[P22] 정오각형 문제 (2)

두 포물선에 내접한 정오각형과 관련된 문제를 하나 소개한다. 정오각형의 대표적 성질인 황금비를 어떻게 활용할 수 있을까?

문제 시리즈 링크 [P0] Problems List [P21] 정오각형 문제 (1) [P23] 정다각형과 포물선 (1) 정오각형의 황금비 풀이에 앞서 정오각형의 가장 대표적인 성질 하나를 소개한다. 정오각형에서 대각선과 한 변의 길이의 비는 황금비 (golden ratio) Φ에 해당되며, 이는 이차방정식 Φ2 - Φ - 1 = 0의 양수근이기도 하다.

증명은 다음과 같이 두 삼각형의 닮음을 이용한다. 포물선과 넓이비 풀이에 도움이 되는 포물선의 성질 또한 소개한다.

포물선은 적당히 회전시켜 이차함수로 만들 수 있으며, 포물선과 직선으로 둘러싸인 넓이는 다음과 같이 적분을 통해 구할 수 있다. 이를 이용하면 포물선과 대칭축을 공유하는 내접삼각형에 대해 다음과 같은 넓이비를 얻을 수 있다.

풀이 + Comment 황금비 성질을 이용하여 사다리꼴 BCDE와 삼각형 ...

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