matina76의 등록된 링크

키자드에 등록된 총 200개의 포스트를 확인하실 수 있습니다.

Naver Blog

학교 시험에서 하는 실수 <1> - 아는 문제인데 틀렸어요.

학생들이 학교 시험을 보고 나면, "아는 문제인데 틀렸어요." "아는 문제였는데 헷갈렸어요." 이런 말을 하면서 아까워합니다. 그리고 이 문제만 맞았으면 더 잘 봤을 거라고 말하기도 하고, 실수만 안 했으면 점수가 몇 점은 더 나왔을 거라고 말합니다. 아는 문제를 실수로 틀렸으니까 실력이 부족한 게 아니니까 괜찮다고 생각합니다. 그럼 아는 걸 틀렸으니까 다음엔 맞힐 수 있을까요? 정말 실력이 부족한 게 아니니까 괜찮을까요? 이 지점에서 한 번 생각해 보고 짚어봐야 합니다. 과연 그 문제는 아는 문제였을까? 아는 문제는, 정확한 풀이로 풀어서 정답은 낼 수 있는 문제가 아는 문제입니다. 학생들이 시험에서 틀리는 아는 문제인데 헷갈린 문제는 이렇습니다. 한 번에 정확히 푸는 게 아니라 이리저리 손대보다가 답을 구했던 문제 반쯤만 아는 문제 풀었던 문제인데 선생님이 힌트를 조금 주면 풀 수 있는 문제 공통적으로 정확하게 다 아는 문제가 아니었다는 겁니다. 그런데 학생들은 이런 문제들을 안

원문보기 내부링크
Naver Blog

학교 수학시험에서 성적이 향상되려면? - 아는 문제만 풀면 안 돼요.

학생이 항상 열심히 공부하는 것 같은데, 성적이 제자리인 경우가 있지요? 왜 성적이 맨날 똑같을까? 학생이 공부하는 걸 살펴볼까요? 아이는 공부하는 시간도 많고, 계획도 세우고, 쉬거나 놀지도 않고 공부를 열심히 하는 것 같습니다. 그래서 학생이 수학 문제를 푼 걸 보면 모르는 문제를 별표를 하고 오답도 열심히 하고 메모도 잘 했습니다. 그런데 다음에 봐도 별표와 오답 풀이와 메모가 전과 같습니다. 매번 비슷합니다. 학생들은 틀리는 문제를 매번 또 틀립니다. 모르는 문제를 알려주면 학생들은 메모도 하고 선생님한테 설명도 듣지만, 몰랐던 문제니까 어렵게 느껴지고 머릿속에 잘 들어가지 않는 겁니다. 잘 모르면 여러 번 반복해서 머릿속에 완벽하게 넣어서 다음에 그 문제가 나왔을 때 안 틀리면 좋을 것 같은데요. 학생은 잘 모르는 문제는 어려우니까 보기도 싫고 귀찮게 느껴집니다. 그러니 문제를 풀면서 아는 문제는 풀고 모르는 문제는 별표를 하고 선생님한테 질문하고 메모하고, 그리고 또 모르

원문보기 내부링크
Naver Blog

중3 학생들에게 하는 은지쌤의 조언-미루지 좀 마!!!

학생들을 가르치다 보면 열심히 공부하는 학생에게도, 정신 못 차리고 공부 안 하는 학생에게도 해주고 싶은 말들이 많습니다. 학년에 따라 해주는 말이 다르지만, 특히 중3 학생들에게는 걱정 어린 잔소리를 많이 하는 것 같습니다. 가장 많이 하는 말은 이런 말인 것 같습니다. 시간 좀 아껴 써. 시간 금방 가. 어영부영 내신 몇 번 하면 금세 고3 된다고. 중3 일 년을 어떻게 보내느냐에 따라 내신등급이 달라질 거야. 할 때 제대로 해야 해. 제발 할 일을 미뤄서 몰아서 하지 마. 학년 올라갈수록 시험도 많아지고 공부해야 할 과목도 많아져. 수행도 많고. 학교 시험이 많으니까 학원도 시험이 많겠지, 그냥 매일 시험을 보는 게 일상이 될 거야. 해야 하는 과제와 시험공부, 수행, 공부들이 많아서 항상 할 일이 밀려드는 기분일 거야. 그럼 할 일을 미뤄서 할 수 있는 시간조차 부족하게 될 거야. 할 일을 제때 제대로 하지 않으면, 공부에 치이면서 피곤하고 힘들지만 성과가 나지 않는 악순환이

원문보기 내부링크
Naver Blog

학교 시험에서 매번 하는 실수들 <2> - 문제를 잘못 읽었어요.

선생님, 답을 맞게 구한 것 같은데요. 채점이 잘못된 것 같아요. 제대로 구한 것 같은데 답이 없는데요? 이럴 때 다시 보면 문제를 잘못 읽어서 답이 틀리는 경우가 많습니다. 문제에서 구하는 것을 잘못 본 경우. 조건을 잘못 본 경우. 객관식 번호를 잘못 고른 경우. 서술형 문제 번호를 잘못 보고 답안지에 문제 번호와 답안 번호를 맞지 않게 쓴 경우. 그 외 다양한 방법들로 창의적으로 잘못 봅니다. 그럴 때 보면 정말 신기합니다. 저걸 왜 잘못 볼까... geralt, 출처 Pixabay 잘 못 보는 학생들의 눈에 문제가 확 들어오게 하는 비법 문제의 조건과 물어보는 곳에 동그라미와 밑줄을 긋는다. 문제를 잘못 봐서 틀릴 때마다 오답을 할 때, 오답지에 '문제를 똑바로 읽을 것. 이게 4번이더냐.' 이런 식으로 자기 자신한테 편지를 쓰게 합니다. - 스스로 편지를 쓰면 실수를 하지 않도록 주의를 상기시키는 효과도 있고, 자기 자신을 나무라면서 재미있어하기도 합니다. 그저 끊임없이

원문보기 내부링크
Naver Blog

처음 시험을 보는 중1, 중2 학생들이 알아야 할 것.

중학생들은 1학년 1학기 중간고사 또는 2학년 1학기 중간고사로 생애 처음으로 시험을 경험하게 됩니다. 처음으로 시험공부를 하고 시험을 보는 학생들은 정말 아무것도 모릅니다. 새하얀 도화지에 하나하나 그려가는 것처럼 하나하나 일일이 가르쳐 주고 알려줘야 하지요. athree23, 출처 Pixabay 처음 시험을 보는 학생들에게 알려줘야 할 것들 본인의 실력 - 학생들은 시험을 본 적이 없으니 스스로의 실력을 잘 모릅니다. 선행을 좀 많이 한 학생들은, 선행 정도가 본인의 수학 점수일 거라고 착각하기도 합니다. 가장 먼저 해야 할 일은, 지금 당장 시험을 보면, 몇 점을 받을 수 있는지 확인을 하고 학생 스스로가 자신의 현재 상황을 알게 해야 합니다. 본인의 현 위치를 아는 것만으로도 학생에게 큰 동기부여가 됩니다. 성적을 내기 위해 해야 할 공부의 양 - 내신대비를 처음 해보는 학생들에게 말합니다. "주말에도 보강을 하러 학원에 와야 해." 이 말을 들은 학생들의 반응은 거의 이

원문보기 내부링크
Naver Blog

첫 중간고사를 준비하는 학생들에게 중요한 것. - 동기부여와 설득

학생들이 시험을 처음 보는 시기는 중학교 1학년이나 2학년입니다. 그전까지는 평가를 받아보지 않고 시험을 위한 공부는 하지 않지요. 그러다가 처음 시험을 위한 공부를 하려니 해야 할 공부의 양도 많고 챙겨야 할 것도 많아집니다. 이것도 해라 저것도 해라 하라는 것도 많은데, 사실 공부를 하려면 당연히 해야 하는 일들인데 학생 입장에서는 안 하던 걸 하려니 낯설고 힘이 듭니다. 이 시기의 아이들 얼굴을 보면 힘들어서 매일 우울하고 슬픈 표정들입니다.ㅠㅠ 그런 아이들을 이끌어서 공부를 하게끔 하는 게 쉬울까요? 끌려가지 않으려고 버티는 걸 잡아끄는 것이니 정말 힘든 일입니다. 억지로 끌고 가면 서로 힘만 들고 결과도 좋지 않습니다. 그럼 어떻게 학생들이 의지를 가지고 움직이도록 할까요? brett_jordan, 출처 Unsplash 학생들을 움직이게 하는 힘, 동기부여 팩트 폭격 - 현실을 알려주기 - 조금 먼 이야기일 수 있지만 공부를 해야 하는 이유 중 현실을 이야기해 주는 겁니

원문보기 내부링크
Naver Blog

중학생이 꼭 암기해야 할 제곱수

중학생이 꼭 암기해야 할 제곱수입니다. 제곱수를 더 많이 외워도 좋겠지만, 너무 외울 게 많으면 학생에게 버겁고, 너무 적은 양만 외우면 문제에서 활용하기가 어렵겠지요. 이 정도 암기하는 게 좋습니다. 제곱수를 암기하면 3-1제곱근 문제를 풀 때 편리하게 활용할 수 있습니다. 또 수에 대한 감각도 좋아집니다. 3-1 중간고사를 볼 중3 학생들은 반드시 외워야겠지요? 잘 안 외어지면 포스트잇에 써서 잘 보이는 곳에 붙여놓고 머릿속에 완벽하게 기억될 때까지 암기하세요. 제곱수를 꼭 외워서 시험도 잘 보고, 수 감각도 좋아져서 수학에 재미도 느꼈으면 합니다.^^ 포스트잇을 활용한 암기법이 궁금하시다면 아래 링크로 가시면 됩니다.^^ https://m.blog.naver.com/matina76/223056061061 [공부법] 암기가 어렵다면? 암기력 향상되는 꿀팁 <4> - 포스트잇 암기법 [공부법] 암기가 어렵다면? 암기력 향상되는 꿀팁<3> - 뭐든지 안 챙기는 경우 이전 글에서 이어

원문보기 내부링크
Naver Blog

중2-1 중간고사 대비 유리수와 순환소수 시험에 잘 나오는 문제 - 5문항

중학교 2학년 1학기 중간고사 대비 1단원 유리수와 순환소수에서 시험에 잘 나오는 유형 5문항만 골라서 풀이해 봤어요. 시험에 자주 출제되지만 학생들이 잘 틀리는 문제입니다. 1. 분자와 분모를 잘못 본 문제 이 문제에서 가장 중요한 건, 반드시 약분을 한 뒤 제대로 본 분자와 분모를 선택하는 것입니다. 2. 유한소수가 되기 위한 값 구하기. 3. 순환소수의 차 4. 순환소수 성질 5. 정수가 아닌 유한소수 개수 구하기. 수의 개수를 셀 때 실수하지 않도록 설명해 놓았습니다. 중학교 2학년 1학기 중간고사를 대비하는 중2 학생들에게 도움이 되었으면 합니다. 이해가 잘 되지 않는 부분이 있으시면 댓글 남겨주시면 답변해드리겠습니다.^^

원문보기 내부링크
Naver Blog

중2 수학, 중간고사 대비 단, 다항식의 계산 시험에 꼭 나오는 문제 - 5문항

중학교 2학년 1학기 단, 다항식의 계산 단원에서 학교 시험에 자주 나오고, 학생들이 잘 틀리는 문제 5문항을 골라봤습니다. 학생들이 실수하는 부분을 꼭꼭 짚어서 풀이해 드리겠습니다. 1. 단항식 계산 - 빈칸 채우기. 풀이> 그림 1 > 이런 방법으로 풀면 많은 칸을 다 구하지 않고 단 두 줄만 계산하면 됩니다. 빠르고 정확하게 답을 낼 수 있습니다. 2. 단항식의 계산 - 자릿수 구하기. . 3. 지수법칙 지수법칙에서 곱셈은 지수의 합, 나눗셈은 지수의 차!! 꼭 기억해야 합니다. 4. 지수법칙 단위를 붙여서 풀어야 헷갈리지 않고 정확하게 풀 수 있습니다. 5. 단항식의 계산 문제를 고르다 보니 단항식 계산만 골랐네요. 다항식 계산은 조금 복잡한 계산 정도가 시험이 나와서 연산만 정확하게 하면 됩니다. 학생들이 문제들의 풀이를 정확하게 익혀서 시험에 도움이 되었으면 합니다.^^

원문보기 내부링크
Naver Blog

중간고사 대비 중2 일차부등식 풀이, 시험에 잘 나오는 문제 - 5문항

중2 학생들이 어려워하는 일차부등식입니다. 학생들은 일차부등식 풀이에서 조금 어려워하다가 일차부등식 활용에 들어가면 너무 어렵다고 합니다. 이번엔 우선 일차부등식부터 짚어보지요. 일차부등식에서 자주 출제되는 문제는 부등식 성질, 풀이인데 부등식의 성질을 정확히 이해하고 있어야 풀 수 있습니다. 1. 부등식의 성질 2. 부등식의 성질을 이용해 범위 구하기. 3. 해 조건이 주어질 때 4. 부등식 성질을 활용한 일차부등식 풀이 5. 해 조건이 주어질 때 부등식을 어려워하는 학생들에게 도움이 되었으면 합니다. 이해가 안 되는 부분은 댓글 남겨주시면 답변해 드리겠습니다.

원문보기 내부링크
Naver Blog

중2 수학, 중간고사 대비 일차부등식 활용, 시험에 꼭 나오는 문제 - 5문항

중2 중간고사를 위한 대비 문제, 시험에 꼭 나오는 문제입니다. 이번엔 중2 학생들이 너무너무 어려워하는 일차부등식 활용 문제 중 시험에 많이 나오지만 학생들이 어려워하는 문제 5문항을 가지고 왔습니다. 차근차근 일차부등식 활용을 정복해 볼까요? 부등식 활용 문제를 푸는 프로세스 1. 미지수 x 설정하기. 2. 부등식 세우기. 3. 부등식의 해 구하기. 4. 문제의 뜻에 맞는 답 쓰기. - 이 풀이 과정만 정확하게 숙지해도 반은 푼 것입니다. 일차부등식의 미지수는 x만 있습니다. 연립방정식과 헷갈려서 y를 쓰는 경우가 있는데 x만 있습니다. 문제에서 x에 해당하는 곳에 밑줄을 치거나 적어놓습니다. 부등식을 세우고, 해를 구합니다. 그리고 마지막으로 문제에서 요구하는 답의 조건을 확인한 후 문제의 조건에 맞는 답을 쓰면 됩니다. 1. 도형의 넓이 문제 2. 거리, 속력, 시간 문제 3. 입장료 문제 4, 원가, 정가 문제 5. 원가, 정가 문제 일차부등식 활용에서 학교 시험에 잘 나

원문보기 내부링크
Naver Blog

중3 수학 중간고사 대비, 시험에 꼭 나오는 문제, 제곱근 -9문항

중3 학생들을 위한 학교 시험 대비 문제를 가지고 왔습니다. 시험에 자주 출제되지만, 학생들이 어려워하는 문제들 위주로 골라봤습니다. 아는 문제라도 풀이가 좀 더 효율적일 수 있으니 한 번 점검해 보는 것도 좋을 것 같습니다.^^ 1. 제곱근의 성질을 활용한 정사각형 둘레의 길이 구하기. 제곱근의 성질을 이용해 정사각형의 한 변 길이를 구한 후, 도형의 둘레는 그림에 표시된 방법으로 효율적으로 구하면 됩니다. 2. 닮음을 활용한 복사용지 문제 , 3. 닮음을 활용한 제곱근 계산 4. 제곱근 계산 5. 제곱근의 성질을 이용한 활용 문제 (방 크기 구하기) 6. 제곱근의 성질 7. 제곱근보다 작은 자연수 개수 문제 8. 제곱근의 대소 비교 제곱근 대소 비교는 두 수의 차로 판단합니다. 9. 닮음을 활용한 도형 문제 2-2에서 닮음을 배운 이후엔 제곱근, 식의 계산, 이차방정식, 함수 등 어디서든 일단 도형이 나오면 닮음이겠구나 생각해도 무방합니다. 닮음을 활용한 문제들은 특히 심화문제로

원문보기 내부링크
Naver Blog

중3 다항식의 계산, 곱셈공식 시험에 꼭 나오는 문제 - 5문항

중3 학생들을 위한 시험에 꼭 나오는 문제, 다항식의 계산, 곱셈공식입니다. 곱셈공식 단원에서는 곱셈공식을 이용해서 도형의 넓이, 식의 값을 구하는 문제가 많이 출제됩니다. 곱셈공식은 당연히 암기가 되어있어야 하겠지요. 당연한 이야기지만 이미 배운 전 단원의 개념을 넣어서 문제를 출제하니까 전에 배운 내용들도 다 알아야 합니다. 그럼 지금부터 문제 풀이를 해 볼까요? 1. 곱셈공식을 이용해 도형의 넓이 구하기. 2. 곱셈공식으로 도형의 넓이 구하기. 3. 제곱근 성질을 이용해 식의 값 구하기. 무리수인 해를 구하고 식의 값을 구할 때, 절대 그냥 대입하는 일은 없다고 봐도 무방합니다. 특히 이차식의 값을 구할 땐, 우변에 무리수만 남겨놓고 이항, 양변을 제곱해서 식의 값을 구합니다. 4. 제곱근 계산으로 도형의 넓이 구하기. 도형의 둘레는 위 그림과 같이 구하는 게 좋습니다. 5. 곱셈공식으로 식의 값 구하기. 합차공식을 이용해 식의 값을 구하는 문제는 자주 출제됩니다. 이해를 돕기

원문보기 내부링크
Naver Blog

중3 학교 시험을 잘 보기 위해 인수분해를 잘 하는 방법-인수분해의 기본

인수분해를 어려워하는 학생들이 많지요. 인수분해는 처음에는 좀 어려워도 공부해서 알고 나면 어느 정도 감이 옵니다. 감이 오려면 어떻게 해야 할까요? 문제를 많이 풀어보면 됩니다. 그런데 그것만 알려드린다면 비법이 아니겠지요. 문제를 볼 때 어떻게 접근해야 하는지를 고민을 하면서 보는 게 필요합니다. 그래도 어느 정도 가이드라인은 있어야 하겠지요. 인수분해를 하려면 꼭 알아야 할 것. 인수분해를 할 때 봐야 할 것 1. 공통인수 2. 공식 3. 공통부분이 있으면 치환 4. 내림차순 정리 문자의 차수가 다르면 낮은 차수의 문자로 정리 차수가 같으면 a나 x에 관하여 내림차순 정리 식을 볼 때, 위 순서대로 머릿속에서 떠올리면서 어디에 해당하는지 판단하면서 문제에 접근하면 훨씬 수월합니다. 당연히 위의 내용은 외워두는 게 좋겠지요. 인수분해를 할 때 염두에 두어야 할 것 - 식 변형의 목적 공통인수 만들기 합차공식 만들기 대부분의 인수분해 문제들은 그냥 인수분해 되지 않습니다. 적당

원문보기 내부링크
Naver Blog

중3 학교 시험에 잘 나오는 인수분해 문제 - 6문항

중3 학생을 위한 시험에 잘 나오는 문제입니다. 이번에는 학생들이 어려워하는 인수분해 문제입니다. 저번에 인수분해의 기본을 설명해 드렸으니 인수분해를 하는 방법에 대한 게 궁금하시다면 보고 오시면 됩니다. 글 맨 아래에 링크 넣어놓을게요. 학교 시험에 잘 나오는 인수분해 문제들을 풀어볼까요? 1. 합차공식을 이용한 문제 언제나 인수분해의 처음은 공통인수를 찾는 것입니다. 곱셈으로 되어있는 식에서는 공통인수도 다 곱해줘야 합니다. 2. 인수분해를 활용한 수 계산 수 계산 1. 한 숫자 중심으로 식 쓰기. 2. 분수가 나오면 약분될 거라는 걸 생각할 것. - 식의 계산 단원에서 수 계산이 나오면 언제나 같은 방식으로 접근합니다. 3. 식의 값이 소수인 인수분해 문제 식의 값이 소수인 문제는 인수 중 작은 쪽이 1이라는 것을 기억해야 합니다. 4. 제곱근 성질을 활용한 인수분해 문제 5. 인수분해식에서 상수항 구하기. 6. 다항식이 완전제곱식일 때 미지수 구하기. 중학교 3학년 1학기

원문보기 내부링크
Naver Blog

블로그 글을 베껴가면 다 신고할 예정입니다.

안녕하세요. 은지쌤입니다. 처음으로 여러분들께 전달하는 이야기를 하는데 조금 불편한 말씀을 드리게 되어 죄송합니다. 얼마 전 인터넷을 보다가 저의 블로그 글과 똑같은 글을 발견했습니다. 분명 썸네일은 다르니까 제 글이 아닌 건 확실한데, 글의 구성, 순서, 표현까지 같더군요. 도입부와 중간중간 본인 글인 것처럼 수정한 것 외에 모두 똑같았습니다. 제 글을 베껴 쓸 정도로 맘에 들었나 봅니다. 그 블로거가 누군지 들어가 보니 모 학원 블로그인 것 같았습니다. 제 글을 카피한 글은 제가 글을 올린 지 이틀 후에 올린 것 같았습니다. 좀 화가 났지만, 저도 블로그를 시작한 지 얼마 되지 않아서 이런 일이 처음이라서 일단 넘어갔습니다. 그런데 그저께 또 제 글과 똑같은 글이 올라와서 보니까 또 같은 곳에서 베껴 썼더군요. 이대로는 안 되겠다 싶어서 네이버 고객센터에 저작권 침해로 신고를 했습니다. 그리고 어제 그 블로거가 제 저작권을 침해한 것이 인정되어 네이버 측에서 카피 글의 게시물 게

원문보기 내부링크
Naver Blog

중3 학교시험에 꼭 나오는 중간고사 대비 식의 계산 문제 - 곱셈공식, 인수분해 6문항

저번에 중3 곱셈공식과 인수분해 문제 풀이를 올렸었는데 문제가 조금 부족하지 않나 싶은 생각이 들었습니다. 그래서 곱셈공식과 인수분해 문제를 몇 문제 가지고 왔습니다. 중3 수학시험에 꼭 나오는 문제 - 곱셈공식과 인수분해 2편!!! 지금 문제 풀이 들어갑니다. 1. 합차공식을 활용한 분모의 유리화 문제 2. 곱셈공식을 이용한 무리수 계산 3. 곱셈공식을 이용한 제곱근 계산 4. 곱셈공식 변형을 이용한 제곱근 계산 5. 인수분해의 인수 찾는 문제 6. 인수분해를 활용한 식의 값 구하기. 중3 학생들을 위한 식의 계산 문제들을 풀이해 드렸습니다. 열심히 공부해서 시험 잘 보세요~^^ 이해가 안 되거나 궁금하신 내용 있으면 댓글 남겨주시면 답변드리겠습니다. 전에 올린 인수분해 방법과, 다항식 계산, 인수분해 문제 풀이 링크 남겨드립니다. 공부하실 분은 보시면 됩니다.^^ https://m.blog.naver.com/matina76/223073062402 중3 학교 시험에 잘 나오는 인수

원문보기 내부링크
Naver Blog

수학을 어려워하는 학생이 학교 수학시험에서 좋은 성적을 받아야 하는 이유

대부분의 학생들이 수학을 어려워합니다. 어려우니까 싫고 그러니까 안 하고, 안 하니까 더 못 하고 이런 악순환이 반복되는 겁니다. 이런 악순환의 고리를 끊으려면 어떻게 해야 할까요? 수학을 잘 하면 됩니다. 너무 당연한가요? 그게 쉬우면 고민을 하지도 않겠지요. 그런데 잘 생각해 보면 못 할 것도 없습니다. 학생들이 중학교 때 중간고사, 기말고사를 봅니다. 보통 중학교 수학의 경우 내신대비를 한 달 정도 합니다. 중학교 수학은 아직 많은 내용을 배운 게 아니라서 열심히만 하면 충분히 좋은 성적을 낼 수 있습니다. 첫 중간고사를 보는 학생들이나, 지금까지 좋은 성적을 받아보지 않은 학생들에게 강조하는 말이 있습니다. "열심히 해서 한 번만 성적을 내 봐. 그럼 해도 안 된다는 생각이 사라질 거야. 그럼 수학 공부가 할 만하다는 생각이 들걸." 수학을 어려워하고 싫어하는 학생들은 수학에 대한 자신감이 없습니다.. 나는 해도 안 된다는 생각을 많이 하면서 수학을 붙들고 있지요. 그러니 내

원문보기 내부링크
Naver Blog

중학교 수학 내신 대비 중반에 꼭 점검해야 할 것

대부분의 중학교 중간고사가 4월 말이나 5월 초에 있습니다. 시험 2주 전엔, 지금 이 시점에 시험을 잘 준비하고 있는지 점검이 필요합니다. 그래야 남은 기간에 효과적으로 마무리할 수 있겠지요. 학생의 현재 상황을 판단하기 위해 해야 할 것 - 시간을 재면서 모의고사를 보고 그 결과를 보고 학생의 약점을 파악합니다. 시험 2주 전에 꼭 점검해야 할 것. 1. 시간 내에 문제를 풀어내고 있는가? 시간 내에 다 풀 수 있는지, 시간을 재는 것에 대한 압박감에 떨고 있지는 않은지 확인합니다. 2. 모르는 문제가 얼마나 되는가? 모르는 문제가 많은 단원이 어딘지, 모르는 유형의 무엇인지 확인해야 하지요. 3. 실수 유형이 무엇인가? 어떤 실수를 하고 있는지, 실수의 원인이 무엇인지 파악합니다. 4. 서술형 문제를 잘 서술하고 있는가? 문제점을 알아냈으면 이제 대책을 세워야 하지요. 시험 때까지 채워야 할 것은? 1. 25문제를 30분에 풀게끔 시간을 재면서 푼다. - 푸는 문제마다 다

원문보기 내부링크
Naver Blog

학교 시험 일주일 전 시험 대비 마무리 잘 하는 법

중간고사 D-day가 일주일 앞으로 다가왔습니다. 시험 일주일 전 반드시 챙겨야 할 것들은 무엇일까요? 1. 교과서 문제 풀기. - 학교 교과서는 반드시 풀어봐야 합니다. 중단원, 대단원, 본문의 창의 유형, 본문의 문장제 문제, 생각열기 문제 등 매우 꼼꼼히 풀어야 합니다. 중학교 시험문제는 교과서와 유사한 문제가 출제되기 때문에 반드시 꼼꼼하게 챙겨야 합니다. 틀렸던 문제나 몰랐던 문제는 따로 표시해 놓고 여러 번 풀어서 완벽하게 숙지해야 합니다 2. 학교 프린트 풀기. - 학교 프린트가 없다면 신경 쓰지 않아도 되지만, 학교에서 수업 시간에 한 프린트가 있으면 반드시 꼼꼼하게 풀고 몰랐던 문제와 틀렸던 문제는 여러 번 풀어서 완벽하게 숙지합니다. 3. 지금까지 자주 틀렸던 문제들은 따로 정리해서 암기. 4. 다른 과목 공부로 수학을 너무 미뤄두면 안 돼요. - 안타깝게도 학생들은 공부를 안 하면 너무 잘 잊어버립니다. 매일 30분씩이라도 수학 문제를 풀어야 감각이 유지됩니다.

원문보기 내부링크
Naver Blog

중3 학생들이 반드시 암기해야 할 곱셈공식과 변형 공식

중간고사를 일주일 앞둔 지금 설마, 아직도 못 외우지는 않겠지 싶었습니다. 그런데, 혹시나 하는 마음에 학생들한테 백지에다가 외워서 쓰라고 했는데 역시나였습니다. 정확히 외우지 못하더군요.ㅠㅠ 언제나, 학생들을 철석같이 믿지 말고 확인을 해야겠다는 생각을 했습니다. 그래서 오늘, 시험을 앞둔 모든 중3 학생들도 함께 점검해야겠다는 생각이 들었습니다. 중3 곱셈공식 - 5개 곱셈공식의 변형 - 8개 곱셈공식 5개, 변형공식 8개를 모두 암기해야 합니다. 곱셈공식과 변형 공식에 개수를 알려주는 것은 개수를 알면 빼먹지 않고 외우기 쉽기 때문입니다. 아래 x와 1/x 변형 공식을 위의 공식에서 a, b를 x, 1/x로 바꾼 것뿐이니까 사실상 같은 공식입니다. 학생들이 활용을 잘 하려면 그래도 함께 암기하는 것이 낫습니다. 곱셈공식을 암기했는지 점검을 할 땐, 아무것도 쓰여있지 않은 백지를 주고 시험을 봅니다. 미리 써야 할 것을 주면 완벽하게 암기가 되지 않기 때문입니다. 오늘 학생들

원문보기 내부링크
Naver Blog

중학교 중간고사를 일주일 앞둔 학생들의 멘탈 관리

중학생 아이들은 아직 어려서 뭐든지 지속성이 떨어지는 경우가 많습니다. 내신 대비를 처음 시작할 때, 선생님이 분위기를 딱 잡고 가면 일주일은 열심히 따라옵니다. 그러다가 여러 학원들이 시험 대비로 시간도 늘어나고 과제도 많고 나름 시험이라고 계획도 세우다 보면, 학생들이 더 타이트하게 챙겨야 할 텐데, 그 많은 학원에서도 재미있게 보내는 방법을 찾습니다. 그래서 2주 째에는 학생들이 정말 말을 안 듣습니다. 오죽하면 학생들이 이런 말을 할까요? 내신대비 기간에는 공부 외엔 다 재밌다고요. 그러다 3주 째에는 각 학원의 선생님들의 잔소리에 다시 집중을 하기 시작합니다. 시험 전 주엔 해야 할 건 많은데 제대로 해놓은 게 없어서 학생들의 마음이 급해집니다. 약간의 긴장감으로 아픈 학생들도 생기고요. 중학생들은 아직 어린 학생들이라 어느 정도의 멘탈 관리도 선생님이 해주는 것 같습니다. 학생들의 불안감을 덜어주는 멘탈 관리 미리 공부를 타이트하게 시켜서 3주 안에 성적이 나오게끔 하기

원문보기 내부링크
Naver Blog

알아두면 쓸모 있는 사소하지만 유용한 수학 꿀팁!!!

사소하지만 알아두면 유용한 수학 꿀팁입니다. 어디서도 볼 수 없는 팁 방출해 드립니다~ 1. 수 개수 세기. 문제에서 수의 개수를 세는 문제에서 개수를 세다가 잘못 세어서 틀린 경험이 있을 겁니다. 어떻게 세어야지 틀리지 않을까요? 손가락으로 세어야 할까요? 손가락으로 세는 건 20-30개 정도면 모르지만 100개를 넘기면 무리겠지요? 335부터 1025까지의 자연수의 개수는 몇 개일까요? 1부터 1025까지는 1025개, 335부터니까 포함되지 않는 수까지를 뺀다고 생각합니다. 334까지는 포함되지 않습니다. 1025-334=691 - 이렇게 계산하면 절대 헷갈리지 않습니다. 꼭 기억하세요!!! 전체수 개수에서 포함되지 않는 수까지를 뺀다!!! 1+3+5....+51 구하기. 처음과 끝을 더해서 합을 구해서 그 개수를 곱합니다. 1+51=52, 3+49=52 이런 식으로 합이 다 52입니다. 52가 되는 짝의 개수를 세는 법 1부터 52까지의 수 중 홀수만 있는 것으로 생각합니다.

원문보기 내부링크
Naver Blog

학교 시험에서 떨지 않을 수는 없을까요? 시험 울렁증 극복하는 법

시험지를 받으면 너무 떨려요. 하나도 생각이 안 났어요. 지금 보면 다 아는 건데 왜 이렇게 풀었는지 모르겠어요. 시험을 볼 때 유독 긴장을 하는 학생들이 있습니다. 시험에서 너무 떨면, 제 실력을 발휘하기가 어렵죠. 긴장해서 시험을 망친 경험이 많아지면, 학생은 걱정과 두려움이 커져서 점점 더 긴장이 될 거예요. 그럼 시험은 또 망치고, 악순환이 반복되는 거죠. 계속 이럴 수는 없지요. 어떻게 하면 시험 울렁증이 극복이 될까요? 떨지 말라고 말한다고 해서 안 떨릴 수는 없겠지요. 어떻게 하면 시험에서 덜 긴장할 수 있을까요? 시험 울렁증 극복하는 방법 1. 시험을 많이 경험하기. - 그냥 경험하는 게 아니라 담대하게 시험을 보고 점점 나아지는 경험을 쌓는 게 중요합니다. 긴장해서 실패한 경험을 많이 하게 되면 오히려 역효과가 납니다. 그러니 시험을 치르면서 하는 경험을 잘 쌓아야 하겠지요. 2. 공부를 충분히 많이 해서 모르는 게 많지 않게끔 한다. - 충분히 대비와 연습이 되어

원문보기 내부링크
Naver Blog

연산이 약하다면? 중2 다항식 계산, 연산 실수 줄이는 법 - 다항식 계산 4문항

중2 다항식 계산 단원은 연산 문제가 시험에 나오는 편이라서 포스팅을 하지 않았는데요. 요즘 시험 대비를 하다 보니 학생들이 연산을 틀리는 경우가 너무 많더군요. 그래서 준비했습니다. 중2 다항식 계산 연산 실수를 줄이고 효과적으로 연산하는 법입니다. 다항식 계산에서 주의해야 할 점 1. 나눗셈은 역수로 바뀌서 곱셈으로 계산한다. - 곱셈은 교환법칙과 결합법칙이 성립하기 때문에 계산 순서를 신경 쓰지 않아도 됩니다. 그러나 나눗셈은 순서가 바뀌면 식의 값이 바뀝니다. 나눗셈 계산을 곱셈으로 바꿔주면 훨씬 쉬워집니다. 2. 분수에서 분모가 하나인 경우 약분을 주의한다. 3. 음수 부호를 미리 분배한다. - 괄호 앞에 음수 부호가 있고 괄호 뒤에 곱셈이나 나눗셈이 있는 경우, 분수 앞에 음수 부호가 있는 경우에는 미리 부호를 분배해놓으면 실수를 줄일 수 있습니다. 이제 문제를 풀어 볼까요? 1. 2. 3. 4. 연산은 많이 풀어보는 게 중요한데, 그냥 기계적으로 풀기만 하면 늘지 않습

원문보기 내부링크
Naver Blog

중3 제곱근 계산, 연산 실수 줄이는 법 - 제곱근 계산 3문항

시험 대비를 하면서 보면 학생들이 연산 실수를 너무 많이 합니다. 어떻게 하면 연산을 틀리지 않고 정확하게 풀 수 있을까요? 연산만 정확하게 하더라도 점수의 앞자리가 바뀔 겁니다. 중3 제곱근 계산 실수 없이 정확하게 푸는 법!!! 지금부터 알려드립니다. 제곱근 계산을 효과적으로 하는 법 1. 제곱수는 루트 밖으로 내어놓고 본다. - 루트 안의 수가 같아야 덧셈과 뺄셈이 가능합니다. 2. 분수의 나눗셈은 곱셈으로 바꾸어놓고 계산한다. - 곱셈은 교환법칙이 성립하니까 순서를 고려하지 않고 계산해도 되지만, 나눗셈은 순서대로 계산하지 않으면 틀립니다. 식이 복잡해지면 순서가 헷갈릴 수 있으니 분수의 나눗셈은 역수로 바꾸어 곱셈으로 계산하는 게 좋습니다. 3. 음수 부호는 미리 분배해놓는다. - 음수 부호를 미리 분배해 놓으면 빼먹는 일을 줄여줍니다. 4. 문제를 봐 가면서 변형한다. - 문제를 기계적으로 아무 생각 없이 계산하지 말고 조금 멀리 보고 편리하게 변형하는 게 좋습니다. 약

원문보기 내부링크
Naver Blog

수학 시험 전날 꼭 해야 하는 것. 시험 잘 보려면 이건 꼭 해야 해요.

중학교 중간고사가 며칠 앞으로 다가왔습니다. 시험을 며칠 앞둔 시점에 챙겨야 할 것들을 가지고 왔습니다. 학교 수학시험을 잘 보기 위해서 꼭 챙겨야 할 것 1. 교과서, 학교 프린트, 마무리 문제를 다 풀고 오답 풀이를 했는지 확인하고, 마무리를 덜 했다면 마무리합니다. - 시험 전 일주일 전부터 챙기고 있던 것을 마무리하는 겁니다. 2. 문제를 시간을 재서 시험처럼 문제를 풀어봅니다. - 시험을 봐서 성적이 잘 나오게끔 여러 문제들을 풀어보는 게 좋습니다. 성적이 잘 나오면 자신이 붙어서 실전에서 덜 떨게 됩니다. 시험을 보면서 시간 배분은 잘 하고 있는지, 실수하는 건 뭔지 확인하고, 보완할 게 있으면 보완합니다. 3. 교과서, 학교 프린트, 마무리 문제에서 틀렸던 문제들을 2번씩 풀고 완벽하게 암기합니다. - 이게 가장 중요합니다. 틀렸던 문제를 다시 풀면서 암기했는지 아닌지가 적어도 두 문제 이상의 더 맞는지 아닌지의 차이를 만듭니다. 한 달 동안 공부한 것을 잘 마무리해야

원문보기 내부링크
Naver Blog

학교 수학시험에서 20점은 더 받을 수 있는 비법

드디어 D-day, 한 달 동안 준비한 게 다 이 하루를 위한 거였지요. 물론 앞으로의 수학 공부를 위해 과정을 마스터한다는 의미도 있지만, 일단은 시험을 잘 보는 게 먼저지요.. 이제까지 한 달 동안 열심히 공부했으니 실전에서 최대치를 끌어내야 하겠지요? 학교 수학시험에서 20점은 더 받을 수 있는 비법!!! 지금부터 공개합니다. 학교 수학시험에서 20점은 더 받을 수 있는 비법 1. 문제를 정확히 읽는다. - 문제만 정확히 읽어도 몇 문제는 더 맞을 수 있습니다. 문제를 읽으면서 물어보는 것에 동그라미를 치고 풀고, 조건에 밑줄을 그어 정확하게 읽고 문제를 풀어야지요. 2. 모르는 문제는 일단 넘어가고 아는 문제부터 정확히 풀기. - 수학 시험에서는 모르는 문제가 나온다고 생각하는 게 속 편합니다. 1분 생각해서 정확한 풀이가 생각나지 않는다면 일단 넘어가고 아는 문제부터 정확히 풀고 답안지 작성까지 마친 후에 다시 그 몰랐던 문제를 풀어야 합니다. 정확히 답을 낼 자신이 없는

원문보기 내부링크
Naver Blog

중2 연립방정식 활용 - 시험에 잘 나오는 문제 유형 - 8문항

지난번에 연립방정식 활용 문제를 쉽게 푸는 법을 알려드리고 유형 문제들을 풀어봤어요. 연립방정식 활용은 문제의 유형이 많아서 좀 더 공부해야 합니다. 이번에는 지난번에 풀이하지 않은 문제 유형들을 풀어볼 겁니다. 지난 시간에 배운 내용을 떠올리면서 문제를 읽어볼까요? 연립방정식 활용 문제를 쉽게 잘 푸는 법에 관해 궁금하시면 맨 아래쪽에 지난번 포스팅한 내용 링크 걸어놓을 테니 보고 오셔도 될 것 같아요. 이제 문제 유형 들어갑니다~^^ 1. 생산량 x, y를 설정을 하는 것을 주의해야 합니다. 기계 1대가 1분 동안 생산하는 양을 미지수로 설정합니다. 2. 증가, 감소 (수확량) 풀이에서 보면, 미지수는 작년 포도와 복숭아의 수확량입니다. 연립방정식의 해를 구하고 올해의 수확량을 구해서 답을 써야 합니다. 3. 증가, 감소 (학생 수) 작년 남학생 수와 작년 여학생 수를 미지수로 설정하고 식을 세웁니다. 식을 세우는 방식은 2번 문제와 같습니다. 해를 구한 후 올해 여학생 수를 구

원문보기 내부링크
Naver Blog

이차방정식 활용, 중3-1 학교시험 대비, 9문항

이번에는 이차방정식 활용 문제 중에서 시험에 자주 나오는 유형들을 가지고 왔어요. 너무 쉬운 문제들은 제외하고, 잘 나오지만 학생들이 많이 틀리는 문제들입니다. 쉽지는 않은 문제들이니 집중해서 팍팍 해서 공부해 볼까요? 먼저 이차방정식 활용 문제를 푸는 방법부터 짚고 갈게요. 이차방정식 활용 문제 푸는 법 1. 미지수 x를 설정한다. 2. 이차방정식 세우기. 3. 이차방정식의 해 구하기. 4. 문제의 조건에 맞는 답 쓰기. 보통 이차방정식의 해는 두 개가 나오지요? 그중 문제의 조건에 맞는 답만 써야 합니다. 이차방정식 활용 문제에서는 답이 하나일 수도 있고, 두 개일 수도 있어요. 이제 본격적으로 문제를 풀어볼까요? 1. 문제에서 좌표 a의 식으로 설정하고 직사각형의 넓이로 a 값을 구합니다. 이차방정식의 해가 2개가 나와서 좌표도 2개를 구했지만, 보기에 있는 답으로 고른 겁니다. 2. 3. 2-2에서 닮음을 배운 이후에는 방정식이나 함수 문제에서 도형이 나오면 닮음을 염두에

원문보기 내부링크
Naver Blog

일차함수 활용, 중학교 2학년, 기말고사 대비 수학 마무리 문제

중2 일차함수 단원에서 특히 어려워하는 부분인 활용 문제들을 풀어볼 거예요. 다양한 문제들을 가져왔으니 잘 보고 공부하면 어렵지 않을 거예요. 유형별로 문제 푸는 꿀팁도 있으니까 꼭 머릿속에 챙겨가세요~^^ 먼저 일차함수 문제를 푸는 방법부터 기억해야지요. 일차함수 활용 문제 푸는 법 1. x, y를 설정한다. 2. 일차함수 식 세우기, 3. 문제에서 구하려고 하는 답 구하기. 이제 문제를 풀어볼까요? 준비되었나요? 1. 소리의 속력과 기온 문제에서 속력이 일정하게 증가한다. : 일차함수라는 뜻입니다. 문제를 읽으면서 바로 알 수 있어야 합니다. 2. 양초의 길이와 시간 이 문제처럼 그래프가 나온 문제는, 문제를 읽기 전에 무조건 그래프를 보고 식부터 구합니다. 1. 그래프를 보고 식부터 구한다. 2. 문제를 보고 x, y를 확인한다. 3. 문제의 답을 구한다. 이런 순서로 문제를 풀어야지 빠르게 답을 낼 수 있습니다. 3. 사각형과 만나는 그래프의 기울기 구하기 y=ax-1의 그

원문보기 내부링크
Naver Blog

일차함수 그래프, 시험 대비 총정리 문제, 중2 - 10문항

기말고사를 앞두고 일차함수를 모두 복습하는 문제를 가지고 왔어요. 쉽지만 간과하기 쉬운 문제도 있으니까 보고 아는지 모르는지 점검을 해보는 것도 좋을 것 같습니다. 이번 포스팅에서는 일차함수 그래프의 성질에 대한 문제들만 풀어볼게요. 1. x축 위에서 만난다. : x 절편이 같다. y 축 위에서 만난다. : y 절편이 같다. 2. x 값이 3 증가할 때 y 값은 9 감소한다. : x 증가량이 3, y 증가량이 -9, 기울기에 대한 정보를 준 것이라는 것을 알아야 해요. 3. 한 직선 위에 있다. : 일차함수 식이 같으므로 기울기가 같습니다. 4. 사분면 문제는 기울기와 y 절편의 부호를 판단해서 그래프를 그려봅니다. 여기서는 3사분면을 지나지 않는다고 했으니 위의 그림처럼 y 절편이 0보다 크거나 같습니다. 5. 도형의 넓이를 구할 때는, 필요한 좌표를 구한 뒤 선분의 길이를 구하고 나서 넓이를 구합니다. 6. 7. 사분면을 지나는지 지나지 않는지 판단하려면 반드시 그래프를 그러봅니

원문보기 내부링크
Naver Blog

연립방정식 활용, 중2, 총정리 문제 - 7문항

지난번에 연립방정식 활용 문제를 유형별로 풀어봤었어요. 기말고사 보기 전에 마무리를 할 문제를 골라봤어요. 꼭 알아야 할, 중요한 문제들을 가득 가지고 왔으니까 집중해야 해요!!! 문제 풀기 전에 기억해야 할 것을 먼저 짚고 갈게요. 연립방정식 풀이 1. x, y를 꼭 설정해서 적어둔다. 2. 연립방정식 세우기. 반드시 식은 2개여야 합니다. 1-1 일차 방정식으로 식이 세워지더라도 2-1에서는 x, y에 관한 연립방정식으로 식을 세워야 합니다. 3. 해를 구하고 반드시 물어보는 게 뭔지 확인하고 답 쓰기. 1. 학생 수 증가, 감소 문제 항상 작년 남학생, 여학생을 x, y로 설정합니다. 학생 수에 관한 식, 학생 수의 증가, 감소에 관한 식으로 연립방정식을 세우고, 해를 구합니다. 답을 쓸 때는, 물어보는 게 무엇인지 반드시 확인합니다. 여기서는 올해 여학생 수를 구했습니다. 2. 물탱크에 물을 채우는 문제 물을 채우거나 일을 하는 문제는, 물을 다 채우면 1, 일을 다하면 1

원문보기 내부링크
Naver Blog

이건 꼭 알아야 해!!! 중2 연립방정식 풀이, 시험 대비 마무리용 문제

중학교 기말고사는 대부분 6월 말, 7월 초에 봅니다. 시험까지 20일 정도 남았는데... 시험공부를 다들 열심히 하고 있지요? 수학도 개념도 정리하고 유형 문제들을 풀면서 공부를 하고 있을 거예요. 열심히 한 만큼 성과가 나면 좋겠지요? 쌤도 그런 마음을 담아서, 문제를 추가해서 골라봤어요. 이번 포스팅부터는 기말고사 때 꼭 점검할 문제, '이건 꼭 알아야 해!!! 문제'라고 이름 붙여 봤어요. 너무 쉬워서 다 알 것 같은 문제는 제외했고, 쉬워도 잘 틀리는 문제와, 꼭 알아야 하지만 그냥 지나칠 수 있는 개념 문제는 짚고 갈 수 있도록 문제를 선택해 봤어요. 1. 연립방정식 풀이 문제를 많이 풀다 보면 의외로 기본 문제를 잊어버리는 경우가 있어요. x, y가 자연수일 때, 해를 순서쌍으로 구해야 합니다. 당연히 해가 여러 개 나올 수도 있습니다. 2. 연립방정식의 해가 서로 같을 때, x, y 외의 미지수가 없는 식을 연립하여 해를 구한 뒤 식에 대입하여 a, b의 값을 구합니다

원문보기 내부링크
Naver Blog

좌절은 하지 않기. 계속 꾸준히 계속 나아지기만 하기

요즘 학생들을 보면, 공부의 스타트가 늦어진 학생들이 많아진 것 같아요. 학교들이 자유학년제, 자유학기제를 시행하면서 학생들이 공부에 대한 긴장감을 유지하기가 어려워서 그런 것 같기도 하고, 학교에서 시험을 보지 않으니까 학생들이 공부를 해야 할 필요도, 이유도 못 느끼니까 시간을 그냥 편하게 보내는 일이 많아진 것 같아요. 특히 최근 몇 년 간은 코로나를 겪으면서 갇혀서 지내다 보니 학습적으로 더 무너진 느낌도 있습니다. 여러 가지 이유로 시험을 보기 시작하는 중2, 더 늦게는 중3 때 공부를 시작하려는 학생들도 많습니다. 이제 공부를 시작하려는 학생들은, 습관도 이제 잡아가면서 성적도 내야 하니까 신경 써야 할 것도, 챙겨야 할 것도 많습니다. 처음 공부하는 학생들은 책상에 오래 앉아서 수업을 듣고 늘어난 과제를 하는 것도 힘들어합니다. 안하던 공부를, 흐트러진 생활습관을 바꿔서 시간을 들여서 하려니까 얼마나 힘이 들겠어요. 게다가 성적도 내야 하지요. 또 시작이 늦었으니 마음은

원문보기 내부링크
Naver Blog

수학 공부를 할 때, 문제를 많이 푸는 게 중요한 이유

수학 공부를 할 때, 학생들이 힘들어하는 이유는 문제를 많이 풀어야 하고, 오답 풀이도 많이 해야 하며, 원래도 수학이 어려운데, 난이도가 높은 문제를 어렵다는 것을 느끼면서 많이 풀어야 하기 때문인 것 같습니다. 다른 과목도 마찬가지지만, 수학 공부를 할 때, 다양한 유형의 문제를 많이 접해보는 건 매우 중요합니다. 왜 그럴까요? 많은 문제를 풀어봐야 하는 이유 문제를 풀어봐야 아는지, 모르는지 알 수 있다. 개념을 완벽하게 하고 문제를 푸는 게 좋다고 생각하는 경우가 많은데 문제를 풀어야 어떤 개념을 아는지 모르는지 알 수 있어요. 모르는 부분은 공부를 해서 보완해야 합니다, 개념 공부를 어느 정도 하면, 좀 부족하다 싶어도 문제를 풀면서 부족한 부분을 보완하는 게, 개념을 계속 붙들고 있는 것보다 훨씬 효과적입니다. 아는 것도 문제를 풀어봄으로써 더 확실하게 이해가 됩니다. 문제를 풀어보지 않으면 아는 것과 모르는 것을 판단할 수 없으므로 문제를 풀어서 확인하는 과정은 매우

원문보기 내부링크
Naver Blog

음악을 들으면서 공부를 하는 게 집중이 잘 될까?

학생들이 내신대비 때 문제를 풀 때, 꼭 하는 말이 있습니다. "음악 들으면서 풀어도 돼요?" 학생들의 타당하다는 이유를 들어보면, 지금 개념 설명을 듣는 게 아니고 오답 설명은 문제를 풀고 나서 들을 거니까, 지금 문제를 푸는 동안은 음악을 들으면서 해도 되지 않느냐는 말을 합니다. 그리고 음악을 들으면 집중이 더 잘 된다는 말을 꼭 덧붙입니다. 그럼 음악을 들으면서 공부를 하는 게 집중이 잘 될까요? 많은 뇌과학자들이 말하기를, 개인차가 있기는 하지만 너무 조용한 것보다는 생활 소음이 조금 있는 편이 집중이 더 잘된다고 하고, 음악을 듣는다면 비트가 많지 않고 가사가 없는 음악은 집중력을 높이는 데 도움이 된다고 합니다. 저는 수학을 가르치니까 수학 공부에만 한정해서 본다면, 수학 문제를 풀 때 음악을 듣는다? 조금 회의적인 의견입니다. 절대 안 된다 정도는 아니고 아주 쬐끔, 소극적 수용이라고 해야 할 것 같습니다. mediamodifier, 출처 Unsplash 수학 공부

원문보기 내부링크
Naver Blog

유리함수 유형 문제, 고등수학(하) - 6문항

지난번에 유리함수 개념을 공부했으니 개념을 가지고 문제를 풀어봐야지요. 개념 공부한 것을 떠올리면서 문제를 풀어볼까요? 1. 유리함수 그래프는 점근선의 교점을 지나고 기울기가 +1, -1인 직선과 대칭입니다. 2. 함수의 성질을 묻는 문제는 그래프를 그려놓고 문제를 푸는 게 빠를 수 있습니다. 사분면을 지나는지는 그래프의 위치와 y 절편의 위치를 확인해야 합니다. 3. 역시 유리함수 그래프를 그려놓고 푸는 게 좋습니다. 특히 사분면을 지나는지 지나지 않는지에 대한 문제는 꼭 그래프를 그려야 정확하게 파악이 됩니다. 위에도 같은 내용이 나왔지요? 유리함수 그래프는 점근선의 교점을 지나고 기울기가 +1, -1인 직선과 대칭입니다. 4. 역시 사분면 문제입니다. 사분면을 지나는지 지나지 않는지는 a의 부호, y 절편의 위치를 확인해서 그래프를 그려봅니다. 5. 사분면 문제 중 조금 난이도가 있는 유형입니다. k의 부호와 y 절편의 위치를 확인해서 그래프를 그려봅니다. 두 번째의 2사분면을

원문보기 내부링크
Naver Blog

사진으로 찍는 게 공부에 도움이 될까? 사진 찍기를 공부에 활용하는 법

누구나 편한 게 좋고 귀찮은 건 싫어하지요. 학생들도 당연히 마찬가지입니다. 공부는 사실 귀찮은 것을 참고해야 하는 게 많은데, 아이들은 귀찮으니까 하기 싫어합니다. 그중에 하나가, 개념 설명을 하고, 문제 풀이를 할 때, 칠판에 판서를 합니다. 그리고 적을 시간을 조금 주면, 반드시 누군가는 이런 말을 합니다. "선생님, 사진 찍어도 돼요?" 그럼 과연 사진으로 찍는 게 공부의 효율에 도움이 될까요? 답은, 활용하기에 따라 도움이 될 수도, 안 될 수도 있다는 겁니다. 사진 찍기가 공부의 효율을 떨어뜨리는 측면 이해와 암기의 효율을 저하시킨다. 이해하고 기억을 할 때 가장 좋은 방법은, 보고 듣고 말하고 재구성하는 것입니다. 즉, 수업을 보면서 듣고, 내용을 말해보고, 스스로 내용을 따라 적고, 요약해서 정리해 보고, 다시 머릿속으로 재구성해서 이해해서 다른 사람에게 설명하는 겁니다. 수업을 듣는 동안 최대한 효율을 높이려면, 수업을 보고 들으면서 메모를 하면서 머릿속에 정리를

원문보기 내부링크
Naver Blog

여러 가지 유형의 이차함수 문제, 학교시험에 꼭 나와요, 중3-1

이차함수 문제의 마지막입니다. 여러 가지 문제 유형을 가지고 왔어요. 가능하면 같은 유형이 겹치지 않게끔 문제를 선택했습니다. 오늘도 집중해서 문제를 풀어볼까요? 1 꼭짓점 좌표를 구하고 선분의 길이를 구한 뒤 둘레의 길이를 식으로 표현합니다. 2. 이차함수의 그래프는 축을 중심으로 선대칭이라는 것을 꼭 기억하세요. 3. 이차함수의 일반형에서 그래프를 그릴 때, 그래프의 모양, 축의 위치, y 절편의 위치를 판단합니다. 4. 일반형에서 a, b, c의 부호를 판단하고, 4번은 x=2를 대입했을 때 함숫값의 부호를 봅니다. 5번은 x에 적당한 값을 대입해도 구할 수 없는 식이니까 a, b, c의 부호로 식이 양수인지, 음수인지 판단합니다. 5, 도형의 넓이를 구할 때, 좌표를 모두 구하고 C에서 수선을 그어서 사각형을 만든 후 필요 없는 삼각형을 빼서 넓이를 구합니다. 6. 꼭짓점의 위치를 알려줬을 때, 꼭짓점 좌표를 구하고, 좌표의 부호를 판단해서 m의 범위를 구합니다. 이때 부등식

원문보기 내부링크
Naver Blog

시험에 나오는 문제 유형 , 이차함수 일반형, 중3-1

이번에도 이차함수 문제들을 풀어볼 건데요. 문제의 유형도 참 다양하지요? 학교 시험에서도 이차함수 단원의 문제를 더 비중 있게 내는 편입니다. 예를 들면 시험의 문항수가 20문제인데, 이차방정식부터 이차함수까지 시험범위라면 10/10문제를 내는 것이 아니라 9/11문제를 내는 식이지요. 다른 단원은 다 수행평가로 평가하고 이차함수만 시험을 보는 학교도 있으니, 이 단원을 집중적으로 공부해야지요. 학교에서도 이차함수가 앞으로 수학 공부를 해나가는데 중요한데 학생들이 어려워하는 단원이기도 하니까 비중 있게 다루고 있는 것 아닐까 하는 생각이 들어요. 이렇게 중요한 이차함수 문제 풀이를 해 볼까요? 이번에는 이차함수 일반형의 그래프에 관한 문제들을 풀어볼게요. 1. 표시된 부분의 넓이가 같습니다. 색칠한 부분의 넓이는 직사각형 OABC 넓이와 같습니다. 2. 이차함수 그래프는 축을 중심으로 선대칭입니다. 축의 방정식은 2와 3의 가운데입니다. 3. 두 이차함수의 꼭짓점의 y좌표가 같습니다

원문보기 내부링크
Naver Blog

중3 이차함수, 시험에 잘 나오는, 도형의 넓이, 선분의 길이 문제 - 8문항

지난번에 이어 시험에 자주 출제되는 이차함수 문제를 풀어볼게요. 너무 쉬워서 다 아는 문제 말고, 학생들이 많이 질문하는 문제들을 선택했어요. 그러다 보니 이차함수와 도형이 함께 나오는 문제들이 많아졌어요. 워낙 많이 질문하는 문제들이라 여러 유형을 골라봤지만, 푸는 방법은 다 비슷합니다. 함께 풀어보고, 어렵던 내용을 다 알고 가자구요~ 이차함수 개념과 지난번에 공부한 내용을 떠올리면서!!! 문제를 함께 풀어봐요~^^ 1. 2. A의 x좌표를 a로 놓고 좌표들을 a의 식으로 나타내고 선분의 길이를 식으로 구합니다. 그러고 나서 정사각형의 변 길이가 같다는 것을 이용해서 a의 값을 구합니다. 3. 2번과 비슷합니다. 이 문제가 더 자주 출제되는 유형이니 반드시 알고 있어야 합니다. 4. 이차함수 그래프의 폭에 관한 문제입니다. 삼각형과 두 점에서 만나려면 그래프가 원점을 지날 때와 (4, 0)을 지날 때의 사이를 지나가야 합니다. 5. 도형의 넓이를 구할 때, 필요한 좌표를 구한 뒤

원문보기 내부링크
Naver Blog

이차함수의 그래프, 학교수학시험 대비, 중3-1 - 7문항

중3 이차함수에서 시험에 잘 나오는 문제를 풀어볼게요. 이차함수 개념을 잘 모른다면 따로 설명해놓은 블로그 글이 있으니 공부를 하고 나서 문제를 푸는 것도 좋습니다. 이차함수 개념을 떠올리면서~ 문제를 풀어볼까요? 1. 사분면을 지나거나 지나지 않는 그래프의 문제는 반드시 그래프를 조건에 맞게끔 그려야지 정확하게 파악이 됩니다. 2. 그래프의 개형이 같고 y 축 방향으로 평행이동된 그래프이므로 그림에서 보이는 것처럼 로 표시한 영역의 크기가 모두 같습니다. 의 색칠된 부분을 비어있는 부분으로 옮기면 색칠된 부분은 직사각형 ABCD 넓이와 같습니다. 3. 이차함수에서 도형의 넓이 또는 선분의 길이에 대한 문제는 좌표와 선분 길이를 한 문자를 나타내야 합니다. 4. 5. 사분면 문제는 a와 y 절편의 부호를 판단해서 그래프를 그려봅니다. 6. 이차함수 그래프는 축을 중심으로 선대칭입니다. 문제에서 활용하면 문제가 쉬워집니다. 꼭 기억하세요!!! 7. 이차함수에서 잘 나오는 유형의 문제들

원문보기 내부링크
Naver Blog

일차함수와 일차방정식의 관계, 시험에 자주 나오는 문제, 7문항, 중2-1

중 2-1 일차함수에서 시험에 자주 출제되는 문제 유형들을 풀어보고 있어요. 지난번에 6문제를 풀었고 오늘 7문제를 풀어볼 건데요. 난이도는 너무 낮은 문제는 제외하고 난이도가 중상 정도인 문제로, 웬만하면 유형이 겹치지 않는 문제들로 선택했어요. 너무 특이하고 난이도가 높아서 가끔 나올 수는 있지만 자주 나오지 않는 문제는 제외했습니다. 지난번에 이어서 일차함수 문제 풀이 들어갑니다~^^ 1. 선분의 길이의 비와 선분의 길이가 있으니 선분을 나타낼 수 있는 식으로 나타냅니다. 2. 세 직선의 교점을 구해서 삼각형의 넓이를 구합니다. 3. 삼각형 ABC의 넓이를 구하고 이등분한 삼각형의 넓이를 알아냅니다. 그러고 나서 필요한 좌표를 구합니다. 4. 일차방정식의 평행, 일치, 한 점에서 만날 때의 조건을 꼭 알아야 합니다. 특히 평행에서는 일치할 때는 제외해야 한다는 것을 주의하세요. 5. 평행사변형을 이룰 수 있는 평행한 직선은 두 가지입니다. 그중 조건에 맞는 것을 선택해야 합니다

원문보기 내부링크
Naver Blog

중2-1 일차함수와 일차방정식의 관계, 시험에 꼭 나오는 문제 - 6문항

이번에는 일차함수의 마지막 단원입니다. 시험에 나오기도 하지만 고등수학(상)의 직선의 방정식에서 또 나오는 개념이니까 잘 알아야 합니다. 개념을 잘 모른다면 개념 설명을 해 놓은 게 있으니 보고 공부한 후 문제를 풀어보면 좋습니다. 전에 공부한 개념을 떠올려봤나요? 이제 문제 풀이 들어갑니다. 1. 그래프의 개형을 확인하는 문제는 기울기와 y 절편의 부호를 확인하고 그래프를 그려봅니다. 2. 세 직선으로 둘러싸인 도형의 넓이를 구하려면, 세 직선을 연립해서 교점의 좌표를 구한 뒤 넓이를 구합니다. 3. 직사각형의 가로, 세로의 비가 주어진 경우, 한 좌표의 x좌표를 a로 설정한 뒤, 각 좌표를 a의 식으로 구해서 문제를 풀면 됩니다. 4. 정사각형의 넓이나 한 변의 길이를 구하는 문제는 한 좌표의 x좌표를 a로 설정한 뒤, 각 좌표를 a의 식으로 나타냅니다. 그리고 가로, 세로의 변의 길이가 같다는 사실을 이용해 답을 냅니다. 5. 잘못 보고 그래프를 그린 문제는 제대로 본 기울기와

원문보기 내부링크
Naver Blog

유리함수 그래프의 성질, 고등수학(하)

이번에는 유리함수에 대해 알아볼 거예요. 집중하고~ 유리함수에 대해 알아보지요~ 유리함수 y=f(x)에서 f(x)가 x에 관한 유리식일 때, 유리함수라고 합니다. 유리함수의 구성 : 다항함수/분수함수 유리함수의 정의역 : 정의역이 주어지지 않은 경우 분모가 0이 되지 않도록 하는 실수 전체의 집합 예제> 유리함수의 그래프 유리함수 그래프의 기본적인 성질입니다. 그런데 어디서 본 듯하지요? 중1-1 반비례 그래프입니다. 중1에서 반비례 그래프가 고1 유리함수까지 연결이 됩니다. 중1 때 공부한 내용을 기억해 낸다면, 추가된 내용은 정의역과 점근선 정도입니다. 위의 그래프를 보면 곡선이 x축, y 축과 만나지 않고 한없이 가까워집니다. 이때, 곡선이 한없이 가까워지는 직선을 점근선이라고 합니다. 유리함수 그래프의 평행이동 유리함수의 평행이동도 지금까지 해왔던 방법으로 하면 됩니다. 예를 들어보면, 이 내용을 일반화해서 정리하면, 유리함수 그래프 방금 배운 유리함수식은 점근선이 식

원문보기 내부링크
Naver Blog

중2-1 일차함수의 그래프 시험에 자주 출제되는 문제 - 8문항

이번에는 일차함수 문제에서 시험에 자주 출제되는 문제들입니다. 일차함수 개념을 잘 모른다면 개념 설명을 포스팅한 내용이 있으니 보고 공부를 한 뒤 문제를 푸는 게 좋습니다. 아무래도 자주 나오지만 학생들이 많이 틀리는 문제 위주로 고르다 보니 일차함수의 활용 문제들이 많아요. 문장으로 되어 있는 문제는 문제의 문장이 의미하는 것을 설명해놓았습니다. 문제의 의미가 파악이 되면 문제가 쉬워집니다. 이제 문제 풀어볼게요. 준비되었나요? 1. 문제에서 일정한 비율로 물을 빼낸다.- 일차함수라는 의미입니다. 일차함수 활용 문제에서 x, y가 주어지지 않은 경우에는 반드시 설정해야 합니다. 2. 3, 세 좌표가 한 직선 위에 있다. - 일차함수식이 갈다. 즉 기울기가 같다. 기울기를 구해서 a 값을 구하면 됩니다. 3. 일차함수식이 삼각형을 이등분하는 문제는, 삼각형의 넓이를 구하고 이등분을 해서 나오는 삼각형을 찾아서 두 직선의 교점의 x좌표 또는 y좌표를 구합니다. 그리고 교점의 좌표를 구

원문보기 내부링크
Naver Blog

중2 연립방정식 활용 문제 잘 푸는 법, 기말고사 대비 문제 유형

중2 학생들이 가장 어려워하는 단원 중 하나가 연립방정식 활용입니다. 학생들이 왜 어려워하는지 보면, 문장을 이해를 못한다. - 문해력의 문제 문제를 읽고 식으로 옮기지 못한다. 유형을 몰라서 식을 못 세운다. 꼼꼼함이 부족하여 해를 구하고 나서도 답을 틀린다. 이 정도의 이유가 있습니다. 연방 활용 문제를 잘 풀어내기 위한 방법을 알려드릴게요.~^^ 연립방정식 활용의 기본 1. x, y를 반드시 설정. 2. 연립방정식을 세우기. 3. 해를 구한다. 4. 문제에서 원하는 답을 확인한 후 답을 쓴다. 1. x, y를 설정해서 적어놓은 건, 객관식이든 서술형이든 정말 중요합니다. 다 풀어놓고 뭘 구했는지 몰라서 틀리는 경우가 많으니까요. 2. 연립방정식을 세우는 건, 문제를 읽으면서 옮기는 느낌으로 세우면 됩니다. 몇 가지 유형만 식을 세우는 법을 기억하면 됩니다. 4. 문제에 x, y 설정해서 적어놓은 것을 보고 x, y가 뭔지 확인한 뒤 문제에서 요구하는 답을 꼭 확인합니다. 그리

원문보기 내부링크
Naver Blog

중2 연립방정식 풀이 시험에 잘 나오는 문제 - 중2-1

오랜만에 중학교 과정을 가지고 왔어요. 대부분의 학생들이 이번 주부터 기말고사 내신대비를 합니다. 미리 준비를 해놔야 여유가 있겠지요. 기말고사에는 시험을 보는 과목도 많을 테니까요. 오늘부터 중학교 2-1, 3-1 시험에 잘 나오는 문제 유형들을 포스팅을 할 텐데요. 너무 쉬운 문제와 너무 어려운 문제들은 제외하고 난이도가 있는 문제인데 시험에 잘 나오는 문제 위주로 풀이할 거예요. 여러분들의 100점을 기원하면서~ 연립방정식 풀이, 문제 풀어볼게요~!!! 1. x, y의 비가 주어질 때 연립방정식 풀이 주어진 x, y의 비를 식으로 세워서 연립해서 해를 구한 뒤, a 값을 구합니다. 2. 연립방정식의 해가 같을 때 해가 모두 같으니까 온전히 x, y 만으로 된 식을 연립해서 해를 구한 뒤, 나머지 식에 x, y를 대입해서 a, b 값을 구합니다. 3. x, y의 최소공배수가 주어졌을 때 x, y의 최소공배수가 주어진 문제는 x, y 값이 될 수 있는 값들을 구해서 그중 최소공배수

원문보기 내부링크
Naver Blog

합성함수, 역함수 꼭 알아야 할 유형 문제 - 8문항, 고등수학(하)

합성함수와 역함수의 개념을 배웠으니 문제를 풀어볼게요. 이미 배운 개념을 머릿속에 장착하고~ 문제를 풀어볼까요? 1. 합성함수와 역함수의 성질 역함수의 함숫값이 주어질 때는 역함수를 구하기보다는 역함수의 성질을 사용해서 원래 함수의 함숫값으로 바꿔서 사용하는 게 좋습니다. 2. 그래프에서 실근의 개수 구하기 그래프에서 합성함수의 실근 개수를 구할 때는, 위와 같이 괄호 안을 치환해서 함숫값을 그래프에서 찾습니다. 3. 합성함수, 역함수의 함숫값 구하기 절댓값이 식에 있는 경우, 절댓값 안에 있는 식의 범위를 나눠서 절댓값을 풀어줍니다. 그리고 구한 값이, 식의 범위에 맞는지 꼭 확인합니다. 3. 역함수 그래프 역함수의 그래프는 y=x에 대칭입니다. f(x)와 f(x)의 역함수, y=x는 한 점에서 만납니다. 번거롭게 역함수를 구할 필요 없이 f(x)와 y=x를 연립해서 교점의 좌표를 구하면 됩니다. 4. 합성함수와 역함수 그림에서 색을 달리해 놓은 부분을 잘 보면 이해가 잘될 거예요

원문보기 내부링크
Naver Blog

합성함수 그래프 그리는 법, 그래프를 이용해서 역함수의 함숫값 구하는 법, 고등수학(하)

저번에 합성함수와 역함수 그래프만 따로 포스팅하겠다고 했었지요? 합성함수 그래프 그리는 법과 그래프를 이용해서 역함수의 함숫값 구하는 법을 알려드릴게요. 오늘 할 내용은 잘 보고 이해해야 해요. 이해가 안 되면 그냥 넘어가지 말고 시간을 들여서 뚫어져라 쳐다보면서 반드시 알고 가야 해요. 집중 빡!!! 하고 들어갑니다!!! 합성함수 그래프 그리는 법. 1. 합성되는 함수를 일단 합성한다. 2. 함수의 범위를 보고 그래프에서 구간을 나눈다. 3. 나눈 구간에서 함수식을 합성하고, x의 범위를 구한다. 4. 구간 별로, x 범위와 구한 함수식을 보고 그래프를 그린다. 1. 합성함수의 그래프 2. 합성함수의 그래프 오늘은 합성함수 그래프를 좌표평면 위에 그리는 게 주제이니 (1)의 함숫값은 구하지 않을게요. 잘 보면 맨 처음에 f(x)를 합성하니까 x의 범위를 f(x)의 범위로 바꿔줬어요. 그 범위를 중심으로 구간을 나눈 거예요. 그래프에 표시해 놓았지요? 구간을 나누고 그 구간의 그래

원문보기 내부링크
Naver Blog

합성함수의 뜻과 성질, 고등수학(하)

고등수학(하) 함수 중 합성함수에 대해 알아볼게요. 합성함수는 수(하)에서 처음 나오는 개념이라 잘 이해해야 해요. 합성함수 합성함수를 이해하기 위해 먼저 문제를 볼게요. 예제> 합성함수의 개념을 일반화하면, 합성함수 순서에 유의하세요. 합성이 되면서 함숫값이 합성되는 함수의 x 값이 되므로 f의 치역이 g의 정의역일 때만 합성함수가 정의됩니다. 합성함수의 정의역과 공역은 꼭 기억하세요!!! 이 부분이 이해가 되어야 합성함수 그래프를 그릴 수 있어요. 합성함수의 성질 합성함수의 성질은 기억하고 있어야 해요. 왜 이런 성질을 가지는지는 문제로 설명할게요. 예제> 합성함수의 교환법칙과 결합법칙 - 항등함수와 합성할 때 합성함수의 개념과 성질에 대해 알아봤어요. 과정이 올라갈수록 단순히 외우는 게 아니라 과정을 이해하고 외워야 하는 것 알지요? 오늘 배운 내용도 꼭 복습해야 해요. 잠깐 다른 얘기를 할게요. 함수 개념 설명을 1-1부터 수(하)까지 진행하고 있는데요. 원래 이렇게 진행한

원문보기 내부링크
Naver Blog

역함수의 뜻과 성질,역함수의 그래프, 고등수학(하)

지난 시간에는 합성함수에 대해 배웠는데요. 이번에는 역함수에 대해 알아볼 거예요. 역함수라 하면 어떤 느낌이 드나요? 역, 거꾸로 또는 반대라는 느낌이 들지 않나요? 요런 느낌을 가지고 역함수 개념 설명 들어갈게요~ 역함수 역함수의 기호는 f의 역함수 또는 f 인버스라고 부릅니다. 역함수의 개념을 그림으로 보면, 이해가 더 쉬울 겁니다. 좀 더 이해가 되지요? 역함수는 거꾸로 대응시킨 함수라고 생각하면 쉬워요. 함수 f의 정의역은 역함수의 치역이 되고, 함수 f의 치역은 역함수의 정의역이 됩니다. 그럼 모든 원소들이 하나씩 대응해야 역함수가 존재할 수 있겠지요? 역함수가 존재할 조건 : 함수 f가 반드시 일대일대응. 역함수가 존재할 조건이 함수가 일대일대응이어야 한다는 것을 꼭 기억하세요!!! 역함수 구하기 1. 함수가 일대일대응인지 확인. 2. 주어진 함수를 x에 관해서 푼다. 3. x와 y를 서로 바꾼다. 4. 원래 함수와 역함수의 정의역과 치역을 바꾼다. 역함수를 구하는 방

원문보기 내부링크
Naver Blog

두 직선의 위치 관계, 평행, 일치, 수직 조건을 활용하는 문제, 고등수학(상) - 5문항

지난번에 두 직선의 위치 관계에 대해 알아봤지요? 평행, 일치, 한 점에서 만날 때, 수직일 때의 조건도 배웠습니다. 다 머릿속에 정리되어 있지요? 이제 배운 개념들을 활용해서 문제를 풀어봐야지요. 지난번에 공부한 내용을 떠올리면서 문제를 풀어볼까요? 1. 평행 조건을 활용한 직선의 방정식 구하기 2. 세 직선이 삼각형을 이루지 않을 조건 삼각형을 이루지 않을 조건에 관한 문제는 중2-1에서 많이 나왔습니다. 복습한다는 느낌으로 기억을 되살려 문제를 풀면 되겠지요? 3. 선분의 수직이등분선이 되기 위한 조건 수직이동분선이 되기 위한 조건은 중점 조건과 수직 조건입니다. 꼭 기억하세요!!! 4. 수직 조건을 활용한 직선의 방정식 구하기 5. 수직 조건을 활용한 직선의 방정식 구하기 ㄷ. 삼각형의 넓이를 구할 때, a가 양수인지 음수인지 모르니까 절댓값을 붙여줍니다. a에 관한 이차방정식이 2개 나오는데 그중 하나는 판별식이 0보다 작으니까 실수인 근이 아닙니다. a 값의 합은 a의 값

원문보기 내부링크
Naver Blog

점과 직선 사이의 거리, 직선의 방정식, 고등수학(상)

직선의 방정식 단원의 마지막입니다. 매일매일 공부하니까 금방이지요? 점과 직선 사이의 거리 점 P와 직선 ax+by+c=0이 수직으로 만나는 선분 PH를 점과 직선 사이의 거리 d라 합니다. 점과 직선 사이의 거리를 구하는 식을 보여드렸는데, 이 식이 어떻게 나오는지도 봐야겠지요? 그럼 점과 직선 사이의 거리식을 사용해 거리를 구해볼까요? 예제> (2, 5)와 직선 x+2y+3=0의 거리를 구하시오. 배운 거리식에 대입해서 풀면 됩니다. 간단하지요? 평행한 두 직선 사이의 거리 평행한 두 직선 사이의 거리를 구하는 법을 배워볼게요. 평행한 두 직선의 거리를 그려서 볼게요. 어떤 특징이 보이나요? 평행한 두 직선에서는 어디든 정해서 거리를 재도 다 길이가 같습니다. 즉, 한 직선은 그대로 놔두고 나머지 한 직선에서 아무 좌표나 정해서 점과 직선 사이의 거리를 구하면 평행한 두 직선 사이의 거리가 됩니다. 예제> 평행한 두 직선 2x-y-3=0, 2x-y +2=0의 거리를 구하시오.

원문보기 내부링크
Naver Blog

점과 직선 사이의 거리, 유형 문제 4문항, 고등수학(상)

드디어 직선의 방정식의 마지막입니다. 지난번에 점과 직선 사이의 거리를 구하는 법을 배웠지요? 머릿속에 잘 정리했겠지요? 지난 시간에 배운 내용을 떠올리면서 오늘의 문제를 풀어보면, 이해가 더 확실히 될 거예요. 점과 직선 사이의 거리가 활용된 문제들을 풀어볼게요. 준비되었나요? 1. x축, y 축, 직선까지의 거리가 같은 점의 좌표 구하기 문제의 조건을 잘 보면 좌표를 P(a, a)로 설정해야 된다는 것을 알 수 있어요. 2. 평행한 두 직선 사이의 거리 구하기 평행한 두 직선 사이의 거리는 한 좌표를 정해서 직선과 좌표까지의 거리를 구해야 해요. 3. 한 좌표에서 직선까지의 거리에 관한 문제 전에 배운 항상 한 정점을 지나는 점의 좌표는 항등식 성질을 이용해서 알아낸다는 것 기억하지요? 한 번 배우면 쭉 계속해서 문제에 등장하니까 잊어버리면 안 돼요~^^ 4. 두 직선 2x-y-1=0, x+2y-1=0이 이루는 각의 이등분선의 방정식을 구하시오. 각의 이등분선의 성질 : 각의 이

원문보기 내부링크
Naver Blog

함수, 정의역, 공역, 치역, 서로 같은 함수, 함수의 그래프, 고등수학(하)

이제 한 학년 더 올라갔습니다. 고등수학(하)로 올라갑니다. 수(하)에서는 새로 배우는 함수의 용어가 나옵니다. 용어를 익히고, 여러 가지 종류의 함수들을 구분해서 알아야 합니다. 중1-1부터 고등수학(상)까지 배웠던 함수의 개념을 장착하고~ 수(하)에 나오는 용어부터 알아보지요~ 1. 대응 수(하)의 1단원은 집합입니다. 집합의 개념을 배운 학생들이 이 부분을 공부할 거니까 집합의 개념은 안다는 전제하에 설명할 거예요. 앞부분을 공부하지 않았다면 공부를 한 후 함수를 배워야 합니다. 대응 - 공집합이 아닌 집합 X, Y에 대하여 X의 원소에 Y의 원소를 짝지어주는 것. 집합 X에서 집합 Y로의 대응이라 합니다. 집합 X의 원소 x에 집합 Y의 원소를 짝 지어지면 x가 y에 대응한다고 하고, 기호로 2. 함수 지금까지는 x 값 하나에 y 값, 즉 함숫값이 하나만 존재하는 것이 함수라고 정의했습니다. 수(하)에서는 조금 더 정확하게 정의합니다. 집합 X의 각 원소에, Y의 원소가 오직

원문보기 내부링크
Naver Blog

여러 가지 함수, 일대일함수, 일대일대응, 항등함수, 상수함수, 고등수학(하)

지난번엔 함수에 나오는 용어들을 공부했어요. 이번에는 여러 가지 함수에 대해 알아볼 거예요. 여러 가지 함수들이 나오는데 각각의 특징을 알고 구분해야 합니다. 오늘도 쉽고 정확하게 알려드릴게요. 준비되었나요? 1. 일대일함수 집합 X에서 집합 Y로의 함수 f에서, 정의역 X의 서로 다른 원소의 함숫값이 서로 다를 때, 일대일함수라고 합니다. 일대일함수의 조건 2. 일대일대응 집합 X에서 집합 Y로의 함수 f에서, 일대일함수이고, 치역과 공역이 같을 때, 일대일대응이라고 합니다. 일대일대응의 조건 일대일대응은 일대일함수 중에서 치역=공역인 함수이므로, 일대일함수의 집합의 부분집합입니다. 3.항등함수 정의역과 공역이 같고, 정의역 X의 원소 x에 그 자신인 x가 대응할 때, 항등함수라고 합니다. 항등함수는 기호로 I로 나타냅니다. 그림에서 보이는 것처럼 항등함수는 일대일대응입니다. 4. 상수함수 정의역 X의 모든 원소가 공역 Y의 원소 하나에만 대응할 때, 상수함수라고 합니다. 여러

원문보기 내부링크
Naver Blog

여러 가지 함수, 일대일함수, 일대일대응, 항등함수, 상수함수, 함수의 개수, 이해를 확실하게 하기 위한 문제, 고등수학(하)

지난번에 여러 가지 함수에 대해 공부했어요. 배운 내용 복습해서 머릿속에 정리해서 알고 있지요? 지난번 개념을 떠올리면서~ 문제 풀이 들어갑니다~ 먼저 함수의 개수를 구하는 법부터 알아볼게요. 중2-2의 경우의 수로 구해볼 거예요. ※ 함수의 개수 예제> 두 집합 X={a, b, c, d}, Y={0, 1, 2, 3}에 대하여 다음을 구하시오. (1) X에서 Y로의 함수의 개수 정의역의 모든 원소가 공역의 원소에 대응되기만 하면 되니까 정의역의 각 원소가 대응 가능한 Y의 원소가 4개씩입니다. 4×4×4×4=256 답> 256 (2) X에서 Y로의 일대일대응의 개수 일대일대응은, 일대일함수이면서 치역과 공역이 같아야 합니다. a가 대응 가능한 Y의 원소는 4개, b는 a의 함숫값 제외한 나머지 3개, c는 a, b의 함숫값 제외한 나머지 2개, d는 a, b, c의 함숫값 제외한 나머지 1개 4×3×2×1=24 답> 24 (3) X에서 Y로의 상수함수의 개수 상수함수는 정의역의 모든

원문보기 내부링크
Naver Blog

직선의 방정식 구하기, ax+by+c=0, 고등수학(상)

이번에는 고등수학(상)의 직선의 방정식 단원으로 들어가 볼게요. 직선의 방정식은 중2-1 일차 함수를 잘 알고 있다면 어렵지 않아요. 중 2-1 일차함수 개념을 잘 모른다면 공부를 하고 고등과정 공부를 해야 합니다. 전에 일차함수 개념 포스팅을 한 게 있으니 공부하고 오셔도 됩니다.^^ 중등과정과 수(상) 앞부분을 공부한 학생이 이 부분을 공부한다는 전제하에 개념을 설명해 드릴게요.^^ 지금부터 직선의 방정식으로 들어갑니다~ 직선의 방정식 구하기 1. 기울기와 y 절편이 주어진 직선의 방정식 예> 기울기가 2, y 절편이 3인 직선의 방정식 y=2x+3 2. 기울기와 한 좌표가 주어진 직선의 방정식 예> 기울기가 2, (2, 7)을 지나는 직선의 방정식 중2-1에서는 y=ax+b로 놓고, 기울기는 2니까 a=2를 대입, y=2x+b에 (2,7)을 대입해서 b=3으로 구합니다. y=2x+3 수(상)에서는 조금 다르게 구합니다. 2-1과 3-1에서 배운 x축 평행이동과 y 축 평행이동

원문보기 내부링크
Naver Blog

직선의 방정식 개념 이해를 위한 문제 중 쉽지만 시험에 잘 나오는 중요한 문제, 고등수학(상) - 3문항

지난번에는 직선의 방정식을 구하는 법과 여러 가지 직선의 방정식에 대해 알아봤어요. 그런데 직선의 방정식의 개념을 이해하려면 문제를 풀어봐야지요. 그래서 준비했습니다. 오늘 풀어볼 문제는 직선의 방정식의 유형 문제 중 꼭 알아야 하는 문제입니다. 어렵지는 않지만, 시험에는 잘 나오는 문제입니다. 1. 두 직사각형의 넓이를 동시에 이등분하는 직선 2. 직선이 지나지 않는 사분면 3. 삼각형의 한 꼭짓점을 지나고 넓이를 이등분하는 직선 문제에 대한 풀이는 최대한 쉽고 자세하게 설명했습니다. 이해가 잘되지 않거나 궁금한 내용이 있으면 댓글 남겨주시면 답변해 드리겠습니다.^^ 직선의 방정식에 대해 이해가 잘 되었나요? 그럼 직선의 방정식의 다음 내용을 가지고 돌아올게요~^^

원문보기 내부링크
Naver Blog

직선의 방정식, 두 직선의 교점을 지나는 직선, 고등수학(상)

이번에는 직선의 방정식에서, 두 직선의 교점을 지나는 직선의 방정식을 구하는 방법에 대해 알아볼 거예요. 예제 1> 2x+y+3=0과 x+y-6=0의 교점과 점 (3, 7)을 지나는 직선의 방정식을 구하시오. 중2-1에서는 어떻게 구했을까요? 중2-1에서는 두 직선을 연립해서 교점을 구한 후, 교점과 한 좌표를 지나는 직선의 방정식을 구했습니다. 고등수학에서는 어떻게 구하는지 볼까요? 먼저 한 정점을 지나는 직선의 방정식에 대해 알아야 합니다 한 정점을 지나는 직선의 방정식 예제 2> 직선 (k+2)x+(k-1)y-6k+3=0은 실수 k 값에 관계없이 항상 점 P를 지난다. 이때 점 P의 좌표를 구하시오. k 값에 관계없이 항상 성립해야 하니까 항등식의 성질이 이용됩니다. 그런데 눈에 들어오는 부분이 있습니다. 위의 풀이에서 중2-1 맨 위의 문제와 같습니다. .즉, 항등식을 성질을 활용해서 정리한 식에서 알 수 있는 부분은 이렇습니다. 두 직선의 교점을 지나는 직선 예제 3>

원문보기 내부링크
Naver Blog

두 직선의 위치 관계, 평행, 일치, 한 점에서 만난다, 수직, 직선의 방정식, 고등수학(상)

직선의 방정식의 중반으로 들어갑니다. 매일 공부하니까 금방이지요? 이번엔 두 직선의 위치 관계에 대해 공부할 거예요. 위치 관계는 중2-1 일차 함수와 일차방정식의 관계에서 배운 내용에 조금 추가되는 거니까 어렵지 않아요. 두 직선의 위치 관계 1. 평행 2. 일치 3. 한 점에서 만난다. 3번의 조건은 2-1에서 나오지 않았으니까 꼭 기억하세요!!! ※ 수직으로 만난다. 수직으로 만나는 건, 한 점에서 만나기는 하지만 수직으로 만나는 경우입니다. 수직 조건이 왜 저런 식으로 나오는지 알아야지요. 원점을 지나는 지나는 직선으로 하고, x=1과 만나는 교점을 A, B로 해서 설명했어요. 평면좌표에서 배우는 두 점 사이의 거리 구하는 법으로 선분의 길이를 구하고, 피타고라스 정리로 설명했습니다. 식을 변형해서 나온 거니까 보면 이해가 될 거예요. 새로 배우는 내용들은 잘 기억해서 활용할 수 있도록 문제를 풀 때 계속 사용해야 합니다. 배운 내용을 하나의 표로 정리해 보면 이렇습니다.

원문보기 내부링크
Naver Blog

수학을 가르치면서 느끼는 점. 마음의 균형을 유지하는 게 쉽지 않아요.

중학교 아이들은 학년마다 필요한 것들의 차이는 있지만, 거의 공부의 습관을 만드는 과정을 거쳐야 합니다. 그런데 습관이라는 게 하루아침에 만들어지는 게 아니고, 수학 공부는 좋아하는 경우는 거의 없으니... 그 과정이 참 길고도 험난합니다. 끊임없이 동기 부여를 하면서 안 하려고 도망가는 아이를 붙들어서 끌어야 합니다. 그런데 너무 잡아당겨도 안 됩니다. 너무 무리하게 붙들어놓으면 튕겨나가 버리니까요. 학생들에게 적당한 양을 부여하면서 시키고 소화할 만하면 조금씩 늘려서 하게끔 합니다. 학생이 눈치를 못 채게 살살 늘려가는 겁니다. 학생이 알더라도 괜찮습니다. 전보다 나아져서 이 정도 할 수 있게 된 거라고 알려주면 되니까요. 그럼 학생은 스스로의 향상에 힘이 더 날 거니까요. 학년이 올라가고 선행과정도 올라가면, 내용도 어려워지고, 양도 많아지지요. 그런데 학생들은 수행평가, 중간, 기말고사 등 학교 일정이 생기고, 여러 교과의 학원들을 다니게 됩니다. 그뿐만이 아닙니다. 학생들이

원문보기 내부링크
Naver Blog

고등수학(상) 이차방정식과 이차함수 - 이차방정식과 이차함수의 관계 - 2문항

이제 고등수학(상)에 들어왔습니다. 벌써? 이렇게나 많이 왔어? 싶지요? 중3 이차함수를 열심히 공부했다면 수(상)에서도 이차함수가 어렵지 않습니다. 중3 이차함수가 부족하다면 공부를 더 하고 완벽히 이해하고 와야 합니다. 이차함수의 개념은 알고 있다는 전제하에 고등수학(상)에서 나오는 내용으로 들어가겠습니다.^^ 이제 시작합니다~ 이차함수의 그래프와 이차방정식의 해 이차함수 그래프와 x 축의 교점은 y=0일 때, 이차방정식의 실근입니다. 이차함수의 그래프와 x 축의 위치 관계 이차함수 그래프와 x 축의 교점은 이 그림만 이해하면 됩니다. 이차함수의 x 절편은 y=0일 때 이차방정식의 실근이므로 판별식으로 위치 관계를 판단합니다. 이차함수 그래프와 직선의 교점 이차함수와 직선의 교점의 x좌표는, 두 함수의 공통 해이므로 두 함수식을 연립한 이차방정식의 실근입니다. 이차함수 그래프와 직선의 위치 관계 이차함수와 직선의 교점의 개수는, 이차함수와 일차함수를 연립하여 이차방정식의

원문보기 내부링크
Naver Blog

이차함수의 최대 최소 - 이차함수의 최댓값, 최솟값, 고등수학(상)

이번에는 이차함수의 최댓값과 최솟값에 대해 알아볼게요. 일단 이차함수 그래프를 그려볼게요. 이차함수 그래프의 최대 최소 최댓값과 최솟값은 함숫값 중에서 가장 큰 값과 가장 작은 값입니다. 즉, y 값 중에서 가장 큰 값과 가장 작은 값입니다. 1. 이차함수 그래프의 최솟값 최솟값은 꼭짓점의 y좌표, 최댓값은 없습니다. 2. 이차함수 그래프의 최댓값 최댓값은 꼭짓점의 y좌표, 최솟값은 없습니다. 이차함수의 일반형을 표준형으로 바꾼 후 최댓값 또는 최솟값을 구하면 됩니다. 3. 예제 다음 이차함수의 최댓값과 최솟값을 구하시오. 이번에는 이차함수에서 최댓값과 최솟값을 구하는데 x의 범위를 제한한 경우입니다. 제한된 범위에서의 이차함수의 최대 최소 제한된 범위의 최댓값과 최솟값을 구할 때는 반드시 그래프를 그리세요. 앞서 배운 최댓값과 최솟값을 구할 때는 a의 부호를 보고 그래프의 모양을 파악하고 꼭짓점의 y좌표로 구하면 되니까 그래프를 그리지 않아도 문제를 푸는데 지장이 없습니다. 그

원문보기 내부링크
Naver Blog

이차함수의 최대 최소 - 공통부분이 있는 함수, 완전제곱식을 이용한 이차식의 최대 최소, 고등수학(상)

지난번에는 이차함수의 최대 최소, 제한된 범위에서의 이차함수의 최대 최소에 대해 배웠어요. 이번에는 공통부분이 있는 최대 최소와 완전제곱식을 이용한 이차식의 최대 최소, 조건식이 있는 이차식의 최대 최소에 대해 알아볼게요. 지난번에 배운 내용을 떠올리면서 보시면 이해가 잘될 거예요. 준비되었나요? 공통부분이 있는 함수의 최대 최소 공통부분이 있는 함수는 공통부분을 t로 치환하여 최댓값과 최솟값을 구합니다. 치환한 t의 범위를 꼭 구해놓고 최댓값과 최솟값을 구해야 합니다. 치환한 후 치환한 t의 범위를 구한 후 최댓값과 최솟값을 구합니다. 완전제곱식을 이용한 이차식의 최대 최소 실수 x, y라는 조건이 있는 이차식은, 일단 식을 완전제곱식의 형태로 바꿉니다. 완전제곱식을 만들 때 상수항이 바뀌는 것을 주의해야 합니다. 실수의 제곱이 0 이상이라는 개념을 사용했습니다. 조건식이 주어진 이차식의 최대 최소 이차식의 미지수가 2개인 경우는, 문자를 하나로 만들어야 합니다. 주어진 조건

원문보기 내부링크
Naver Blog

학생들이 함수를 어려워하는 이유, 함수가 쉬워지는 법. 매일 함수 개념 포스팅을 하는 이유

학생들을 가르치다 보면 아이들은 대부분의 수학 개념들을 다 어렵다고 합니다. 그래도 그중에서 가장 어렵다고 하는 단원을 보면, 단연코 1등은 함수입니다. 함수를 이해만 잘 하면 어렵지 않은데 왜 어려워할까 생각해 보면, 함수를 어려워하는 이유 1. 처음 함수를 만날 때 어려워 보이니까. 학생들의 입장에서 보면. 처음 함수를 배울 때 좌표평면이 나오고 그 위에 그래프도 나오고 생전 처음 보는 용어들도 엄청 많이 나옵니다. 아이들 입장에서는 이제까지는 식과 수 정도 배웠는데, 그래프와 용어들이 많이 나오고, x, y가 변한다고 하니까 너무 어려워 보이는 거지요. 2. 함수의 용어를 정확하게 이해하지 못하니까. 같은 말일 수도 있는데, 학생들에게는 새롭고 낯선 개념이 쏟아져 들어오니까 어렵고 힘들 수 있어요. 그런데 도망가고 싶은 심정으로 듣고 있는데 용어가 휙휙 빠르게 계속 나오니까 이해가 되지 않고 외계어처럼 들리는 거지요. 그런데 함수는, 함수에는 나오는 언어를 이해하지 못하면 정

원문보기 내부링크
Naver Blog

중3 이차함수의 일반형, a,b,c 부호, x축과의 교점

이차함수의 일반형을 표준형으로 바꾸는 방법을 배워봤는데요. 이차함수의 일반형을 표준형으로 바꾸는 법을 다시 리뷰할게요. 이번에는 일반화해서 설명할게요. 꼭짓점과 축의 방정식을 공식으로 외우지 않고 구할 수 있으면 됩니다. 다만 이런 과정으로 표준형으로 바꾼다는 것을 이해하고 스스로 위와 같이 풀어낼 수 있어야 합니다. 이차함수의 일반형에서 a, b, c의 부호 정하기 a : 그래프의 개형 b : 축의 방정식 c : y 절편 1. a : 그래프의 개형 이차함수의 표준형과 일반형 모두 동일합니다. 2. b : 축의 방정식 축의 방정식이 y 축을 중심으로 왼쪽, 음수 방향에 있으면, a. b의 부호가 같다. 축의 방정식이 y 축을 중심의 x축 오른쪽 위치 양수 방향에 있으면, a. b의 부호가 다르다. 축의 방정식이 y 축, x=0이면, b=0. 이렇게 기억하면 됩니다. 3. c : y 절편 y 절편은 y 축과 만나는 점이므로, x=0일 때의 y좌표입니다. 이차함수의 일반형에 x=0을

원문보기 내부링크
Naver Blog

중3 이차함수의 식 구하기 3-1 - 4문항

이제 중3 이차함수 개념의 마지막입니다. 이번에는 이차함수의 식을 구하는 법을 알아볼게요. 준비되었나요? 이차함수의 식 구하기 1. 꼭짓점과 한 좌표를 알 때 꼭짓점의 좌표를 아니까 표준형으로 식을 세우는 걸 기억하세요!!! 2. 축의 방정식과 두 좌표를 알 때 축의 방정식을 아니까 표준형으로 식 세우기. 3. 세 점을 알 때 세 좌표를 아니까 식은 일반형으로 세웁니다. 세 좌표 중 y 절편은 c, 나머지 두 좌표는 대입해서 연립해서 a, b를 구합니다. 4. x 절편과 한 좌표를 알 때 x 절편이 y=0일 때의 이차방정식의 해이므로 인수분해 식으로 식을 세웁니다. 이차함수의 식 세우는 방법에 대해 배워봤어요. 다시 정리하면 꼭짓점을 알 때 - 표준형 축의 방정식을 알 때 - 표준형 세 좌표를 알 때 - 일반형 x 절편을 알 때 - 인수분해식 이렇게 기억하면 좋습니다. 드디어 중3 과정의 개념 설명이 끝이 났어요. 매일 열심히 공부해서 이차함수가 쉬워졌나요? 다음엔 이차함수 일반형

원문보기 내부링크
Naver Blog

중3 이차함수 개념을 확실하게 정리해 봐요. 이차함수 일반형 문제 - 6문항

중3 이차함수를 다 배웠으니까 이제 문제를 풀어봐야지요. 이차함수 개념을 공부하고 문제를 많이 풀어봐야 하고, 배웠다고 끝나는 건 아니지만!!! 배워야 할 것을 다 배웠다고 생각하니까 그래도 속 시원하고, 뿌듯하지 않나요? 나 쫌 짱인 듯!!! 여기까지 열심히 공부한 스스로를 칭찬해야 할 것 같아요. 이번에는 이차함수 일반형에 관한 문제를 풀어볼게요. 준비되었나요? 1. 이차함수 그래프의 성질 이차함수의 일반형을 표준형으로 바꾸고 한꺼번에 파악하는 게 좋습니다. 2. 이차함수 그래프의 꼭짓점의 위치에 따른 미지수의 범우 구하기 3. 이차함수의 식 구하기 4. 이차함수 그래프에서 도형의 넓이 구하기 이차함수의 일반형을 표준형으로 바꾼 후 필요한 좌표를 구한 후 삼각형의 넓이를 구합니다. 5. 이차함수의 그래프가 지나지 않는 사분면 구하기 사분면에 관한 문제는 꼭짓점과 y 절편을 구해서 그래프를 정확히 그려서 풀어야 합니다. 6. 이차함수의 그래프의 x축과 만나는 점의 거리에 관한 문제

원문보기 내부링크
Naver Blog

공부를 잘하는 법 - 나한테 맞는 공부법 찾기

공부를 잘 하는 법이 뭘까요? 어떻게 하면 공부를 잘할 수 있을까요? 학생들이 참 많이 한 질문입니다. 공부를 하지 않고 이런 말을 한다면, 답은 하나입니다. 절대적으로 공부하는 양을 늘려야 해. 많이 해야지 공부를 잘하지. 그런데 시간은 시간대로 들이고 노력을 나름 하는데 제대로 되고 있지 않다면, 뭔가 잘못된 것이겠지요. 또 하고자 하는 의지는 있는데 의지를 굳건하게 유지하는 것이 잘 안되는 경우라면, 고민을 해 봐야 합니다. 수업을 하면서 저도 학생들한테 도움이 될 만한 공부 방법도 이야기해 주고, 공부를 하는 데 동기부여가 될 만한 이야기도 많이 해주는 편이지만, 그런 이야기를 듣고도 막연하다면, 조금 시간과 노력을 들여서 공부 방법에 관한 책이나, 영상을 찾아서 보라고 합니다. 시중에 공부에 대한 책도 넘치도록 나와있고, 유튜브에도 공부 잘하는 법을 검색하기만 해도 많습니다. 몇 개만 찾아보면 본인 상황에 맞는, 해볼 만한 방법이 있을 겁니다. 콕 짚어 이렇게 해 보라고 말

원문보기 내부링크
Naver Blog

중3 이차함수의 이해를 확실하게!!! 이차함수의 표준형 문제, 5문항

이차함수의 표준형의 개념을 배웠으니 정확한 이해를 위해 문제를 풀어봐야지요. 이차함수 그래프의 성질 잘 기억하고 있지요? 이차함수 표준형의 개념 떠올리면서 문제 풀이 들어갑니다~^^ 1. 이차함수 그래프의 성질 2. 이차함수 그래프의 성질 3. 이차함수의 표준형 4. 이차함수의 표준형에서 a, p, q의 부호 5. 이차함수의 표준형에서의 대칭이동 이차함수의 표준형에 대한 문제들을 풀어봤어요. 이해가 잘 되었지요? 이제 이차함수의 반 정도 배웠어요. 이제 중3 과정의 이차함수가 얼마 남지 않았어요. 하다 보면 금방이지요? 어렵다고 생각하고 놔두면 언제 이 많은 걸 다 공부하나 싶지만 차근차근 매일 공부하다 보면 금세 다 한다니까요. 시작이 반이라는 말이 그래서 있는 것 같아요. 이미 시작은 했으니까 반은 한 거니까 좀 더 힘내서 공부해 보자고요. 함수가 쉬워지고 있지요?

원문보기 내부링크
Naver Blog

중학교 학생들에게 하는 말 - 그만 좀 날려먹어!!! 기억 좀 하면 안 되겠니?

학생들을 가르치다 보면, 선생님은 열심히 가르쳐 줬는데 학생들에게는 기억이 없는 경우가 많습니다. 아예 가르쳐 줬다는 사실조차 기억을 못 하는 경우가 많아서 설명을 해줄 때 메모를 하게끔 하고 선생님이 설명을 해줬다는 표시를 합니다. 학생들이 자꾸 돌아서면 까먹으면 문제가 있지요. 학년은 올라가고 배우는 건 늘어나는데, 특히 수학은 전 과정 위에 추가되는데, 전에 배운 걸 다 기억을 못 하면 어떻게 될까요? 다 처음부터 설명을 하고 지금 배우는 과정을 설명해야 합니다. 기억을 되살리기 위한 리뷰 정도는 매번 하는 거니까 그러려니 하지만, 아예 하얗게 기억을 못 하면 전 과정을 설명하는 데에 시간도 많이 걸리고, 지금 배우는 과정에 대한 학생들의 이해도도 떨어질 수밖에 없습니다. 학년이 올라가면 올라갈수록 배운 양이 많으니까 리뷰해야 하는 것도 많겠지요. 그럼 공부의 효율이 더욱 떨어지는 건 당연하겠지요. 좀 머릿속에 기억을 담고 있으면 이렇게 똑같은 걸 반복하는 것을 줄이고, 그 시

원문보기 내부링크
Naver Blog

중3 이차함수의 일반형, 이차함수의 일반형을 표준형으로 바꾸기

이차함수의 표준형에 대해 배웠으니 이번에는 이차함수의 다른 식에 관해 알려드릴게요. 이차함수의 식의 형태는 대부분 이런 형태입니다. 이런 이차함수의 식을 이차함수의 일반형이라고 합니다. 이차함수의 일반형에서 바로 알 수 있는 건, y 절편, 그래프의 모양입니다. 그런데 그래프를 그리려고 하니, 일반형에서는 꼭짓점을 알 수 없지요. 그래서 그래프를 그리려면, 이차함수의 일반형을 표준형으로 바꿔야 합니다. 이차함수의 일반형을 표준형으로 바꾸기 이차함수의 일반형을 표준형으로 바꾸는 건 이차함수 문제를 풀 때 계속해야 하니까 잘 숙지해서 빠르고 정확하게 할 수 있어야 합니다. 꼭짓점과 축의 방정식을 공식으로 암기하는 경우도 있는데, 그것보다는 원리를 알고 하다가 자연스럽게 외워지는 게 좋은 것 같습니다. 공식으로만 외우면 잊어버리기도 하니까 원리를 정확하게 아는 게 중요합니다. 이차함수의 그래프를 정확하게 그리는 법 - 이차함수 그래프를 정확하게 그리려면, 꼭짓점, y 절편, 그래프의

원문보기 내부링크
Naver Blog

중3 이차함수의 뜻, 이차함수의 그래프의 성질 3-1

드디어 함수의 모든 것, 중학교 3학년으로 올라갑니다. 이제 이차함수로 들어가 보지요. 준비되었나요? 이차함수의 뜻 이차함수가 되기 위한 조건 이차함수의 그래프 이차함수의 그래프에 대해 자세히 배우기 전에, 이차함수에서 나오는 용어부터 정리해 보겠습니다. 포물선 - 이차함수의 그래프를 그려보면 그래프의 모양이 아래로 볼록하거나 위로 볼록한 곡선의 형태입니다. 이런 모양의 곡선을 포물선이라고 합니다. 축 - 이차함수의 그래프는 선대칭을 이루는데 그 대칭축을 포물선의 축이라고 합니다. 꼭짓점 - 포물선과 축의 교점을 꼭짓점이라고 합니다. 이차함수에서 나오는 용어를 배웠으니 이제 본격적으로 이차함수 그래프를 좌표평면에 그려볼까요? 처음 배우는 거니까 일단 그래프를 그리기 위해 좌표를 먼저 구해 볼게요. 맨 윗줄 가로는 x좌표, 그 아래는 왼쪽 세로에 있는 함수에 대한 함숫값입니다. 가로, 세로가 교차하는 지점이 좌표입니다. 위 표의 좌표들로 그래프를 그려보았습니다. 이제 이차함수 그래

원문보기 내부링크
Naver Blog

중3 이차함수의 그래프, 이차함수 그래프의 y 축 평행이동

지난번에 이차함수 그래프의 기본적인 성질들을 배웠어요. 공부 열심히 해서 잘 기억하고 있지요? 이차함수 그래프의 성질을 잘 알고 있다면, 이번 내용을 이해하기 쉬울 거예요. 이번에는 이차함수 그래프의 평행이동에 대해 알아볼 거예요. 지금 시작할게요~^^ 이차함수 그래프의 y 축 평행이동 맨 위 가로는 x좌표, 그 아래는 x 값에 대한 함숫값입니다. 그래프를 그려보면 그래프는 이런 모습입니다. 빨간색 그래프가 위로 +3만큼 이동한 것 보이지요? 이런 식으로 위아래로 그래프가 이동한 것을 y 축 방향으로 평행이동했다고 합니다. 위 그래프는 y 축 방향으로 3만큼 평행이동한 그래프입니다. 이 그래프의 특징을 정리하면, 아래와 같습니다. 좌우로 이동하지는 않았으므로 축의 방정식은 변함이 없습니다. y 축 방향으로 평행이동한 이차함수 그래프의 성질을 일반화하면 이렇습니다. y 축 방향으로 평행이동한 이차함수 그래프의 성질 간단하지요? y 축 방향으로 평행이동한 그래프의 식은 상수항에 평행

원문보기 내부링크
Naver Blog

중3 이차함수 그래프의 x축 평행이동, 3-1

이번에는 이차함수 그래프를 x축 방향으로 평행 이동해 볼게요. 지금 갑니다~^^ 그래프를 그리기 전에 좌표부터 구해볼게요. 함숫값이 오른쪽으로 +2만큼 옆으로 간 거 보이지요? 그래프를 그리면 이런 형태가 됩니다. 이차함수의 그래프를 좌우로 이동시키는 것을 x축 방향으로 평행이동한다고 합니다. 위 그래프의 특징을 살펴볼까요? x축 방향으로 +2 만큼 평행이동했으니까 축이 이동해서 축의 방정식은 x=2입니다. x축 방향으로 평행이동한 그래프의 성질을 일반화해서 설명해 드릴게요. x축 방향으로 평행이동한 이차함수 그래프의 성질 위 그래프에서 보면 x축 방향으로 2만큼 이동했는데, 이차함수식에서 보면 -2로 들어간 거 보이지요? x축 평행이동은 식을 세울 때 부호가 반대로 들어갑니다. x축 방향으로 평행이동한 이차함수 그래프의 성질에 대해 알려드렸어요. 다음엔 x축과 y 축을 같이 이동해 볼 거예요. x축, y 축 평행이동을 잘 이해했다면 이해가 쉬울 거예요. 이차함수도 별거 아니지요?

원문보기 내부링크
Naver Blog

중3 이차함수 표준형, x축, y 축으로 평행이동한 이차함수의 그래프, 3-1

이차함수 그래프의 x축, y 축 평행이동을 공부했어요. 이제 x축과 y 축을 같이 평행 이동해 볼 거예요. 배운 대로 이동하면 됩니다. 간단해요. 위 그래프를 보면 x축 방향으로 +2만큼, y 축 방향으로 -1만큼 이동한 게 보이지요? 꼭짓점 (2, -1) 축의 방정식 x=2 x축, y 축으로 평행이동한 이차함수 그래프에 대한 성질을 일반화해서 설명할게요. 이차함수의 표준형 - 이차함수 식을 위와 같이 꼭짓점 좌표가 드러나게끔 표현한 식을 이차함수의 표준형이라고 합니다. 이차함수의 표준형에서 꼭짓점은 (p, q), 축의 방정식은 x=p, 꼭짓점의 x좌표와 같습니다. 이차함수의 표준형에서 q는 꼭짓점의 y좌표입니다. y 절편이 아닙니다. 헷갈리면 안 돼요~^^ 이차함수에서 x축, y 축으로 평행이동하는 것을 연습해 볼까요? 이차함수의 표준형에서 꼭짓점의 x좌표는 식의 부호와 반대가 됩니다. 이차함수의 표준형에서 a, p, q의 부호 - 이차함수의 표준형에서 a, p, q의 부호에

원문보기 내부링크
Naver Blog

중2 일차 함수와 연립 일차방정식-연립 일차방정식의 그래프의 해 개수와 위치 관계-3문항

드디어 중2 일차 함수의 마지막입니다. 이것만 하면 중2 일차 함수가 마무리됩니다. 물론 그렇다고 해도 진도도 계속 나가야 하고 문제 풀이도 계속하면서 공부를 해야 하지만, 그래도 중간에 여기까지 마무리를 하면서 일단 한번 끝을 맺고 가는 느낌도 나쁘지 않지요? 이제 열심히 일차 함수의 마지막을 잘 마무리해 볼까요? 연립방정식의 해와 그래프 두 일차 방정식의 그래프를 그려볼게요. 두 일차 방정식의 교점 A는, 두 일차 방정식의 공통 해입니다. 즉 연립 일차방정식의 해가 됩니다. 연립방정식의 해의 개수와 그래프의 위치 관계 이 표 하나만 정확하게 기억하고 있으면 됩니다. 간단하게 정리가 되었지요? 이제 문제를 풀어볼까요? 1. 일차함수 그래프에서 연립방정식의 해 2. 연립방정식에서 해가 무수히 많을 때 : 일치 3. 두 일차 방정식의 그래프의 교점을 지나고 y 축에 수직인 직선의 방정식 구하기. 드디어 중2 일차함수 개념 설명이 끝이 났습니다~ 여기까지 열심히 공부한 여러분을 칭찬

원문보기 내부링크
Naver Blog

처음 고등수학(상)을 배우는 학생들이 어려워하는 이유

수학을 가르치다 보면 학생들은 수학이 어렵다는 말을 하는 입에 달고 삽니다. 그래서 그런 말은 그냥 하는 말이려니 하고 넘기는 일이 많습니다. 그런데, 어렵다는 말이 찐일 때가 있습니다. 바로 학생의 선행과정이 중등과정에서 고등과정으로 넘어갈 때, 즉 고등수학(상)을 처음 공부할 때입니다. 수학(상)을 배울 때 어려워하는 이유 1. 내용이 양이 많아진다. 고등수학(상)은 고1 1학기 분량인데 3-1의 3배 정도로 양이 많습니다. 고등수학 (상) 목차 단순히 분량이 많은 것뿐만 아니라 중등 전 과정을 알고 있다는 전제하에 그 위에 개념이 추가되면서 내용이 심화되는 느낌입니다. 중등과정을 공부할 때 열심히 했더라도 중1,2,3의 전 과정이 한 과정에서 심화로 넘어가면서 새로운 내용이 추가되는 거니까 아무래도 어려울 수밖에 없습니다. 선행을 빨리 공부하고 싶은 마음이 있더라도, 중등과정을 탄탄하게 공부하지 않았다면, 특히 3-1을 잘 모른다면 좀 더 공부를 한 후에 수(상)을 배우라고

원문보기 내부링크
Naver Blog

고등수학(상)을 처음 배우는 학생들이 꼭 알아야 하는 것

이전 글에서 이어지는 내용입니다. 이전 글이 궁금하시면 글 맨 아래에 링크 넣어놓았으니 보고 오시면 됩니다. 고등수학(상)을 처음 공부하는 학생들은 어렵고 힘드니까 도망가고 싶어 합니다. 진도를 나가는 도중에 포기하고 중단하려고 합니다. 그런데, 언젠가는 해야 하잖아요. 예를 들어 선행을 좀 일찍 시작해서, 수(상)을 중1에 공부해도, 좀 늦게 시작해서 중3에 공부해도 다 어렵습니다. 언제 처음 만나도 어렵습니다. 어차피 언제 배워도 어려울 거라면 여러 번 반복할 여유가 있을 때 공부하는 게 낫고, 어차피 늦게 시작한 거라면 시간적 여유가 없으니 할 때 제대로 하는 게 낫습니다. 그런데, 우리 학생들은 이런 걸 모르니까, 그냥 어렵고 힘드니까 도망가려고만 하지요.^^ 그럼 어떻게 해야 할까요? 알려주면 됩니다. 고등 선행을 처음 공부하는 학생들이 중도 포기하지 않고 끝까지 공부하기 위해 알아야 할 것 - 수(상) 첫 수업 때 학생들에게 말해주는 내용입니다. 1. 고등수학(상)은 원

원문보기 내부링크
Naver Blog

고등 선행을 효과적으로 공부하는 법-수학(상)을 처음 공부하는 경우

이전 글에서 이어지는 글입니다. 이전 글이 궁금하시다면 글 맨 아래에 링크 넣어 놓았으니 보고 오시면 됩니다. 학생들이 고등수학(상) 공부를 열심히 하겠다는 의욕이 생겼다면, 공부를 잘, 효과적으로 할 수 있도록 해야겠지요. 고등 선행 효과적으로 공부하는 법, 알려드립니다~^^ 고등 선행 효과적으로 공부하는 법 1. 배우면 반드시 그날 따로 정리. 30분-1시간 - 처음 배우는 내용은 언제나 낯설고 어렵지요. 배울 때는 이해를 하다가도 금세 잊어버립니다. 돌아서면 까먹는 거지요. 그게 사실 당연한 거지만, 그래도 잊어버리면 안 되니까 이해를 하고 기억에 남기려면, 배운 후에 그날 복습을 하는 게 좋습니다. 많은 시간이 필요한 것도 아닙니다. 30분-1시간이면 충분합니다. 그날 배운 내용을 스스로 정리하는 개념노트를 작성해 보세요. 교재를 보고 정리를 하면서 이해도 하고 선생님이 설명한 내용을 떠올리면서 잘 정리를 하면, 배운 내용을 다시 공부하면서 재구성하게 됩니다. 훨씬 머릿속에

원문보기 내부링크
Naver Blog

수학 성적이 오르기 위해 필요한 것 - 수학 실력이 빨리 늘지 않는 이유

수학 공부를 많이 하지 않다가, 맘잡고 수학 공부를 열심히 하는 학생들은 성적이 잘 오르지 않는 경우가 많습니다 학생은 분명 열심히 공부하는데 아는 것도 많아지고 있는데 성적은 그대로인 경우 있지요. 왜 그럴까요? 수학 성적이 오르기 위해 필요한 것. 1. 시간 내에 문제 풀어내기. - 문제 푸는 속도 - 수학 공부를 많이 하지 않았던 학생들은 문제를 푸는 속도가 매우 느립니다. 문제를 많이 풀어보지 않아서, 수학 개념을 잘 모르니까, 개념을 알아도 문제에 활용할 줄 몰라서, 아니면 그냥 문제를 읽는데 시간이 많이 걸리기도 하지요. 여러 가지 이유로 느리니까 당연히 시간 내에 문제를 풀어내지 못합니다. 성적이 오르려면 최우선적으로 시간 내에 풀어내게끔 하는 게 가장 중요합니다. 일단 다 풀어야지 맞는 문제가 있는 거니까요. 아무리 아는 게 많아도 다 못 풀면 아무 소용이 없습니다. 2. 수학 개념을 이해하고 문제 유형 파악하기. - 수학적 지식 - 당연한 이야기지만 아는 게 있어야

원문보기 내부링크
Naver Blog

중2 일차함수 그래프 기울기, 일차함수 그래프의 성질

중2 일차함수 그래프의 기울기와 일차함수 그래프의 성질에 대하여 배워볼게요. 준비되었나요? 일차함수 그래프가 기울어진 정도를 기울기라고 합니다. 일차함수 y=2x-4의 그래프를 보면, 일차함수 그래프에서 x 증가량에 대한 y 증가량의 비율은 일정합니다. 이 일정한 비율을 일차함수 그래프의 기울기라고 합니다. 이 기울기는 y=ax+b에서 x의 계수 a입니다. 일차함수 그래프에서 기울기 구하기 예> y=2x+4의 기울기 1. 그래프에서 기울기 구하기 2. 두 좌표로 기울기 구하기 위 그림에서 A(-1, 2), B(0, 4)에서 x좌표의 차는 x 증가량, y좌표의 차는 y 증가량입니다. 기울기를 구하는 방법은 두 가지 모두 자유롭게 쓸 줄 알아야 합니다. 문제의 유형에 따라 편한 쪽으로 쓰는 것이 좋습니다. y=ax+b에서 기울기 a y=ax+b에서 기울기와 y 절편 일차함수 그래프의 성질을 배웠으니 정확한 이해를 위해 문제를 풀어볼까요? 1. 일차함수 그래프의 기울기 구하기 2.

원문보기 내부링크
Naver Blog

수학 성적이 오르는 단계 - 계단식 상승

이전 글에서 이어지는 글입니다. 이전 글의 내용이 궁금하시면 보고 오셔도 됩니다. 글 아래에 링크 넣어놓았습니다. 이전 포스팅에서 수학 실력이 빨리 늘지 않는 이유에 대해 말씀드렸습니다. 그럼 수학 실력이 향상되고 성적이 오르는 방법은 무엇일까요? 수학 실력이 향상되기 위해 해야 하는 것. 1. 개념과 유형을 완벽하게 이해하기. - 아는 게 많아져야 하는 건 당연하겠지요. 2. 시간 내에 풀 수 있도록 시간을 재면서 문제 풀기. - 시간 내에 문제를 풀려면 시간을 재면서 연습을 많이 해야 합니다. 3. 많은 문제를 풀어보기. - 여러 유형의 문제를 많이 풀어보는 건, 개념을 문제에 활용해 보고 끝까지 답을 내보는 경험을 하는 데 가장 좋은 방법입니다. 4. 문제를 정확히 읽고 연산을 정확히 하도록 평소에 문제를 풀 때 신경 써서 습관으로 만들기. - 연산이 약하다면 따로 연산 교재를 하는 방법도 있지만, 그것보다는 하고 있는 교재를 풀 때 신경을 써서 풀면서. 개선해나가는 게 더

원문보기 내부링크
Naver Blog

함수, 어렵지 않아요. 중2 일차함수 그래프의 평행, 일치

중2 일차함수 그래프의 성질에서 기울기에 대하여 배웠으니 이제 일차함수 그래프의 평행과 일치에 대해 배워보겠습니다. 일차함수 그래프의 평행 평행 조건은 기울기가 같고, y 절편은 다르다는 것을 기억하세요!!! 일차함수 그래프의 일치 일치 조건은 기울기가 같고, y 절편이 같다, 또는 식이 같다고 기억하세요!!! 일차함수 그래프의 평행과 일치를 배웠으니 정확한 이해를 위해 문제를 풀어볼까요? 1. 두 직선이 평행할 때, 좌표 구하기. 일차함수의 평행과 일치에 대해 알려드렸습니다. 알고 나면 참 쉽지요? 함수는 차근차근 함수의 언어를 이해하면 점점 수월해집니다. 매일매일 한 가지씩 배워서 알아가면 점점 함수가 쉬워질 거예요. 다음에도 쉬운 함수 개념을 가지고 오겠습니다.^^

원문보기 내부링크
Naver Blog

은지쌤의 쉬운 함수, 중2 함수 - 일차함수의 식 구하기.

중2 일차 함수, 이제 본격적으로 들어가고 있습니다. 일차함수 그래프의 성질을 알아봤으니까 이제 일차함수의 식을 구해봐야지요. 일차함수 식 구하기. 이제 출발합니다~!!! 일차함수의 식 구하기. 1. 기울기와 y 절편이 주어질 때 2. 기울기와 한 좌표가 주어질 때 3. 두 좌표가 주어질 때 4. x 절편과 y 절편이 주어질 때 일차함수 식을 구하는 법은 이렇게 4가지입니다. 하나하나 차근차근 알려드릴게요. 1. 기울기와 y 절편이 주어질 때 일차함수 식은 y=ax+b의 형태입니다. a는 기울기, b는 y 절편입니다. 예> 기울기가 3, y 절편이 -1인 일차함수의 식은, a=3, b=-1이므로 일차함수의 식은 y=3x-1 간단하지요? 2. 기울기와 한 좌표가 주어질 때 예> 일차함수의 그래프가 기울기가 2이고 좌표 (-1, 4)를 지난다고 할 때, y=ax+b에서 기울기 a=2이므로 y=2x+b에서 한 좌표 (-1, 4)를 지나니까 좌표 (-1, 4)를 대입합니다. 4=-2+b

원문보기 내부링크
Naver Blog

중2 일차함수 활용, 어렵지 않아요 - 문제 유형 5문항

이제까지 일차함수 그래프에 대해서 배웠습니다. 이제 일차함수의 활용을 배워볼게요. 일차함수 활용 문제 푸는 방법 1. 변화하는 양을 변수 x, y로 설정한다. 2. x와 y의 관계식을 y=ax+b의 형태로 식을 세운다. 3. 문제에서 구해야 하는 값을 보고 구한다. 4. 구한 값이 문제의 뜻에 맞는지 확인한다. 내용을 보면 별 건 아닌 것 같은데, 감은 오지 않지요? 일차함수 활용 문제는 유형별로 문제를 풀어보고 문제를 푸는 방법을 배우는 게 좋습니다. 그럼 문제를 풀어볼까요? 1. 가열해서 온도가 일정하게 올라가는 일차함수 활용 2. 용수철저울 문제 3. 일차함수 활용 도형 문제 4. 양초 길이 문제, 그래프가 나온 일차함수 활용 일차함수 활용 문제에서 그래프가 나오면, 무조건 일차함수 식부터 구한다. x, y가 의미하는 것 확인한다. 문제에서 구해야 하는 것을 확인하고 구한다. 일차함수 활용 문제 유형을 풀어봤습니다. 다양한 유형이 있지만 비슷합니다. 별로 어렵지 않습니다. 함

원문보기 내부링크
Naver Blog

중2 일차함수와 일차방정식 관계 - 2문항

중2 일차함수 개념 설명이 거의 마지막을 향해 가고 있습니다. 중2 일차 함수와 일차방정식의 관계만 하면 일차함수가 끝납니다. 이렇게 매일 조금씩 쌓은 게 모여서 수학 실력이 되는 거니까 지금까지 잘 따라오면서 공부하신 여러분의 수학 실력은 쑥쑥 자라고 있을 거예요. 일차함수의 마지막 단원, 일차함수와 일차방정식의 관계, 이제 들어갑니다~^^ 일차방정식의 그래프 미지수가 두 개인 일차방정식의 해의 순서쌍 (x, y)를 좌표평면 위에 나타낸 것. 감이 안 오지요? 직선의 방정식 간단히 말하면, 일차방정식은 이런 식입니다. 당연히, 그래프를 그리면 직선입니다. ax+by+c=0를 직선의 방정식이라고 합니다. x=m, y=n의 그래프 1. x=m 그래프의 특징이 직선 위의 좌표들이 y 값은 달라지는데 x 값은 다 4입니다. x=4의 그래프입니다. 문제에 나오는 x=4의 그래프를 의미하는 여러 가지 표현이 있습니다. x축에 수직이고 (4, 5)를 지나는 직선 y 축에 평행하고 (4,

원문보기 내부링크
Naver Blog

함수의 기초, 좌표의 대칭이동

오늘은 좌표의 대칭이동에 대해 배워볼까요? 좌표평면 위에 x축과 y 축이, 원점이 있고, 좌표 축을 중심으로 사분면이 나누어집니다. 1-1 과정의 대칭이동은, x축 대칭이동 y 축 대칭이동 원점 대칭이동 이렇게 세 가지 대칭이동이 나옵니다. x축, y 축 대칭이동은 x축, y 축을 중심으로 접었을 때 같은 위치에 있게끔 이동시키는 것이고, 원점 대칭은 원점을 중심으로 같은 위치에 있게끔 이동시키는 겁니다. 좌표평면 위의 한 좌표 A(2, 4)를 대칭이동을 해 볼까요? x축 대칭이동을 하면, x좌표는 그대로, y좌표만 부호가 바뀝니다. y 축 대칭이동을 하면, y좌표는 그대로 x좌표의 부호만 바뀝니다. 원점 대칭이동을 하면, x좌표, y좌표 모두 부호가 바뀝니다. 정리해 보면, 이렇게 부호가 바뀐다는 것을 알 수 있어요. 좌표의 대칭이동에서는 요것만 기억하면 됩니다. 참, 쉽지요? 중학교 1학년에 배우는 대칭이동이, 함수가 나오는 내내 나옵니다. 한 번 배워서 중등, 고등 때 계속 알

원문보기 내부링크
Naver Blog

앞으로의 블로그 포스팅의 계획을 알려드립니다.

안녕하세요. 은지쌤입니다. 제 블로그를 찾아주시는 분들께, 앞으로 올릴 글의 내용과 방향을 알려드리는 게 글을 보시고 공부하는 데 도움이 될 것 같아서 앞으로의 포스팅 계획을 대략 알려드리겠습니다. 1. 함수의 모든 것 - 함수를 어려워하는 학생들을 위해 중1-1의 함수의 개념부터 학년을 따라가면서 확장하는 내용입니다. 중1-1 정비례와 반비례, 중2-1 일차 함수, 중3-1 이차함수, 고등수학(상) 이차방정식과 이차함수, 직선의 방정식, 고등수학(하) 유리함수까지 연결할 예정입니다. 중등과정이 어떻게 차곡차곡 연계가 되는지 알려드리고 꼭 알아야 하는 개념 위주로 포스팅할 예정입니다. 우선은 개념 위주로 진행하고, 필요하다면 간간이 문제 풀이를 병행할 예정입니다. 함수가 어려운 학생들은 학년별로 거슬러가서 앞 부분부터 공부하면 도움이 될 거라 생각합니다. 2. 시험에 잘 나오는 문제 유형 - 내신 기간에는 시험에 꼭 나오는 문제 유형을 문제 풀이로 포스팅할 예정입니다. 내신 때 알아

원문보기 내부링크
Naver Blog

함수가 어려운 학생들을 위한 함수의 기초, 정비례와 반비례

오늘도 함수의 기초를 함께 할 건데요. 중1 학생들이 함수에서 처음 만나는 그래프를 배워볼 겁니다. 준비되었나요? 정비례 두 변수 x, y에서 x 값이 2배, 3배, 4배... 가 될 때, y 값도 2배, 3배, 4배...의 관계에 있을 때 y는 x에 정비례한다고 한다. - 정비례 그래프 y=ax 함수의 그래프는 아래 그림처럼 x, y좌표를 구해서 좌표평면에 좌표의 위치를 잡아서 그려주면 됩니다. 정비례 그래프는 원점을 지나는 직선의 형태가 됩니다. 그래프를 보면 특징이 있지요? 정비례 그래프에서는 정비례의 개념과 그래프의 형태만 알고 있으면 됩니다. 처음이니까 표를 만들어서 그래프를 그렸지만, 정비례 그래프가 원점을 지나는 직선의 형태가 된다는 것을 배웠으니, 원점과 한 좌표만 위치를 잡고 연결해 주면 됩니다. 반비례 - x 값이 2배, 3배, 4배... 가 될 때, y 값은 1/2배, 1/3배, 1/4배...의 관계에 있을 때, y는 x에 반비례한다고 한다. - 반비례 그래프 y

원문보기 내부링크
Naver Blog

학교 시험이 끝난 후 꼭 해야 하는 것 - 스스로 점검하고 발전하는 계기로 만들기

시험이 끝난 후, 학생들은 뭘 할까요? 시험이 끝나기도 전에, 미리 친구들과 놀러 갈 약속을 잡기 바쁘지요. 시험 끝난 날, 학생들은 시험 성적이야 어떻든 간에 일단 신나서 놀러 갑니다. 공부를 열심히 해서 시험을 잘 본 학생들은 그러려니 해도, 공부도 열심히 하지 않아서 부모님 속을 많이 썩였던 학생들은 뭘 했다고 그렇게 신나게 노는지. 놀 때는 공부 안 한 학생들이 더 신이 나지요. "넌 공부도 열심히 안 해놓고 뭘 했다고 놀아?" 부모님이 아이들한테 이렇게 소리라도 치면, 학생들은 공부를 나름 하려고 스트레스를 많이 받았으니 스트레스를 풀어야 한다고 그럴듯한 논리를 폅니다. 그리고 하루, 이틀, 일주일, 열흘을 내내 놀지요. 그러다 보면, 다음 내신을 준비할 때가 또 오게 됩니다. 시간은 참 잘 가니까요. 이렇게 놀면서 시간을 그냥 보내도 될까요? 학년에 따라 시간의 값어치가 다르게 느껴지긴 하지만, 공부는 너무 오래 멈춰있으면 좋지 않지요. 금세 다시 공부를 잡고 이어가야지

원문보기 내부링크
Naver Blog

일차함수의 뜻과 함숫값. 중2-1

함수의 모든 것, 이제 중1-1에서 중2-1로 올라갑니다 중학교 2학년에서는 일차함수가 나옵니다. 중1에서 정비례라고 배우던 게 일차함수라는 걸 알게 되는 거지요. 함수의 정의 기억하나요? 변수 x, y 값에 대하여 x 값에 y 값이 오로지 하나의 값으로 결정되는 관계. x 값 하나에 y 값이 하나!!! 그럼 일차함수는 뭘까요? y=(x에 관한 일차식) x, y의 함수 중에서 x에 대한 일차식으로 된 것만 일차함수라고 합니다. 일차함수가 되기 위한 조건 중1-1에서 배운 정비례는 y=ax의 식이지요. 일차함수 중 b=0인 것이니, 정비례는 일차함수입니다. 함수의 표현과 함숫값 x 값에 대해 정해지는 y 값을 함숫값이라 하고, 함수의 표현은, y=f(x) - f(3)=5는 x=3일 때 y=5라는 뜻입니다. 예> y=2x+3에서 f(2)는 x=2일 때의 함숫값이므로, x=2를 식에 대입하면 y=7, f(2)=7 정확히 이해하기 위해 문제를 풀어볼까요? 1. 함수를 고르는 문제 개념

원문보기 내부링크
Naver Blog

중2 일차함수 그래프의 평행이동, x 절편, y 절편

오늘은 중2 일차함수 두 번째입니다. 드디어 일차함수 그래프를 배워볼 건데요. 이번 내용은 일차함수 그래프의 평행이동, 그리고 일차함수에서 새로 등장하는 용어, x 절편, y 절편, 기울기에 대해 알려드릴게요. 준비되었나요? 중1-1에서 정비례 그래프를 배웠지요? 일차함수 개념을 배울 때 정비례가 일차함수라는 것을 알려드렸어요. 먼저 우리가 알고 있는 정비례 그래프부터 그려볼게요. 일차함수 그래프의 평행이동 그림에서 보면 y 축의 방향으로 +2만큼 위로 올라간 게 보이지요? 이렇게 이동한 걸 y 축 방향으로 평행이동했다고 합니다. 위 그림에서는 y 축 방향으로 +2만큼 평행이동한 것이지요. y 축 평행이동을 하면 그래프가 y 축의 방향으로 위아래로 움직이게 됩니다. 그림에서는 y=x의 그래프를 y 축 방향으로 +2만큼 평행이동해서 y=x+2의 그래프가 되었습니다. 일차함수 y=ax+b의 그래프는 y=ax의 그래프를 y 축 방향으로 b 만큼 평행이동한 것입니다. y 축 평행이동한 일

원문보기 내부링크
Naver Blog

학교 시험을 코앞에 둔 학생들에게 꼭 해주고 싶은 말

대부분 중학교의 중간고사가 코앞으로 다가왔습니다. 지금까지 생각 없이 설렁설렁 지내던 학생들도 시험이 코앞이니 마음이 급해져서 밀린 공부를 하느라고 바빠졌을 겁니다. 그동안 착실히 공부해놓은 학생들도 막판에 꼼꼼하게 마무리하느라고 정신이 없을 때입니다. 이럴 때, 잘 마무리하는 게 중요할 텐데요. 이런 때에 어떤 말을 해줘야 학생들한테 힘을 주고, 도와줄 수 있을까 생각하게 됩니다. 이 시기의 학생들을 보면, 마음이 급하다 보니 뭐든 급하게 서두르다가 중요한 것을 놓치기도 하고, 해야 할 것이 많다 보니 우왕좌왕하다가 뭐 하나 제대로 못 하고 이도 저도 아니게 한 가지도 완성도 있게 하지 못하기도 하더군요. 오늘도 한 학생에게 이런 말을 했습니다. 잠깐만, 좀 차분하게 해. 맘이 급해서 서두르니까 오히려 자꾸 틀리잖아. 조금 차분하게 마음 가라앉히고 하는 게 나아. 차분하게 집중해서 한 번에 정확하게 풀어. 지금 이 시점에 학생들에게 해줄 수 있는 말 중 가장 도움이 되는 말은, 서

원문보기 내부링크
Naver Blog

중학교 공식 고3까지 가져간다. 중학교 도형 파트 수학공식 정리

중학생 때 배우는 공식 중 고3 때까지 나오는 공식 정리 들어갑니다. 고등과정에서 중등과정에서 확장되어 배우는 공식과 고등과정을 배운 후 잘 쓰지 않는 공식을 제외했습니다. 중등과정에서 배우고 나서 고등과정에서 문제에 자주 등장하지만 학생들이 잘 잊어버리는 공식을 다뤄봤습니다. -1-2 부채꼴 넓이 공식 구 부피, 겉넓이 공식 - 2-2 직각삼각형 닮음 공식 공식으로 적어놓았지만, 그림으로 외우는 게 훨씬 기억하기가 쉽습니다. 그림을 그려서 넣었는데 잘 그렸나요? 피타고라스 정리를 배우면 직각삼각형 닮음과 같이 활용합니다. 피타는 아무래도 제곱이 나오니까 계산이 복잡해질 수 있어서 계산이 쉬운 쪽으로 선택해서 사용합니다. 직각삼각형 넓이 공식 초등 때부터 나오는 삼각형 넓이 공식입니다. 이것도 그림으로 기억하는 게 쉽습니다. 내각의 이등분선 공식 외각의 이등분선 공식 내각의 이등분선과, 외각의 이등분선도 그림으로 기억하는 게 쉽습니다. - 3-2 삼각비를 활용한 삼각형 넓이 공식 삼

원문보기 내부링크
Naver Blog

함수가 어려운가요? 함수의 기초, 함수란 무엇인가? 1-1

많은 학생들이 수학을 어려워합니다. 학생들한테 가장 어려운 단원이 어딘지 물어보면, 거의 다 함수가 어렵다고 하더군요. 생각해 보면 학생들이 함수를 처음 배울 때는 중학교 1학년인데, 용어부터 어려워하는 것 같습니다. 그리고 그 이후 학년이 올라가면서 계속 개념이 확장되면서 배우게 되니까 한 번 제대로 알지 못하면 계속 어려울 수 밖에 없겠지요? 그래서 준비했습니다. 함수의 기본부터 차근차근 배워서, 학년을 올라가면서 확장해 보겠습니다. 차근차근 밟아서 함수를 함께 정복해 보자고요. 1-1 정비례와 반비례 - 중1에서 함수를 처음 배울 때는 정비례와 반비례로 배웁니다. 함수의 개념 - 두 변수 x, y에 대하여 x 값이 정해짐에 따라 y 값이 하나로 정해지는 관계가 있을 때, y를 x의 함수라고 한다. 중학교 과정에서는 함수의 정의가 이렇게 되어 있습니다. 잘 못 알아듣겠지요? 여기서 중요한 건 변수입니다. 변수는 변하는 수라는 의미입니다. 변수 x, y라는 뜻은 x 값과 y 값이

원문보기 내부링크
Naver Blog

[책리뷰]알고 나면 꼭 써먹고 싶어지는 역사 잡학 사전 B급 세계사-서프라이즈 같은 책

언제나 B급 또는 마이너라는 이름이 붙으면 재미가 있는 것 같다. 표면적으로 알려져 있는 것과 다른 면을...

원문보기 내부링크
1 2