 해답 우선 ℓ에 대한 A의 대칭점 A'부터 작도한다. ① A를 지나는 원 X1 [1L 1E] (X1 ∈ ℓ) ② A를 지나는 원 X2 [1L 1E] (X2 ∈ ℓ, A' = 원 X1 ∩ 원 X2) AD + BD = A'D + BD가 최소가 되려면 (A', D, B)는 일직선이어야 하므로, A'B와 ℓ의

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[7.4] 유클리디아 (Euclidea) 세 점에서 등거리에 있는 직선 공략

3L 7E 주어진 세 점에서 등거리에 있는 직선을 작도하는 문제. 이번 게시글에서는 Euclidea Eta 챕터의 4번째 문제 '세 점에서 등거리에 있는 직선'의 공략을 다룬다. 다른 Eta 공략은 아래 링크 참고. 시리즈 링크 [+] Euclidea 소개 및 공략 모음 [7] Eta 공략 모음 [7.3] 75도 각도 공략 [7.5] 헤론의 문제 공략 3L 7E 해답의 힌트 (AB, ℓ2), (C, ℓ2)의 거리가 같도록 하는 ℓ2를 작도해보자. 이미 비슷한 작도를 '5.7. 두 선의 등거리선'에서 한 적이 있다. 3L 7E 해답 우선, AB부터 작도한다. ① AB [1L 1E] 수선 도구로 C에서 AB에 내린 수선의 발 Z를 찾는다. ② C를 지나는 AB의 수선 ℓ1 [1L 3E] (Z = AB ∩ ℓ1) 수직이등분선 도구를 사용하면 3L 7E 해답을 얻는다. ③ CZ의 수직이등분선 ℓ2 [1L 3E] (증명) A, B, C에서 ℓ2에 내린 수선의 발을 각각 P, Q, R이라

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[7.3] 유클리디아 (Euclidea) 75도 각도 공략

3L 5E 주어진 반직선에서 75 각도를 작도하는 문제. 이번 게시글에서는 Euclidea Eta 챕터의 3번째 문제 '75도 각도'의 공략을 다룬다. 다른 Eta 공략은 아래 링크 참고. 시리즈 링크 [+] Euclidea 소개 및 공략 모음 [7] Eta 공략 모음 [7.2] 동심원 공략 [7.4] 세 점에서 등거리에 있는 직선 공략 5E 해답의 힌트 3L 해답보다 쉬운 5E 해답의 힌트를 먼저 소개하겠다. 우리는 이미 15, 30, 45, 60, 90의 작도법을 알고 있다. 75를 작도하는 방법에는 여러 가지가 있지만 5E 해답에 사용 가능한 방법을 소개한다. 다음의 두 가지 방법을 모두 시도해보자. i) 30 + 45 = 75임을 이용하는 방법. ii) 꼭지각이 30인 이등변삼각형을 이용하는 방법. 5L 5E 해답 우선, i)을 적용해보자. (A, ℓ)에 대한 30도 각도 위의 점 P를 작도한다. 물론 AP를 작도할 필요는 없다. ① A를 지나는 원 B [1L 1E] (

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[7.2] 유클리디아 (Euclidea) 동심원 공략

4L 5E 중심이 주어진 원을 등면적으로 분할하는 동심원을 작도하는 문제. 이번 게시글에서는 Euclidea Eta 챕터의 2번째 문제 '동심원'의 공략을 다룬다. 다른 Eta 공략은 아래 링크 참고. 시리즈 링크 [+] Euclidea 소개 및 공략 모음 [7] Eta 공략 모음 [7.1] 정사각형 면적의 합 공략 [7.3] 75도 각도 공략 4L, 5E 해답의 힌트 안쪽 원의 반지름은 주어진 원 반지름의 √2/2배이다. '4.6. 2의 제곱근'에서 사용했던 직각이등변삼각형의 아이디어를 떠올려보자. 5E 해답은 4L 해답을 기본 작도로 해체해보면 얻을 수 있다. 4L 6E 해답 주어진 원 반지름을 r이라 하자. √2r을 먼저 작도한 뒤 √2r / 2을 작도하면 4L 해답을 얻을 수 없다. i) 6L 10E 해답 ii) 5L 9E 해답 이번에는 r / 2을 먼저 작도한 뒤 √2r / 2을 작도해보자. 우선, OA의 중점 B를 통해 r / 2을 작도한다. ① OA [1L 1E]

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[7.1] 유클리디아 (Euclidea) 정사각형 면적의 합 공략

3L 6E 주어진 두 정사각형의 넓이를 합한 넓이를 가지면서 주어진 각을 공유하는 정사각형을 작도하는 문제. 이번 게시글에서는 Euclidea Eta 챕터의 1번째 문제 '정사각형 면적의 합'의 공략을 다룬다. 다른 Eta 공략은 아래 링크 참고. 시리즈 링크 [+] Euclidea 소개 및 공략 모음 [7] Eta 공략 모음 [7.2] 동심원 공략 3L 해답의 힌트 다음 그림에서 a2 + b2 = c2이 되도록 하는 정사각형 OXYZ를 찾아야 한다. 피타고라스 정리를 이용하여 OX = OZ = c가 되게 하는 X, Z를 1L 만에 찾아보자. 3L 11E 해답 우선, 컴퍼스 도구로 OP2R1 빗변의 길이를 옮겨 X, Z를 찾는다. ① 반지름 P2R1인 원 O [1L 5E] (X, Z = ℓ1, ℓ2 ∩ 원 O) 수선 도구로 정사각형을 완성하면 3L 11E 해답을 얻는다. ② X를 지나는 ℓ1의 수선 ℓ3 [1L 3E] ③ Z를 지나는 ℓ2의 수선 ℓ4 [1L 3E] (Y = ℓ

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[7] 유클리디아 에타 (Euclidea Eta) 공략 모음

Euclidea의 일곱 번째 챕터로, 넓이 관련 작도, 75 작도부터 외접원, 내접원, 방접원 작도에 이르기까지 다양한 문제들을 다룬다. Eta부터는 각 문제를 개별 게시글로 작성하며, 이 게시글은 공략 링크와 힌트만을 모아놓았다. 난도 이하: 가급적 혼자 풀어보길 권장. 난도 이상: 힌트를 참고하며 풀어보길 권장. 난도 이상: 많은 고민이 필요한 문제. * 문제 번호로 빠른 이동 가능 (Ctrl + F 혹은 검색 이용) 시리즈 링크 [+] Euclidea 소개 및 공략 모음 [6] Zeta 공략 모음 Overview 7.1. 정사각형 면적의 합 3L 6E 공략 링크 주어진 두 정사각형의 넓이를 합한 넓이를 가지면서 주어진 각을 공유하는 정사각형을 작도하는 문제. [3L 해답의 힌트] 다음 그림에서 a2 + b2 = c2이 되도록 하는 정사각형 OXYZ를 찾아야 한다. 피타고라스 정리를 이용하여 OX = OZ = c가 되게 하는 X, Z를 1L 만에 찾아보자. [6E 해답

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[6.11] 유클리디아 (Euclidea) 세 중점을 통한 평행사변형 7L, 10E, V 공략

7L 10E 평행사변형의 세 변의 중점이 주어질 때 원래의 평행사변형을 작도하는 문제. 이번 게시글에서는 Euclidea Zeta 챕터의 11번째 문제 '세 중점을 통한 평행사변형'의 7L, 10E, V 공략을 다룬다. 다른 Zeta 공략은 아래 링크 참고. 시리즈 링크 [+] Eucliea 소개 및 공략 모음 [6] Zeta 공략 모음 7L 해답의 힌트 문제 해결에 도움이 되는 힌트를 제공한다. 공략을 보기 전에 힌트만 보고 문제를 해결해보길 바란다. 평행사변형 PQRS에서 PQ, RS, QR의 중점 A, B, C가 주어질 때, SP의 중점 D를 찾는 것으로부터 시작한다. ACBD는 평행사변형이므로 다음과 같이 AB의 중점 M을 통해 D를 찾으면 8L 22E 해답을 얻어 1L을 더 줄여야 한다. 평행사변형에서 두 쌍의 대변의 길이는 서로 같음을 이용해 D를 2L 만에 찾아보자. 7L 해답을 얻으려면 불필요한 직선을 제거하여 최적화를 진행해야 한다. 7L 24E 해답 AD =

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[6.10] 유클리디아 (Euclidea) 네 직선의 선대칭 4E, V 공략

4E 한 점에서 만나는 세 직선이 주어질 때 네 직선이 선대칭을 이루도록 하는 네 번째 직선을 작도하는 문제. 이번 게시글에서는 Euclidea Zeta 챕터의 10번째 문제 '네 직선의 선대칭'의 4E, V 공략을 다룬다. 3L 공략은 'Zeta 공략 모음' 참고. 시리즈 링크 [+] Euclidea 소개 및 공략 모음 [6] Zeta 공략 모음 4E 해답의 힌트 문제 해결에 도움이 되는 힌트를 제공한다. 공략을 보기 전에 힌트만 보고 문제를 해결해보길 바란다. (힌트 1) 3L 해답과 마찬가지로 (ℓ2, ℓ3), (ℓ1, ℓ4) 사이의 각이 γ로 동일함을 이용하되, 접근 방법은 상당히 다르다. ℓ2 위의 한 점 A에 대해 O를 지나는 원 A를 작도하고 시작한다. 최종 목표는 원 A와 해답 직선 ℓ4의 교점 V를 찾는 것이며, OV가 ℓ1과 γ의 각도를 이루도록 해야 한다. (힌트 2) 아래 그림에서 ∠OUT = γ, ∠OVT = 2γ가 되도록 T, U를 찾아 ∠UOV = γ가

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[6.9] 유클리디아 (Euclidea) 구점원 5L, 9E 공략

5L 9E 주어진 예각삼각형에서 각 변의 중점을 지나는 원을 작도하는 문제. 이번 게시글에서는 Euclidea Zeta 챕터의 9번째 문제 '구점원'의 5L, 9E 공략을 다룬다. 다른 Zeta 공략은 아래 링크 참고. 시리즈 링크 [+] Euclidea 소개 및 공략 모음 [6] Zeta 공략 모음 5L, 9E 해답의 힌트 문제 해결에 도움이 되는 힌트를 제공한다. 공략을 보기 전에 힌트만 보고 문제를 해결해보길 바란다. (힌트 1) 각 변의 중점만 활용하면 다음과 같이 6L 16E 해답이 최선이며, 5L 해답과 9E 해답을 얻을 수 없다. L 해답과 E 해답 모두 구점원에 대한 사전 지식을 요구한다. 구점원의 정의를 참고하여 아홉 개의 점 중 어떤 세 점으로 구점원의 중심을 작도할 지 고민해보자. ABC에서 BC, CA, AB의 중점을 각각 D, E, F라 하고, A, B, C에서 BC, CA, AB에 내린 수선의 발을 각각 X, Y, Z라 하며, 수심 H에 대해 HA, HB

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[6.8] 유클리디아 (Euclidea) 평행사변형 8E 공략

8E 평행사변형의 한 변과 대변의 중점이 주어질 때 원래의 평행사변형을 작도하는 문제. 이번 게시글에서는 Euclidea Zeta 챕터의 8번째 문제 '평행사변형'의 8E 공략을 다룬다. 5L 공략은 'Zeta 공략 모음' 참고. 시리즈 링크 [+] Euclidea 소개 및 공략 모음 [6] Zeta 공략 모음 8E 해답의 힌트 문제 해결에 도움이 되는 힌트를 제공한다. 공략을 보기 전에 힌트만 보고 문제를 해결해보길 바란다. (힌트 1) 5L 해답과 마찬가지로 A를 지나는 RS의 평행선을 먼저 작도한다. 아래 그림에서 X를 통해 Q를 찾는 방법을 생각해보자. (힌트 2) A를 지나는 RS의 평행선을 작도할 때 '5.1. 평행선'에서 언급한 세 방법 중 어떤 방법이 최적화에 도움이 될지 고민해보자. '힌트 1'을 생각하면 이 중 오직 두 가지만 최적화에 이용할 수 있다. i) 선대칭 후 점대칭 하는 방법 ii) 점대칭 후 선대칭 하는 방법 iii) 마름모를 만드는 방법 8L 8E

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[6.6] 유클리디아 (Euclidea) 선분 이동 (2) 6E, V 공략

6E 주어진 선분을 주어진 점으로 평행이동시킨 선분을 작도하는 문제. 이번 게시글에서는 Euclidea Zeta 챕터의 6번째 문제 '선분 이동 (2)'의 6E, V 공략을 다룬다. 2L 공략은 'Zeta 공략 모음' 참고. 시리즈 링크 [+] Euclidea 소개 및 공략 모음 [6] Zeta 공략 모음 6E 해답의 힌트 문제 해결에 도움이 되는 힌트를 제공한다. 공략을 보기 전에 힌트만 보고 문제를 해결해보길 바란다. '5.2. 세 꼭짓점을 통한 평행사변형'의 8E 공략과 비슷해보이지만, 오직 마름모를 통한 평행선 작도법 만이 최적의 결과를 주며, 이 방법으로는 7L 7E 해답이 최선이다. 평행사변형을 이용하지 않는 방법이 필요하다. '6.5. 고정식 컴퍼스'의 5L 5E 해답에서 아이디어를 얻을 수 있다. C를 AB의 수직이등분선에 대해 대칭이동시킨 점을 C'이라 할 때, CC' // AB이고, AD = BC = AC'임을 이용하여 문제를 해결해보자. 6L 6E 해답 우선,

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[6] 유클리디아 제타 (Euclidea Zeta) 공략 모음

Euclidea의 여섯 번째 챕터이자 마지막 튜토리얼 챕터이며, 대칭 변환 및 고정식 캠퍼스와 관련된 문제를 다루고 있다. 후반부에 난도 높은 문제들이 집중 배치되어 있어 Delta보다도 까다롭게 느껴지는 챕터이다. 난도 이하: 가급적 혼자 풀어보길 권장. 난도 이상: 힌트를 참고하며 풀어보길 권장. 난도 이상: 별도의 게시글로 분리하여 작성. * 문제 번호로 빠른 이동 가능 (Ctrl + F 혹은 검색 이용) 시리즈 링크 [+] Euclidea 소개 및 공략 모음 [0] 평면도형의 성질 [5] Epsilon 공략 모음 [7] Eta 공략 모음 Overview 6.1. 점대칭 4L 5E 주어진 선분을 주어진 점에 대해 대칭시킨 선분을 작도하는 문제. [5L 5E 해답] 5E 해답이 4L 해답보다 간단하므로 먼저 소개하겠다. 주어진 점에 대해 주어진 선분의 양끝점을 대칭시킨 점을 찾는다. 우선 A에 대한 B의 대칭점 B'을 찾는다. ① AB [1L 1E] ② B를 지나는 원

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[5.10] 유클리디아 (Euclidea) 정사각형의 변에 접하는 원 6E, V 공략

6E 주어진 정사각형의 변에 접하고 반대 방향의 두 꼭짓점을 지나는 원을 작도하는 문제. 이번 게시글에서는 Euclidea Epsilon 챕터의 10번째 문제 '정사각형의 변에 접하는 원'의 6E, V 공략을 다룬다. 3L 공략은 'Epsilon 공략 모음' 참고. 시리즈 링크 [+] Euclidea 소개 및 공략 모음 [5] Epsilon 공략 모음 6E 해답의 힌트 문제 해결에 도움이 되는 힌트를 제공한다. 공략을 보기 전에 힌트만 보고 문제를 해결해보길 바란다. 우선, 3L 해답을 기본 작도로 해체하면 다음과 같다. BC의 수직이등분선과 DA의 교점 P를 찾는다. BP의 수직이등분선을 작도하여 원의 중심 O를 찾는다. P를 지나는 원 O를 작도하면 7L 7E 해답을 얻는다. 수직이등분선 작도에는 반지름이 같은 두 원만 있으면 되므로, ii)와 같이 원 A, 원 B가 각각 B, A를 지나지 않아도 수직이등분선을 얻을 수 있다. 이는 '2.1. 각이등분선 (1)'에서 이미 언급했

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[5.6] 유클리디아 (Euclidea) 각 이동 6E 공략

6E 주어진 각을 주어진 꼭짓점으로 평행이동시킨 각을 작도하는 문제. 이번 게시글에서는 Euclidea Epsilon 챕터의 6번째 문제 '각 이동'의 6E 공략을 다룬다. 2L 공략은 'Epsilon 공략 모음' 참고. 시리즈 링크 [+] Euclidea 소개 및 공략 모음 [5] Epsilon 공략 모음 6E 해답의 힌트 문제 해결에 도움이 되는 힌트를 소개한다. 공략을 보기 전에 힌트만 보고 문제를 해결해보길 바란다. '5.1. 평행선'에서 평행선을 작도하는 세 가지 방법을 소개했다. 각 방법을 적용시켜보고, 어떤 방법이 E 비용 최적화에 도움이 되는지 따져보자. i) 선대칭 후 점대칭 하는 방법 ii) 점대칭 후 선대칭 하는 방법 iii) 마름모를 만드는 방법 6L 6E 해답 우선 i)을 적용해보자. ℓ1과 ℓ2의 교점 A를 활용하면 1E를 줄일 수 있다. B를 지나는 ℓ1의 평행선 작도를 위해 B를 지나는 원 A를 작도한다. ℓ1에 대한 B의 대칭점 B3'을 작도한다.

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[5.2] 유클리디아 (Euclidea) 세 꼭짓점을 통한 평행사변형 8E, V 공략

8E 평행사변형의 세 꼭짓점이 주어질 때 원래의 평행사변형을 작도하는 문제. 이번 게시글에서는 Euclidea Epsilon 챕터의 2번째 문제 '세 꼭짓점을 통한 평행사변형'의 8E, V 공략을 다룬다. 4L 공략은 'Epsilon 공략 모음' 참고. 시리즈 링크 [+] Euclidea 소개 및 공략 모음 [5] Epsilon 공략 모음 8E 해답의 힌트 문제 해결에 도움이 되는 힌트를 소개한다. 공략을 보기 전에 힌트만 보고 문제를 해결해보길 바란다. '5.1. 평행선'에서 평행선을 작도하는 세 가지 방법을 소개했다. 각 방법을 적용시켜보고, 어떤 방법이 E 비용 최적화에 도움이 되는지 따져보자. i) 선대칭 후 점대칭 하는 방법 ii) 점대칭 후 선대칭 하는 방법 iii) 마름모를 만드는 방법 8L 8E 해답 우선 i)을 적용해보자. 평행사변형의 두 변을 작도하고 시작한다. A를 지나는 BC의 평행선을 작도할 차례다. BC에 대한 A의 대칭점 A'을 작도한다. B에 대한 A

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[5] 유클리디아 엡실론 (Euclidea Epsilon) 공략 모음

Euclidea의 다섯 번째 챕터로, 평행선과 관련된 문제를 다룬다. '5.1. 평행선'에서 소개하는 세 가지 평행선 작도법은 이후에도 쓰이므로, 반드시 숙지하고 넘어가도록 하자. 난도 이하: 가급적 혼자 풀어보길 권장. 난도 이상: 힌트를 참고하며 풀어보길 권장. 난도 이상: 별도의 게시글로 분리하여 작성. * 문제 번호로 빠른 이동 가능 (Ctrl + F 혹은 검색 이용). 시리즈 링크 [+] Euclidea 소개 및 공략 모음 [0] 평면도형의 성질 [4] Delta 공략 모음 [6] Zeta 공략 모음 Overview 5.1. 평행선 2L 4E 주어진 점을 지나는 주어진 직선의 평행선을 작도하는 문제. [2L 6E 해답] 두 직선에 의한 엇각의 크기가 같으면 두 직선은 평행함을 이용한다. 먼저 주어진 직선 ℓ에 대한 수선 ℓ'을 작도한다. ① B를 지나는 ℓ의 수선 ℓ' [1L 3E] (B ∈ ℓ) 주어진 점을 지나는 ℓ'의 수선을 작도하면 2L 6E 해답을 얻는다

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[4.11] 유클리디아 (Euclidea) 두 꼭짓점을 통한 정사각형 7L 7E, V 공략

7L 7E 원 도구만 사용하여 주어진 두 점을 꼭짓점으로 하는 정사각형의 나머지 두 꼭짓점을 작도하는 문제. 이번 게시글에서는 Euclidea Delta 챕터의 11번째 문제 '두 꼭짓점을 통한 정사각형'의 7L 7E, V 공략을 다룬다. 다른 Delta 공략은 아래 링크 참고. 시리즈 링크 [+] Euclidea 소개 및 공략 모음 [4] Delta 공략 모음 7L 7E 해답의 힌트 7L 7E 해답의 힌트를 소개한다. 우선 첫 힌트만을 보고 문제를 해결해보고, 막히면 다음 힌트를 참고하는 식으로 진행할 것을 권장한다. (힌트 1) 수선 도구는 사용할 수 없으므로, 피타고라스 정리의 역을 이용하여 직각을 만든다. AB = a라 할 때, AC = √2a, BC = a가 되게 하는 C를 작도하면, ∠ABC = 90이고, C는 정사각형의 꼭짓점이 된다. 즉, 원 도구만으로 √2a를 작도하는 것이 이 문제의 핵심이다. '4.1. 2배 연장선'을 참고하여, 변의 길이비가 1 : √2 : √

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[4.9] 유클리디아 (Euclidea) 대변 중점을 통한 정사각형 10E 공략

10E 정사각형의 대변의 두 중점이 주어질 때 원래의 정사각형을 작도하는 문제. 이번 게시글에서는 Euclidea Delta 챕터의 9번째 문제 '대변 중점을 통한 정사각형'의 10E 공략을 다룬다. 6L 공략은 'Delta 공략 모음' 참고. 시리즈 링크 [+] Euclidea 소개 및 공략 모음 [4] Delta 공략 모음 10E 해답의 힌트 10E 해답의 힌트를 소개한다. 공략을 보기 전에 힌트만 보고 문제를 해결해보길 권장한다. 6L 14E 해답에서는 수선 도구를 4번 사용했다. 수선 도구를 2번만 사용하면 다음과 같이 9L 13E 해답을 얻는다. (증명) AP = BP, CR = DR, OAB 직각이등변삼각형. ABCD는 ℓ'에 대해 대칭 ⇒ OCD, OBC, ODA 직각이등변삼각형 ⇒ ABCD 정사각형. 10E 해답을 위해서는 수선 도구를 사용하지 않는 방법을 찾아야 하며, 전혀 다른 방식의 접근이 필요하다. R을 지나는 원 P와 AD의 교점을 H라 하자. sin(∠AH

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[4.4] 유클리디아 (Euclidea) 원 내 정삼각형 5L, 6E 공략

5L 6E 중심이 주어지지 않은 원 위의 주어진 점을 꼭짓점으로 하는 내접 정삼각형을 작도하는 문제. 이번 게시글에서는 Euclidea Delta 챕터의 4번째 문제 '원 내 정삼각형'의 5L, 6E 공략을 다룬다. 다른 Delta 공략은 아래 링크 참고. 시리즈 링크 [+] Euclidea 소개 및 공략 모음 [4] Delta 공략 모음 5L 해답의 힌트 5L 해답의 힌트를 소개한다. 공략을 보기 전에 힌트만 보고 문제를 해결해보길 권장한다. 원의 중심을 먼저 찾는 경우 다음과 같이 7L 11E, 6L 14E 해답을 생각해볼 수 있으나 5L 해답은 얻지 못한다. i) 7L 11E 해답 (증명) ∠BOQ = ∠COQ = 60 ⇒ ∠AOB = ∠AOC = ∠BOC = 120 ⇒ AB = AC = BC ⇒ ABC 정삼각형. ii) 6L 14E 해답 (증명) AP = OA = OB ⇒ ∠AOB = 180 - 2∠OAB = 180 - ∠OAP = 120. 마찬가지로, ∠AOC = 120

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[4.2] 유클리디아 (Euclidea) 60도 각도 (2) 3L, 4E, V 공략

3L 4E 주어진 직선 밖의 주어진 점을 지나는 60 각도를 작도하는 문제. 이번 게시글에서는 Euclidea Delta 챕터의 2번째 문제 '60도 각도 (2)'의 3L, 4E, V 공략을 다룬다. 다른 Delta 공략은 아래 링크 참고. 시리즈 링크 [+] Euclidea 소개 및 공략 모음 [4] Delta 공략 모음 3L 해답의 힌트 먼저 3L 해답의 힌트부터 소개한다. 공략을 보기 전에 힌트만 보고 문제를 해결해보길 권장한다. 가장 간단한 방법은 90 - 30 = 60를 이용하는 것이다. 우선, A에서 ℓ에 내린 수선 ℓ1을 작도한다. (A, ℓ1)에 대한 30 각도를 작도하면 4L 6E 해답을 얻는다. (증명) ∠ABA* = 90 - ∠BAA* = 90 - 30 = 60. 위의 4L 6E 해답으로부터 아이디어를 얻는다. AC = AD가 되게 ℓ 위의 점 C, D를 잡자. ∠CAD의 이등분선 ℓ1은 ℓ과 수직이므로, ℓ1과 30를 이루는 다른 각이등분선을 작도하는 방법을

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[4] 유클리디아 델타 (Euclidea Delta) 공략 모음

Euclidea의 네 번째 챕터로, 2배, √2배, √3배, 15 작도 뿐만 아니라 정삼각형 및 정사각형과 관련된 심화 작도 문제를 다룬다. 최적화 해답을 찾기 까다로운 문제들이 대거 포함되어 있어, 난도 상승을 본격적으로 체감하기 시작하는 챕터이다. 난도 이하: 가급적 혼자 풀어보길 권장. 난도 이상: 힌트를 참고하며 풀어보길 권장. 난도 이상: 별도의 게시글로 분리하여 작성. * 문제 번호로 빠른 이동 가능 (Ctrl + F 혹은 검색 이용). 시리즈 링크 [+] Euclidea 소개 및 공략 모음 [0] 평면도형의 성질 [3] Gamma 공략 모음 [5] Epsilon 공략 모음 Overview 4.1. 2배 연장선 3L 3E 원 도구만 사용하여 AC = 2AB가 되도록 직선 AB 위의 점 C를 작도하는 문제. [3L 3E 해답] 두 점 A, B와 원 도구만 주어지면 초반 2E 작도는 다음과 같이 작도할 수 밖에 없고, 두 원의 교점 D, E를 얻는다. ① B를 지나는

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[3.8] 유클리디아 (Euclidea) 마름모 7E, V 공략

7E 한 내각이 45인 마름모의 한 변이 주어질 때 원래의 마름모를 작도하는 문제. 이번 게시글에서는 Euclidea Gamma 챕터의 8번째 문제 '마름모'의 7E, V 공략을 다룬다. 5L 해답은 'Gamma 공략 모음' 참고. 시리즈 링크 [+] Euclidea 소개 및 공략 모음 [3] Gamma 공략 모음 7E 해답의 힌트 문제 해결에 도움이 되는 힌트를 소개한다. 공략을 보기 전에 힌트만 보고 문제를 해결해보길 권장한다. '3.7. 45도 각도'의 3L 5E 해답에서 시작한다. 직각이등변삼각형을 만들기 위해 다음의 두 가지 방법을 고려하자. 두 방법은 비슷해 보이지만 기본 작도로 해체하면 분명 다르다. 어떤 방법이 E 비용을 줄이는데 도움이 될지 따져보자. i) B를 지나는 AB의 수선을 작도하는 방법 ii) AB의 수직이등분선을 작도하는 방법 7L 7E 해답 위의 두 가지 방법을 기본 작도로 해체하면 다음과 같다. i) B를 지나는 AB의 수선을 작도하는 방법 ii)

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[3] 유클리디아 감마 (Euclidea Gamma) 공략 모음

Euclidea의 세 번째 챕터로, Beta 챕터보다는 쉬운 편이기 때문에 대부분 무난하게 해결할 수 있을 것이다. 난도 이하: 가급적 혼자 풀어보길 권장. 난도 이상: 힌트를 참고하며 풀어보길 권장. 난도 이상: 별도의 게시글로 분리하여 작성. * 문제 번호로 빠른 이동 가능 (Ctrl + F 혹은 검색 이용) 시리즈 링크 [+] Euclidea 소개 및 공략 모음 [0] 평면도형의 성질 [2] Beta 공략 모음 [4] Delta 공략 모음 Overview 3.1. 현의 중점 2L 4E 중심이 주어진 원 내부의 주어진 점이 중점인 현을 작도하는 문제. [2L 4E 해답] 원의 중심과 현의 중점을 잇는 직선은 현을 수직이등분한다는 사실을 이용한다. 이는 이등변삼각형의 성질로부터 도출된 결과이기도 하다. 수선 도구를 사용하려면 먼저 직선이 작도되어야 한다. ① OA [1L 1E] 수선을 작도하면 2L 4E 해답을 얻는다. ② A를 지나는 OA의 수선 [1L 3E] (증명)

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[2.8] 유클리디아 (Euclidea) 점에서 원의 접선 3E 공략

3E 중심이 주어진 원 위의 주어진 점에서의 접선을 작도하는 문제. 이번 게시글에서는 Euclidea Beta 챕터의 8번째 문제 '원의 접선'의 3E 공략을 다룬다. 2L 해답은 'Beta 공략 모음' 참고. 시리즈 링크 [+] Euclidea 소개 및 공략 모음 [2] Beta 공략 모음 3E 해답의 힌트 문제 해결에 도움이 되는 힌트를 소개한다. 우선 첫 힌트만을 보고 문제를 해결해보고, 막히면 다음 힌트를 참고하는 식으로 진행할 것을 권장한다. 먼저 두 가지 4L 4E 해답들을 소개한다. i) 기존의 2L 4E 해답을 기본 작도로 해체하는 방법. ii) 60 + 30 = 90임을 이용하는 방법. (증명) OZ는 원 B의 지름 ⇒ ∠OAZ = 90 ⇒ AZ는 원 O의 접선. (힌트 1) B를 ii)처럼 원 O 위의 점으로 한정짓고, 다음 작도에서 출발해보자. 보조선을 그려 각도 사이의 연관성을 찾으면 도움이 된다. (힌트 2) ∠OAC와 ∠BAC가 어떤 관계식을 갖는지 분석해

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[2.2] 유클리디아 (Euclidea) 각이등분선의 교점 6E 공략

6E 주어진 삼각형에서 세 내각의 이등분선의 교점을 작도하는 문제. 이번 게시글에서는 Euclidea Beta 챕터의 2번째 문제 '각이등분선의 교점'의 6E 공략을 다룬다. 2L 해답은 'Beta 공략 모음' 참고. 시리즈 링크 [+] Euclidea 소개 및 공략 모음 [2] Beta 공략 모음 6E 해답의 힌트 문제 해결에 도움이 되는 힌트를 소개한다. 공략을 보기 전에 힌트만 보고 문제를 해결해보길 권장한다. '2.1. 각이등분선 (1)'에서 두 종류의 4L 4E 해답을 소개하였다. 편의를 의해 'A를 지나는 원 O'를 '원 O (~ A)'라 표기하면, 두 방법은 다음과 같은 차이를 보인다. 두 방법 중 어떤 것이 E 비용을 줄이는데 도움이 될지 생각해보고, 직접 적용해보자. i) 원 O (~ A) → 원 A (~ B) → 원 B (~ A) → OC. ii) 원 O (~ A) → 원 A (~ O) → 원 B (~ O) → OC'. 6L 6E 해답 정석적인 방법인 i)을 이

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[2] 유클리디아 베타 (Euclidea Beta) 공략 모음

Euclidea의 두 번째 챕터로, 각이등분선 및 수선과 관련된 문제를 집중적으로 다루고 있다. 특히, '2.1. 각이등분선 (1)'의 4L 4E 해답과 '2.4. 2배각'의 선대칭 작도법은 꼭 알아두고 넘어가도록 하자. 난도 이하: 가급적 혼자 풀어보길 권장. 난도 이상: 힌트를 참고하며 풀어보길 권장. 난도 이상: 별도의 게시글로 분리하여 작성. * 문제 번호로 빠른 이동 가능 (Ctrl + F 혹은 검색 이용) 시리즈 링크 [+] Euclidea 소개 및 공략 모음 [0] 평면도형의 성질 [1] Alpha 공략 모음 [3] Gamma 공략 모음 Overview 2.1. 각이등분선 (1) 2L 4E 주어진 각의 이등분선을 작도하는 문제. [2L 4E 해답] 이등변삼각형에서 밑변의 수직이등분선이 꼭지각의 이등분선과 동일함을 이용한다. 우선, OA = OB가 되도록 ℓ1 위의 점 A와 ℓ2 위의 점 B를 작도한다. ① A를 지나는 원 O [1L 1E] (A ∈ ℓ1, B =

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[1.7] 유클리디아 (Euclidea) 내접 정사각형 7E 공략

7E 중심이 주어진 원 위의 주어진 점을 꼭짓점으로 하는 내접 정사각형을 작도하는 문제. 이번 게시글에서는 Euclidea Alpha 챕터의 7번째 문제 '내접 정사각형'의 7E 공략을 다룬다. 6L 해답은 'Alpha 공략 모음' 참고. 시리즈 링크 [+] Euclidea 소개 및 공략 모음 [1] Alpha 공략 모음 7E 해답의 힌트 문제 해결에 도움이 되는 힌트들을 소개한다. 우선 첫 힌트만을 보고 문제를 해결해보고, 막히면 다음 힌트를 참고하는 식으로 진행할 것을 권장한다. (힌트 1) 4E를 소모하여 정사각형 ABCD의 모든 꼭짓점부터 찾고 시작하면 7E 해답을 얻을 수 없으므로 다른 접근이 필요하다. 다음 작도에서 출발하여 OA를 작도하지 않고 A의 반대쪽 꼭짓점 C를 찾는 방법을 생각해보자. 표시한 보조선으로부터 합동인 삼각형을 찾으면 도움이 된다. (힌트 2) C를 찾은 뒤에는 다음 그림에서 ∠ACB = 45임을 이용하여 정사각형의 다른 꼭짓점 B를 찾아보자. ∠O

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[1] 유클리디아 알파 (Euclidea Alpha) 공략 모음

Euclidea의 첫 번째 챕터로, 수직이등분선과 관련된 문제를 집중적으로 다루고 있다. 기억해두면 좋은 평면도형의 성질들은 아래 링크 참고. 난도 이하: 가급적 혼자 풀어보길 권장. 난도 이상: 힌트를 참고하며 풀어보길 권장. 난도 이상: 별도의 게시글로 분리하여 작성. * 문제 번호로 빠른 이동 가능 (Ctrl + F 혹은 검색 이용) 시리즈 링크 [+] Euclidea 소개 및 공략 모음 [0] 평면도형의 성질 [2] Beta 공략 모음 Overview (튜토리얼) 정삼각형: 직선 도구, 원 도구 4L 4E 주어진 선분을 한 변으로 하는 정삼각형을 작도하는 문제. [4L 4E 해답] 튜토리얼의 손모양을 따라서 그리면 다음과 같은 해답을 얻는다. ① B를 지나는 원 A [1L 1E] ② A를 지나는 원 B [1L 1E] (C, D = 원 A ∩ 원 B) ③ AC [1L 1E] ④ BC [1L 1E] (증명) AC = AB = BC ⇒ ABC 정삼각형. [6L 6E 2V

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[0] 유클리디아 (Euclidea) 공략 프롤로그: 평면도형의 성질

Euclidea의 문제를 풀고 완성된 작도 결과를 증명하려면 평면도형에 대한 기본적인 지식이 요구된다. 이번에는 작도에 도움이 되는 평면도형의 성질과 증명을 소개한다. 앞으로의 공략 포스팅에서는 여기서 언급하는 평면도형의 성질은 알고 있다고 가정하고 진행할 것이다. 시리즈 링크 [+] Euclidea 소개 및 공략 모음 [1] Alpha 공략 모음 이등변삼각형의 성질 두 변의 길이가 같은 삼각형을 '이등변삼각형'이라 한다. (1) AB = AC이면 ∠ABC = ∠ACB. (2) ∠ABC = ∠ACB이면 AB = AC. (3) AB = AC이면 다음 직선들은 전부 동일하다. ∠BAC의 이등분선. A에서 BC에 내린 중선. A에서 BC에 내린 수선. BC의 수직이등분선. (4) BC의 수직이등분선 위의 점을 A라 하면, AB = AC. 평행사변형의 성질 두 쌍의 대변이 각각 평행한 사각형을 '평행사변형'이라 한다. 내각의 크기가 모두 같은 사각형은 '직사각형'이라 하며, 이는 평

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[+] 작도 게임 유클리디아 (Euclidea) 소개 및 공략 모음

중학교 수학을 배웠다면 누구나 한 번쯤 들어본 '작도'. 유클리디아 (Euclidea)는 작도를 퍼즐 게임으로 구현한 앱이다. * Euclidea.xyz에서 설치할 수 있고, PC 웹에서도 플레이 가능. 시리즈 링크 [0] 평면도형의 성질 [1] Alpha 공략 모음 [2] Beta 공략 모음 [3] Gamma 공략 모음 [4] Delta 공략 모음 [5] Epsilon 공략 모음 [6] Zeta 공략 모음 [7] Eta 공략 모음 중학교 때 배우는 합동, 닮음, 원의 성질, 삼각비 등의 기본적인 논증기하학적 지식 그 이상을 요구하지는 않지만, 실제 문제를 풀다 보면 '기하학에 왕도는 없다'는 메인 화면의 글귀를 몸소 체험하게 될 만큼 난이도가 결코 만만치 않다. 세 번째 챕터인 감마 (Gamma)부터는 이전 챕터의 모든 별을 획득해야 해금이 가능한데, 더 이상 진행이 어려운 사람들을 위해 모든 챕터를 해금할 수 있는 옵션, 모든 문제의 힌트를 제공하는 옵션을 각각 1200원에 제공

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