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삼각형의 내심과 외심, 다양한 문제 - 5문항

지난번에 이어서 이번에도 삼각형의 내심과 외심 문제를 함께 풀어봐요. 종이와 필기구 준비했지요? 반드시 먼저 풀어보고 확인해 봐야 해요. 1. 내심은 내각의 이등분선의 교점 평행선 사이의 엇각의 크기는 같다. 이 성질을 이용하면 삼각형 BDI, CEI는 이등변삼각형입니다. 2. 2번에서 이용한 성질을 이용하면 삼각형 BDI, CEI가 이등변삼각형이므로 점 D, E는 선분 BC의 삼등분점입니다. 3. 삼각형의 넓이를 구하는 법은 두 가지입니다. (밑변)×(높이)×1/2 1/2×r(a+b+c) 4. 둔각삼각형은 삼각형의 외부에 있습니다. 꼭짓점에서 외심까지 반지름을 연결하면 각 AOC의 바깥쪽의 각이 각 x의 두 배입니다. 5. 삼각형의 둘레의 길이는 2a+2b+4, a+b=10, 삼각형 넓이는 1/2×2(2a+2b+4) 여러 가지 문제들을 풀어봤어요. 이해가 잘 되었나요? 잘 보고 차근차근 따라가면 이해가 될 거예요. 오늘 내용도 복습 잊지 마세요.^^

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삼각형의 내심, 개념 정리, 중2 수학

이번에는 삼각형의 내심에 대하여 알아볼게요. 내심과 외심의 성질을 잘 구분해서 알고 있어야 해요. 이제 삼각형의 외심에 대해 알아볼까요? 1. 삼각형의 내심 (1) 접선과 접점 원과 직선이 한 점에서 만날 때, 이 직선은 원에 접한다고 합니다. 이때, 원에 접하는 직선을 접선, 원과 직선이 만나는 점을 접선이라고 합니다. 원의 접선은 그 접점을 지나는 반지름에 수직입니다. (2) 내접원과 내심 내접원 - 한 다각형의 모든 변이 원 I에 접할 때, 원 I는 다각형에 내접한다고 합니다. 이때, 원 I를 다각형의 내접원이라고 합니다. 내심 - 내접원의 중심을 내심이라고 합니다. . 2. 내심의 성질 (1) 세 내각의 이등분선의 교점 (2) 삼각형의 내심에서 세 변에 이르는 거리는 같다. (내접원의 반지름) 내심의 증명> (3) 증명> 삼각형의 내각의 합이 180도이므로 이해하기 쉽습니다. (4) 증명> 삼각형의 외각의 크기는 이웃하지 않은 내각의 크기의 합이라는 성질을 이용하면 됩니다.

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삼각형의 외심, 개념 정리, 중2 수학

이번에는 삼각형의 성질 중에서 외심에 대해 알아볼게요. 외접원의 중심인 외심과 내심에 대해 순차적으로 공부해 볼 건데요. 비슷해 보이지만 다른 내용이니까 잘 구분해서 알고 있어야 해요. 1. 삼각형의 외심 외접 - 한 다각형의 모든 꼭짓점이 원 O 위에 있을 때, 원 O는 다각형에 외접한다고 합니다. 외접원 - 이때, 다각형에 외접하는 원 O를 외접원이라고 합니다. 외심 - 외접원의 중심. 2. 삼각형의 외심의 성질 세 변의 수직이등분선의 교점은 외심. 세 변의 꼭짓점에서 외심에 이르는 거리는 같다. (외접원의 반지름) 그림에서 보면 세 변의 수직이등분선이 한 점에서 만나는 것, 꼭짓점에서 외심까지 이르는 거리는 외접원의 반지름이므로 같다는 것을 알 수 있습니다. 외심의 증명 증명 과정에서 특히 RHS 합동이라는 것을 꼭 기억해야 합니다. 증명> 삼각형 AOB, AOC, BOC는 모두 이등변 삼각형이므로 밑각의 크기가 같습니다. 삼각형의 내각의 크기의 합이 180도임을 생각하면 이해

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이등변삼각형, 직각삼각형 합동 문제 - 5문항

이번에는 시험에 잘 나오는 문제 유형들로 가지고 왔어요. 1. 이등변삼각형의 밑각의 크기가 같다. 삼각형 외각의 크기는 이웃하지 않은 두 각의 합. 요 성질을 이용하면 쉽게 구할 수 있습니다. 2. 3. 4. 점 D에서 변 AB에 수선을 그어서 합동인 직각삼각형을 만들어야 한다. 삼각형 넓이를 구한다. 이 두 가지를 꼭 기억해야 합니다. 5. 직각삼각형 합동으로 선분 DE의 길이를 구한다. 삼각형 ABC는 사다리꼴에서 두 직각삼각형을 빼서 구한다. 문제를 풀 때, 꼭 기억해야 할 내용을 기억해서 다음에 그 문제가 나왔을 때 풀 수 있도록 해야 합니다. 사소한 습관이 모여서 실력이 됩니다. 오늘 내용도 꼭 다시 풀어서 복습해야 해요.^^

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직각삼각형의 합동, 각의 이등분선, 중2 수학

이번에는 직각삼각형 합동에 대해 알아볼게요. 이미 알고 있는 삼각형의 합동 조건으로도 합동을 알 수 있지만, 특히 직각삼각형일 때는 직각삼각형의 합동 조건을 알고 있으면 합동인 삼각형을 빠르고 쉽게 찾을 수 있습니다. 1. 직각삼각형의 합동 조건 (1) RHA 합동 - 빗변의 길이와 한 예각의 크기가 각각 같은 직각삼각형은 합동이다. 증명> 두 직각삼각형이 ASA 합동이므로 빗변과 한 예각의 크기가 각각 같으면 항상 합동입니다. (2) RHS 합동 - 빗변의 길이와 한 변의 길이가 각각 같은 직각삼각형은 합동이다. 증명> 두 직각삼각형이 ASA 합동이므로 빗변의 길이와 한 볏의 길이가 같으면 항상 합동입니다. 2. 각의 이등분선 (1) 각의 이등분선 위의 한 점에서 그 각을 이루는 직선까지 이르는 거리는 같다. (2) 각을 이루는 두 직선에서 같은 거리에 있는 점은 각의 이등분선 위에 있다. 증명> (1) 두 직각삼각형이 RHA 합동이므로 각의 이등분선에서 각을 이루는 직선까지의 거

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이등변삼각형, 기본적인 문제, 중2 수학 - 5문항

이등변삼각형의 성질들이 문제에서 어떻게 활용되는지 봐야지요? 1. 이등변삼각형의 밑각의 크기가 같으므로, 각을 이등분한 각도 같습니다. 삼각형 DBC도 이등변삼각형입니다. 2. 종이접기에서는 평행선 사이의 엇각의 크기는 같다. 접은 각과 남은 공간의 각의 크기는 같다. 이 부분을 기억하세요. 이 문제에서는 밑각의 크기가 같으므로 삼각형 ABC가 이등변삼각형입니다. 3. 두 직각삼각형이 합동이니까 삼각형 ABC의 밑각의 크기가 같습니다. 4. 이등변삼각형에서 꼭지각의 이등분선은 밑변을 수직 이등분한다. 직각삼각형에서는 넓이를 구하는 방식이 두 가지라는 것을 기억해야 해요. 5. 이등변삼각형의 밑각의 크기가 같다. 삼각형의 외각의 크기를 구한다. 이 두 가지를 기억하면 어렵지 않아요. 기억해야 할 내용이 많지는 않아요. 오늘 내용도 복습 잊지 마세요~^^

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이등변삼각형, 개념 정리, 중2 수학

이번에는 중2 삼각형 중 이등변삼각형을 공부해볼 거예요. 정말 쉬운 단원이니까 잘 정리해봐요. 1. 이등변삼각형 - 두 변의 길이가 같은 삼각형 꼭지각 - 길이가 같은 두 변이 이루는 각 밑변 - 꼭지각의 대변 밑각 - 밑변의 양 끝 각 2. 이등변삼각형 성질 (1) 두 밑각의 크기가 같다. 증명> (2) 꼭지각의 이등분선은 밑변을 수직이등분한다. 증명> 3. 이등변삼각형이 되기 위한 조건 두 내각의 크기가 같은 삼각형은 이등변삼각형이다. 증명> 예제> 이등변삼각형은 어렵지 않아요. 잘 보고 알아두면 됩니다. 오늘도 복습 잊지 마세요.

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수학 문제를 풀면 푸는 문제마다 안 풀리고, 풀더라도 확신이 없을 때 해야 하는 것

수학 공부를 할 때, 배우는 대로 다 알 것 같나요? 푸는 문제마다 다 술술 풀리나요? 그렇다면 얼마나 좋을까요? 배우고 나면 돌아서면 까먹고, 다시 봐도 모르겠고, 아는 것 같은데 문제를 풀어보면 모르는 것 같지요. 그냥 잊어버려서, 개념을 이해 못 해서 모르는 거면, 공부를 더 하면 될 것 같은데, 개념은 아는 것 같은데, 문제가 안 풀리면 어떻게 해야 할까요? 도대체 아는 건지 모르는 건지 헷갈리지요. 확실하게 말할 수 있는 건, 개념을 아는 것 같은데 문제가 안 풀린다? 아직 잘 모르는 겁니다. 아는 것 같지만, 모르는 거니까 개념을 꺼내 쓰지 못하는 겁니다. 여러 번 강조한 것 같은데 개념은 공부하면 백지에 다 써 내려갈 수 있어야 제대로 아는 겁니다. 알지만 문제가 안 풀린다면, 무조건 개념으로 돌아가야 합니다. 개념 공부를 다시 해서, 백지에 써 내려갈 수 있을 정도로 머릿속에 넣습니다. 공식이 나온다면 증명도 다 할 수 있어야 하고, 성질들이 나온다면 이유도 꼼꼼히 알

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중2 확률, 여러 가지 유형 문제, 중학교 수학 - 5문항

이번에도 확률의 다양한 유형 문제들을 풀어볼게요. 확률은 같은 내용이 형태를 바꿔서 나오기 때문에 달라 보이지만 알고 나면 같은 문제입니다. 눈을 크게 뜨고 살펴볼까요? 1. 삼각형의 결정 조건을 기억해야 합니다. 확률의 계산을 배우더라도, 확률의 기본은 전체 경우의 수 중 해당 경우의 수의 비율인 것을 잊으면 안 돼요. 2. 확률, 경우의 수에서는 부등식, 방정식, 함수 개념이 함께 나오는 경우가 많습니다. 이미 배운 내용을 잘 알고 있어야 합니다. 이 문제에서는 일차함수의 교점에 대한 내용이 나왔습니다. 교점은 일차함수의 공통 해이므로 연립방정식의 해입니다. 두 식을 연립해서 a, b의 관계식을 구해야 합니다. 3. 전구에 불이 들어오려면, A, B 중 하나라도 닫혀있으면 됩니다. 불이 들어오지 않으려면, A, B 모두 열려있어야 합니다. 4. a × b가 짝수가 되려면, (짝수)×(짝수), (짝수)×(홀수), (홀수)×(짝수)일 때입니다. 구해야 하는 경우가 너무 많으니까, 여

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중2 수학, 확률, 여러 가지 문제 유형 - 5문항

확률의 개념을 공부했으니 이제 문제를 풀어봐야지요. 개념 잘 기억하고 있지요? 1. 비기는 경우는 모두 같은 것을 내는 경우와 모두 다른 것을 내는 경우가 있습니다. 두 경우의 확률을 구해서 더합니다. 승부가 결정되려면 전체 확률 1에서 비기는 경우의 확률을 빼면 됩니다. 2. 적어도 한 명은 남학생이 대표로 뽑히려면, 남학생 한 명, 여학생 한 명 또는 모두 남학생이 대표로 뽑히는 두 가지 확률을 구해서 더해야 합니다. 그보다는 여사건인 모두 여학생을 대표로 뽑는 경우의 확률을 구해서 전체 확률 1에서 빼는 것이 편리합니다. 3. ㅡ세 자리 자연수의 백의 자리에는 0을 사용할 수 없으므로 0일 뺀 4장 중 선택하므로 4가지, 십의 자리에는 백의 자리에 사용한 수를 제외한 4가지, 일의 자리에는 백의 자리, 십의 자리에 사용한 수를 제외한 3가지를 선택 가능합니다. 200 이하의 수는 무조건 백의 자리는 1이므로, 1로 채워놓고 경우의 수를 구합니다. 400 이상의 수는 무조건 백의

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중2 수학, 확률의 계산, 알면 쉬워요.

이번에는 확률의 계산을 알아볼게요. 앞부분을 잘 이해했다면 연결되는 내용이니까 쉬울 거예요. 이제 들어가 볼까요? 1. 확률의 덧셈 - 합의 법칙과 같다고 생각하면 됩니다. 어떤 사건이 한꺼번에 일어나지 않을 때, 각 확률을 더하면 됩니다. 예제> 1부터 12까지의 자연수가 각각 적힌 12장의 카드 중에서 한 장을 뽑을 때, 카드에 적힌 수가 소수 또는 6의 배수일 확률을 구하시오. 소수일 확률과 6의 배수일 확률은 한꺼번에 일어나지 않으니까 더해줍니다. 2. 확률의 곱셈 - 곱의 법칙과 같다고 생각하면 됩니다. 어떤 사건이 한꺼번에 일어날 때, 각 확률을 곱하면 됩니다. 예제> 어느 야구 팀의 5번 타자와 6번 타자가 안타를 칠 확률은 각각 0.2, 0.3이다. 5번 타자와 6번 타자가 연속으로 안타를 칠 확률을 구하시오. 풀이> 0.2×0.3= 0.06 연속으로 안타를 치는 건 5번 타자가 안타를 치고, 6번 타자도 안타를 쳐야 합니다. 모두 한꺼번에 일어나야 하니까 곱해줍니다.

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고1 수학, 산술평균과 기하평균의 관계, 쉽고 정확하게 알아봐요.

이번에는 절대부등식에서 학생들이 까다롭게 여기는 부분이에요. 알다시피 언제나 알면 쉽고 모르면 어려운 거예요. 오늘도 쉽게 설명해 볼게요. 1. 산술평균과 기하평균의 관계 증명 산술평균과 기하평균의 관계를 증명해 볼게요. 서로 빼면 분자가 완전제곱식입니다. a, b가 양수니까 실수의 제곱이므로 0 이상입니다. 편리한 사용 산술 기하평균 문제는 항상 양변에 2를 곱하는 것부터 시작합니다. 그러니까 처음부터 2를 곱해놓고 시작하는 게 편리합니다. 등호 성립할 때의 값 문제를 풀다 보면 최댓값 또는 최솟값을 묻는 경우가 많아서 등호가 성립할 때의 값은 구할 필요가 없습니다. 완벽하게 숙지되기 전까지는 등호가 성립할 때의 값을 구해보는 습관을 가지는 것이 좋습니다. 그래야 정확하게 이해할 뿐만 아니라, 잊지 않게 됩니다. 문제 유형은 구분해서 기억하는 게 좋습니다. 2. 예제 - 곱 또는 합이 일정할 때 3. 예제 - 식을 전개하는 경우 괄호 안의 식의 최솟값을 각각 구해서 곱하면 안 되는

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절대부등식, 보면 아는 내용이지만 꼭 정리해서 알고 있어야 해요. 고1 수학

이번에는 절대부등식에 대해 알아볼 거예요. 여러 가지 증명에 사용되는 내용들을 설명할 거예요. 보면 너무 당연하고 이미 다 알고 있는 내용이니까 어렵지 않아요. 다만, 머릿속에 정리해서 이런 내용이 있으니 나올 수 있다는 것을 인지하고 있어야 합니다. 그냥 알고 있기만 하면 막상 써야 할 때 떠오르지 않습니다. 1. 절대부등식 - 부등식의 문자에 어떤 실수를 대입해도 항상 성립하는 부등식 2. 부등식 증명에 이용되는 실수의 성질 a, b가 실수일 때, 예> x가 실수일 때, 3. 여러 가지 절대부등식 부등식 문제에서 자주 이용되는 절대부등식입니다. a, b, c가 실수일 때, a, b, c가 실수이므로 제곱했을 때 0 이상입니다. 4. 실수 또는 식의 대소 비교 대소 비교에서 일반적으로 사용하는 방법을 정리해 볼게요. 역시 아는 내용이 대부분이지요? 위 내용에 식이 성립하는 이유를 증명을 통해 설명해 놓았습니다. 항상 왜 이 식이 성립하는지 꼭 알고 다른 사람에게 설명할 수 있을 정

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명제의 증명, 개념 설명, 고1 수학

이번에는 명제에 나오는 용어와 증명에 대해 공부해 볼 거예요. 1. 정의 - 용어의 뜻을 명확하게 정한 문장 정리 - 참임이 증명된 명제 중에서 기본이 되는 것, 다른 명제를 증명할 때 이용할 수 있는 것. 정의는 증명이 필요 없는 이름이고, 정리는 증명 가능한 성질이라고 보면 됩니다. 증명 - 정의나 명제의 가정 또는 이미 옳다고 밝혀진 성질을 이용하여 어떤 명제가 참임을 증명하는 것. 예> 이등변삼각형은 두 변의 길이가 같은 삼각형이다. - 정의 이등변삼각형의 두 밑각의 크기는 같다. - 정리 2. 명제의 증명 대우를 이용한 증명 - 대우 명제가 참이면 명제도 참이니까 대우가 참임을 증명하는 방법. 예> 명제 '자연수 a, b에 대하여 ab가 짝수이면 a 또는 b가 짝수이다.' 가 참임을 대우를 이용하여 증명하시오. 대우 : 자연수 a, b에 대하여 a, b가 모두 홀수이면 ab는 홀수이다. a, b가 모두 홀수이면, a = 2m-1, b = 2n-1 (m, n은 자연수), ab

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공부를 왜 해야 할까요? 공부를 많이 해야 한다고 억울해 하지 않아도 됩니다.

학생들을 보면, 공부를 다 하기 싫어합니다. 많은 학생들이, 공부를 해야 하니까, 하기 싫긴 하지만 하는 느낌으로 공부를 잡고 있는 것 같아요. 그러다가 공부가 힘들고 하기 싫으면, 공부를 왜 해야 하는지, 안 할 순 없는지 물어봅니다. 현실적인 이야기를 한다면, 대학은 꼭 가야 하니까, 공부를 열심히 맹렬히 해야 한다고 말해줍니다. 학생들은 아직 잘 모르지만, 대학을 졸업하고 사회에 나간다고 해도 그 나이대의 사람들은, 법적으로는 성인이지만, 아직 사회에 첫 발을 내디딘 경험한 것이 전혀 없는 미완성의 어른이니까, 즉 커리어가 전혀 없는 미성년자와 별다를 게 없는 상태입니다. 그런 상태에서 현재 스스로를 증명할 수 있는 가장 확실한 게 출신 학교, 학점, 전공이라고. 사실 학생들에게 공부가 전부다, 대학이 전부다, 이런 식으로 말하고 싶지는 않습니다. 현재 스스로 가지고 있는 재능이 공부가 아닌 다른 특별한 것이 있다면, 그걸 하면 되겠지요. 다만, 현재 그런 것이 아니라면 사회에

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취약한 단원은 어떻게 해야 정복할 수 있을까요?

수학 공부가 어려운가요? 수학 공부를 하다 보면, 모든 단원이 어려운 건 아니에요. 또 모든 유형의 문제를 다 어려워하는 건 아닙니다. 좀 잘 하는 단원도 있지만, 어려운 단원이 있는 거고, 유독 매번 틀리는 유형의 문제가 있는 거지요. 그런데 학생들이 문제를 푸는 것을 보면, 매번 아는 문제만 풀고, 잘 푸는 단원의 문제들만 풉니다. 학생은 모르니까 못 풀어서 그렇다는 말도 하고, 잘 못하니까 풀기 싫어서 피한 거라는 말도 합니다. 학생의 그 심정도 이해합니다. 그런데 아는 문제만 풀면 실력이 늘까요? 수학을 잘 하려면 잘 모르는 그 유형을 풀어야 하고, 잘 못해서 피하는 그 단원의 문제들을 풀어야 하는 거잖아요. 아는 문제는 지금도 알고, 나중에도 아는 문제인데 왜 그 문제들만 풀면서 시간을 보낸다면 매번 실력은 제자리일 겁니다. 모르는 문제를 아는 문제로 만드는 데 시간을 써야지요. 그럼 어떻게 해야 할까요? 취약 단원이나 유형은 시간을 따로 내어서, 시간을 잡고 공부를 하는

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확률의 뜻과 성질, 여사건의 확률, 쉬운 개념 설명, 중2 수학

이번에는 확률에 대해 공부해 볼 거예요. 경우의 수 개념이 잘 잡혀있어야 쉽습니다. 오늘도 쉽게 설명해 볼게요. 1. 확률의 뜻 같은 조건에서 실험이나 관찰을 반복할 때, 어떤 사건이 일어나는 상대도수가 일정한 값에 가까워지면, 이 일정한 값을 확률이라 한다. 너무 어렵지 않나요? 쉽게 말해, 확률은 어떤 사건이 일어날 가능성을 수로 나타낸 것입니다. 사건 A가 일어날 확률을 p라고 한다면, 2. 확률의 성질 (1) 반드시 일어나는 사건의 확률은 1 (2) 절대 일어나지 않는 사건의 확률은 0 (3) 확률의 범위 예> 한 개의 주사위를 던질 때 (1) 주사위 눈이 3 이하가 나올 확률 : 3/6 = 1/2 (2) 주사위 눈이 7일 확률 : 0/6 = 0 (3) 주사위 눈이 6 이하일 확률 : 6/6 =1 3. 여사건의 확률 사건 A가 일어날 확률이 p라 할 때, 전체 확률이 1이므로, 사건 A가 일어나지 않을 확률은 1-p입니다. 예> 한 개의 주사위를 던질 때, 주사위 눈이 6의

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필요조건, 충분조건 잘 구분하는 법, 명제 문제 잘 푸는 법 - 3문항

충분조건, 필요조건 문제를 어려워하는 학생들이 많습니다. 잘할 수 있는 방법은 없을까요? 물론 있습니다. 명제 문제들은 수학적인 내공이 있으면 어렵지 않습니다. 아는 게 많으면 뭐든 쉽지요. 조건들을 봤을 때, 의미 파악이 빠르면 아무래도 쉬워요. 그런데 그런 부분이 약해도 잘할 수 있는 방법이 필요한 거잖아요. 그럼 지금 필요한 그 방법을 알려드릴게요. 문제를 풀 때, 1번부터 5번까지 나오면, 답을 구하더라도 모든 보기를 다 확인해 보는 겁니다. 왜 이게 답이 아닌지 확인해 보고 스스로 판단한 게 맞는지 꼭 확인해 보는 겁니다. 예를 들면, 이런 식입니다. 1. 2. 3. 이런 식으로 문제에 나오는 내용들을 다 파악해 보고 반례도 들어서 확인해 보는 과정을 거쳐서 풀면 짧은 시간 안에 빠르게 실력을 쌓을 수 있습니다. 이런 식으로 문제를 풀면 명제 단원의 개념도 잘 잡을 수 있고, 수학 전체에 대한 기초도 탄탄하게 다질 수 있습니다. 조금 번거롭고 귀찮을 수 있지만, 따로 시간을

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중3 수학, 이차방정식 풀이, 자주 출제되는 문제, 완전제곱식 이용한 풀이, 근의 공식 유도과정 - 7문항

중2 수학 이차방정식 풀이에서 자주 출제되는 문제들을 풀어볼게요. 단순 풀이 문제와 전에 풀었던 문제는 제외했습니다. 어려운 문제는 아니지만 실수하기 쉬운 문제와 너무 당연해서 지나치기 쉬운 문제들은 포함했어요. 이번에도 문제 풀이의 꿀팁들이 가득하니까 모두 챙겨가세요.^^ 이제 문제 풀이 들어갈게요~^^ 1, 이런 문제는 절대 해를 구하지 마세요. 물론 해를 구해서 대입해서 계산해도 답은 나오겠지만, 시간도 많이 걸리고 연산도 틀리기 쉽습니다. x=p를 대입해서 ÷ p로 원하는 값을 구한다는 것을 기억하세요. 2. 3. 문제를 보면 이차방정식을 완전제곱식 형태입니다. 이럴 때는 절대 전개해서 해를 구하지 마세요. 전개해서 해를 구해도 같은 결과가 나오겠지만, 시간이 더 걸립니다. 위의 풀이처럼 문제에서 완전제곱식을 이용한 풀이로 반을 풀어줬으니 이어서 풀면 됩니다. 문제에서 풀어준 건 활용을 해야지요.^^ 4. 완전제곱식을 이용한 이차방정식의 풀이는 시험에 자주 출제됩니다. 객관식

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고1 수학, 다항식의 연산, 개념 정리

이번에는 고등수학(상)에서 다항식 연산의 개념을 배워볼게요. 다항식의 연산은 중1, 2의 식의 계산에서 배운 내용에 조금 추가된다고 생각하면 됩니다. 중학교 과정에서 이미 배웠지만, 다항식에 나오는 용어부터 복습해 볼게요. 1. 다항식에 나오는 용어 항 - 수 또는 문자의 곱으로만 이루어진 식 상수항 - 특정한 문자를 포함하지 않는 항, 문자가 없는 항 계수 - 항에서 특정 문자를 제외한 나머지 부분 다항식 - 한 개 또는 두 개 이상의 항의 합으로 이루어진 식 단항식 - 하나의 항으로만 이루어진 식 차수 - 항의 차수 : 항에서 특정 문자가 곱해진 개수 - 다항식의 차수 : 다항식에서 최고차항의 차수 동류항 - 특정 문자에 대해 차수가 같은 항 2. 다항식의 정리 내림차순 정리 : 한 문자에 대하여 차수가 높은 항부터 낮은 항의 순서로 나타내는 것 오름차순 정리 : 한 문자에 대하여 차수가 낮은 항부터 높은 항의 순서로 나타내는 것 3. 다항식의 덧셈과 뺄셈 중2-1에서 배운 대로

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다항식의 나눗셈, 조립제법, 고등수학(상)

이번에는 수학(상)의 다항식의 나눗셈을 배워볼게요. 1. 다항식의 나눗셈 (1) (단항식)÷(단항식) 예제> (2) (다항식)÷(다항식) 나누는 식을 내림차순으로 정리한 후, 자연수의 나눗셈과 같은 방법으로 세로식으로 나누어서 몫과 나머지를 구합니다. 나머지가 나누는 식보다 차수가 작아질 때까지 나눕니다. 다항식을 세로식으로 적을 때, 계수가 0인 항은 비워둡니다. 예제> 나눌 식에서 계수가 0인 항은 비워놓은 것 보이지요? 꼭 비워놓고 나눠야 합니다. 계수만 이용하는 방법도 있습니다. 아까와 같은 과정이지만 훨씬 쉬워보이지요? 편리한 방법을 선택해서 사용하면 됩니다. 2. 나눗셈의 관계식 다항식 A를 다항식 B로 나눌 때의 몫을 Q, 나머지를 R이라 할 때, A=BQ+R (단, R은 B보다 차수가 낮다.) R=0일때, A는 B로 나누어 떨어진다. 초등학교 때 배운 나눗셈의 검산식입니다. 예를 들면, 11÷4은 몫은 2, 나머지는 3입니다. 이때 검산식은 4×2+3=11, 기억하지요

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여러 가지 경우의 수, 다양한 문제 - 5문항, 중2 수학

이번에도 여러 가지 경우의 수 문제들을 풀어볼까요? 이미 풀어본 유형의 문제는 제외했어요. 1. 여러 번 같은 색을 칠해도 되니까 바로 옆의 색깔만 아니면 됩니다. 2. 지불하는 경우를 표를 만들어보면 편리합니다. 3. 해가 정수가 되어야 하므로 b가 a의 배수가 되어야 합니다. 4. 최단 거리를 가는 경우는 위 그림과 같습니다. 길의 경우의 수는 길이 하나일 때는 1, 교차할 때마다 서로 더해주면 됩니다. 5. 경우의 수의 기본은 따져보는 것입니다. 빠뜨리지 않고 중복되지 않게 세어야 합니다. 여러 가지 문제들을 풀어봤는데, 이 문제들만 정확하게 알고 있어도 어렵지는 않을 거예요. 경우의 수를 잘 알아야 확률도 쉬워집니다. 오늘도 복습 잊지 마세요.~^^

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충분조건, 필요조건, 정확하고 쉽게 공부해 봐요. 고1 수학

이번에는 충분조건과 필요조건에 대해 공부해 볼게요. 학생들이 이 부분을 공부할 때, 헷갈린다, 어렵다는 말을 많이 합니다. 처음 개념을 공부할 때 정확히 구분하면 어렵지 않아요. 이제 함께 공부해 볼까요? 1. 충분조건, 필요조건 (1) 충분조건과 필요조건 p는 화살표를 주는 입장 : 충분조건 q는 화살표를 받는 입장 : 필요조건 이렇게 이해해도 쉽습니다. (2) 필요충분조건 2. 충분조건, 필요조건과 진리집합의 관계 (1) (2) 3. 예제 (1) (2) 화살표로 표시해 보고 화살표의 방향을 보고 판단하면 쉽습니다. (3) 충분조건과 필요조건에 관해 알아봤어요. 이해가 되었나요? 진리집합의 포함관계를 보고 판단하는 것, 화살표의 방향을 보고 판단하기, 범위가 나온다면 수직선에 그려보는 것이 좋습니다. 오늘도 복습 잊지 마세요~^^

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중2 수학, 경우의 수와 확률이 어렵다면 보세요~ 여러 가지 유형 문제 - 6문항

지난번에 경우의 수의 개념과 기본적인 유형 문제들을 공부해 봤어요. 경우의 수는 문제의 형태가 다양해서 어려워 보이지요? 그런데 문제를 잘 살펴보면 겉모습만 달라 보이고 사실 아는 내용인 경우가 많아요. 이번에는 다양한 형태의 문제들이 어떤 모습을 가지고 출제가 되고, 그 풀이는 어떤 풀이라서 아는 내용인지를 알아볼게요. 눈 크게 뜨고 집중할 준비되었지요? 1. 악수 문제는, 여러 사람 중 2명의 대표를 뽑는 것과 같습니다. 2. 호영이와 동생은 양 끝에 서니까 양 끝에 자리 잡습니다. 부모님은 이웃하여 서니까 하나로 묶어서 생각합니다. 호영이와 동생 외 3명을 일렬로 세우는 경우의 수, 부모님 자리 바꾸기, 호영과 동생을 자리 바꾸기를 생각해서 식을 세우면 됩니다. 3. 먼저 자기 자리에 앉는 2명을 배치하고 경우의 수를 구합니다. 그리고 자기 자리에 앉는 2명을 뽑습니다. 이 경우 대표를 뽑는 것과 같은데 뽑으면 무조건 자기 자리에 앉게 되므로 순서를 바꿀 수 없기 때문입니다.

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중 2 수학, 여러 가지 경우의 수, 문제 유형, 개념을 잘 이해하면 어렵지 않아요.

지난번에 경우의 수의 개념을 배워봤어요. 경우의 수를 어려워하는 이유는, 문제의 유형이 다양해서 어려워하는 것 같아요. 그런데 경우의 수 문제들은, 몇 가지로 구분해서 기억하면, 같은 유형의 문제들입니다. 문제를 보고 이 문제가 어떤 문제인지 파악하고, 여기 사용할 개념이 무엇인지만 알면 어렵지 않습니다. 그럼 여러 가지 경우의 수 문제들의 유형을 구분해 볼까요? 1. 일렬로 세우기. (1) 5명을 일렬로 세우는 경우의 수 일렬로 세울 때는, 앞서 세운 사람을 뺀 나머지로 경우의 수를 구하고, 한꺼번에 세우니까 곱합니다. (2) 5명 중 4명을 뽑아서 일렬로 세우는 경우의 수 (3) 선생님 1명과 학생 3명을 한 줄로 세울 때 선생님이 두 번째에 서는 경우의 수 선생님이 두 번째에 서니까 두 번째에 세워놓고 나머지 자리에 세우면 됩니다. 2. 이웃하여 세우기. (1) A, B, C, D, E를 한 줄로 세울 때, A, B가 이웃하여 서는 경우의 수 이웃하여 세울 때는 이웃하는 사람들

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수학 수업만 들으면 수학을 잘 하게 될까요? 학원? 인강? 과외? 어떤 게 학생에게 맞을까요?

학생들이 수학 공부를 해야지, 결심을 하면, 어떻게 할까요? 일단 주변을 돌아보고, 검색을 해봅니다. 예를 들면 '수학 잘 하는 법', '수학 잘 가르치는 학원', '수학 문제집 추천', 이런 식으로 찾아봅니다. 누구는 어떻게 공부를 했다더라, 학원을 어디를 다녔다더라, 어떤 선생님이 잘 가르치더라, 문제집은 뭐가 좋다더라, 이런저런 정보를 모으고, 일단 좋다는 문제집부터 사놓습니다. 문제집 구매가 지금 할 수 있는 가장 쉬운 일이니까요. 그리고 인강도 찾아보고, 학원도 알아보고, 여러 가지 선택지를 가지고 비교를 하면서 고민을 합니다. 어떤 걸 선택하든 정답은 없습니다. 다만, 선생님을 선택할 때는, 이 선생님이 내가 필요한 것을 잘 채워줄 수 있는 선생님인지, 선생님의 성격이 나와 잘 지낼 수 있는 성향의 선생님인지는 잘 생각해야 하겠지요.. 학원이나 인강, 과외를 선택할 때는, 속도는 적절한지, 나한테 필요한 만큼 잘 알아들을 수 있는 수업인지, 필요할 때 피드백은 가능한지,

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중2, 경우의 수, 개념을 쉽게 알려드립니다.

중학교 2학년 2학기 수학을 어려워하는 학생들이 많습니다. 도형을 어려워하는 학생들도 많고, 경우의 수와 확률을 유독 어려워하는 학생들이 많아요. 이번에는 경우의 수와 확률의 개념을 쉽게 알려드릴게요. 들을 준비되었나요? 1. 경우의수 사건 - 같은 조건에서 반복할 수 있는 실험이나 관찰에 의하여 일어나는 결과. 경우의수 - 어떤 사건이 일어나는 가짓수. 뭔가 말이 어렵지요? 예를 들면, 주사위를 던져서 홀수의 눈이 나왔다고 하면, 주사위를 던진다. : 실험 또는 관찰 (시행) 홀수의 눈이 나온다. : 사건 홀수의 눈 1, 3, 5 : 경우 3가지 : 경우의 수 이렇게 생각하면 쉽지요? 예> 한 개의 주사위를 던진다고 할 때, (1) 일어나는 모든 경우의 수 : 6 (2) 3 미만의 눈이 나오는 경우의 수 : 2 (1, 2의 눈) (3) 3의 배수의 눈이 나오는 경우의 수 : 2 (3, 6의 눈) (4) 6의 약수의 눈이 나오는 경우의 수 : 4 (1, 2, 3, 6의 눈) 2. 경

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명제의 참, 거짓, 역, 대우, 삼단논법, 개념 설명, 고1 수학

이번에도 명제에 관해 공부해 볼게요. 1.' p 이면 q이다' 2. ' p 이면 q이다'의 참, 거짓 반례 - 가정 p는 만족시키지만 결론 q는 만족시키지 않는 예, 즉 진리집합 P가 Q의 부분집합이 아니라는 것을 보여줄 수 있는 예입니다. 명제가 거짓임을 보이는 예입니다. 3. '모든', '어떤'을 포함한 명제 '모든 x에 대하여 p이다.' 모든 x에 대하여는 하나도 예외 없이 모두 성립하면 참, 하나라도 거짓이면 거짓입니다. '어떤 x에 대하여 p이다.' 어떤 x에 대하여는 참이 되는 x가 하나라도 있으면 참, 모두 성립하지 않으면 거짓입니다. 4. '모든', '어떤'을 포함한 명제의 부정 '모든 x에 대하여 p이다.' - 부정 : '어떤 x에 대하여 ~p이다.' '어떤 x에 대하여 p이다.' - 부정 : '모든 x에 대하여 ~p이다.' 예> 모든 학생은 남자이다. 부정 : 어떤 학생은 남자가 아니다. 어떤 학생은 남자이다. 부정 : 모든 학생은 여자이다. 모든의 부정은 명제를

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고1 수학, 명제와 조건, 개념 설명

이번에는 고등수학(하)에서 명제 단원으로 넘어가 볼 건데요. 명제는 처음 개념을 정확히 잡아야지 쉽게 느껴집니다. 참 신기하게도 제대로 공부하지 않으면 분명 한국말인데 엄청 헷갈립니다. 모든 단원이 그렇듯이 용어부터 정확하게 알고 가야 합니다. 1. 명제의 뜻 명제 : 참인지 거짓인지 명확하게 판별할 수 있는 문장이나 식 예> 두 홀수의 합은 홀수이다. (명제. 거짓인 명제) 한국인은 매운 음식을 잘 먹는다. (명제가 아니다.) 2. 명제의 부정 부정 : 명제 p에 대하여 'p가 아니다.' 부정의 표현 : ~ p 명제 p와 그 부정 : 명제 p가 참이면, 그 부정은 거짓, 명제 p가 거짓이면 그 부정은 참 명제 p의 부정의 부정은 p : ~(~p)=p 예> p : 8은 짝수이다. (참) ~p : 8은 짝수가 아니다. (거짓) 3. 조건 조건 : 변수의 값에 따라 참, 거짓이 결정되는 문장이나 식. 예> 실수는 허수가 아니다. (명제) n은 정수이다. (조건) 4. 진리집합 진리집합

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집합, 원소 개수 구하는 문제 유형 - 4 문항, 고등수학(하)

지난번에 집합에서 원소의 개수를 구하는 방법을 배워봤어요. 이번에는 문제를 풀어봐야지요. 오늘도 집중해서 공부해 볼까요? 1. 문제를 보고 벤다이어그램을 그려보면 문제의 내용 파악이 쉬워집니다. 그림을 보면, 문제를 어떻게 풀어나가야 할지 생각하기 쉬워져요. 2. 합집합을 구하는 법은 암기해야 해요. 3. 활용 문제는 A 집합과 B 집합을 각각 정하고 풀면 됩니다. 벤다이어그램을 그려본 뒤 필요한 값을 구하면 됩니다. 4. 원소의 개수를 구하는 문제는 많은 식을 외우는 것보다 문제를 파악한 뒤 필요한 계산을 하는 것이 쉽습니다. 내용을 파악하는데 벤다이어그램을 그리는 게 좋습니다. 오늘 내용도 복습 잊지 마세요~^^

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유한집합 원소 개수, 집합의 연산, 개념 설명, 고1 수학

이번에는 집합에서 원소의 개수 구하는 것을 설명해 볼게요. 1. 합집합에서 원소의 개수 A 집합의 원소의 개수와 B 집합의 원소의 개수를 더하면 교집합의 개수를 두 번 더하니까 한 번 빼줍니다. A 집합, B 집합, C 집합의 원소의 개수를 모두 더하고 각각의 교집합의 원소의 개수를 빼면 A, B, C의 교집합의 개수를 다 빼게 되므로 한 번 더해줍니다. 2. 여집합과 차집합에서 원소의 개수 여집합의 원소의 개수는 전체집합에서 A의 집합의 개수를 빼면 됩니다. 차집합의 원소의 개수는 A의 개수에서 A, B의 교집합의 개수를 빼거나, A와 B의 합집합의 개수에서 A, B의 교집합의 개수를 빼면 됩니다. 원소의 개수를 구할 때는 벤다이어그램을 그려서 원소의 개수를 표시해서 원하는 개수를 구하면 쉽습니다. 원소의 개수를 구하는 식은 이해하고 외우는 게 좋습니다. 이해를 하면 암기하는 것은 어렵지 않습니다. 이번 내용도 꼭 복습해야 해요~^^ 다음에는 원소의 개수를 구하는 문제들을 풀어볼게

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고등수학(하), 집합의 연산, 여러 가지 문제, - 6문항

지난번에 이어서 집합에 대한 문제 풀이를 이어가 볼게요. 종이와 연필 준비되었나요? 이제 문풀 들어갑니다~^^ 1 문제의 조건을 보면 X는 A와 B의 교집합의 원소를 반드시 가지는 A의 부분집합임을 알 수 있습니다. 2. 집합의 연산에서는 연산법칙을 잘 알고 식을 간단히 해야 합니다. 3. A와 B의 교집합이 A이므로 A는 B의 부분집합입니다. 4. 연산식을 간단히 만든 뒤 벤다이어그램을 그려보면 쉽게 알 수 있습니다. 벤다이어그램은 집합 문제를 간단하게 만들지요. 5. 약수와 배수의 문제는 공약수와 공배수의 개념을 알고 있으면 쉽습니다. 6. 부등식과 관련된 문제는 수직선을 그려보면 문제가 쉬워집니다. 여러 가지 유형의 문제들을 풀어봤는데, 그림을 그려보면 어려워 보이던 문제가 쉬워지는 어메이징한 현상을 볼 수 있습니다. 함수는 그래프를, 집합은 벤다이어그램을, 부등식은 수직선을 그려보면 문제가 쉬워집니다. 그림은 사랑입니다~^^ 오늘도 복습해야 하는 것 알고 있지요? 그림을 그려

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집합의 연산, 유형 문제 - 6문항, 고1 수학

이번에는 집합의 연산에 관한 문제를 풀어볼게요. 유형 문제가 좀 많은 편이라서 몇 번으로 나눠서 풀어 볼게요. 1. 조건제시법으로 표현된 집합은 원소를 나열해 보는 게 파악하기가 쉽습니다. 2. 서로소는 공통인 원소가 없는 것, 즉 교집합이 없는 것입니다. 3. 집합을 구할 때는 벤다이어그램을 그려보는 게 편한 때가 있으니 복잡할 때는 그려보세요. 4. 역시 벤다이어그램을 그려보니까 쉽지요? 5. 이런 유형의 문제는 학교 시험에 자주 출제됩니다. 문제의 조건을 보고 a 값이 될 수 있는 경우를 생각해서, 각각의 경우마다 집합을 구해서 확인합니다. 6. 집합에서는 배수와 약수에 관한 문제들이 자주 나오는데, 공배수와 공약수의 개념을 생각하면 어렵지 않습니다. 집합의 문제들을 풀어봤는데, 유형이 다른 문제들로 선택해 봤어요. 복습은 꼭 해야 하는 거 알지요? 다음에도 다른 유형의 문제를 가지고 올게요.^^

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집합, 유형 문제 - 8문항, 집합의 포함관계, 고등수학 (하)

지난번 집합 개념 설명에 이어 문제를 풀어봐야지요. 개념 복습 다 했지요? 문제는 꼭 스스로 풀어본 뒤에 풀이를 봐야 해요. 문제 풀어볼게요~ 1. 조건제시법으로 표현된 집합의 원소를 구할 때 표를 그리면 편리합니다. 2. 3. 4. 서로 같은 집합의 다른 표현은 꼭 기억해야 합니다. 5. 부분집합의 개수를 구할 때는, 집합의 원소이거나 아니거나 모두 제외하고 부분집합의 개수를 구합니다. 6. 집합 X는 집합 A의 원소를 가지면서 집합 B의 부분집합입니다. 7. 홀수인 원소를 한 개 이상 가지려면, 홀수인 원소가 1개, 2개, 3개인 경우가 다 됩니다. 3가지 경우를 다 따져보는 것보다 모두 짝수인 원소를 가지는 경우를 구해서 전체 부분집합의 개수에서 빼는 것이 좋습니다. 8. 오늘 내용도 어렵지 않지요? 잘 몰랐던 문제는 반드시 여러 번 풀어서 완벽히 이해하고 기억해야 해요. 복습 잊지 마세요~^^

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"이제 그만 좀 놀아. 맘 놓고 노는 일은 끝났다구. " 학생들을 이해시키는 색다른 방법

여름 휴가철이 되면서 학원도 방학을 합니다. 학원 방학으로 하루, 또는 이틀의 학원 수업이 없으면, 학생들은 선생님과 거의 일주일 간 보지 않고, 학원에 일주일 간 발걸음을 딱 끊을 수 있는 허락된 휴식을 얻게 됩니다. 그럼 선생님은 학생들이 일주일 동안 공부를 탁 놓고 놀고 있을까 봐 걱정합니다. 그래서 휴일 전 시간에는 해야 할 진도도 미리 나가고, 학생들이 일주일 간 공부할 수 있도록 해야 할 과제를 내줍니다. 그리고 꼭 하는 한 마디는, "몰아서 하면 많아서 다 못 하니까, 내일부터 매일 나눠서 해야 해." 과제를 받으면서, 학생들은 볼멘소리를 합니다. "이게 무슨 방학이에요. ㅠㅠ" "방학은 놀라고 있는 게 아니고 부족한 공부도 채우면서 학기 중에 집중해서 하기 어려운 공부를 몰입해서 열심히 하라고 있는 거야." 이런 말까지 덧붙이면 학생들의 표정이 더 안 좋아집니다. "일주일 간 너무 놀고 있지는 말라는 거야. 하나도 공부 안 하고 있다가 다시 잡으려면 힘드니까 페이스 유

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근과 계수의 관계, 유형 문제 - 9문항, 고등수학(상)

이차방정식도 거의 끝나갑니다. 시작했다 하면 끝나지요? 공부를 하다 보면 시간이 빨리 갑니다. 공부를 안 하면 더 빨리 가는 것 같기도 합니다.^^ 이번에는 유형 문제를 여러 문항을 가지고 와 봤어요. 종이 가지고 와서 풀면서 공부해야 하는 것 알지요? 지금부터 문제 풀이 들어가 볼게요. 1. 근과 계수의 관계에서는 곱셈공식을 이용해야 하는 문제가 많습니다. 2. 이차식의 값을 물어보는 경우, 식에 대입하면 성립하니까 근을 식에 대입하여 이차식을 만든 다음 변형하여 식의 값을 구합니다. 3. 4. 근의 비를 주는 경우, 근을 비례에 맞춰 설정하여 답을 구합니다. 5. 절댓값이 같고 부호가 다른 근을 가질 때, 두 근의 합은 0, 두 근의 곱은 음수입니다. 6. 7. 8. 9. 이차방정식의 개념을 정확히 알고 있다면 어렵지 않습니다. 개념은 항상 백지 놓고 써 내려갈 수 있을 정도로 확실하게 알고 있어야 하는 것 알지요? 이번 내용도 꼭 복습하세요~^^ 문제 풀이 중 이해가 잘 안되는

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이차방정식 근과 계수의 관계, 개념 정리, 고1 수학

이번에는 고등수학 (상)에서 처음 나오는 내용이에요. 이차방정식의 두 근과 계수의 관계를 알아볼 건데요. 또 두 근의 합과 곱을 이용해서 이차방정식도 세워볼게요. 1. 이차방정식의 근과 계수의 관계 이차방정식에서 두 근을 직접 구하지 않고 두 근의 합과 곱을 구할 수 있습니다. 이를 이차방정식의 근과 계수의 관계라고 합니다. 이런 관계가 나오는 이유를 설명해 볼게요. 예> 2. 두 수를 근으로 가지는 이차방정식 예> 3. 이차식을 복소수 범위에서 인수분해하기. 이차식이 쉽게 인수분해가 되지 않는다면, 해를 알 때는 인수분해식으로 식을 세우면 됩니다. 지금까지는 실수 범위에서만 인수분해를 했는데 복소수 범위에서 인수분해를 해 볼게요. (1) 근의 공식으로 해를 구한다. (2) 인수분해식으로 식을 세운다. 예> 4. 이차식에서 켤레근 (1) a, b c가 유리수일 때, 와 (2) a, b, c가 실수일 때의 조건을 가질 때만 켤레근을 가지게 됩니다. 루트 앞, i 앞의 부호만 바뀝니다.

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고1 수학, 이차방정식 풀이, 유형 문제 - 8문항

고1 수학의 이차방정식의 문제를 풀어볼게요. 중3 수학에서 나오는 문제들은 다루지 않고, 새로 나오는 내용에 관련된 문제들만 다룰 거예요. 1 이차항의 계수가 무리수인 경우, 양변에 무리수가 없어지도록 곱합니다. 2. k 값과 관계없이 x=1을 근으로 가지므로 x=1을 대입하고 k( )+( )=0으로 정리해서 항등식의 성질을 이용합니다. 3. x의 값의 범위를 나누어서 x의 값을 구합니다. x의 값을 구해서 범위에 맞는지 확인해야 합니다. 4. 이차방정식 활용 문제 중 인상, 인하 문제는 원래 가격을 a를 설정하고 식을 세워야 합니다. 5. 실근을 가질 조건을 확인합니다. 6. 중근을 가질 조건은 D=0, 식이 완전제곱식, 이 조건을 확인합니다. 7. 8. 음수의 제곱근의 성질을 확인하고 판별식의 크기를 판단합니다. 이차방정식 풀이에서 자주 나오는 문제들을 풀어봤어요. 문제의 내용을 보면, 제곱근, 음수의 제곱근, 항등식 개념이 이용해 풀었어요. 이런 것을 보면 한 번 배운 개념은

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고1 수학, 이차방정식 풀이, 판별식

고1 수학의 이차방정식입니다. 중학교 3학년에서 배우는 개념에서 조금 추가되는 정도니까 매우 쉬워요. 중3에서 배운 내용은 자세히 설명하지 않고 넘어가고 고등수학(상)에서 새로 나오는 개념들 위주로 설명할게요. 1. 이차방정식 2. 이차방정식의 실근과 허근 (1) 실근 근이 실수인 근을 실근이라고 합니다. (2) 허근 근이 허수인 근을 허근이라고 합니다. .3. 이차방정식 풀이 (1) 인수분해를 이용한 풀이 (2) 근의 공식을 이용한 풀이 근의 공식 (2) 짝수 공식은 일차항의 계수가 짝수일 때 사용합니다. 근의 공식은 두 가지 모두 알고 있어야 계산이 쉽습니다. 4. 판별식 근의 공식에서 루트 안의 부호에 따라 실근을 가지는지 허근을 가지는지 판단할 수 있습니다. 5. 이차방정식의 근의 판별 6. 이차식이 완전제곱식이 되기 위한 조건 = 이차방정식의 해가 중근일 조건, 판별식 = 0 고1에서 새롭게 등장하는 개념을 정리해 봤어요. 중3 내용에서 조금 추가되는 정도라서 매우 쉽습니

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복소수 거듭제곱, 음수의 제곱근 유형 문제 - 6문항

이제까지 복소수 개념을 다 공부했어요. 이제 문제를 풀어서 아는 개념을 다져야 하겠지요? 집중하고, 문제들로 단원을 마무리해 봐요. 1. i는 주기성을 가지므로 네제곱까지의 합이 계속 반복됩니다. 50을 4로 나누어서 같은 값이 나오는 게 몇 개인지 파악합니다. 2. 3. 괄호 안을 먼저 계산한 뒤 식의 값을 구하는 게 편리합니다. i의 거듭제곱은 네제곱이 1이니까 네제곱으로 바꿔서 계산합니다. 4. 괄호 안을 먼저 계산합니다. 괄호 안의 식 계산은 3번에 있습니다.^^ 5. 음수의 제곱근의 계산은 루트 -1을 i로 바꿔서 계산합니다. 음수의 제곱근 성질이 나타나는 것 보이지요? 6. 음수의 제곱근의 성질을 알고 있으면 어렵지 않습니다. i의 거듭제곱과 음수의 제곱근 문제를 풀어봤어요. 어렵지 않지요? 여러 번 풀어서 숙지하세요. 복소수 단원을 마쳤으니 복소수 단원을 쭉 복습하면 좋을 것 같아요~^^

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i의 거듭제곱, 음수의 제곱근, 고등수학(상)

이제 복소수 단원도 거의 끝나갑니다. 허수를 처음 배웠을 때만 해도 낯설기만 했는데 금세 익숙해졌지요? 이번에는 i의 거듭제곱과 음수의 제곱근에 대해 설명해 볼게요. 집중해서 들을 준비가 되었나요? 1. i의 거듭제곱 i는 네제곱이 1이니까 다섯제곱은 또다시 i가 됩니다. i는 i, -1, -i, 1이 반복됩니다. i의 주기성이라고 합니다. i를 네제곱까지 더하면, 0입니다. i는 주기성을 가지므로 반복되므로 4개를 한 덩어리로 0의 값을 가집니다. 예> i의 거듭제곱은 네제곱이 1이니까 네제곱을 중심으로 간단하게 계산합니다. 2. 음수의 제곱근 음수의 제곱근의 성질을 설명한 내용입니다. 개념을 배울 땐 반드시 설명할 수 있을 정도로 이해하고, 기억해야 합니다. 이 내용도 함께 기억해야 합니다. 예> 음수의 제곱근의 성질에서 배운 대로 음수 부호가 생기는 것을 확인할 수 있습니다. 오늘 내용도 복습 잊지 마세요~^^ 차근차근 쌓아가는 게 중요한 거 알지요?

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복소수 성질, 연산 유형 문제-6문항, 고등수학(상)

이번에는 저번에 공부한 복소수의 개념이 문제에서 어떻게 활용되는지 알아볼 거예요. 개념 복습을 잘 했겠지요? 배운 내용을 떠올리면서 문제 풀어볼게요. 1. 문제에서 이차 이상의 다항식의 값을 구하는 문제는 절대 그냥 대입하지 않습니다. 허수만 남겨놓고 이항 양변 제곱 간단히 만든 뒤 문제에서 원하는 값에 따라 변형해서 식의 값 구하기. 2. 복소수가 실수가 되기 위한 조건은 허수 부분이 0 복소수가 순허수가 되기 위한 조건은 실수 부분이 0, 허수 부분이 0이 아니어야 합니다. 3. 4. 5. 켤레복소수와 원래 수가 같으면 실수입니다. 이 문제에서는 복소수가 0이 아니라고 했으니까 0이 아닌 실수입니다. 6. z=a+bi로 놓고 대입한다는 것만 기억하면 어렵지 않은 문제입니다. 오늘도 어렵지 않지요? 알면 쉽고 모르면 어려우니까, 그냥 알아가면 쉬워질 거예요~^^

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복소수 연산, 켤레복소수 성질, 고1수학

지난번에 복소수에 관해 배웠었지요? 이번엔 복소수의 연산에 대해 배워볼게요. 1. 복소수의 사칙연산 복소수의 덧셈과 뺄셈 덧셈과 뺄셈은 동류항의 계산과 같다고 생각하면 됩니다. 실수 부분은 실수 부분끼리, 허수 부분은 허수 부분끼리 계산하면 됩니다. 예> (2+3i)+(3+5i)=5+8i (2+3i)-(3+5i)=-1-2i 복소수의 곱셈과 나눗셈 곱셈은 분배법칙으로 전개한 뒤 i의 제곱이 -1인 것을 이용해서 계산합니다. 나눗셈은 분자, 분모에 분모의 켤레복소수를 곱하여 계산합니다. (분모의 실수화) 예> 2. 복소수의 연산의 성질 실수와 마찬가지로 덧셈과 뺄셈에서는 교환법칙, 결합법칙, 분배법칙이 성립합니다. 교환법칙 결합법칙 분배법칙 3. 켤레복소수의 성질 켤레복소수의 성질은 잘 알고 있어야 합니다.^^ 오늘도 복습 잊지 마세요~^^

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고1 수학, 복소수 개념, 복소수의 뜻

중학교 때까지는 수의 체계를 실수까지 확장해서 배웠습니다. 고등학교로 올라가면 실수를 넘어서 수가 확장됩니다. 새로운 수가 등장하는데요. 그 새 친구를 오늘 만나볼게요. 1. 허수단위 i 중3-1에서는 제곱해서 음수가 되는 수는 없다고 배웠었지요. 이번에는 제곱해서 음수가 되는 수가 있다는 겁니다. 실수처럼 실존하는 수가 아니고 수학적인 필요에 의해 만든 수입니다. 제곱해서 -1인 새로운 수를 i라고 하고, 이때 i를 허수 단위라 합니다. 2. 복소수 임의의 실수 a, b에 대하여 ax+bi로 나타낼 수 있는 수를 복소수라 하고, 이때 a를 실수 부분, b를 허수 부분이라고 합니다. ax+bi로 나타낼 수 있는 수 중 b가 0이 아닌 수를 허수, 허수 중 a가 0인 수를 순허수라 합니다. 예> 5-6i의 실수 부분은 5, 허수 부분은 -6 복소수의 분류 복소수의 분류에서 실수가 되기 위한 조건, 순허수가 되기 위한 조건을 꼭 기억해야 합니다. 3. 복소수가 서로 같을 조건 두 복소수

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수 계산의 모든 것 - 곱셈공식, 인수분해, 나머지정리를 활용한 수 계산

이번에는 수 계산을 모두 가져왔어요. 이제까지 배운 곱셈공식과 인수분해, 나머지정리를 이용해 수를 계산해 볼게요. 이제 그냥 계산하지 말자구요. 수 계산 1. 한 숫자를 중심으로 식 쓰기 2. 분수는 약분된다는 것을 생각하기. 이 내용을 생각하면서 문제를 풀어볼게요. 1. 합창 공식인데 앞에 (2-1)을 추가해 줍니다. (2-1)을 식의 값은 변하지 않으니까 그냥 곱셈공식을 이용해서 답을 구하면 됩니다. 2. 1015를 x로 치환합니다. 분자와 분모가 서로 약분이 되는 게 보이지요? 3. 1000을 x로 치환합니다. x=2를 대입해서 나머지를 구하고, 다시 x=1000을 대입합니다. 대입하고 보니까 나누는 수는 998인데 나머지가 2048입니다. 나머지가 나누는 수보다 더 크지요? 이런 경우 더 나눌 수 있으니까 나누는 수를 몫에 주어야 합니다. 2048=998×2+52 이므로 몫에 2를 주고 나머지는 52입니다. 4. x=97로 치환합니다. 치환 후 x=-1을 대입해서 R을 구한

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수학 공부를 할 때, 유형 문제집의 유형별 힌트를 보면 안 되는 이유

학생들이 수학 공부를 할 때, 개념서와 유형 문제집으로 공부하는 게 일반적입니다. 개념서로 개념을 배우고 유형 문제집의 문제를 풀면서 이해를 하는 거지요. 보통 유형 문제집을 과제로 내는데 과제 검사를 할 때 보면, 학생들이 문제지 위 또는 옆에 나온 힌트를 보고 따라서 푸는 경우가 있어요. 그런 과제를 보면, 이렇게 물어봅니다. "이 문제를 왜 이렇게 푸는 건지 아니?" 그럼 대부분의 학생들은 이렇게 대답합니다. "위에 나온 공식 보고 풀었는데, 답은 맞는데요." 이렇게 문제를 푸는 것이 괜찮을까요? 이런 경우 학생들에게 단호하게 말합니다. "문제집에 나온 어떤 힌트도 보지 말고 풀고, 특히 유형서에 나온 내용 보고 따라서 풀지 마." 2-2 닮음 문제 중 하나입니다. 보통 이런 식으로 힌트를 주고 같은 유형들의 문제들이 나옵니다. 이런 내용을 보고 학생들이 따라서 문제를 푸는 거지요. 위 힌트의 내용이 틀린 건 아닙니다. 닮음인 삼각형을 찾아서 닮음비를 구하고 비례식을 세운 거니

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고1 수학, 인수분해 문제 유형, 상세 설명, 이것만 알면 쉬워져요.

지난번에 인수분해를 쉽게 할 수 있는 법에 관해 알아봤어요. 인수분해를 하는 여러 가지 유형들을 알아야 한다고 했었지요? 이번에는 유형 문제들을 풀어볼게요. 1. 인수분해 공식 곱셈공식을 외우고 있으면 따로 외울 필요는 없다고 했지요? 그러나, 문제는 풀어봐야 해요. 어떻게 사용해야 되는지 충분히 연습이 되어야 문제를 풀 때 빨리 생각이 나겠지요. 인수분해 공식을 사용해서 인수분해하는 문제들입니다. 자, 종이 놓고 인수분해 해 보고 맞는지 확인해 볼게요. 꼭 혼자 해보고 답 확인해야 해요. 1. 2. 맞는지 꼭 확인하고, 틀렸다면 왜 틀렸는지 꼭 확인하세요~^^ 2. 공통부분이 있는 인수분해 공통부분이 있으면 치환해서 인수분해 합니다. 인수분해는 공통인수가 있으면 꼭 괄호 밖으로 묶어내야 합니다. 맨 아래에 보면 공통인수 묶어낸 거 보이지요? 인수분해는 끝까지 해야 하는 거 잊지 마세요. 3. 복이차식의 인수분해 복이차식은 x 제곱과, x네 제곱으로 이루어진 식, 즉 x 제곱을 치환

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고1 수학, 인수분해, 인수분해가 쉬워지려면?

이번에는 고등수학(상)의 인수분해를 배워볼게요. 중3-1에서 이미 인수분해를 배웠는데, 고1로 올라가면서 내용이 많아집니다. 인수분해의 개념을 다시 복습해 보고, 새로 추가된 내용도 공부해 볼게요. 중3-1에서의 인수분해를 복습해 보고 공부하면 이해가 좀 더 쉬울 거예요. 아래 링크 남겨 놓을 테니 보고 점검해 봐도 좋을 것 같습니다. https://m.blog.naver.com/matina76/223072031941 중3 학교 시험을 잘 보기 위해 인수분해를 잘 하는 방법-인수분해의 기본 인수분해를 어려워하는 학생들이 많지요. 인수분해는 처음에는 좀 어려워도 공부해서 알고 나면 어느 정도 ... m.blog.naver.com 1. 인수분해 인수분해는 하나의 다항식을 두 개 이상의 다항식의 곱으로 나타내는 것입니다. 곱을 이루는 각각의 다항식을 인수라고 합니다. 예> 30=1×30=2×15=2×3×5 30은 위와 같이 여러 가지 곱으로 나타낼 수 있습니다. 각각 곱해진 수 1, 30

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수학 공부에서 문제의 양과 공부의 질, 어느 쪽이 중요할까?

학생들은 수학 공부를 해야 한다는 건 잘 알지만, 막상 수학 교재를 펴면, 막막해합니다. 하얀 건 종이고, 까만 건 글씨인데, 분명 한국말로 쓰여 있는데 알아들을 수가 없지요. 처음 접하는 수학의 언어는 외계어처럼 느껴집니다. 하나하나 언어를 알아가는 것도 어려운데, 시간은 없는 것 같고, 해야 할 건 많은 것 같아서 답답해합니다. 그럴 때, 문제를 많이 풀어야 할 것 같은 기분에 쫓기듯 문제의 양, 교재의 진도를 많이 빼는 것에 집착하기도 합니다. 이럴 때 고민은 이런 겁니다. 문제를 양적으로 많이 푸는 게 좋을까? VS 양은 적더라도 질적으로 완벽하게 이해를 하는 게 좋을까? 둘 다 중요하긴 합니다. 1. 수학은 문제의 무조건 양이지. 많이 풀면 속도가 붙으니까 시험시간 내에 풀지 못하는 걸 방지할 수 있고, 속도가 붙으면 이해할 수 있는 문제의 양을 늘려가는 효과가 있습니다. 반면 대충 넘어가다 보면 제대로 정확히 알고 넘어가야 하는 부분을 놓칠 수 있어서 몰랐던 유형을 계속

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나머지정리, 인수정리, 유형별 문제 풀이, 고등수학(상)

지난번에 나머지정리와 인수정리의 개념을 설명했었어요. 개념은 정말 간단했었지요? 그런데 여러분들이 나머지정리를 어려워하는 이유는, 문제의 유형이 다양하기 때문입니다. 여러분의 어려움을 해결해 드립니다. 나머지정리의 유형 정리는 이걸로 끝낸다!!! 이번 내용을 보고 공부하면 나머지정리가 쉬워질 거예요. 개념 기억하지요? 개념을 공부하지 않은 학생들은 링크 남겨놓을 테니 보고 공부한 뒤 유형 문제를 공부해야 해요. https://m.blog.naver.com/matina76/223155755478 나머지정리, 인수정리, 쉬운 개념 설명, 고1 수학 고등수학(상)을 처음 배우는 학생들이, 처음으로 수(상)이 어렵다고 느끼는 단원이 바로 나머지정리인 것 ... m.blog.naver.com 이제 문제 풀이 들어가 볼게요. 1. f(x)+g(x), f(x)-g(x)를 x-2로 나눈 나머지를 조건으로 주었으므로, x=2를 대입해서 식을 세웠습니다. 그리고 위와 같이 연립해서 f(2)와 g(2)

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나머지정리, 인수정리, 쉬운 개념 설명, 고1 수학

고등수학(상)을 처음 배우는 학생들이, 처음으로 수(상)이 어렵다고 느끼는 단원이 바로 나머지정리인 것 같습니다. 그전까지는 할 만하다고 생각하다가, 이 부분을 배울 때부터 어렵다고 생각하는 것 같아요. 사실 잘만 정리하면 전혀 어려운 내용이 아니거든요. 처음 배울 때 개념을 잘 잡으면 어렵지 않으니 쉽게 설명을 해볼게요. 1. 나머지정리의 개념은 정말 간단합니다. 예> 나머지 R는 x-2=0의 x 값인 x=2를 대입한 값입니다. 이게 나머지정리입니다. 일반화하면, 나머지정리의 개념은 이게 끝입니다. 나머지정리의 개념은, 다항식의 나눗셈, 항등식의 성질만 이해하고 있으면 바로 이해가 될 거예요. 예> (일차식)=0의 x 값을 다항식에 대입하면 간단하게 나머지를 구할 수 있습니다. 2. 인수정리의 개념은 더 간단합니다. 나머지정리에서 나머지가 0일 때만 인수정리라고 합니다. 모두 같은 표현 예> 나머지정리와 인수정리의 개념은 이게 끝입니다. 간단하지요? 그런데, 이렇게 간단한 걸 학생

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수학 공부할 때, 선생님한테 효과적으로 질문하는 법

학생들은 모르는 문제가 나오면 선생님한테 질문을 합니다. "이 문제 모르겠어요." "이 문제 질문이요." 이렇게 물어보고, 그 문제를 풀어주면 받아 적고 그냥 받아들이고, 넘어갑니다. 그럼, 가르치는 선생님의 입장에서 많이 아쉬운 맘이 듭니다. '질문을 좀 더 적극적으로, 효과적으로 할 수도 있을 텐데.' '공부를 제대로 한다면 질문을 저렇게 하지는 않을 텐데.' 그래서 어떻게 공부를 제대로 하고, 질문을 어떤 식으로 하고, 선생님의 설명을 어떻게 들어야 하는지에 대해 이야기해 보려고 합니다. 질문의 수준을 보면, 학생의 수준을 알 수 있습니다. 지금 수학 실력이 좋지 않더라도, 공부를 대하는 태도도 여실히 드러납니다. 잘 모르겠어요, 정도의 질문은 고민의 흔적이 전혀 보이지 않는 질문입니다. 공부를 제대로 하고 내 공부에 도움이 되게끔 물어보려면, 질문의 내용이 구체적이어야 합니다. 예를 들면, 이 문제를 여기까지 풀어봤는데 이 이후에 어떻게 손을 대야 할지 모르겠어요. 또는, 저

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항등식, 잘 나오는 유형 문제 풀이, 고등수학(상)

이번에는 항등식 문제들 중에서 다루지 않은 문제 유형들을 풀어볼 거예요. 항등식에서 잘 나오는 유형들입니다. 개념이 어렵지 않으니까 잘 보고 풀어보면 어렵지 않을 거예요. 1. 연산을 정의한 문제는, 문제에서 정의한 대로 써주면 됩니다. 임의의 실수 p, q는 모든 실수 p, q에 대해 항등식이라는 뜻입니다. 2. 좌변이 삼차식이고 삼차항의 계수가 1이면, 우변에서 나누는 식이 이차식이고 이차항의 계수가 1이니까 몫인 Q(x)는 일차항의 계수가 1인 일차식입니다. Q(x)=x+c로 설정하고 전개해서 계수 비교하면 됩니다. 3. 적당한 수를 대입해서 항을 줄여서 원하는 값을 구하면 됩니다. 4. k 값과 관계없이 항상 성립, k가 어떤 값이 되든지 항등식이라는 뜻입니다. k( )+( )=0의 꼴로 정리합니다. 항등식이므로 ( ) 안의 식이 0입니다 5. 모든 실수 x, y에 대하여 등식이 성립한다는 건, x, y가 어떤 값이든 항등식이라는 뜻입니다. 미지수가 두 개이므로, 한 문자에

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수학 공부에서 개념 공부는 어느 정도 해야 했다고 할 수 있을까?

수학 공부는 학년이 올라가면 점점 난이도도 올라가고, 학생들이 배워야 하는 양도 많아집니다. 고등수학을 공부하는 학생들은 알아야 할 게 많아서, 너무 힘들고 어렵다고 한숨을 쉬지요. 학생들은 귀찮고 힘드니까 대충 문제를 풀 수 있을 만큼 개념을 기억하고, 지나면 잊어버리고, 나중에 또 모르면 선생님한테 또 물어보고, 그 순간이 지나고 다른 내용을 배우면 또 잊어버립니다. 어떻게 보면 잊어버리고 다시 배우고 또 잊어버리고 배우는 과정이 자연스러운 것일 수도 있습니다. 인간은 망각의 동물이니까요. 그런데, 안 그래도 수학이 점점 어려워지고 양도 많아지는데 학생은 계속 까먹고 되살리기를 반복하고 있다면 답답한 노릇이 아닐 수 없지요. 그런데 잊지 않을 수 없다면, 제대로 공부했다가 잊은 것을 제대로 되살린다면, 이 망각의 비효율을 줄일 수 있지 않을까요? 개념 공부는 어느 정도 해야 제대로 한 것일까? - 한 단원을 배웠다면, 그 단원에 나온 내용을 백지에 다 쓰고 설명할 수 있을 정도

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집합의 연산, 개념 설명, 고1 수학

이번에는 집합의 연산에 관해 공부해 볼게요. 오늘도 새로운 용어가 많이 나오니까 다 구분해서 알고 있어야 해요. 언제나 처음 배우는 내용은 정의를 정확히 알아야 합니다. 1. 합집합과 교집합 (1) 합집합 두 집합 A B에 대하여 A의 원소이거나 B의 원소인 모든 원소로 이루어진 집합. A와 B의 합집합이라 합니다. (2) 교집합 두 집합 A, B에 대하여 A의 원소이고 B의 원소인 모든 원소로 이루어진 집합. A와 B의 교집합이라 합니다. 예> (3) 서로소 두 집합 A, B에서 공통인 원소가 하나도 없을 때, A와 B는 서로소라고 합니다. 예> 2. 합집합과 교집합의 성질 벤다이어그램을 그려보지 않아도, 합집합과 교집합의 정의를 알고 있으면 금방 이해할 수 있는 내용입니다. 보고 이해하고 짚고 넘어가면 됩니다. 3. 여집합과 차집합 (1) 전체집합 어떤 집합에 대하여 그 부분집합을 생각할 때, 처음에 주어진 집합을 전체집합이라 합니다. 기호로는 보통 U로 나타냅니다. (2) 여집

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조립제법을 연속으로 이용하는 항등식, 항등식에서 계수의 합 구하기, 고1 수학

지난번 포스팅에서 항등식과 미정계수법, 다항식의 나눗셈에서 항등식의 성질이 어떻게 활용되는지에 대해 배웠지요? 이번에는 항등식 단원에서 학생들이 유난히 어려워하는 문제 유형을 따로 가져와봤어요. 따로 자세하게 설명해 볼 건데, 한꺼번에 개념을 배우면서 같이 배우는 것보다 요렇게 따로 이것만 배우는 게 훨씬 이해가 잘될 거예요 그럼 이제 들어가 볼게요~ 먼저, 첫 번째 유형입니다. 다항식의 나눗셈에서 나누는 식이 일차식일 때, 나누는 방법이 있었지요? 바로 조립제법, 이 조립제법을 연속으로 사용하여 푸는 문제 유형을 설명해 볼게요. x-a에 대한 내림차순 문제, x-a에 대해 내림차순 문제는 x-a로 나누는 조립제법을 연속으로 사용합니다. 1. 일차식 x-2로 나누어지니까 조립제법으로 나누어서 나온 결과를 정리하고, 정리한 식에서 몫을 다시 나누고, 나온 결과를 또 정리하고, 정리한 식에서 나온 몫을 다시 나누어줍니다. 나눈 부분을 색깔로 표시했으니 보면 알 수 있습니다. 결과적으로

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집합의 포함관계, 고등수학(하)

지난번 포스팅에서 집합에서 나오는 용어에 대해 공부했어요. 머릿속에 용어들 잘 정리되어 있지요? 이제 본격적으로 집합에 대해 들어가 볼게요. 1. 부분집합 두 집합 A, B에 대하여 A의 모든 원소가 B의 원소일 때, A를 B의 부분집합이라 합니다. 부분집합을 문제에서 표현할 때, 위와 같이 표현하기도 합니다. 기억해두세요. 부분집합을 표현하는 기호도 알아야지요. 부분집합의 성질 세 집합 A B, C에 대하여, 부분집합에서, 공집합은 모든 집합의 부분집합이고, 모든 집합은 자기 자신의 부분집합입니다. 위의 성질들은 꼭 기억해야 합니다. 예> 두 집합 A={1, 2}, B={1, 2, 3, 4}에서, (1) 집합 A의 모든 원소 1, 2가 집합 B의 원소이므로, A는 B의 부분집합입니다. (2) 집합 B의 원소 중 3, 4가 집합 A의 원소가 아니니까, B는 A의 부분집합이 아닙니다. 2. 서로 같은 집합 두 집합 A, B의 모든 원소가 같을 때, 'A, B는 서로 같다'라고 합니다

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항등식과 미정계수법, 고1 수학

이번에는 고등수학(상) 항등식에 대해 공부해 볼게요. 1. 항등식과 방정식 (1) 항등식 항상 등식이 성립하는 식. (2) 방정식 문자에 특정한 값을 대입했을 때에만 성립하는 식. 예> 2. 항등식의 여러 가지 표현 문제에서 항등식을 의미하는 여러 가지 표현들이 있는데요. 그 표현을 알고 있으면, 문제의 의미를 파악하기가 훨씬 쉽겠지요? (1) x의 값에 관계없이 (2) 모든 x 값에 대하여 (3) 임의의 x에 대하여 (4) 어떤 x의 값에 대하여서도 이런 말이 있으면서 항상 성립하는 등식이라고 하면, 항등식이라는 의미입니다. 3. 항등식의 성질 x 값에 관계없이 항등식이 되어야 하므로 양변의 동류항의 계수와 상수항이 같아야 합니다. 4. 미정계수법 (1) 계수 비교법 항등식의 동류항은 모두 같으므로, 양변의 동류항의 계수를 비교하여 미정계수를 정하는 법. (2) 수치 대입법 항등식은 문자에 어떤 값을 대입해도 성립하므로, 문자에 적당한 수를 대입하여 미정계수를 정하는 법. 예> 계

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집합의 뜻과 표현, 고1 수학

이번에는 수학 (하) 첫 단원 집합에 대해 설명할 건데요. 처음 배우는 내용인 만큼 개념을 잘 잡을 수 있도록 상세 설명해 보도록 할게요. 먼저 집합 단원에서 나오는 용어를 정확히 아는 것부터 시작할게요. 1. 집합과 원소 집합 - 주어진 조건에 의하여 그 대상을 명확하게 결정할 수 있는 모임. 예 > 5 이하의 자연수의 모임 : 1, 2, 3, 4, 5로 그 대상이 명확하게 결정됩니다. (집합) 큰 수의 모임 : 얼마나 큰 수인지 기준이 명확하지 않습니다. (집합이 아니다.) 원소 - 집합을 이루는 대상 하나하나. 위에서 5 이하의 자연수의 모임인 집합에서 그 대상인 1, 2, 3, 4, 5는 집합의 원소입니다. 집합과 원소의 관계 일반적으로 집합은 A, B, C... 와 같이 알파벳 대문자로 표현합니다. 집합의 원소는 a, b, c... 와 같이 알파벳 소문자로 나타냅니다. a는 A의 원소이다. b는 A의 원소가 아니다. 이렇게 표현합니다. 2. 집합의 표현 방법 원소나열법 -

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다항식의 나눗셈, 잘 나오는 유형 문제 풀이, 고1 수학

이번 포스팅에서는 다항식의 나눗셈에서 많이 나오는 유형의 문제들을 풀어볼게요. 단순하게 다항식을 나누는 문제는 제외했습니다. 1. 직사각형의 넓이는 (가로)×(세로)이므로, 넓이에서 가로의 길이를 나누면 됩니다. 2. 다항식 A, B를 구하고, xA+B를 계산한 뒤 나누어서 몫과 나머지를 구하면 됩니다. 차근차근 문제에서 하라고 하는 대로 풀면 어렵지 않습니다. 3. 조립제법을 할 수 있으면 어렵지 않게 풀 수 있습니다. 순서대로 a, b, c, d의 값을 구해서 다항식 f(x)를 구하고 f(-1)을 구하면 됩니다. 단순 연산을 제외하고 문제를 풀어봤는데, 내용이 어렵지 않다 보니, 이 문제들도 단순 계산과 다르지 않아 보이네요. 어렵지 않은 내용이니까 보고 공부하면 잘 이해할 수 있을 거예요. 오늘도 이 세상에 수포자가 다 사라지길 바라는 마음으로 포스팅을 했어요. 또 만나요~^^

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다항식의 나눗셈, 다항식 f(x)를 x-b/a로 나눌 때와 ax-b로 나눌 때, 몫과 나머지, 고등수학(상)

다항식의 나눗셈과 조립제법을 사용하는 법을 배웠는데요. 다항식 f(x)를 x-2/3로 나눌 때와 3x-2로 나눌 때 조립제법에서 똑같이 x-2/3=0, 3x-2=0이 되는 x=2/3로 나눕니다. 그럼 두 경우 나누는 식이 분명 다른데 몫과 나머지가 같을까요? 문제를 보면서 설명해 볼게요. 1. 나누는 식이 ×3이 되었으니 몫은 ÷3이 되어야 식의 값이 변하지 않습니다. 나머지는 두 경우 모두 같습니다. 2. 나누는 식이 ÷ a가 되었으니 몫은 × a가 되어야 식의 값이 같습니다. 3. 나누는 식이 ×2, 몫은 ÷2가 되어야 식의 값이 변하지 않습니다. 4. 난이도가 조금 높아졌습니다. 양변에 × x를 하니까 나머지에도 x가 생겼지요? 이런 경우 모든 항을 다 나누어서 몫과 나머지를 구해야 합니다. Rx도 2x-1로 나누어야 합니다. 위에서 배운 대로 나누는 식이 ×2, 몫은 ÷2, Rx는 나누는 식 2x-1을 넣어주고 x는 ÷2, 나머지는 식을 변형했을 때 없던 항이 생기니까 식의

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고등수학(상), 공식처럼 추가로 외워두면 좋은 공식

공부를 하다 보면, 암기하지 않아도, 이해를 하고 있다면, 유도해서 풀면 풀 수는 있지만, 외워두면 빨리 풀 수 있는 내용들이 있지요. 이번 포스팅에서는, 공식은 아니지만, 공식처럼 외우면 좋은 공식을 배워볼게요. 먼저 문제를 풀면서 설명해 볼게요. 1. 네모 박스에 있는 식은 공식은, 아니지만 외워두면 편리합니다. 바로 위에 이 식이 나오는 과정을 설명해놓았으니 보고 이해하면 됩니다. 과정을 이해해야 혹시 잊어버려도 풀 수 있겠지요? 2, 네제곱의 합을 구하는 문제입니다. 알고 있는 곱셈공식을 잘 활용하면 어렵지 않습니다. 구하려는 식을 보면서 차근차근 순차적으로 필요한 식의 값을 구하면 됩니다. 중간에 보면 위에서 배운 공식이 사용된 게 보이지요? 외워두면 문제를 풀다가 유도하지 않아도 되니까 편리합니다. 오늘 배운 내용을 꼭 기억해놨다가 활용하세요~^^ 언제나 여러분의 공부에 도움이 되었으면 합니다.^^

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고1 수학, 다항식의 연산, 유형별 문제 풀이

지난 포스팅에 고등수학(상) 1단원의 개념 정리와 곱셈공식과 변형 공식에 대해 설명했어요. 다항식의 연산 단원에서 나오는 유형 문제들을 풀어볼까요? 눈으로만 보면 안 되는 거 알지요? 종이 준비하고, 문제 풀 준비했지요? 문제를 먼저 풀어본 뒤 풀이를 봐야 해요. 곱셈공식을 외우고 문제에 적용하면 되는 문제들은 다루지 않을 거고, 혼자 풀 때 어려움이 있어서, 선생님의 도움이 필요할 것 같은 문제, 즉, 꼭 알아야 하는 유형 문제 위주로 풀이해 볼게요. 연필 들었지요? 1. 다항식의 계산에서도 중2에서 배운 연립방정식 풀이와 마찬가지로 더하거나 빼서 한 문자를 소거합니다. 이 문제에서는 먼저 빼서 A를 소거해서 B를 구한 뒤, B를 대입해서 A를 구했습니다 2. 계수를 구하는 문제는, 다 전개하지 않고 곱해서 나오는 항의 계수만 계산합니다. 이 문제는 완전제곱식이므로 같은 식을 두 번 곱한 것이니 알아보기 쉽게 하기 위해 같은 식을 나란히 적어서 계수를 구합니다. 3. 곱셈공식은 암

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수학 선행학습을 반드시 해야 할까? 언제부터, 얼마나 해야 할까?

"우리 아이는 제 학년 것도 잘 못하는데 선행은 못 할 것 같아요." "어릴 때부터 선행학습을 하는 건 너무 가혹한 것 같아요.ㅠㅠ" 아이가 어릴 때 공부하면서 학원에 있기보다, 공부 말고 많은 걸 경험했으면 하는 맘이 들기도 하고, 꼭 그렇게 일찍부터 공부를 시켜야 하나, 이럼 맘이 드실 거예요. 그런데 주위에서 초등생인데, 수1까지, 미적분까지 하고 있다는 말이 들려오면, 마음이 불편해지지요. 대학 입시에 수학이 중요하다는데, 그래도 이과 계열로 공부를 하려면 해야 하는 양이 많다는데, 나 때는 학원 안 다녀도, 선행 안 해도 괜찮았어. 이런 생각들로 마음이 복잡해집니다 선행을 해야 할까요, 하지 말아야 할까요? 언제부터 선행학습을 하는 게 좋을까요? 얼마만큼의 앞 과정까지 공부하는 게 좋을까요? 이런 부분은 부모님의 선택이고, 정답은 없습니다. 다만 현장에서 많은 아이들을 가르쳐보고 느낀 제 생각을 말씀드려볼게요. 일반적으로, 학생이 매우 특출나지 않은 경우, 초등 저학년 때부

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반드시 외워야 하는 곱셈공식 9개, 변형 6개

고등수학(상)에서 반드시 암기해야 할 곱셈공식과 변형 공식을 가져왔어요. 고등수학(상)에 새롭게 나오는 공식만 다룰 건데요. 3-1에서 배우는 공식은 아래 링크 넣어놓을 테니 보고 공부하면 됩니다. 곱셈공식 외워야 할 곱셈공식은 모두 9개입니다. (1), (3) 번은 하나만 외우고 두 번째는 부호만 바꾸면 됩니다. (4) 번도 하나를 외우고 두 번째 식은 부호를 바꾸는 게 쉽습니다. 곱셈공식 변형 공식은 위의 곱셈공식을 공통인수로 묶어내거나 이항을 해서 만들어진 것이니 전개를 하면 곱셈공식이 됩니다. 이항만 하면 나오는 공식은 제외했고, 꼭 외워야만 하는 공식들만 적어봤어요. 곱셈공식 변형 곱셈공식의 변형도 3-1에 있는 공식은 제외했고, 곱셈공식을 이항만 하면 되는 정도의 공식은 뺐어요. 반드시 외워야 하는 공식 위주로 적어봤어요. (1) 번은 사실 다 같은 공식입니다. 그러나 자주 나오는 공식이므로 모두 외워두는 것이 편리합니다. (3) 번은, 같은 공식으로 부호만 바꾼 아래

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수학 공부에서 자신감이 중요한 이유

학생들은 대부분 수학을 싫어하고, 어려워합니다. 그리고 그런 학생들은 수학을 무서워합니다. 수학은 그냥 수학일 뿐인데 왜 무서워할까요? 스스로 수학은 어려우니까 못 하니까 싫고, 너무 싫으니까 피하게 되고, 피하면 더 못 하고... 이런 악순환이 반복되니까 그런 것 같습니다. 수학을 잘 하려면 꾸준히 열심히 하는 시간이 필요합니다. 개념을 배우고 틀리고 다시 푸는 지루한 과정을 거쳐야 합니다. 그런데 틀리고 모르면 적극적으로 알려는 노력을 하면 좋을 텐데, 학생은 가만히 붙들고만 있습니다. 질문을 해야 한다고 말해도 소용이 없어서 결국은 선생님이 학생이 붙들고 있는 문제들을 보면서 하나하나 물어보는 수밖에 없습니다. 싫고 무서운 걸 붙들고 있어야 한다고 생각하면 얼마나 힘들까요? 수학이 좋아지면 가장 좋겠지만, 그러긴 쉽지 않으니까 어떻게 하면 수학이 할 만하게 할까? 이게 항상 고민이 됩니다. 그런 학생들은 수학에 대한 자신감이 없습니다. 난 해도 안 될 거라는 생각을 가지고 있는

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시험을 앞두고 공부할 건 많고, 해놓은 건 없는데 시간이 없을 때, 해야 할 것 - 수학

시험을 잘 보려면, 미리미리 평소에 공부를 제대로 해서, 계획대로 착착 진행해서 시험 때 완벽한 준비와 컨디션을 가지고 시험을 봐서 좋은 성적을 받는다면, 그보다 좋은 건 없겠지요. 그러나, 모든 일은 언제나 계획대로 되지 않고, 내 맘 같지 않지요. 마음은 미리 열심히 공부하려 했으나, 여러 가지 상황이 생기고, 마음과 달리 즐겁고 좋은 것을 조금만 하면서 시간을 보내려 했는데 어느새 시간이 그냥 가버리는 일이 많지요. 정신 차리고 보니 시험이 일주일 앞으로 다가와 있는 경험 많이 겪어봤을 거예요. 지금도 그런 상황에 있는 학생들도 있을 거예요. 그럼 정신이 아득해지면서, 앞이 캄캄하지요, 망했다!!! 이번 시험은 이미 망한 것 같아요.ㅠㅠ 학생들은 이런 말로 걱정을 합니다. 그럼 이미 늦었으니 포기해야 할까요? 위기를 만났을 때 가장 중요한 건, 흔들리지 않는 마음, 멘탈입니다. 가장 먼저 흔들리는 멘탈부터 부여잡고, '당황하지 말고, 정신 똑바로 차려야 해' 이렇게 마음부터 단

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학생의 수면시간과 공부, 잠을 어느 정도 자는 게 적당할까?

시험 때 학생들은 공부를 하러 스터디 카페를 가서 밤을 새우기로 했다고 하고, 어제 공부를 하느라 새벽 5시에 잠을 자서 3시간밖에 못 잤다고 하기도 합니다, 잠이 부족한 학생들은 수업 시간에 꾸벅꾸벅 졸아서 선생님이 계속 깨우면, 너무 졸리니까 흔들흔들 몸을 움직이기도 하고, 일어서서 문제를 풀기도 하지요. 어떤 학생들은 카페인 음료를 너무 많이 먹기도 해서 선생님이 많이 먹지 말라고 주의를 주는 상황이 됩니다. 잠 때문에 거의 전쟁인 것 같습니다. 그런데 학생들은 열심히 공부를 하겠다는 마음으로 잠을 줄이면서 공부를 하는데, 선생님의 눈으로 보면, 참 안타깝게 보일 때가 많습니다. 잠을 못 자서 반쯤 자고 있는 정신 상태로 하고 있는 공부가 과연 머릿속에 들어갈까? 집중은 되니? 저렇게 하면 몸은 힘들고 공부는 효율적이지 못할 텐데. 이번에는 수면시간과 공부의 효율에 대해 이야기를 해볼까 합니다. 잠이 부족할 때의 문제점 1. 공부를 하는 것도, 잠을 자는 것도 아니면서 피곤하

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수학 문제의 오답 풀이를 할 때 정답지의 해설을 보는 게 공부에 도움이 될까?

보통은 수학 문제를 풀고 틀린 문제를 다시 풀면서 모르는 문제는 선생님한테 질문을 하고, 설명을 듣습니다. 학생들은 문제가 너무 어려워서 손도 못 대는 경우, 답답한 마음에 선생님한테 다 질문을 하거나, 그럴 수 없는 경우 정답지에 있는 해설을 보고 싶은 마음이 듭니다. 그리고 아예 몰라서 못 풀 바엔 해설을 보고 푸는 방법을 배워서 문제를 푸는 게 훨씬 낫지 않을까? 이런 생각이 들기도 합니다. 모르는 문제를 해설을 보고 공부하는 게 도움이 될까요? 해설을 보는 건 잘 활용하면 약이고, 잘못 쓰면 독입니다. 절대 답을 보면 안 되는 경우 문제에 손을 못 댈 때, 개념을 공부하고 문제를 푸는 단계일 때. 심화문제지가 아닌 문제지를 풀 때, 문제에 손을 못 대겠다면, 개념 공부가 덜 되어있는 경우입니다. 개념으로 돌아와서 다시 개념 정리를 하고, 알고 있는 내용을 문제에서 어떻게 활용할지 고민해야 합니다. 처음부터 해설이나 문제의 힌트를 보고 문제를 풀면, 답지에 의존해서 문제를

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집중력을 유지하면서 공부하는 법.

"선생님, 집중력이 바닥나서 집중이 안 돼요." 어느 정도 수업이 진행되다 보면 학생들이 말도 많아지고 몸도 흔들흔들 움직이기도 하고, 화장실은 꼭 수업 시간에 가려고 합니다. 쉬는 시간에는 떠들거나 핸드폰 게임을 하느라고 화장실을 못 갔거든요. 이래저래 산만해집니다. 보통 수업 시간이 짧지 않은데 아직 어린 학생들이 집중을 오랫동안 유지하는 게 쉽지 않겠지요. 어른들도 1시간이 넘는 시간 동안 가만히 앉아서 수업이나, 강의를 들으려면 힘든데요. 공부는 해야 하고, 집중은 안 되고, 어떻게 해야 할까요? 머릿속에 쏙쏙 들어오는 이야기를 하면, 흐름을 따라가면서 이해가 잘 되니까 집중하기가 쉽습니다. 오래 집중하는 게 어렵다면, 잘 모르는 내용이라서 머리에 잘 들어오지 않으니까 조금만 공부를 해도 피곤하고 머리가 아픈 느낌이 들어서 그럴 거예요. 딴 생각이 나고 졸린 걸 참으면서 공부하는 건 참 어려운 일인데요. 공부는 해야 하니 어떻게든 머릿속에 넣어야 하니 꾹 참아야 하지요. 그래

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공부 의지가 없는 학생에게 동기 부여를 하는 최고의 방법

학생들이 공부를 잘하고 싶은 마음이 없어서 공부를 안 할까요? 공부를 잘하고 싶은 마음은 학생들이 다 가지고 있습니다. 공부를 잘하고 싶긴 하지만 공부를 하는 건 싫은 거지요. 공부를 잘하기 위해 해야 할 일들이 너무 싫고 힘드니까 안 하고 외면하는 겁니다. 공부의 시작과 끝은, 동기입니다. 공부를 하는 건 결국 학생이니까요. 스스로 공부를 해야 할 이유를 찾아야 움직일 동력이 생기겠지요. 학생들을 가르치면서 가장 어려운 건, 공부를 할 의욕과 의지가 없는 학생들이 공부를 하게끔 하는 것인 것 같습니다. 학생이 조금이라도 동기부여가 되었으면 하는 생각에 여러 가지 이야기를 다 해주는 편인데요. 선생님과 부모님이 아무리 좋은 이야기를 아이에게 많이 해줘도 다 귓등으로 듣다가 의도치 않게 던진 한 마디에 꽂혀서 동기 부여가 빡, 되는 경우도 있고, 갑자기 친구가 열심히 하는 것을 보고 자극받아서 열심히 하기도 합니다. 학생들을 주변 환경에 영향을 많이 받습니다. 학교 분위기가 공부하는

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수학 문제 채점을 엄마가 해주는 게 좋을까?

수학공부를 본격적으로 한 지 얼마 되지 않은 학생들은 과제를 성실히 하지 않는 경우가 많습니다. 또 풀이를 제대로 쓰지 않기도 하고, 채점도 엉망으로 하기도 합니다. 그런 경우 학생이 과제를 제대로 했는지 확인을 하고, 채점도 깨끗하게 해야 하니까 어머님이 채점을 해 주시는 일이 종종 있습니다. 학생의 과제를 신경써서 점검해 주시고 채점도 해서 보내주시니 너무 감사한 일입니다. 이런 경우 아무래도 과제를 부모님이 검사를 하니까 과제완성도가 좋은 경우가 많고, 실제로 어머님이 신경을 써주시면 공부습관이 빠르게 자리 잡으니까 학생의 과제를 검사해 주신다고 하면 학생의 습관이 잘 잡히겠구나 하는 기대감도 가지게 됩니다. 그럼 채점을 부모님이 해주시는 것이 좋은 점만 있을까요? 보통 처음 공부를 시작하는 학생들은, 공부에 대한 의지도 약하니까 과제를 해 오면 학원에서 선생님이 답을 알려주고, 학생들이 채점을 하게끔 합니다. 물론 채점을 깨끗하게, 정확히 하게끔 미리 교육을 합니다. 그러면

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게임이 공부보다 재미있는 이유? 게임에서 벗어나는 법

아이들은 게임을 참 좋아합니다. 게임에 빠져서 공부를 하지 않는 아이 때문에 고민인 부모님도 많으시고요. 수업 중간 있는 잠깐의 쉬는 시간에도 아이들은 핸드폰부터 찾아서 게임을 합니다. 쉬는 시간이 끝났다는 걸 알려주는 종이 치고 휴대폰을 넣고 수업을 하자는 이야기를 해도 두세 번 말을 하고 재촉할 때까지 아이들은 휴대폰을 놓지 않습니다. 게임이 아직 안 끝났거든요. 10초만, 20초만 기다려달라는 이야기를 하면서 시간을 끄는데 그 이유는 한 판이 아직 안 끝났기 때문입니다. 게임이 그렇게 좋을까? 왜 좋아할까? 당연한 말이지만 재미있으니까 좋아하겠지요. 왜 재미있을까? 생각해 보면, 저도 한때 게임에 빠져서 이것저것 하루 종일 게임을 한 시기가 있었습니다. 게임이 정말 재미가 있었는데, 게임의 종류에 따라 재미를 느끼는 포인트가 달랐던 것 같아요. 한 판에 끝이 나는 게임들은 이기거나 점수를 내니까 성취감이 느껴졌고 캐릭을 키우거나 아이템을 얻는 게임들은 캐릭이 아이템을 갖추거나

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중2 수학, 직선의 방정식, 직선의 평행, 일치, 직선으로 둘러싸인 도형 넓이, 시험 대비 문제

기말고사가 얼마 안 남았어요. 1학기 기말고사는 범위에 함수가 있어서 그런지 학생들이 중간고사 때보다는 항상 더 어려워합니다. 그런 만큼 잘 마무리를 해야겠지요? 이번에도 중2 일차 함수의 마지막 단원을 마무리할 문제들을 가지고 왔어요. 집중해서 공부해 볼까요? 1. 점의 좌표를 구하고 한 교점을 지나니까 대입합니다. 2. 직선에서 평행 조건과 일치 조건을 꼭 기억하세요!!! 평행할 때는 연립방정식의 해가 없고, 일치할 때는 해가 무수히 많습니다. 3. 방정식의 교점이 2개 이상이다. : 해가 무수히 많다. 즉 두 방정식이 일치한다는 말입니다. 4. x축에 평행한 직선, y 축에 평행한 직선은 그래프를 그려서 판단하면 파악하기 쉽습니다. 5. 그래프로 둘러싸인 도형의 넓이를 구할 땐, 그래프를 그려서 구합니다. 6. 일차함수의 그래프를 주고 옳은 것 또는 옳지 않은 것을 구할 때는, 먼저 그래프를 보고 식을 구하고 나서 보기를 보는 게 좀 더 빨리 문제를 푸는 법입니다. 7. 일차함

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이차방정식 활용, 닮음을 이용한 도형 문제, 중3 수학 시험 대비

중3 이차방정식 활용에서 학교 시험 마무리용 문제를 가지고 왔어요. 자주 출제되는 문제지만 매번 어려워하는 문제와 실수하기 쉬운 문제, 어렵지 않지만 꼭 알아야 할 문제들을 가지고 왔어요. 난이도는 중 또는 중상 정도입니다. 너무 어려운 문제는 출제 빈도가 높지는 않으니까 제외했어요. 이번 문제들은 닮음을 활용한 이차방정식 활용 문제가 있으니까 열심히 공부해서 꼭 맞히도록 해봐요~^^ 먼저 이차방정식 활용 문제 푸는 법부터 짚고 가지요. 이차방정식 활용 식 세우기 1. x 설정하기. 2. 이차방정식 세우기. 3. 해 구하기. 4. 조건에 맞는 답 쓰기. 이제 이차방정식 활용을 완벽하게 마무리하기 위해 문제를 풀어볼까요? 1. 근의 개수는 판별식으로 판단합니다. x 계수가 짝수인지 홀수인지에 따라 두 가지 판별식을 모두 쓸 줄 알아야 연산이 수월합니다. 두 식 모두 쓸 수 있게 정확히 알아두세요. 2. 잘못 보고 푼 이차방정식 문제는, 해를 보고 인수분해식으로 이차방정식을 세운 뒤

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이차방정식 풀이-시험에 꼭 나오는 문제 4문항, 중3-1

중3 기말고사 대비용 문제 풀이, 이차방정식 풀이 단원입니다. 이차방정식 풀이는 어렵지 않아서 기말고사에서 상대적으로 비중이 높지는 않습니다. 자주 출제되지만 잘 틀리는 문제 위주로 골라봤어요. 집중하고 들을 준비되었나요? 이제 문제 들어갑니다~^^ 1. 중근이 되기 위한 조건은 판별식=0 또는 식이 완전제곱식이어야 합니다. 중근이 주어진 문제는 식이 완전제곱식이라는 것을 활용합니다. 2. 근의 공식과 완전제곱식을 이용한 이차방정식의 풀이는 잘 알고 있어야 합니다. 3. 중근을 가질 조건을 꼭 기억해야 합니다. 4. 완전제곱식을 이용한 풀이는 잘 알고 있어야 합니다. 이차방정식 풀이에서 시험에 잘 나오는 문제를 풀어봤어요. 기말고사 대비에 도움 되길 바랍니다.^^

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[중고생 수학] 우리 아이는 수학 머리가 있나요?

geralt, 출처 Pixabay "우리 아이가 수학 머리가 있긴 한가요?" "우리 애는 수학적으로는 좀 아닌 것 같은데 어떡하죠?" 학부모님들께 많이 듣는 질문 중 하나입니다. 요즘 대입에서 수학이 매우 중요하고 이과 계열 과목들을 선택해야 한다고 하니 수학을 잘 해야 할 것 같은데 아이가 수학을 잘 못하는 것 같으면 답답한 마음에 이런 질문을 하시는 것 같습니다. 그럼 정말 수학 머리라는 게 있을까요? 물론 있긴 합니다. 현장에서 보면 하나를 가르치면 열 이상을 아는 특출난 학생이 있긴 합니다. 그런 학생들이 공부를 하고 성적을 잘 받아서 좋은 대학에 가는 게 평범한 학생들보다 수월하긴 합니다. 그러면 그렇지 않은 내 아이는, 수학 머리가 별로 없어 보이는 내 아이는 수학을 잘 할 수 없을까요? 그렇지는 않습니다. 대입에서, 수학 능력 시험에서 요구하는 수학 공부라는 건 특별한 재능이 있어야만 할 수 있는 수준의 공부는 아닙니다. 물론 처음 배울 때 어렵지만 공부하면 이해하고

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[중고생 수학] 수학 잘 하는 법. 이해 vs 암기

jeswinthomas, 출처 Unsplash "어떻게 하면 수학을 잘 할 수 있나요?" 가장 많이 듣는 질문인 것 같습니다. "수학 공부를 할 때, 이해가 중요한 것 같니, 암기가 중요한 것 같니?" 학생들한테 이렇게 물어보면 저마다의 답을 합니다. 수학을 잘 하려면 개념을 이해하고, 필요한 개념과, 유형, 때로는 문제의 풀이 법도 암기해야 합니다. - 개념을 이해하고 암기해서 백지에 개념 마인드맵을 그려낼 정도는 되어야 합니다. 그래야 여러 유형의 문제를 접했을 때 머릿속에서 개념을 꺼내서 적용할 수 있습니다. - 유형을 암기해야 하는 이유는, 개념 이해만으로는 잘 풀리지 않는 문제들이 많기 때문입니다. 유형을 외우되 개념이 어떻게 활용되는지 정확히 이해해야 합니다. - 문제의 풀이법을 암기하는 경우 심화문제의 경우 외우지 않으면 풀기 어려운 경우가 많습니다. 역시 외우되 개념이 어떻게 활용되는지는 알아야 합니다. 이런 과정을 계속하다 보면 개념을 더 잘 이해하고 활용하게 됩니

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[초중고 수학] 공부습관을 잡는 방법 <1> 공부의 시작은 습관입니다. - 동기부여

Peggy_Marco, 출처 Pixabay "공부를 제대로 해본 적이 없어요. 어떻게 해야 하죠?" 전에는 중학교를 처음 입학하는 학생들의 학부모님들께 듣는 이야기였는데, 최근에는 이렇게 공부습관이 안 잡혀있는 학생들의 연령대가 확 올라간 것 같습니다. 코로나19를 겪으면서 등교도, 외출도 원활하지 않다 보니, 집안에서 보내는 시간이 많았던 학생들이 비대면 수업을 참여하긴 했지만, 아무래도 스스로 시간과 일정을 통제하면서 공부를 할 수는 없었던 것이죠. 그러다 보니 요즘 등교도 하고 차츰 마스크 착용 의무화도 풀려서 이제 갑자기 공부를 하려니, 해도 안 되는 겁니다. 머릿속에 들어오지도 않고 속도도 안 나고 무엇보다도 책상 앞에 앉아있는 것부터가 안 되는 것이죠. Peggy_Marco, 출처 Pixabay 그럼 이제 공부를 시작하려면 뭐부터 해야 할까요? 동기 부여 - 공부를 안 했던 학생들은 해야 한다는 생각 자체가 약한 경우가 많습니다. 공부가 재미있을 리가 없으니 공부를 하

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[초중고 수학] 공부습관을 잡는 방법 <2> 공부의 시작은 습관입니다. - 책상 앞에 앉아 있기.

jessbaileydesigns, 출처 Unsplash 공부를 해볼까 생각이 든 아이들이 이제 공부를 하려면 무엇을 해야 할까요? 책상을 공부를 할 상태로 세팅해놓기 - 공부를 안 했던 학생들의 책상의 상태는 보통 이렇습니다. 책상과 책장에 공부할 책과 문제지 등이 필요한 건 있는 게 없고 별 상관없는 것만 가득해서 지저분하거나, 아니면 있어야 할 게 없어서 그냥 깨끗합니다. 서랍 안의 상황도 비슷합니다. 먼저, 학생이 공부할 공간을 스스로 정리하게 합니다. 필요한 문제집과 책을 꽂고 문구들도 언제든 꺼낼 수 있게 정리합니다. 쓸 때마다 어디에 두었는지 몰라서 온 책상을 뒤지면 시간 낭비이기도 하고 안 그래도 집중력이 제로인 학생의 집중력과 공부의지를 없애는 일이 되니까요. 공부할 환경을 만들었다면 학생은 책상에 앉아서 공부를 합니다. 처음에는 뭘 해야 할지 모르니까 학원 과제를 하겠지요. 얼마 앉아 있지도 않았는데 학생은 좀이 쑤실 거예요. 공부를 해보지 않은 학생들은 30분 앉

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[공부의 기본] 공부를 잘하기 위해 기본이 되는 것 - 문해력

mohamed_hassan, 출처 Pixabay "수학을 잘 하려면 뭐부터 해야 할까요?" 수학 공부를 하기 위한 첫걸음, 수학 공부뿐만 아니라 공부의 기본은 문해력입니다. 수학 잘 하는 법에서 뜬금없이 문해력이 왜 나오나 싶지요? "문제를 읽었는데 무슨 말인지 하나도 모르겠어요." "무슨 말인지 모르겠어요." 학생이 문제를 읽었는데 파악을 못하거나, 선생님이 쉬운 언어로 풀어서 설명을 했는데 못 알아듣는 경우, 문해력이 없어서 이해를 못 하는 경우가 많습니다. 설명을 하다 보면 학생이 수학 내용이 아니라 선생님이 설명하면서 사용한 단어가 무슨 뜻인지 질문하는 일도 자주 있는 일입니다. 이런 경우 같은 시간과 노력을 들여도 공부의 효율이 매우 떨어집니다. 문해력이 좋아서 바로 이해를 하는 학생들은 금세 이해하고 암기까지 하는 동안, 문해력이 없어서 설명을 들어도, 개념을 읽어도 오랫동안 내용 파악을 하고 이해를 해내고, 그 후 암기를 하는 학생들의 속도는 다를 수밖에 없지요. 공부

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[공부습관] 공부의 기본이 되는 문해력 키우기. - 독서습관

CoolPubilcDomains, 출처 OGQ 공부에 가속도가 붙게 하는 문해력!!! 문해력 키우기에는 독서!!! 공부를 잘하려면 문장을 이해하고 내용을 파악하는 능력, 즉 문해력이 필요합니다. 같은 내용을 읽어도 문해력이 없으면, 개념 파악도 잘되지 않고 이해도 잘되지 않습니다. 이해는 하더라도 시간도 많이 걸립니다. 아무래도 문해력이 없으면 공부 효율이 매우 떨어집니다. 문해력을 키우려면 책을 읽어야 한다는 말은 많이 들으셨을 겁니다. 그런데 책을 읽어 보지 않은 학생들이 읽으라고 한다고 읽을까요? 2081671, 출처 Pixabay 어떻게 하면 내 아이가 책을 읽게 할까? 먼저 부모님이 책을 읽는 모습을 보여주세요. - 아이는 부모의 등을 보고 자란다는 말이 있습니다. 항상 책을 가까이하는 부모님의 모습을 보고 자란 아이는, 스스로 책을 좋아하는 아이가 됩니다. 그런데 책을 읽을 시간적 여유도 없고 책도 별로 좋아하지 않는데요. 차선책 : 아이가 독서습관이 생길 때까지 부모

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[수학 공부] 수학을 잘 하는 법. 수학 공부에서 가장 중요한 것.

_Alicja_, 출처 Pixabay "어떻게 하면 수학을 잘 하죠?" "수학을 잘 하는데 중요한 게 뭘까요? "수학 공부를 열심히만 하면 될까요?" 수학이 어렵고 힘든 이유 - 수학이 어려운 이유는 계속, 멈추지 않고 열심히 해야 하기 때문입니다. 수학 개념을 처음 배우면 어렵고 힘들죠. 열심히 공부해서 어느 정도 이해도 하고 문제도 잘 풀게 되면, 다음 과정을 공부하게 되면, 또 어렵고 힘들고, 그 과정 또 잘 하게 되면, 또 다음 과정으로 넘어가는데 또 어렵죠. 한 과정을 공부할 때마다 어려우니까 열심히 공부하는 걸 계속해야 합니다. 수학 공부는 과정을 다 배우기 전까지는, 계속 끊임없이 어려운 내용을 공부하고 어느 정도 되면, 또 공부하고 똑같은 과정을 인내하면서 반복해야 합니다. 이런 것도 어려운데 중간에 공부를 쉴 수 없다는 게 더 어렵게 느껴집니다. - 수학은 왜 중간에 쉴 수 없을까요? 공부를 쭉 하다가 멈추고 하지 않으면 그 자리에 멈춰있으면 좋은데 잊어버리기도 쉬

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[공부습관] 사소한 습관의 힘-공부의 시작은 습관 바꾸기부터.

HtcHnm, 출처 Pixabay 공부습관이 제대로 잡혀 있지 않아서 걱정이에요. 시간 관리를 못 해서 해야 할 것을 못 해요. 공부를 하긴 하는데 결과가 없어요. 아이의 공부 때문에 고민하시는 학부모님들의 하소연을 들어보면, 거의 학생의 공부하는 태도와 습관이 문제인 경우가 많습니다. 아무리 깨워도 일어나지 않아요. - 일어나는 시간과 자는 시간이 규칙적이지 않은 경우. 깨우는 것도 전쟁이고, 깨어 있는 시간에도 집중하지 못하고 반은 졸고 있어서 제대로 자지도 못하면서 깨어있는 시간도 활용하지 못하니 이도 저도 아닌 답답한 상황이 됩니다. 지각이 일상인 건 당연하겠지요. 집중력이 없어서 너무 산만해요. 붙들고 있기는 하는 것 같은데 결과가 없어요. - 학생에게 공부습관 자체가 없으니, 또 공부에 관심이 없으니까 당연한 일입니다. 눈으로는 문제를 보고 있지만, 머릿속으로는 딴 생각을 하고 있을 거니까요. noemiji, 출처 Unsplash 공부의 시작은, 습관을 바꾸기. -

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[내신 공부법] 내신대비할 때, 꼭 해야 할 것.

geralt, 출처 Pixabay 중간고사 내신대비를 할 시기가 다가오고 있습니다. 보통 주요 과목들은 시험 한 달 전부터 내신을 준비합니다. 학생들은 보통 3주 전쯤부터 여러 과목들의 시험공부를 합니다. 내신 시험을 잘 보려면, 어떻게 준비해야 할까요? 학교 수업 시간을 효율적으로 활용한다. 학교 수업 시간에 제대로 공부하는 학생이 의외로 적습니다. 수업 시간에 자거나, 딴짓하거나, 멍 때리거나, 아님 학원 숙제를 합니다. 그럼 수업을 안 듣고 시간을 보내버립니다. 수학만 이야기해 보면, 학생들이 현재 현행으로 하고 있는 과정은 선행수업으로 이미 공부를 몇 번은 했던 내용이고, 현재 학교 수업 시간에 수업을 하고 있는 내용입니다. 선행을 한 지 좀 되었다면 좀 잊을 수는 있지만, 다시 조금만 설명해 주면 되살리기도 수월한 상태가 되어야 맞습니다. - 학교 수업 때 수업을 제대로 하는 것만으로도 충분히 개념을 되살리고 다질 수 있습니다. 그런데 수업을 제대로 듣지 않은 학생들은,

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[공부 동기부여] 공부 동기부여하는 법.

Kidaha, 출처 Pixabay "우리 아이는 공부에 관심이 없어요." "도대체 중요한 게 없어요." "공부를 너무 안 해요." 학생이 어리든 좀 나이가 들었든 공부에 관심이 없거나 의욕이 없는 경우, 학부모님들의 고민이 깊어질 수밖에 없지요. '왜 공부를 안 하나? 도대체 어쩌려고 그러나' 아이를 보면서 답답하고 걱정스러운 마음에 한숨을 쉬시지요. 학생을 무작정 공부를 하게끔 학원에 하루 종일 보내놓고, 집에서는 과제를 하도록 책상 앞에 앉혀놓으면 공부를 할까요? 그럴 리가 없지요. 어떻게 하면 아이가 공부에 관심을 가지고 공부를 열심히 하게 할까요? 학생이 스스로 공부하게 하는 건, 동기부여를 확실히 해주는 방법 밖엔 없습니다. 학생 스스로 하고 싶은 마음이 들어야 움직이겠지요. "그걸 몰라서 못 하나요, 무슨 말을 해도 아이가 움직이지 않는다니까요." 언제나 어떻게 동기부여를 하느냐가 숙제인 것 같습니다. 학원에서 학생들을 가르치면서도 가장 신경 쓰는 게, 동기 부여입니다.

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[공부법] 벼락치기 공부, 효과가 있을까요?

Divya Charan, 출처 OGQ 시험 때 몰아서 공부하는 벼락치기 공부, 효과가 있을까요? 공부 몰아서 하지 마. 비효율적이야. 학생들한테 이런 말을 해줘도 잘 듣지 않지요. 그냥 말을 하면, 절대 듣지 않으니 이유를 설명해 줍니다. 벼락치기 공부의 폐단 1. 이해도가 낮아진다. 한꺼번에 몰아서 공부를 하면, 시간이 없으니까 이해하지도 않고 그냥 활자 자체를 외우는 느낌으로 통암기를 합니다. 또 시간 부족하니까 다시 다지고 확인하지도 않습니다. 당연히 이해하고 공부하지 않으니까 잊어버리기도 쉽고 조금만 어려워져도 문제를 풀 수 없겠지요. 2. 시험이 끝나면 머릿속에 하나도 남지 않는다. 급하게 이해하지 않고 외운 내용은 머릿속에 살짝 얹어놓은 정도로, 시험만 볼 수 있는 상태만 되게끔 한 것입니다. 그 상태로도 시험은 볼 수 있습니다. 다만 시험이 끝나고 나면 교문을 나가기도 전에 학생의 머릿속에서 모두 하나도 남김없이 날아가 버리는 게 문제입니다. 3. 비효율적인 공부를

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[멘탈 관리] 시험에서 멘탈이 무너지지 않으려면?

Peggy_Marco, 출처 Pixabay "시험지를 보는 순간 머릿속이 하얘졌어요." "시험 잘 못 보면 어떡하죠?" "모르는 문제가 나오면 어떡하죠?" "수학도, 영어도, 국어도, 다른 과목들도 다 걱정돼요." 시험을 앞두거나 공부를 해나가는 동안 학생들은 많이 불안해합니다. 잘 못 해낼까 봐, 공부한 만큼 결과를 내지 못 할까 봐, 공부를 해도 남들보다 못할까 봐 걱정을 많이 합니다. 걱정과 불안이 많으면 집중을 못 하니까 앞으로 나아가지 못합니다. 불안이 정신을 지배해버리니까 점점 불안과 걱정이 커지기만 합니다. 그 상태가 계속되면 공부가 제대로 될 리가 없지요. 성적도 잘 나올 수가 없죠. 이럴 때 해줄 수 있는 말은, 네가 할 수 있는 것을 해. 생각만 하고 행동하지 않으면 달라지는 건 없어. 지금 걱정하고 있는 건 일어나지 않은 일이야. 걱정해서 달라지는 건 없어. 걱정할 시간에 그냥 그 생각을 멈추고 최선을 다해 봐. 인간의 뇌는 생각하는 대로 일을 한다고 해. 그런

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[공부법] 암기가 어렵다면? 암기력 향상되는 꿀팁 <1> - 왜 암기를 못할까?

geralt, 출처 Pixabay 방금 배운 것도 까먹어요. 기억조차 하지 않아요. 도대체 왜 이렇게 기억을 못 하죠? 아이가 암기를 너무 못해서 고민인 분들, 외우지 못해서 공부에도 문제가 많은 것 같아서 고민인 분들 많으시지요? 도대체 왜 기억조차 못 하는지 이해가 안 돼요. 전 어렸을 때 안 그랬는데 누굴 닮아서 그런지 모르겠어요. 뭐든지 잘 까먹는 학생들, 정말 이해가 안 되시지요? 어떤 아이들은 학원에 필기구를 안 가지고 오는 일은 기본이고, 집으로 하원할 때 가방을 강의실에 두고 몸만 가버리는 것도 봤습니다.ㅋㅋ 도대체 이 아이들은 왜 그럴까요? franku84, 출처 Unsplash 왜 잊어버릴까? 주의가 산만해서. - 집중력이 약하고 다른 데 관심이 많은 경우가 많습니다. 한 군데 집중하지 못하고 바로 다른 데로 주의를 돌려버리니까 방금 한 것도 잊어버리는 겁니다. 집중하는 것처럼 보이는 순간에도 딴 생각을 하기 일쑤죠. 이런 아이는 관심사가 많고 재미있는 일도

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[공부법] 암기가 어렵다면? 암기력 향상되는 꿀팁 <2> - 암기의 기본

[공부법] 암기가 어렵다면? 암기력 향상되는 꿀팁 <1> - 왜 암기를 못할까? ; 이 글에서 이어집니다. 궁금하신 분은 여기서 읽고 오셔도 됩니다.^^ https://m.blog.naver.com/matina76/223055227785 [공부법] 암기가 어렵다면? 암기력 향상되는 꿀팁 <1> - 왜 암기를 못할까? 방금 배운 것도 까먹어요. 기억조차 하지 않아요. 도대체 왜 이렇게 기억을 못 하죠? 아이가 암기를 너무 ... m.blog.naver.com 그럼 어떻게 하면 암기력이 향상될까요? 먼저, 암기의 기본부터 알아볼게요. 암기의 기본은 반복. - 반복만큼 절대적인 진리는 없습니다. 다만, 공부를 많이 해보지 않은 학생들은 암기가 잘 안되니까 더 자주 외워야겠지요. - 반복에도 약간의 팁을 드릴게요. 자주 외우되, 잊어버릴 만하면 다시 외우고, 머릿속에서 인출해 보기. 인간은 망각의 동물이니 원래도 외우면 잊어버리는 게 정상입니다. 공부습관이 안 되어 있는 학생들은 더 잘 잊

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[공부법] 암기가 어렵다면? 암기력 향상되는 꿀팁 <3> - 뭐든지 안 챙기는 경우

[공부법] 암기가 어렵다면? 암기력 향상되는 꿀팁 <2> - 암기의 기본 이전 글에서 이어집니다. 이전 글이 궁금하시다면 읽고 오시면 됩니다. https://m.blog.naver.com/matina76/223055292217 [공부법] 암기가 어렵다면? 암기력 향상되는 꿀팁 <2> - 암기의 기본 [공부법] 암기가 어렵다면? 암기력 향상되는 꿀팁 <1> - 왜 암기를 못할까? ; 이 글에서 이어집니다.... m.blog.naver.com 오늘도 암기력이 약한 학생들의 문제를 이야기해 보겠습니다. 암기력이라기 보다는 생활습관과 관련이 있을 것 같습니다. patrickperkins, 출처 Unsplash 뭐든지 챙기는 게 없어서 다 잊어버리는 경우, 지속적으로 챙기게끔 잔소리를 하고, 일일이 메모를 하게 하고, 뭐든 한 템포 멈추고 생각을 하게 합니다. - 모든 생활 전반적으로 챙기지를 않고 잊어버리는 경우. 이런 경우 챙겨야 할 모든 걸 안 챙기니 준비해야 할 것을 안 가지고 오는

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[공부법] 암기가 어렵다면? 암기력 향상되는 꿀팁 <4> - 포스트잇 암기법

[공부법] 암기가 어렵다면? 암기력 향상되는 꿀팁<3> - 뭐든지 안 챙기는 경우 이전 글에서 이어집니다. 이전 글이 궁금하시면 읽고 오시면 됩니다. https://m.blog.naver.com/matina76/223055761215 [공부법] 암기가 어렵다면? 암기력 향상되는 꿀팁 <3> - 뭐든지 안 챙기는 경우 [공부법] 암기가 어렵다면? 암기력 향상되는 꿀팁 <2> - 암기의 기본 이전 글에서 이어집니다. 이전 ... m.blog.naver.com 공부를 많이 해보지 않은 학생들은 열심히 외워도 책을 볼 땐 아는 것 같은데, 책을 덮으면 금세 내용이 가물가물하지요. 어떻게 하면 잊어버리지 않게 외울 수 있을까요? 이럴 때 유용한 암기법!!! 쉬운 꿀팁 드립니다. OpenClipart-Vectors, 출처 Pixabay 포스트잇 암기법 - 포스트잇 암기법은 잘 외워지지 않는 내용을 포스트잇에 적어서 자주 볼 수 있는 곳에 딱 붙이는 겁니다. 간단하지요? 붙여놓은 포스트잇을

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[공부법] 암기가 어렵다면? 암기력 향상되는 꿀팁 <5> - 키워드 암기법

이전 글에서 이어집니다. 이전 내용이 궁금하시다면 보고 오셔도 됩니다.~ [공부법] 암기가 어렵다면? 암기력 향상되는 꿀팁 <5> - 포스트잇 암기법 https://m.blog.naver.com/matina76/223056061061 [공부법] 암기가 어렵다면? 암기력 향상되는 꿀팁 <4> - 포스트잇 암기법 [공부법] 암기가 어렵다면? 암기력 향상되는 꿀팁<3> - 뭐든지 안 챙기는 경우 이전 글에서 이어집니... m.blog.naver.com 한 가지 단원인데 너무 여러 가지 내용이 많아서 단락 하나에 1번-15번까지 있고, 각 번호마다 설명까지 붙어있다면? 이 많은 내용을 어떻게 외우지? 막막할 겁니다. 이럴 때 유용한 꿀팁!! YeriLee, 출처 Pixabay YeriLee, 출처 Pixabay 형광펜으로 밑줄 또는 동그라미, 키워드 암기법. 여러 가지 형광펜이나 색깔 펜으로 각 번호마다 핵심 키워드를 찾아서 동그라미를 치고, 주요 내용에는 밑줄을 그어서 암기하는 방법

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[공부법] 암기가 어렵다면? 암기력 향상되는 꿀팁 <6> - 머릿속에 사진 찍기.

지도나 그림, 사진 자료가 많은 경우, 어떻게 외울까요? 그림이나 지도에 암기할 내용이 가득한데 막막하지요? 이럴 때 해결법을 가지고 왔습니다. 사진, 그림, 지도 암기 꿀팁!!! FotoshopTofs, 출처 Pixabay drwmrk, 출처 Unsplash 머릿속에 사진 찍기. 그림이나 사진, 지도를 눈으로 보고 머릿속에 사진 찍듯이 이미지를 그대로 옮겨서 암기하는 방법입니다. 사진이 아니더라도 텍스트로 이루어진 교과서도 그렇게 암기하는 경우가 있는데 이해를 필요로 하지 않는 과목이 세밀한 암기가 필요한 경우 그렇게 합니다. 그런데 이런 암기법을 학생들에게 말해주면, 그게 어떻게 가능하냐고 합니다. 처음엔 안 될 수도 있지만, 암기해야 할 이미지를 눈으로 보고 그대로 눈을 떼고 머릿속에 이미지로 떠올리는 연습을 하면 됩니다. 어차피 외워야 하는 내용이니까 해보는 거죠. 안 되면 그냥 외워도 잘 못 외우니까, 그래도 잘 될 확률이 있으니 밑져야 본전이잖아요. 해 보면 완벽하지

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암기력 향상되는 법 <7> - 다회독 암기법

암기를 잘 하려면 반복이 중요합니다. 암기를 잘 하게 도와주는 꿀팁!!! 다회독 암기법 - 같은 내용을 여러 번 읽어서 내용을 점점 쌓아가는 방법입니다. 1회독 : 그냥 처음부터 끝까지 훑어본다는 느낌으로 읽습니다. 대강의 내용을 파악하는 정도입니다. 2회독 : 1회독보다는 조금 천천히 꼼꼼히 본다는 느낌으로 읽습니다. 이때는 1회독할 때 지나쳤던 부분도 좀 더 파악이 될 겁니다. 3회독 : 이번에는 예쁜 펜을 준비합니다. 읽으면서 중요한 키워드에 동그라미를 치면서 읽습니다. 키워드는 동그라미를 치면서 3번 이상 소리 내어 읽으면서 암기합니다. 그리고 키워드를 중심으로 내용을 지나치지 않고 다시 읽으면서 키워드와 연결한다는 느낌으로 읽습니다. 4회독 : 이번에는 방금 키워드를 동그라미 쳤던 펜과 다른 색의 펜을 꺼냅니다. 키워드가 거의 외워졌을 겁니다. 키워드에 연결된 내용을 읽으면서 잘 몰랐던 부분이나 잘 외워지지 않는 부분에 밑줄을 치면서 3번 이상 약간 소리 내어 머릿속에 각

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[중학교 수학] 학원 강사가 알려주는 학교 수학시험 잘 보는 법 <1> - 시간 내에 풀어내기.

중학생들의 중간고사 대비 기간이 되었습니다. 중학교 중간고사를 잘 보는 법에 대해 알려드릴게요. 수학시험을 잘 못 보는 이유를 보고, 그 부분부터 원인을 없애면 되겠지요. 중학생들의 내신대비는 유형을 연습하고 모르는 걸 알아가는 과정이기도 하지만, 시험에 강할 수 있도록 약점을 줄이는 과정인 것 같습니다. 시험에서 좋은 점수를 받기 위해 가장 중요한 게 뭘까요? 시간 내에 문제 풀어내는 것입니다. 그런데 이 시간 내에 문제를 푸는 게 충분히 훈련이 되어 있지 않으면 쉽지 않습니다. 특히 학교 시험을 난이도 있게 출제하는 학교의 시험문제는, 연산도 복잡하고 생각도 해야 풀어낼 수 있어서 머뭇거리다가는 시간이 부족합니다. 학생이 아무리 많은 문제를 알고 있어도 시간이 부족하면 풀지 못하니 아무 소용이 없는 거지요. 그러니 가장 중요한 게 시간 내에 문제를 푸는 것입니다. mohamed_hassan, 출처 Pixabay 시간 내에 문제를 풀어내도록 훈련하는 법 모든 문제를 시간을 재면

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중1, 중2 1학기 첫 중간고사를 보는 학생들을 위한 대비 방법

중학생들의 중간고사를 준비할 때가 되었습니다. 시험을 준비하는 학생들은 누구나 고민이 많지만, 특히 이번에 내신 시험을 처음 보는 중1, 중2 학생들은 더 고민이 많을 겁니다. 시험을 보지 않은 기간에도 학생들은 공부를 하긴 했겠지만, 평가를 받는 시험은 처음이라 막막하고 당황스러울 겁니다. 첫 중간고사를 준비하는 학생들은 어떻게, 무엇을 준비해야 할까요? 1. 공부습관 만들기. - 시험을 위한 공부를 해보지 않은 학생들은 공부습관이 제대로 되어 있지 않은 경우가 많습니다. 앞으로 대입까지 공부를 해야 할 학생들이 공부의 습관과 태도를 지금부터 만들게 되는 겁니다. 그러니 지금 첫 단추를 제대로 끼우는 게 매우 중요하겠지요. 그럼 학생들에게 필요한 습관들은 무엇이 있을까요? 집중해서 공부하는 시간을 늘리기. - 목적이 있는 공부를 해보지 않은 학생들은 집중력이 약한 경우가 많습니다. 한 군데에 앉아서 30분을 공부하는 것도 힘들어합니다. 앉아서 집중해서 공부하는 시간을 늘려야 합니다

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학교 수학시험 100점 맞는 법 <2> - 서술형 정복하기.

학교 시험에서 100점을 받기 위해 놓칠 수 없는 것이 있습니다. 바로 서술형 문제입니다. 학교마다 서술형 문제의 비중이 다르지만, 보통 40% 정도, 2-8문제 정도 출제됩니다. 문항 수를 적게 출제하면 배점이 높은 경우가 많습니다. 한 문제에 8-10점이 되는 경우도 많지요. 한 문제를 다 틀려도 점수가 낮아지지만, 각 문제마다 사소한 감점을 받으면 낮은 점수를 받을 수밖에 없습니다. 서술형 문제를 제대로 대비해야 100점을 목표로 할 수 있게 됩니다. 오늘은 서술형 문제를 제대로 대비하는 법을 알려드리겠습니다. 서술형 문제 정복하기. 서술 문제에서 반드시 서술되어야 할 내용은 꼭 서술하도록 연습한다. - 단원에 따라, 문제 유형에 따라 꼭 필요한 개념이 있습니다. 예를 들면 '인수분해의 수 계산 문제에서 활용된 인수분해 공식은 반드시 서술해야 한다.' 또는 '일차함수 문제에서 세 그래프가 삼각형을 이루지 않을 때, 미지수를 구하는 문제에서 삼각형이 되지 않을 때의 조건을 꼭

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학교 수학시험 잘 보는 확실한 방법 <3> - 오답 줄이기.

중학교 중간고사 100점 맞는 방법. 이제 모르는 문제를 줄일 차례입니다. 중간고사 한 달 전쯤 시험에 나올 법한 문제로 시험을 보면, 학생들의 성적이 생각보다 낮게 나옵니다. 그 이유를 살펴보면, 선행으로 공부한 후 시간이 좀 지나서 잊어버린 경우. 개념은 알지만 문제지에서 푼 문제들과 시험에 나오는 문제의 난이도가 차이가 나서 풀어내지 못한 경우. 배웠지만 전에 열심히 하지 않아서 잘 모르는 경우. 이 정도로 나눌 수 있을 것 같습니다. 이유야 어떻든 채워야 할 게 많은 건 비슷합니다. Memed_Nurrohmad, 출처 Pixabay 오답을 단계적으로 줄이는 방법 처음엔 같은 시험지로 재오답을 한다. - 처음엔, 틀린 문제가 많습니다. 채점을 하고 나면 정확하지 않은 방법으로 대충 풀어서 맞은 문제를 학생에게 표시하게 합니다. 그리고 그 문제들을 다시 풀게 하고, 모르는 문제는 설명을 해주고 다시 풀어서 오답 마무리를 합니다. 그리고 방금 푼 시험지를 재출력해서 틀린 문제와

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중학교 수학시험에서 학생들이 흔히 하는 실수

중학생들의 중간고사 내신대비를 하는 동안 여러 가지 신경 써서 해야 할 것들이 많습니다. 시간 내에 풀어내는 것, 서술형 문제 제대로 서술하는 것, 모르는 문제들을 줄여가는 것을 하고 있지요. 모두 순차적인 진행이 아니라, 동시 진행입니다. 그와 함께 학생들이 학교 수학시험에서 흔히 하는 실수들을 바로잡아야 합니다. Tumisu, 출처 Pixabay 학교 수학시험에서 흔히 하는 실수들 1. 문제를 잘못 읽었어요. "문제를 제대로 정확하게 읽어." 내신대비 초반부터 시험 전날까지 가장 많이 하는 이야기입니다. 계속 끊임없이 이야기를 해서 학생이 지속적으로 신경을 쓰도록 해야지만 나아집니다. 문제를 읽으면서 조건과 물어보는 것에 동그라미를 치면서 읽는다. 동그라미가 문제를 정확하게 읽도록 도와주는 도구가 됩니다. 단, 밑줄은 너무 많이 긋지 않습니다. 중요한 내용과 그렇지 않은 것을 구분하지 않는 쓸데없는 밑줄은 문제를 파악하는데 방해만 됩니다. 2. 연산을 잘못했어요. - "한 번

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