더플러스수학 원장

안녕하세요. 울산 남구 옥동에 위치한 더플러스수학학원장입니다. 울산 더플러스수학학원에서 20여년을 수능 수리영역을, 최근 10여년 수리논술을 강의해 왔습니다. 포항에 있는 자사고 포항제철고 수리논술 출강했습니다. 또 울산 과학고 1기부터 지금까지 대입 심층면접, 과고내신, AP CALCULUS 수업 등 일등급 학생들의 수학수업에 전문가라고 자부할 수 있습니다. 수능수학, 수리논술과 심층면접, CALCULUS에 대한 질문에 답을 해 줄 수 있습니다. 문제는 수학의 깊이! 해답은 자기주도학습! [더플러스수학학원] 수능, 교육청모의고사, 삼사, 경찰대 등의 기출문제 풀이 동영상, 서울대 등 명문대 심층면접문제, 수리논술문제 풀이 동영상 제공 자기주도적 학습 더플러스수학 : plus the dream beyon..

중1 박준혁 학생 구술 테스트 영상

안녕하세요. 울산 남구 옥동에 위치한 더플러스수학학원장입니다. 울산 더플러스수학학원에서 20여년을 수능 수리영역을, 최근 10여년 수리논술을 강의해 왔습니다. 포항에 있는 자사고 포항제철고 수리논술 출강했습니다. 또 울산 과학고 1기부터 지금까지 대입 심층면접, 과고내신, AP CALCULUS 수업 등 일등급 학생들의 수학수업에 전문가라고 자부할 수 있습니다. 수능수학, 수리논술과 심층면접, CALCULUS에 대한 질문에 답을 해 줄 수 있습니다. 문제는 수학의 깊이! 해답은 자기주도학습! [더플러스수학학원] 수능, 교육청모의고사, 삼사, 경찰대 등의 기출문제 풀이 동영상, 서울대 등 명문대 심층면접문제, 수리논술문제 풀이 동영상 제공 자기주도적 학습 더플러스수학 : plus the dream beyon..

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2023년 과고2학년 2학기 대비 공부

이번 학기에서는 우연히 수학(하)와 확통에서 공통으로 경우의 수를 다룬다. #울산과고 1학년, 2학년 수업 모두에는 실력정석 "경우의 수" 단원의 연습문제에 #교란순열을 포함되어 있다. 교란순열을 #포함과_배제의_원리(포제의 원리)를 갖고 일반항을 구할 수 있고, 또, #점화식 을 이용하여 교란순열의 개수를 구할 수 있다. 따라서 이 글에서는 교란순열에 대해 알아보고자 한다. 교란순열의 일반항, 점화식, 항등식 등등.... 교란순열 함수 \(\displaystyle f:\left\{1,~2,~3,~\cdots,~n \right\} \rightarrow \left\{1,~2,~3,~\cdots,~n \right\} \)에 대하여 \(\displaystyle f ( 1) \neq 1 \), \(\displa..

행렬과 연립방정식-가우스소거법

1.1. 선형연립방정식 선형연립방정식과 그의 해를 구하는 문제는 선형대수학의 가장 중요한 문제 중 하나입니다. 수 천, 수만 개의 미지수를 갖는 연립방정식은 자연과학, 공학, 경제-사회-인문학은 물론 교통문제, 일기예보, 의사결정 둥 수많은 분야에서 만나게 됩니다. 더구나 속도, 가속도와 같이 도함수를 포 함하는 미분방정식도 선형연립방정식 문제로 바꾸어 해결합니다. 선형 대수학에서 선형연립방정식의 해는 첨가행렬을 이용한 Gauss(가우스)소거법이나 행렬식을 이용한 방법으로 구합니다. 이장에서는 선형연립방정식의 해법과 구한 해의 기하학적 의미를 고찰 하고 다양한 선형연립방정식의 응용에 대하여 알아봅시다. 정의 [선형방정식] 미지수 $x_1,~ x_2,~ \ldots,~ x_n$ 에 관한 선형방정식(line..

학생들이 수학문제를 구술로 풀어야 하는이유는? [더플러스수학 학원생 모집]

학생들이 수학문제를 구술로 풀어야 하는이유는?대상2023 수업일정 및 내용과정초등반(5학년) 상담예약중1과정 개강(1:1 또는 그룹)중등반(1,2,3학년) 상담예약고등과정과고준비반(예비중3학년) 상담예약12월말 개강 예정일반고(현1,2학년) 상담예약내신대비과학고(예비1학년) 상담예약12월 5일(화) 개강예정과학고(1,2학년) 상담예약내신대비 접수 및 상담위의 상담예약으로 접수 후 학원등록시 학원비할인 이벤트 대상 (연락처 : 052-260-9981, 052-258-4409 로 상담문의)-수업+구술(주1회) -http://www.더플러스수학.com 게시판에서 학생들의 구술영상을 확인하실 수 있습니다. 회차가 거듭될수록 향상되는 자녀들의 실력을 확인하세요 -구술영상 예시 https://youtu.be/9_a..

[더플러스수학] 과학고 선배가 과고 후배인 예비과고에게 들려주는 이야기

학생들이 수학문제를 구술로 풀어야 하는이유는?대상2023 수업일정 및 내용과정초등반(5학년) 상담예약중1과정 개강(1:1 또는 그룹)중등반(1,2,3학년) 상담예약고등과정과고준비반(예비중3학년) 상담예약12월말 개강 예정일반고(현1,2학년) 상담예약내신대비과학고(예비1학년) 상담예약12월 5일(화) 개강예정과학고(1,2학년) 상담예약내신대비 접수 및 상담위의 상담예약으로 접수 후 학원등록시 학원비할인 이벤트 대상 (연락처 : 052-260-9981, 052-258-4409 로 상담문의)-수업+구술(주1회) -http://www.더플러스수학.com 게시판에서 학생들의 구술영상을 확인하실 수 있습니다. 회차가 거듭될수록 향상되는 자녀들의 실력을 확인하세요 -구술영상 예시 https://youtu.be/9_a..

옥동수학학원 [더플러스수학학원] (예비)울산과고1학년 설명회 및 수업 안내, (예비)고1학년 최상위반 수업안내

안녕하세요, 더(THE) 플러스수학학원입니다. (예비)과고1학년 설명회와 수업시간안내, (예비)울산과고1학년 및 최상위반 수업안내 1. 겨울학기를 앞두고 저희 더플러스수학학원에서 예비울산과고1학년 학부모님 및 학생들을 대상으로 설명회를 진행하려 합니다. 장소가 협소하여 전화로 사전예약 부탁드립니다. 대상 : (예비)과고1학년 학부모님 및 학생 (현 중3, 학생은 반드시 참여바랍니다.) 날짜 : 12월 5일 화요일 시간 : 오후 7시 설명회 내용 : - 합격 이후 학습 로드맵 및 학습전략 - 과학고 내신 및 기출 분석과 학습방법 전화 예약 : 052-260-9981 또는 052-258-4409 문자 예약 : 052-258-4409 로 학생이름과 함께 문자보내주시면 됩니다. 2. (예비..

[더플러스수학] 과고 추가문제

심화수학 수업에서 학교에서 나온 문제입니다. 첫번째는 수리논술 기출일 것 같은데 어디인지는 잘 모르겠고 알고 있는 사람은 댓글을 달아 주세요. 두 번재는 포스텍 면접문제, 세번째는 부산대 수리논술 문제입니다. 풀이를 서술하기는 시간이 많이 걸려 우선 풀이 동영상을 링크 걸겠습니다. 참조하세요. (가) \(\displaystyle f\)가 실수 전체의 집합에서 정의된 함수일 때, 실수 \(\displaystyle a\)에 대하여 극한값 \(\displaystyle \lim_{ h \rightarrow 0} \frac{ f(a+h)-f(a)}{h}\)가 존재하면 함수 \(\displaystyle f\)가 \(\displaystyle x=a\)에서 미분가능하다고 한다. 이 때, 이 값을 함수 \(\displa..

[옥동수학학원] 울산과학고 제18기 설명회

2023학년도 #울산과학고등학교_제18기 합격자 발표가 12월6일(화)로 다가왔습니다. 중학교 3년을 보내면서 울산과학고등학교 진학을 꿈꾸었던 친구들 모두에게 좋은 소식이 전해지길 바랍니다. #더_THE_플러스수학전문학원에서는 울산과학고등학교 입학예정 학생들과 학부모님들을 위해 울산과학고등학교 수학 커리큘럼 설명 및 본 학원의 겨울방학 특강 설명회를 다음과 같이 준비하고 있습니다. 일시 : 2022년 12월 6일 (화) 19:00 장소 : 더(THE)플러스수학전문학원 제3강의실 내용 : 울산과학고등학교 수학 커리큐럼 및 겨울방학 학습 계획 설명 참석예약 전화번호: 052-260-9981 *문의 전화 주시면 성실히 답변드리겠습니다!!! 다시 한번 울산과학고등학교 합격자 발표를 기다리는 모든 친구들과 ..

[더플러스수학]과학고 학교 문제 중 조금 어려운 문제

울산과학고 학교 프린트 중에 다음의 문제가 있었다. 학생들이 어려워 해서 한 번 풀어보았습니다. \(\displaystyle n\) 개의 실수 \(\displaystyle a_1 ,~a_2 ,~\cdots,~a_n \)으로 된 집합 \(\displaystyle A\)가 있다. 이 집합 \(\displaystyle A\) 의 원소 \(\displaystyle a_i \)가 그 외의 \(\displaystyle n-1\)개의 원소의 평균보다 크지 않게 하는 이 실수의 조로 된 집합을 모두 구하여라. 정답 없다. (풀이) 집합 \(\displaystyle A\)가 \(\displaystyle n\)개의 원소 \(\displaystyle a_1 ,~a_2 ,~\cdots,~a_n \)로 이루어져 있으므로 \(\..

[더플러스수학] 교란순열에 대하여

이번 학기에서는 우연히 수학(하)와 확통에서 공통으로 경우의 수를 다룬다. #울산과고 1학년, 2학년 수업 모두에는 실력정석 "경우의 수" 단원의 연습문제에 #교란순열을 포함되어 있다. 교란순열을 #포함과_배제의_원리(포제의 원리)를 갖고 일반항을 구할 수 있고, 또, #점화식 을 이용하여 교란순열의 개수를 구할 수 있다. 따라서 이 글에서는 교란순열에 대해 알아보고자 한다. 교란순열의 일반항, 점화식, 항등식 등등.... 교란순열 함수 \(\displaystyle f:\left\{1,~2,~3,~\cdots,~n \right\} \rightarrow \left\{1,~2,~3,~\cdots,~n \right\} \)에 대하여 \(\displaystyle f ( 1) \neq 1 \), \(\displa..

과고1학년 2학기 대비 공부

이번 학기에서는 우연히 수학(하)와 확통에서 공통으로 경우의 수를 다룬다. #울산과고 1학년, 2학년 수업 모두에는 실력정석 "경우의 수" 단원의 연습문제에 #교란순열을 포함되어 있다. 교란순열을 #포함과_배제의_원리(포제의 원리)를 갖고 일반항을 구할 수 있고, 또, #점화식 을 이용하여 교란순열의 개수를 구할 수 있다. 따라서 이 글에서는 교란순열에 대해 알아보고자 한다. 교란순열의 일반항, 점화식, 항등식 등등.... 교란순열 함수 \(\displaystyle f:\left\{1,~2,~3,~\cdots,~n \right\} \rightarrow \left\{1,~2,~3,~\cdots,~n \right\} \)에 대하여 \(\displaystyle f ( 1) \neq 1 \), \(\displa..

[더플러스수학] 과학고 준비 이렇게! 꽃들에게 희망을! 수학 공부하는 학생들에게!....

[더플러스수학] 과학고 준비 이렇게! 꽃들에게 희망을! 수학 공부하는 학생들에게!.... 꽃들에게 희망을!!!!! 호랑애벌레.... 올라간다. 위에는 아무것도 없다. 허무하다. 주위의 애벌레에게 말을 해도 알아듣지 못한다. 노랑애벌레... 나비가 되어 애벌레 기둥에 먼저 올라가서 없다는 것을 미리 안다. 우리는 어떤 애벌레가 되어야 할까? 우리 학생들과 어머님들은 이학원 저학원 다니면서 학생들이 공부 잘 하게 노력하신다. 그러나 학생들과 어머님들은 이학원이 더 잘가르치는지 저학원이 잘 가르치는지 평가하는 능력만 올라간다. 그러나 학생들의 수학실력은......? 수학 잘하는 방법은 없다. 학원에 없다. 학생에게 있다는 것을 빨리 깨달아야 한다. 우리 학생들은 수업을 너무 많이 듣는다. 수업을 많이 듣는다고..

[과고1] 수2 방과 후 프린트 [더플러스수학]

다음 제시문을 읽고 물음에 답하시오. (가) 롤의 정리 함수 \(\displaystyle f(x)\)가 닫힌 구간 \(\displaystyle [a,~b]\)에서 연속이고, 열린 구간 \(\displaystyle (a, ~b)\)에서 미분가능할 때, \(\displaystyle f(a)=f(b)\)이면, \(\displaystyle f'(c)=0\)인 \(\displaystyle c\)가 \(\displaystyle a\)와 \(\displaystyle b\) 사이에 적어도 하나 존재한다. (나) 함수 \(\displaystyle f( x),~g(x)\)와 실수 \(\displaystyle k\)에 대하여 \(\displaystyle g(x)=e^{kx} f(x)\) 이면 방정식 \(\displaysty..

[더플러스수학] 과고 심화수학 프린트 문제 풀이

심화수학에서 삼각함수의 역함수, 즉 역삼각함수를 정의하기 위해 삼각함수의 정의역과 치역을 제한하여 일대일 대응을 만든다. 각각의 역삼각함수 \(\displaystyle \sin^{-1}x,~\cos^{-1}x ,~\tan^{-1}x ,~ \cot^{-1}x,~\sec^{-1}x ,~\csc^{-1}x\)의 도함수를 구한다. 이를 이용하여 문제를 푼다. 예제5. (1) \(\displaystyle y=\cos ^{-1}(1-2x)\) (2) \(\displaystyle y=\cot ^{-1} \left(\frac{1-x}{1+x}\right)\) https://youtu.be/5OLDxRr4w40 (구독과 좋아요를) 예제6. \(\displaystyle \cos \left(\sin ^{-1}x \right..

[더플러스수학] 과학고 학교 프린트

심화수학 수업에서 학교에서 나온 문제입니다. 첫번째는 수리논술 기출일 것 같은데 어디인지는 잘 모르겠고 알고 있는 사람은 댓글을 달아 주세요. 두 번재는 포스텍 면접문제, 세번째는 부산대 수리논술 문제입니다. 풀이를 서술하기는 시간이 많이 걸려 우선 풀이 동영상을 링크 걸겠습니다. 참조하세요. (가) \(\displaystyle f\)가 실수 전체의 집합에서 정의된 함수일 때, 실수 \(\displaystyle a\)에 대하여 극한값 \(\displaystyle \lim_{ h \rightarrow 0} \frac{ f(a+h)-f(a)}{h}\)가 존재하면 함수 \(\displaystyle f\)가 \(\displaystyle x=a\)에서 미분가능하다고 한다. 이 때, 이 값을 함수 \(\displa..

과고2학년 미적분 학교프린트풀이

1. 임의의 \(\displaystyle x \)에 대하여 \(\displaystyle x \)의 다항식 \(\displaystyle f ( x) \)가 \(\displaystyle f ( x ^{2} )=x ^{3} f ( x+1)-2x ^{4} +2x ^{2} \) 을 만족할 때, \(\displaystyle f ( 0)=f ( 1)=f ( 2)=0 \)임을 보이고 \(\displaystyle f ( x) \)를 구하여라. (단, 모든 실수 \(\displaystyle x \)에 대하여 \(\displaystyle f ( x)=0 \)인 것은 아니다. 즉 \(\displaystyle f ( x _{0} ) \neq 0 \)인 실수 \(\displaystyle x _{0} \)가 존재한다.) https..

[옥동수학학원][수학의 기초] 다르부 정리 -도함수의 사잇값 정리[더플러스수학학원]

울산과고 3학년 학생들과 AP_Calculus 수업을 할 때, 연속함수에서는 사잇값 정리가 있는데 미분가능한 함수의 도함수에서는 사잇값 정리와 비슷한 성질 - 사잇값 성질 이 있음을 설명해야 하는 상황이 와서 울산 옥동에 있는 수학학원인 더플러스수학 학원에서 다르부 정리라고 말하는 정리를 조사해 보았다. 다르부 정리 닫힌구간 \(\displaystyle I\)에 대하여 함수 \(\displaystyle f:I\rightarrow \mathbb R\) 가 치역이 실수인 미분가능한 함수일 때, 도함수 \(\displaystyle f'\)는 사잇값 성질을 갖는다. 여기서 사잇값 성질이란 다음과 같다. \(\displaystyle a

[정적분과 점화식] beta function [AP-Calculus]

정적분문제를 점화식을 이용하여 푸는 문제를 찾아 보았다. 문제1. \(\displaystyle m,~n\)이 음이 아닌 정수일 때, 다음을 증명하여라. (1) \(\displaystyle \int_{\alpha}^{\beta}(x-\alpha)^m (\beta-x)^n dx =\frac{m! n! (\beta-\alpha)^m+n+1}{(m+n+1)!}\) (2) \(\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^{2m+1}x \cos^{2n+1} x dx = \frac{m!n!}{2(m+n+1)!}\) (힌트 : \(\displaystyle \sin^2 x =t\)로 치환)

[수학의 기초] 평균변화율과 이차함수의 성질과 그 역 증명 [더플러스수학]

정적분문제를 점화식을 이용하여 푸는 문제를 찾아 보았다. 문제1. \(\displaystyle m,~n\)이 음이 아닌 정수일 때, 다음을 증명하여라. (1) \(\displaystyle \int_{\alpha}^{\beta}(x-\alpha)^m (\beta-x)^n dx =\frac{m! n! (\beta-\alpha)^m+n+1}{(m+n+1)!}\) (2) \(\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^{2m+1}x \cos^{2n+1} x dx = \frac{m!n!}{2(m+n+1)!}\) (힌트 : \(\displaystyle \sin^2 x =t\)로 치환)

[수학의 기초] 증명"리만적분가능하면 유계" [더플러스수학]

AP-Calculus과정에서 구간 \(\displaystyle [a,~b]\)에서 리만적분 가능한 함수 \(\displaystyle f\)는 그 구간에서 유계임을 증명하는 것이 나와 학생들이 많이 당황해 하고 있어서 이 글을 작성한다. 먼저 리만적분 가능하다는 것은 https://plusthemath.tistory.com/500 [수학의 기초] 정적분의 정의(2)-상적분, 하적분, 정적분의 성질 앞의 글에서 리만합, 상합, 하합사이의 관계에 대해 말했다면 이젠 이것을 바탕으로 정적분을 정의하자. 앞의 글을 먼저 읽고 이 글을 읽는 것이 이해하기가 편할 것이다. 2021.02.01 - [수학과 공부 plusthemath.tistory.com 에서 알 수 있듯이 다음과 같이 정의한다. 실수 \(\displa..

[수학의 기초] 정적분의 정의(2)-상적분, 하적분, 정적분의 성질

앞의 글에서 리만합, 상합, 하합사이의 관계에 대해 말했다면 이젠 이것을 바탕으로 정적분을 정의하자. 앞의 글을 먼저 읽고 이 글을 읽는 것이 이해하기가 편할 것이다. 2021.02.01 - [수학과 공부이야기] - [수학의 기초] 정적분의 정의(1)-리만합, 상합, 하합의 관계 먼저 실수의 성질인 완비성공리를 전제로 논리를 진행한다. 상계, 하계, 상한, 하한에 대해서도 다음 글을 참고하시길 바란다. 2022.03.22 - [수학과 공부이야기] - [수학의 기초]상계-상한, 하계-하한[더플러스수학] 완비성공리 공집합이 아닌 실수의 집합이 아래로 유계이면 상한이 존재한다. 마찬가지로 위로 유계이면 하한이 존재한다. 앞의 글에서 증명한 정리인 "임의의 하합은 모든 상합보다 크지 않다."라는 사실과 실수의 ..

[2022년 3월 교육청모의고사 수학1-13번] 등차수열의 합

2022년 3월에 친 교육청 모의고사 수학1 수열 단원의 등차수열의 합과 관련된 문제입니다. 수열은 자연수의 집합에서 실수의 집합으로의 함수라는 것을 착안하여 등차수열의 합은 원점을 지나는 2차함수로 보고 그래프를 이용하여 문제를 풀었습니다. 수열은 함수다. 첫째항이 양수인 등차수열 \(\displaystyle \left\{ a_n \right\}\)의 첫째항부터 제\(\displaystyle n\)항까지의 합을 \(\displaystyle S_n \)이라 하자. \(\displaystyle \left| S_3 \right| = \left|S_6 \right| =\left|S_11 \right| -3\) 을 만족시키는 모든 수열 \(\displaystyle \left\{ a_n \right\}\)의 첫째..

[2022년 3월교육청 모의고사 기하 30번] 포물선의 정의 응용 [더플러스수학]

그림과 같이 꼭짓점이 \(\displaystyle \mathrm{A_1}\) 이고 초점이 \(\displaystyle \mathrm{F_1}\) 인 포물선 \(\displaystyle P_1\)과 \(\displaystyle \mathrm{A_2}\) 이고 초점이 \(\displaystyle \mathrm{F_2}\) 인 포물선 \(\displaystyle P_2\)가 있다. 두 포물선의 준선은 모두 직선 \(\displaystyle \mathrm{F_1 F_2} \)와 평행하고, 두 선분 \(\displaystyle \overline{\mathrm{A_1A_2}},~ \overline{\mathrm{F_1 F_2}} \)의 중점은 서로 일치한다. 두 포물선 \(\displaystyle P_1,~P_2\..

[더플러스수학] 과고 1학년1학기 중간대비 킬러문항(카톡제공)-1,2

1. 임의의 \(\displaystyle x \)에 대하여 \(\displaystyle x \)의 다항식 \(\displaystyle f ( x) \)가 \(\displaystyle f ( x ^{2} )=x ^{3} f ( x+1)-2x ^{4} +2x ^{2} \) 을 만족할 때, \(\displaystyle f ( 0)=f ( 1)=f ( 2)=0 \)임을 보이고 \(\displaystyle f ( x) \)를 구하여라. (단, 모든 실수 \(\displaystyle x \)에 대하여 \(\displaystyle f ( x)=0 \)인 것은 아니다. 즉 \(\displaystyle f ( x _{0} ) \neq 0 \)인 실수 \(\displaystyle x _{0} \)가 존재한다.) https..

[옥동수학학원][수학의 기초]울산과고 상계-상한, 하계-하한[더플러스수학]

울산과학고 학생들이 공부하는 AP-Calculus(미적분학)를 학원에서 가르치다 보면 해석학에서 나오는 개념들인 상계, 하계 등등에 대한 개념을 정리할 필요성을 느낀다. 먼저 상한(최소상계)와 최대값의 개념이 혼란스러울 것이다. 예를 들어 유한집합 \(\displaystyle S_1=\left\{ 1,~2,~3,~4 \right\}\)를 생각해 보면, 이 집합 \(\displaystyle S\)의 최댓값은 \(\displaystyle 4\)로 존재한다. 그런데 다음과 같은 무한집합 \(\displaystyle S_2 = [0,~2)\)에서는 최댓값은 존재하지 않는다. 그런데 여기서 \(\displaystyle 2\)는 집합 \(\displaystyle S_2 \)의 원소는 아니지만 또, \(\displa..

[2020년3월 가형 미적분 30번] [더플러스수학]

#2020년_3월_가형_모의고사_30번 #미적분킬러문항 문제에 대한 여러가지 풀이 입니다. 최고차항의 계수가 \(\displaystyle 4 \)인 삼차함수 \(\displaystyle f ( x) \)와 실수 \(\displaystyle t \)에 대하여 함수 \(\displaystyle g ( x) \)를 \(\displaystyle g ( x)= \int _ {t} ^ {x} {f ( s)} ds \) 라 하자. 상수 \(\displaystyle a \)에 대하여 두 함수 \(\displaystyle f ( x) \)와 \(\displaystyle g ( x) \)가 다음 조건을 만족시킨다. (가) \(\displaystyle f ' ( a)=0 \) (나) 함수 \(\displaystyle \le..

[2022년 3월교육청 모의고사 22번 수학2] 정적분으로 정의된 함수의 응용 [더플러스수학]

2022년 3월 고3 모의고사 22번 수2 킬러문제입니다. 정적분으로 정의된 함수의 미분가능성, 연속성과 3차함수 그래프와의 관계에 대한 문제입니다. 실수 전체의 집합에서 연속인 함수 \(\displaystyle f(x)\)와 최고차항의 계수가 \(\displaystyle 1\)이고 상수항이 \(\displaystyle 0\)인 삼차함수 \(\displaystyle g(x)\)가 있다. 양의 상수 \(\displaystyle a\)에 대하여 두 함수 \(\displaystyle f(x),~g(x)\)가 다음 조건을 만족시킨다. (가) 모든 실수 \(\displaystyle x\)에 대하여 \(\displaystyle x \left| g(x) \right| = \int_{2a}^x (a-t)f(t) dt\..

[AP-Calculus] 고려대 미적분학 기출 (Spring, 2010) [더플러스수학]

2010학년도 봄, 고려대 미적분학 기출 Calculus Ⅰ Exam 1(Spring, 2010) 1. (15 pts) Let \(\displaystyle f ( x)= {\begin{cases}x ^{2} +1, ~& \rm {if}~ x \leq 0\\x ^{3} +1, ~&\rm{if}~ x>0\end{cases}} \) Use the '\(\displaystyle \epsilon - \delta \) argument' to show that \(\displaystyle f \) is continuous on the real line. 2. (15 pts) Let \(\displaystyle f \) be a polynomial and let {\(\displaystyle x _{0} ,x _{1}..

[AP-Calculus] Proof of \(\lim\limits_{x \rightarrow a} f(x)=L \Longleftrightarrow \lim\limits_{h \rightarrow 0}f(a+h)=L\) [더플러스수학]

Prove that \(\displaystyle \lim\limits_{x \rightarrow a} f(x) =L \) if and only if \(\displaystyle \lim\limits_{h \rightarrow }f(a+h)=L\). (Use the precise definition of limits with \(\displaystyle \epsilon-\delta\)) -극한에 대한 엄밀한 정의인 \(\displaystyle \epsilon-\delta\)논법을 이용하여 다음이 서로 동치-필요충분조건임을 보이시오. \(\displaystyle \lim\limits_{x \rightarrow a} f(x) =L \) \(\displaystyle \Longleftrightarrow\) \(\..

[2021년3월 미적분 30번] [킬러문항30번풀이][더플러스수학]

자연수 \(\displaystyle n \)에 대하여 삼차함수 \(\displaystyle f ( x)=x \left ( x-n \right) \left ( x-3n ^{2} \right) \)이 극대가 되는 \(\displaystyle x \)를 \(\displaystyle a _{ n} \)이라 하자. \(\displaystyle x \)에 대한 방정식 \(\displaystyle f ( x)=f \left ( a _{ n} \right) \)의 근 중에서 \(\displaystyle a _{ n} \)이 아닌 근을 \(\displaystyle b _{ n} \)이라 할 때, \(\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty } {\frac {a _{ n} b..

[카이스트 미적분기출] 2008 Midterm Exam of Calculus I [더플러스수학]

1. Let \(\displaystyle f(x) = 2x + cos x \). (a) (8 points) Verify that \(\displaystyle f\) has an inverse. (b) (8 points) Find \(\displaystyle (f ^{−1} ) ( \pi)\). 2. (15 points) Let \(\displaystyle f(x) = \sqrt{4x+1}\). Use the formal \(\displaystyle \epsilon-\delta\) definition of limit with given \(\displaystyle \epsilon =1\) to explain that \(\displaystyle f \) is continuous at \(\displayst..

[고려대 미적분학 기출] 2018년 2학기 미적분학1 -exam1

1. Using the precise definition of limit, show that \(\displaystyle \lim\limits_{x \rightarrow 1}\frac{x^2 +1}{x^3 +x}=1\). (12pts) 2. If \(\displaystyle f(x)\) and \(\displaystyle g(x)\) are differentiable functions such that \(\displaystyle f \left( g(x)\right)=\tan x\) and \(\displaystyle f'(x)=1+f^2 (x)\), \(\displaystyle \left ( -\frac{\pi}{2}

[더플러스수학] 증가함수(또는 감소함수)의 역함수도 증가함수(또는 감소함수)이다.

정의 증가함수 함수 \(\displaystyle f\,:\,(a,~b) \longrightarrow (c,~d)\)가 다음 조건을 만족할 때를 (순)증가함수-strictly increasing function라고 한다. 임의의 \(\displaystyle x_1 ,~x_2 \in (a,~b)\)에 대하여 \(\displaystyle x_1 < x_2 \) \(\displaystyle \longrightarrow \) \(\displaystyle f(x_1 ) < f(x_2 )\) \(\displaystyle \cdots\cdots \) (i) 또, 다음을 만족하면 단조증가함수(monotonic increasing function) 또는 감소하지 않는 함수(non-decreasing function)이라 ..

[카이스트 방학숙제1] winter 2022 assignment 1 [더플러스수학]

카이스트 방학 숙제1- bridge program – winter 2022 assignment 1 Problem 1 Which of the following statements are true, and which are false? If true, try to give a convincing argument; if false, give a counter-example (that is, an example confirming the falsehood). (a) If \(\displaystyle \lim\limits_{x \rightarrow c} f(x)\) exists but \(\displaystyle \lim\limits_{x \rightarrow c} g(x)\) does not exist, the..

[카이스트 방학숙제2] winter 2022 assignment 2 [더플러스수학]

Problem 1 Suppose that a function \(\displaystyle f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) satisfies the following conditions for all real values \(\displaystyle x\) and \(\displaystyle y\): (i) \(\displaystyle f(x + y) = f(x) · f(y)\). (ii) \(\displaystyle f(x) = 1 + xg(x)\), where \(\displaystyle \lim\limits_{x \rightarrow 0} g(x) = 1\) Show that the derivative f′(x) exists at every value of x ..

[수학의 기초] 삼각부등식 [더플러스수학]

과학고 AP-Calculus 수업을 할 때, 특히 극한을 \(\displaystyle \epsilon-\delta\) 논법을 이용하여 증명할 때, 많이 나온다. 물론 이 내용은 수학 하에서 부등식의 증명단원에서 절댓값을 포함한 부등식을 증명할 때, 예로 나온다. 먼저 중학교 1학년에서 배운 절댓값의 정의에서 시작하자. 절댓값 실수 \(\displaystyle x \)에 대하여 절댓값 \(\displaystyle x \) 즉, \(\displaystyle \left| x \right|\)는 원점으로부터 실수 \(\displaystyle x \)까지의 거리를 나타낸다. 예를 들어 \(\displaystyle \left| -5 \right|\)는 수직선에서 원점 \(\displaystyle 0 \)로부터 점 ..

[수학의 기초] 평균값의 정리(1)

평균값의 정리에 대하여 알아보고 롤의 정리를 이용하여 평균값의 정리를 증명해 보자. 롤의 정리 함수 \(\displaystyle f(x)\)가 닫힌구간 \(\displaystyle [a,~b]\)에서 연속이고 열린구간 \(\displaystyle (a,~b)\)에서 미분가능할 때, \(\displaystyle f(a)=f(b)\)이면 \(\displaystyle f'(c)=0\) 인 \(\displaystyle c\)가 열린구간 \(\displaystyle (a,~b\)에 적어도 하나 존재한다. (증명) 함수 \(\displaystyle f(x)\)가 닫힌구간 \(\displaystyle [a,~b]\)에서 연속이므로 최대 최소의 정리 의 정리를 이용하여 증명한다. 먼저 함수\(\displaystyle ..

[수학의 기초] 디리클레 자 함수(Dirichlete ruler function)-Thomae function

과학고에서 배우는 AP-Calculus에서 나오는 디리클레 자함수(Dirichlete Ruler function)에 대해 알아보자. 토마스 Calculus 12판에서 나오는 디리클레 자함수를 인용하면 아래와 같다. The Dirichlet ruler function If \(\displaystyle x \) is a rational number, then \(\displaystyle x\) can be written in a unique way as a quotient of integers \(\displaystyle \frac{m}{n}\) where \(\displaystyle n >0\) and \(\displaystyle m\) and \(\displaystyle n \) have no commo..

[수학의 기초] 함수의 극한의 엄밀한 정의(1) $\epsilon-\delta$, $\displaystyle p \rightarrow q$와 $\displaystyle \sim p ~or~ q$와 그 부정

과학고 AP 수업을 할 때, 극한이 \(\displaystyle \epsilon-\delta\)로 정의되는데 이 속에 조건 \(\displaystyle p \rightarrow q\)과 모든(\(\displaystyle \Large \forall\))과 어떤(\(\displaystyle \Large \exists\))등이 포함되어 있다. 즉, 극한의 엄밀한 정의 \(\displaystyle \lim\limits_{x \rightarrow c} f(x)=L\) For all \(\displaystyle \epsilon >0\), there exists some \(\displaystyle \delta =\delta (\epsilon)\) such that for all \(\displaystyle x\),..

[더플러스수학] 고급수학 교과서 질문 복소평면 이항방정식 풀이

과고2학년 학생들이 고급수학 교과서에서 질문해서 문제와 나의 풀이를 적어본다. 고급수학 교과서 심화문제 \(\displaystyle \zeta \)가 방정식 \(\displaystyle z^n = \omega \)(\(\displaystyle \neq 0 \))의 임의의 한 해라 하자. 또, \(\displaystyle x^n = 1 \)의 근(\(\displaystyle 1 \)의 \(\displaystyle n \)제곱근 중 하나인 \(\displaystyle \omega _ {n} \))에 \(\displaystyle \zeta \)를 곱해서 \(\displaystyle z ^ {n} = \omega \)의 모든 해를 만들 수 있음을 보여라. 즉, 해집합 \(\displaystyle S \)은 \(..

[더플러스수학] 2022학년도 수리논술 파이널 개강

#11월18일! 고3 그리고 다시 도전하는 수험생 여러분, 오늘로 #2022학년도_대학수학능력시험 이 얼마남지 않았네요... 작년부터 이어져 온 지긋지긋한 COVID-19 pandemic 소용돌이 속에서 정말 고생 많으셨습니다... 2022년 봄, 대학 캠퍼스에서 여러분의 꿈을 활짝 펼쳐 나가시길 힘껏 응원합니다! 수능이 끝나더라도 #수리논술 전형에 지원한 수험생 여러분들께서는 길게는 2주일가량을 더 수험생 신분을 유지하셔야 하네요...ㅠㅠ... #더플러스수학학원 에서는 2022학년도 각 대학 #수리논술일정 에 맞춰 다음과 같이 #수리논술FINAL수업을 준비했습니다! #수리논술FINAL_일정 #개강_11월22일_월요일 #시간_13시부터_17시 #부산대_경북대_의학계열반_자연계열반_별도운영 #11월20일_..

[수학의 기초] 평균값의 정리와 구간단속

\(\displaystyle 53.7 \mathrm{km}\)의 울산-포항간 고속도로가 개통되어 이동시간이 \(\displaystyle 30\)분 시대가 열렸다. 어느 날 울산에 살던 성현이가 포항에 있는 대학교 포스텍(\(\displaystyle \mathrm{POSTECH}\))에 있는 '상학'이라는 학교 선배를 만날 겸 대학을 탐방하기 위해 울산-포항간 고속도로를 이용하여 울산에서 출발하여 포항에 \(\displaystyle 30\)분만에 도착했다. 도착한 직후 교통경찰관인 준현와 성현이의 대화내용을 적어 본다. 물론 가상의 대화이다. 교통경찰 준현 : 속도를 위반하셨군요! 운전자 성현 : 무슨 말씀이세요? 저는 규정속도를 절대로 넘은 적이 없어요! 교통경찰 준현 : 당신은 오늘 아침 \(\disp..

[더플러스수학] 메네라우스의 정리와 그 역 정리-벡터에 의한 증명

삼각형 \(\displaystyle \mathrm { ABC} \)와 직선 \(\displaystyle l \)이 존재하여 삼각형의 변 \(\displaystyle \mathrm { AB,~BC,~CA} \) 또는 그 연장선과 직선 \(\displaystyle l \)의 교점을 각각 \(\displaystyle \mathrm { P,~Q,~R} \)이라 할 때, 다음이 성립한다. \(\displaystyle \mathrm { \frac {\overline {RB} } {\overline {AR} } \times \frac {\overline {PC} } {\overline {BP} } \times \frac {\overline {QA} } {\overline {CQ} } = \mathrm { 1} } \..

[더플러스수학] 아폴로니우스의 원-벡터에 의한 증명

아폴로니우스의 원 평면 위에서 서로 다른 두 정점 \(\displaystyle \mathrm { A,~B} \)으로부터 거리의 비가 \(\displaystyle m:n \) (\(\displaystyle m \neq n \))인 점의 자취는 선분 \(\displaystyle \mathrm { AB} \)를 \(\displaystyle m:n \)으로 내분하는 점과 \(\displaystyle m:n \)으로 외분하는 점을 지름의 양끝으로 하는 원이다. https://youtu.be/kERcL5srzyw 2020.05.17 - [수학과 공부이야기] - [수학의 기초] 아폴로니우스의 원으로 가는 길(1)-삼각형에서 각이등분선의 성질 증명 [수학의 기초] 아폴로니우스의 원으로 가는 길(1)-삼각형에서 각이등분..

[더플러스수학] 코시-슈바르츠 부등식, 삼각부등식-벡터에 의한 증명

코시-슈바르츠 부등식 \(\displaystyle \mathbb{R}^n \)에 속하는 두 벡터 \(\displaystyle \overrightarrow {u} =(u_1 ,~u_2 ,~\cdots,~u_n) \), \(\displaystyle \overrightarrow {v} =(v_1 ,~v_2 ,~\cdots,~v_n \)에 대하여 \(\displaystyle \left| \overrightarrow {u} \cdot \overrightarrow { v} \right| \leq \left| \overrightarrow { u} \right| \left| \overrightarrow { v} \right| \) 이다. 이것을 성분으로 표현하면 \(\displaystyle \left|u_1 v_1 +..

[더플러스수학] 사인법칙-벡터에 의한 증명

사인법칙 삼각형 \(\displaystyle \mathrm {ABC}\)의 세 변 \(\displaystyle a,~b,~c\)와 세 내각 \(\displaystyle A,~B,~C\)에 대하여 \(\displaystyle \frac{a}{\sin A}= \frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}= 2R \) (\(\displaystyle R\)은 외접원의 반지름)(\(\displaystyle R\)은 삼각형 \(\displaystyle \mathrm {ABC}\)의 외접원의 반지름) 외접원의 반지름이면 떠오르는 공식은? 답:사인법칙 더플러스수학홈페이지 연습합니다. 성공했을까요? https://youtu.be/IR9vYMHL-cY

[더플러스수학] 2020년 2학년 2학기 중간고사 기출[울산과고]

답안지의 각 장마다 학년, 반, 번호, 이름을 표기하고, 해당란에 답안을 작성하시오. 모든 문항에는 부분점수가 있으므로, 과정을 반드시 적으시오. 모든 문항은 서술형입니다. 1. 행렬 \(\displaystyle A \)가 성분이 \(\displaystyle a _ {ij} \)인 \(\displaystyle m \times n \)행렬일 때, \(\displaystyle A=[a _ {ij} ] _ {m \times n} \)이라 한다. 2. 정칙행렬 : 역행렬이 존재하는 행렬 1. 두 행렬 \(\displaystyle A= \left ( \matrix {1 & 0 & -1\\0 & 2 & 0\\-1 & 0 & 1} \right) \), \(\displaystyle B= \left ( \matr..

[더플러스수학] 2019년 과고2학년 2학기 중간고사[ 울산과고]

1. 다음을 계산하시오. (5점) (1) $\displaystyle \left ( \matrix {1 & 2\\3 & 4} \right) + \left ( \matrix {3 & 4\\5 & 6} \right) $ (1점) (2) $\displaystyle \left ( \matrix {1 & 2\\0 & 1} \right) \left ( \matrix {1 & 2\\1 & 3} \right) $ (2점) (3) $\displaystyle \left ( \matrix {1 & 3 & 0\\2 & -1 & 2\\0 & 1 & 3} \right) ^ {2} $ (2점) *해설: (1) $\displaystyle \left ( \matrix {4 & 6\\8 & 10} \right) $ (2) $\displa..

[더플러스수학] 수반행렬과 역행렬, 크래머 정리 -1

행렬식을 이용하여 역행렬을 구하는 과정을 알아보자. 정의1. 정사각행렬 \(\displaystyle A=(a_{ij})_{n \times n}\)에서 \(\displaystyle A\)의 각 원소 \(\displaystyle a_{ij}\)의 여인수 \(\displaystyle A_{ij}\)로 이루어진 행렬 \(\displaystyle \left(A_{ij} \right) _{n \times n}\)을 \(\displaystyle A\)의 여인수행렬 이라 한다. 또, \(\displaystyle A\)의 여인수 행렬의 전치행렬을 \(\displaystyle A\)의 수반행렬이라고 하고 \(\displaystyle adj A\)로 나타낸다. 즉, \(\displaystyle adj A = \left(A_..

[더플러스수학] 수반행렬과 역행렬, 크래머 정리 -2

연립일차방정식의 풀이 방법에는 '가우스소거법', '역행렬'과 '크래머 공식' 등이 있다. 우리는 앞에서 수반행렬을 통해 역행렬을 구하는 방법을 보았다. 이것을 이용하여 크래머 공식을 유도하고자 한다. 간단한 연립방정식을 예를 들어 해를 구하고 그 과정에서 크래머 공식이 어떻게 쓰이는지 한 번 보자. \(\displaystyle \begin{cases} x+2y=7 \\ 2x+3y=1\end{cases}\) 이것을 행렬로 나타내면 \(\displaystyle \begin{pmatrix} 1&2\\2&3\end{pmatrix}\begin{pmatrix} x\\y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 7\\1\end{pmatrix}\) \(\displaystyle A=\begin{pmatrix}..

[더플러스수학] 울산과고 고급수학 프린트 1

1. 다음 사상 중에서 선형사상인 것을 찾아라. (1) \(\displaystyle T~:~\mathbb{R}^3 \longrightarrow \mathbb{R}^2 ,~T(x_1 ,~x_2 ,~x_3 )=(3x_1+2x_3 ,~x_2 )\) (2) \(\displaystyle T~:~\mathbb{R}^2 \longrightarrow \mathbb{R}^2 ,~T(x_1 ,~x_2 )=( \left|x_1 \right| ,~x_2 )\) (3) \(\displaystyle T~:~\mathbb{R}^2 \longrightarrow \mathbb{R}^2 ,~T(x_1 ,~x_2 )=(x_1 +1 ,~x_1 +x_2 )\) (4) \(\displaystyle T~:~\mathbb{R_3}[x] \long..

[더플러스수학] 고급수학1 det(AB)=det(A)det(B)

이 글에서는 \(\displaystyle n\)차 정사각행렬 \(\displaystyle A,~B\)에 대하여 \(\displaystyle det(AB)=det(A)det(B) \)임을 증명해 보도록 하자. 먼저 행렬 \(\displaystyle A\)가 비가역행렬(특이행렬)일 때와 가역행렬일 때로 나누어서 증명한다. 먼저 비가역행렬일 때의 증명에 앞어서 다음의 보조정리를 증명하자. 보조정리1. 행렬 \(\displaystyle A\)가 비가역행렬이면 행렬 \(\displaystyle AB\)도 비가역행렬이다. 주의하자. 행렬식의 성질 \(\displaystyle det(AB)=det(A)det(B) \)을 이용하여 위의 보조정리를 증명할 수 있다. 그러나 여기서는 쓰면 안된다. 왜냐하면 \(\displ..

[평가원기출]고3 2022학년도 9월 평가원 기하 30번

좌표평면에서 세 점 \(\displaystyle \mathrm{A}(3,~-1),~\mathrm {B}(0,~2),~\mathrm{C)}(1,~0)\)에 대하여 두 점 \(\displaystyle \mathrm{P,~Q}\)가 \(\displaystyle \left| \overrightarrow {\mathrm{AP}} \right|=1,~\left| \overrightarrow {\mathrm{BQ}} \right|=2,~\overrightarrow {\mathrm{AP}}\bullet \overrightarrow{\mathrm{OC}} \geq \frac{\sqrt2}{2}\) 를 만족시킬 때, \(\displaystyle \overrightarrow {\mathrm{AP}}\bullet \overr..

[평가원기출]고3 2022학년도 9월 평가원 22번

22. 최고차항의 계수가 \(\displaystyle 1\)인 삼차함수 \(\displaystyle f(x)\)에 대하여 함수 \(\displaystyle g(x)= f(x-3)\times \lim_{h \rightarrow 0+}\frac{\left|f(x+h) \right| -\left|f(x-h) \right|}{h} \) 가 다음 조건을 만족시킬 때, \(\displaystyle f(5)\)의 값을 구하시오. [\(\displaystyle5\)점] (가) 함수 \(\displaystyle g(x)\)는 실수 전체의 집합에서 연속이다. (나) 방정식 \(\displaystyle g(x)=0\)은 서로 다른 네 실근 \(\displaystyle \alpha_1 ,~\alpha_2 ,~\alpha_3 ..

[더플러스수학] 고급수학1-행렬식(1)

행렬식에 대해 알아보자. 먼저 행렬은 수를 직사각형 모양으로 배열한 것이고 행렬식은 정사각행렬에 대해서만 정의되고 하나의 실숫값이다. 다르게 말하면 행렬식은 정사각행렬에서 실수로 가는 일종의 함수라고 생각할 수 있다. 정의1. 행렬식(determinant of \(\displaystyle A\)) \(\displaystyle n\)차의 정사각행렬 \(\displaystyle A=(a_{ij})_{n \times n}\)의 행렬식을 \(\displaystyle \left| A \right| \) 또는 \(\displaystyle det(A)\)로 나타내며 다음과 같이 귀납적으로 정의한다. (1) \(\displaystyle n=1\)일 때, \(\displaystyle \left | a_{11} \righ..

[더플러스수학] 가우스 소거법 - 기본 행 연산, 기본 행렬

연립방정식을 풀 때, 문자를 소거하느라 단순 계산 과정이 엄청 많다는 것을 경험한 적이 있을 것이다. 특히 연립방정식 중에서 미지수의 개수가 식의 개수보다 많은 연립방정식이면 역행렬이 존재하지 않아서 해를 구하기가 힘들다. 또, 역행렬이 존재한다 하더라도 행렬의 크기가 커 역행렬 구하기가 힘들 때, 우리는 가우스 소거법을 많이 쓴다. 또, 컴퓨터 프로그램으로 짜기도 쉬어 가우스 소거법을 이용하여 해를 구하는 과정이 쉬워진다. 가우스 소거법에 대하여 알아보자. 다음과 같은 \(\displaystyle 3\)개의 미지수를 가진 연립일차방정식을 생각해보자. \(\displaystyle \begin{cases} a_{11}x +a_{12}y+a_{13}z=b_{1} \\a_{21}x +a_{22}y+a_{23}..

[더플러스수학] 고급수학1-행렬식(2)

2021.08.23 - [수학과 공부이야기/선형대수학] - [더플러스수학] 고급수학1-행렬식(1) [더플러스수학] 고급수학1-행렬식(1) 행렬식에 대해 알아보자. 먼저 행렬은 수를 직사각형 모양으로 배열한 것이고 행렬식은 정사각행렬에 대해서만 정의되고 하나의 실숫값이다. 다르게 말하면 행렬식은 정사각행렬에서 실수로 plusthemath.tistory.com 앞의 글에서 행렬식의 정의에 대하여 알아 보았다. 여기서는 행렬식의 성질을 고찰해 보자. \(\displaystyle n\)차 정사각행렬 \(\displaystyle A\)의 행렬식(determinant)는 \(\displaystyle A\)의 임의의 어느 한 행이나 열에 대해 여인수 전개해도 똑같으면 그 전개한 값을 행렬 \(\displaystyle..

[더플러스수학] 수학공부법-친구를 가르쳐라!

https://169254.tumblr.com/post/92633286949 머리 나쁘면 공부해도 소용이 없을까? 그런데 아무리 노력해도 타고난 재능을 못 당한다고 주장하는 도발적인 논문이 발표됐습니다. 미국 미시건 주립대 심리학과 자크 햄브릭 교수팀의 논문인데요. 연습이 얼마나 실력을 향상시키 169254.tumblr.com 요약하면 «학생들은 보통 공부를 하다가 알 것 같다는 기분이 들면 그 내용은 그만 공부하고 다음 내용으로 넘어가게 된다. 문제는 그 기분이 별로 정확하지 않다는 것이다. 그래서 실제로는 잘 모르는데도 충분히 공부를 안하게 된다. 쉬운 부분을 대충 공부하고 넘어가서 남는 시간을 학생들은 어려운 부분을 이해하는데 쏟아 붓는다. 그런데 어려운 부분은 공부의 효율이 낮기 때문에 시간만 많..

[더플러스수학] (AB)^T=B^T A^T 증명 (전치행렬의 성질)

\(\displaystyle (AB)^T =B^T A^T \)을 증명해보자. 먼저 행렬 \(\displaystyle A\)를 \(\displaystyle l \times m \)행렬, 행렬 \(\displaystyle B \)를 \(\displaystyle m \times n \) 행렬이라 하자. 행렬 \(\displaystyle AB\)는 \(\displaystyle l \times n \) 행렬이다. 즉 \(\displaystyle A=(a_{ij})_{l \times m}\), \(\displaystyle B=(b_{ij})_{m \times n}\) 으로 놓을 수 있다. 그러면 행렬 \(\displaystyle (AB)^T\)는 \(\displaystyle n \times l \) 행렬이다. 행렬..

[더플러스수학] 대칭행렬과 교대행렬

정의1. 전치행렬(transpose matrix) 행렬 \(\displaystyle A=(a_{ij})_{m \times n} \in M_{\textcolor{red}{m \times n} }(\mathbb{R})\)에 대하여 행과 열을 바꾼 새로운 행렬 \(\displaystyle B=(b_{ij})_{n \times m} \in M_{ \textcolor {blue}{n \times m} }(\mathbb{R})\)을 행렬 \(\displaystyle A \)의 전치행렬이라 하고 \(\displaystyle A^T \)로 쓴다. 여기서 \(\displaystyle b_{\textcolor{red}{ij}} =a_{\textcolor{red}{ji}} \)이다. 노트) \(\displaystyle M_..

[더플러스수학] 필요충분조건-특이행렬과 고윳값 0

문제의 상황 고급수학 연습문제 중 "행렬 \(\displaystyle A\)가 역행렬을 갖지 않을 필요충분조건은 행렬 \(\displaystyle A\)의 고윳값 중 \(\displaystyle 0\)이 있다." 영어로 "Show that a matrix \(\displaystyle A\) is singular if and only if \(\displaystyle 0\) is an eigenvalue of \(\displaystyle A\)" (증명) \(\displaystyle (\Longleftarrow )\) (증명1) 행렬 \(\displaystyle A\)가 고윳값 \(\displaystyle 0\)을 갖는다고 가정하자. 고윳값의 정의에 의해 \(\displaystyle A \vec x = \..

[더플러스수학] 케일리-해밀턴 정리의 증명 - 고윳값, 고유벡터 이용

과학고 학생들과 고급수학1 수업을 하는 과정에서 고윳값, 고유벡터, 특성 다항식, 케일리 해밀턴 정리를 만나게 되었다. 이 내용에 대하여 가볍게 정리하고, \(\displaystyle 2\)차 정사각형렬 \(\displaystyle A\)가 \(\displaystyle 2\)개의 서로 다른 고윳값과 고유벡터를 가질 때, 케일리 해밀턴 정리가 성립함을 증명해 보겠다. 정의 고윳값, 고유벡터, 특성다항식, 특성방정식 \(\displaystyle 2\)차 정사각형렬 \(\displaystyle A\)와 실수 \(\displaystyle \lambda\)에 대하여 \(\displaystyle A \vec x =\lambda \vec x \) 를 만족하는 \(\displaystyle \vec 0\)이 아닌 벡터 ..

[더플러스수학] 3차함수의 접선의 갯수

3차함수의 접선이 개수 삼각함수 \(\displaystyle f(x)=ax^3 +bx^2 +cx+d~( a > 0)\)와 변곡점에서의 접선을 기준으로 평면 위의 점에서 삼차함수에 그을 수 있는 접선의 개수는 아래의 그림과 같다. 이것을 증명하기 위해 삼차함수의 변곡점을 \(\displaystyle (\alpha,~\beta )\) 라 할 때, \(\displaystyle f''(x)=6a(x-\alpha)\) 라 두면 적분을 통해 \(\displaystyle f'(x)=3a(x-\alpha)^2 + b\) \(\displaystyle f(x)=a(x-\alpha)^3 + b(x-\alpha)+ \beta\) 로 표현할 수 있다. 여기서 \(\displaystyle f(x)\)를 \(\displaystyl..

[더플러스수학] 카탈란 수 - 점화식(3)

카탈란 수란 무엇인가?에 대한 글 2021.08.02 - [수학과 공부이야기] - [더플러스수학] 카탈란 수 (1) [더플러스수학] 카탈란 수 (1) 이산수학 최경식(경문사)에서의 예에서 시작해보자. 요금이 \(\displaystyle 5,000\)원인 어떤 영화가 보고싶어 \(\displaystyle 6\)명이 극장에 들어가려고 한다. 그 중 \(\displaystyle 3\)명은 \(\displaystyle.. plusthemath.tistory.com 카탈란 수의 일반항에 대한 설명글 2021.08.03 - [수학과 공부이야기] - [더플러스수학] 카탈란 수 - 일반항(2) [더플러스수학] 카탈란 수 - 일반항(2) 2021.08.02 - [수학과 공부이야기] - [더플러스수학] 카탈란 수 (1) ..

[더플러스수학] 카탈란 수 - 생성함수(4)

2021.08.03 - [수학과 공부이야기] - [더플러스수학] 카탈란 수 - 점화식(3) [더플러스수학] 카탈란 수 - 점화식(3) 카탈란 수란 무엇인가?에 대한 글 2021.08.02 - [수학과 공부이야기] - [더플러스수학] 카탈란 수 (1) 카탈란 수의 일반항에 대한 설명글 2021.08.03 - [수학과 공부이야기] - [더플러스수학] 카탈란 수 - plusthemath.tistory.com 2021.08.03 - [수학과 공부이야기] - [더플러스수학] 카탈란 수 - 일반항(2) [더플러스수학] 카탈란 수 - 일반항(2) 2021.08.02 - [수학과 공부이야기] - [더플러스수학] 카탈란 수 (1) [더플러스수학] 카탈란 수 (1) 이산수학 최경식(경문사)에서의 예에서 시작해보자. 요금이..

[더플러스수학] 카탈란 수 -활용(5)

이제 카탈란 수를 이용하여 경우의 수를 구하는 문제를 찾아보자.문제1. 한국과 일본이 야구시합을 해서 한국이 $ 5 $대 $ 4 $로 이겼다. 한국이 일본에 리드를 당하지 않고서 즉, 이기거나 비길 수는 있어도 역적은 당하지 않은 채 시합에서 이길 경우의 수를 구하여라.(풀이)더보기 한국이 일본에 \(5\) 대 \(4\)로 이기는 총 경우의 수는 위의 그림에서 \((0,~0)\)에서 \((5,~4)\)에 도달하는 경우의 수\(\displaystyle \frac{9!}{5! \times 4!}={}_9 \mathrm{C}_5 \)이다. 이 경우의 수 중 역전을 허용하지 않으면서 \((5,~4)\)에 도달하려면 위의 경우에서 역전을 허용하면서 \( (5,~4)\)에 도달하는 경우의 수를 빼 주면 된다.위의 ..

2021학년도 서울대 일반전형 구술문제-공과대학, 농업생명과학대학

공과대학 | 농업생명과학대학 문제 1. 두 함수 \(\displaystyle g_1 (x)\)와 \(\displaystyle g_2 (x)\)가 아래와 같이 주어져 있다. \(\displaystyle g_1 (x)=\begin{cases} 0&(-1 \leq x < 0)\\1&(0 \leq x \leq 1)\end{cases}\) \(\displaystyle g_2 (x)=\sin(4\pi x)~(0 \leq x \leq 1)\) 합성함수 \(\displaystyle h(x)=(g_1 \circ g_2 )(x)\)에 대하여 다음 질문에 답하시오. 1-1. 함수 \(\displaystyle y=h(x) ~(0 \leq x \leq 1\) 의 그래프와 이차함수 \(\displaystyle y=-6x(x-b)..

[더플러스수학] 2020학년도 성균관대 수시모집 논술우수전형 논 술 시 험 (자 연 1)

[ 수학 1 ] 다음 ~ 을 읽고 [수학 1 -ⅰ] ~ [수학 1 -ⅲ]을 문항별로 풀이와 함께 답하시오. 표본공간 \(\displaystyle S\) 에서 각각의 근원사건이 일어날 가능성이 모두 같을 때, 사건 \(\displaystyle A\) 가 일어날 수학적 확률은 다음과 같다. \(\displaystyle \mathrm {P}(A)=\frac{n(A)}{n(S)} \) 사건 \(\displaystyle A\)가 일어났을 때의 사건 \(\displaystyle B\)의 조건부확률은 \(\displaystyle \mathrm{P}(B \vert A)=\frac{\mathrm {P}(A \cap B)}{\mathrm{P}(A)}\) 이다. (단, \(\displaystyle \mathrm{P}(A)>..

[더플러스수학] 2020학년도 성균관대 수시모집 논술우수전형 논 술 시 험 (자 연 2)

[ 수학 1 ] 다음 ~ 를 읽고 [수학 1 -ⅰ] ~ [수학 1 -ⅳ]를 문항별로 풀이와 함께 답하시오. 쌍곡선 \(\displaystyle x^2 -2y^2 =-1\)의 윗부분을 \(\displaystyle C_1 \)으로 하고, 아랫부분을 \(\displaystyle C_2 \)라고 하자. 쌍곡선 밖의 한 점 \(\displaystyle \mathrm{P}\)에서 곡선 \(\displaystyle C_1 \)에 그은 접선의 접점을 \(\displaystyle \mathrm{Q}\), 점 \(\displaystyle \mathrm{P}\)에서 곡선 \(\displaystyle C_2 \)에 그은 접선의 접점을 \(\displaystyle \mathrm{R}\)로 표기하자. \(\displaystyle..

[더플러스수학] 카탈란 수 - 일반항(2)

2021.08.02 - [수학과 공부이야기] - [더플러스수학] 카탈란 수 (1) [더플러스수학] 카탈란 수 (1) 이산수학 최경식(경문사)에서의 예에서 시작해보자. 요금이 \(\displaystyle 5,000\)원인 어떤 영화가 보고싶어 \(\displaystyle 6\)명이 극장에 들어가려고 한다. 그 중 \(\displaystyle 3\)명은 \(\displaystyle.. plusthemath.tistory.com 앞 편의 글에서 카탈란 수 \(\displaystyle C_n \)가 무엇인지 또, 실생활에서는 어떻게 활용되는지에 대해 알아 보았다. 이 편에서는 카탈란 수 \(\displaystyle C_n \)의 일반항이 어떤 과정을 거쳐서 \(\displaystyle C_n = \frac{1}..

2021학년도 서울 일반전형 면접 및 구술고사[수학]-경영,경제

2021학년도 서울 일반전형 면접 및 구술고사[수학]-사회과학대학 경제학부｜경영대학｜농업생명과학대학 농경제사회학부｜ 생활과학대학 소비자아동학부(소비자학전공), 의류학과｜자유전공학부(인문) 문제 1. 두 함수 \(\displaystyle g_1 (x)\)와 \(\displaystyle g_2 (x)\)가 아래와 같이 주어져 있다. \(\displaystyle g_1 (x)=\begin{cases} 0&(-1 \leq x < 0)\\1&(0 \leq x \leq 1)\end{cases}\) \(\displaystyle g_2 (x)=\sin(4\pi x)~(0 \leq x \leq 1)\) 합성함수 \(\displaystyle h(x)=(g_1 \circ g_2 )(x)\)에 대하여 다음 질문에 답하시오. ..

2021학년도 서울 일반전형 면접 및 구술고사[수학]-경제,자유전공

문제 1. 다항식 \(\displaystyle g(x)=x^4 +x^3 +x^2 +x+1 \)에 대하여 다음 물음에 답하시오. 1-1. \(\displaystyle x^5 \)을 \(\displaystyle g(x) \)로 나눈 나머지를 구하시오. 1-2. 자연수 \(\displaystyle n \)에 대하여 \(\displaystyle f_n (x)=(x^3 +x^2 +3)^n \)이라 하자. \(\displaystyle f_n (x) \)를 \(\displaystyle g (x)\)로 나눈 나머지를 \(\displaystyle r_n (x)= a_n x^3 +b_n x^2 +c_n x+d \) (단, \(\displaystyle a_n ,~b_n ,~c_n ,~d_n \)은 정수) 라고 쓰자. 모든 ..

2021학년도 서울 일반전형 면접 및 구술고사[수학]-수리통계, 수학교육

문제 1. 음이 아닌 정수들의 집합을 \(\displaystyle X \) 라고 하고, 음이 아닌 실수들의 집합을 \(\displaystyle Y \)라고 하자. 두 함수 \(\displaystyle f :X\rightarrow Y \)와 \(\displaystyle g :Y \rightarrow X \)에 대해 아래 조건을 생각하자. (조건 1) \(\displaystyle n \in X,~y \in Y\) 에 대하여 \(\displaystyle f(n) \leq y \Longleftrightarrow n \leq g(y)\)이다. 1-1. 함수 \(\displaystyle f :X\rightarrow Y \), \(\displaystyle g :Y \rightarrow X \)가 (조건 1)을 만족할..

[신정수학학원][옥동수학학원]##[더플러스수학] 카탈란 수 (1)

이산수학 최경식(경문사)에서의 예에서 시작해보자. 요금이 \(\displaystyle 5,000\)원인 어떤 영화가 보고싶어 \(\displaystyle 6\)명이 극장에 들어가려고 한다. 그 중 \(\displaystyle 3\)명은 \(\displaystyle 5,000\)원짜리를 가지고 있고 나머지 \(\displaystyle 3\)명은 \(\displaystyle 10,000\)원짜리를 가지고 있다. 매표소에는 잔돈이 준비되어 있지 않다. 모두 입장할 수 있도록 일렬로 서는 방법의 수를 구한다. 단, 사람들은 구별하지 않는다. 즉, 같은 돈을 가진 사람이면 누가 앞에 서든지 문제삼지 않는다. 풀이) 사람들을 구별하지 않으므로 \(\displaystyle 5,000\)짜리를 가진 사람을 \(\dis..

2020학년도 서울 일반전형 면접 및 구술고사[수학]-경영,경제

2020학년도 서울 일반전형 면접 및 구술고사[수학] -사회과학대학 경제학부｜경영대학｜농업생명과학대학 농경제사회학부｜생활과학대학 소비자아동학부(소비자학전공), 의류학과｜자유전공학부 문제 1. 자연수 \(\displaystyle n\)에 대하여 다음의 조건을 만족하는 원 \(\displaystyle A_n\) 을 생각해보자. (i) \(\displaystyle A_1\)의 중심은 \(\displaystyle (0,~0)\)이고 반지름은 \(\displaystyle 4\) 이다. (ii) \(\displaystyle A_n\)의 중심은 \(\displaystyle \left( \lim\sum_{i=1}^{n-1} \frac{15}{2^i},~0\right)\)이고 반지름은 \(\displaystyle \fr..

2020학년도 서울 일반전형 면접 및 구술고사[수학]-경제,자유전공

문제 1. 곡선 \(\displaystyle C \) 와 직선 \(\displaystyle l\)이 점 \(\displaystyle \mathrm{A}\)에서 만나고, 점 \(\displaystyle \mathrm{A}\)에서의 곡선 \(\displaystyle C\)에 대한 접선이 직선 \(\displaystyle l\)과 수직일 때 \(\displaystyle C\) 와 \(\displaystyle l\)이 점 \(\displaystyle \mathrm{A}\)에서 수직으로 만난다고 한다. 곡선 \(\displaystyle y=x^3\)을 \(\displaystyle T\) 라고 하자 1-1. 좌표평면 위의 한 점 \(\displaystyle (a,~b)\)를 지나는 직선 \(\displaystyle..

2020학년도 서울 일반전형 면접 및 구술고사[수학]-자연,공대

문제 1. 좌표공간에서 \(\displaystyle 0\) 이상의 정수 \(\displaystyle n\) 에 대하여 평면 \(\displaystyle \alpha_n ,~\beta_n \)을 다음과 같이 정의하자. (i) 평면 \(\displaystyle \alpha_n \) 은 점 \(\displaystyle (1,~0,~1)\)을 지나고 \(\displaystyle xy\)평면과의 교선의 방정식이 \(\displaystyle x+y=n,~z=0 \) 이다. (ii) 평면 \(\displaystyle \beta_n \) 은 점 \(\displaystyle (0,~0,~1)\)을 지나고 \(\displaystyle xy\)평면과의 교선의 방정식이 \(\displaystyle x-y=n,~z=0 \) 이..

한양대학교 2021학년도 논술전형 자 연 계 열 (오전)

[문제 1] 다음 물음에 답하시오. (50점) 1. 곡선 \(\displaystyle y=e^x ~(0 \leq x \leq \ln t )\)와 \(\displaystyle y\)축, 직선 \(\displaystyle y=t\)로 둘러싸인 도형을 밑면으로 하는 두 입체도형 \(\displaystyle A\) 와 \(\displaystyle B\)가 있다. 도형 \(\displaystyle A\)는 \(\displaystyle y\)축에 수직인 평면으로 자른 단면이 모두 정사각형이고, 도형 \(\displaystyle B\) 는 \(\displaystyle x\)축에 수직인 평면으로 자른 단면이 모두 정삼각형이다. 도형 \(\displaystyle A \)의 부피를 \(\displaystyle V(t) \..

한양대학교 2021학년도 논술전형 자 연 계 열 (오후 1)

[문제 1] 다음 제시문을 읽고 물음에 답하시오. (50점) 학생 \(\displaystyle A\)와 \(\displaystyle B \) 가 다음과 같이 야구방망이를 휘둘러서 공을 치는 놀이를 한다. (1) 공을 쳐서 날아간 거리가 \(\displaystyle 50 \mathrm{m} \) 이상인 경우 \(\displaystyle 2\) 점, 공을 쳐서 날아간 거리가 \(\displaystyle 50 \mathrm{m} \) 미만인 경우 \(\displaystyle 1 \mathrm{m} \) 점, 공을 치지 못한 경우 \(\displaystyle 0 \) 점을 얻는다. (2) 학생 \(\displaystyle A\)와 \(\displaystyle B \) 가 다음과 같은 확률로 공을 친다. 1. 학..

[더플러스수학] 롱테일 급수

(가) 다음과 같이 자연수의 거듭제곱의 역수로 이루어진 무한급수의 합을 구하는 수학 문제는 아주 오래 됐다. \(\displaystyle S _ {p} = \sum\limits _ {n=1} ^ {\infty } \frac {1} {n ^ {p} } = \frac {1} {1 ^ {p} } + \frac {1} {2 ^ {p} } + \frac {1} {3 ^ {p} } + \cdots ~~~ ( p=1,~2,~3 \cdots ) \) \(\displaystyle p=1 \)일 때는 이른바 ‘조화급수’를 얻는데, 이때의 합은 1350년경 이래 발산하는 것으로 알려졌다. 이 결과는 중세 프랑스의 수학자이자 철학자인 오렘(Nicole Oresme, 1320-82)이 처음으로 밝혔다. (중략) 그런데 \(\d..

2021학년도 연세대 수리논술 자연1

[문제 1] \(\displaystyle 100\)명의 학생 중 \(\displaystyle k\)명을 선정하여, 두 명을 회장, 다른 다섯 명을 부회장, 나머지는 위원으로 임명하는 경우의 수가 최대가 되도록 하는 모든 \(\displaystyle k\)의 값을 구하시오. (단, \(\displaystyle 10 \leq k \leq 100\)) [10점] [제시문] 실수 전체의 집합에서 정의된 연속함수 \(\displaystyle g(x)\)가 다음 조건을 만족시킬 때, 다음 물음에 답하시오. (가) \(\displaystyle g(2020)=1\) (나) 임의의 실수 \(\displaystyle a,~b\)에 대하여 \(\displaystyle g(a+b)+g(a-b)=2g(a) \cos b \pi\..

2021학년도 연세대 수리논술 자연2

[문제 1] 한 개의 주사위를 \(\displaystyle 3\)번 던져 나온 눈의 수를 차례로 \(\displaystyle a,~b,~c\)라 하자. 이차방정식 \(\displaystyle x^2 +y^2 +ax+by+6=0 \)이 원을 나타낼 때, 방정식 \(\displaystyle x+2y+c=0 \)이 나타내는 직선이 이 원의 넓이를 이등분할 확률을 구하시오. [10점] [문제 2] 방정식 \(\displaystyle x_1 +x_2 +x_3 = 5\)를 만족시키는 양의 정수해를 과 같이 나타냈을 때, 숫자 \(\displaystyle 2 \)가 나오는 횟 수는 \(\displaystyle 6\)이다. 자연수 \(\displaystyle n \)에 대하여 방정식 \(\displaystyle x_1..

한양대학교 2021학년도 논술전형 자연계열(의예과)

[문제 1] (가)의 핵심 내용을 ‘~가설’(전체 글자 수 10자 이내)의 형식으로 정리하고 그렇게 명명한 이유 를 밝힌 다음, 그 가설과 관련하여 (나)가 의미하는 바를 논하고, 이를 바탕으로 (다)가 시사하는 바를 설 명하시오. (600자, 50점) (가) "인간과 동물의 감정 표현"(1872)에서 찰스 다윈은 모든 인간의 웃음 짓기와 눈살 찌푸리기는 진화적 적응의 일환으로 하는 행동이라고 주장했다. 서로에게 자신의 감정을 정확하고 신속하게 전달하는 것이야말로 인류 생존에 중요한 일이었기 때문에 얼굴이 마음의 게시판으로 발전했다는 것이다. 일반적으로 다윈의 이러한 견해는 얼굴에 표현된 기본적인 감정의 의미를 인간 이 판독해내는 능력 또한 생물학적으로 설명될 수 있다는 주장으로 받아들여진다. (나) \..

[더플러스수학] 함수 \(\displaystyle f \)가 일대일대응이면 역함수 \(\displaystyle f^{-1}\)도 일대일대응이다.

정리. 함수 \(\displaystyle f:X \rightarrow Y \)가 일대일대응(즉, 일대일함수이고, 치역과 공역이 같은 함수)이면, \(\displaystyle f ^ {-1} :Y \rightarrow X \)도 일대일대응이다. 이 때, \(\displaystyle f ^ {-1} \)을 \(\displaystyle f \)의 역함수(inverse function)이라고 한다. (증명) \(\displaystyle f \)가 함수이므로 함수 \(\displaystyle f \)의 정의역 \(\displaystyle X \)의 모든 원소의 함숫값이 집합 \(\displaystyle y \)에 존재하므로 \(\displaystyle f ^ {-1} \)의 공역 \(\displaystyle X ..

2022학년도 평가원 6월 킬러문제 기하 29-30번

더플러스수학 킬러문항 문제 및 풀이 동영상 29. 포물선 \(\displaystyle y ^ {2} =8x \)와 직선 \(\displaystyle y=2x-4 \)가 만나는 점 중 제\(\displaystyle 1 \)사분면 위에 있는 점을 \(\displaystyle \mathrm {A} \)라 하자. 양수 \(\displaystyle a \)에 대하여 포물선 \(\displaystyle ( y-2a) ^ {2} =8 ( x-a) \)가 점 \(\displaystyle \mathrm { A} \)를 지날 때, 직선 \(\displaystyle y=2x-4 \)와 포물선 \(\displaystyle ( y-2a) ^ {2} =8 ( x-a) \)가 만나는 점 중 \(\displaystyle \mathr..

[전자책] 수리논술 심층면접대비 미적분 제1부 [더플러스수학]

수리논술 심층면접 전자책 출간했습니다! 서울대 카이스트 심층면접준비하는 학생! 연세대 등 수리논술을 준비하는 학생들이 보면 좋은 책! 각 문제별 저자 직강 동영상이 링크로 연결된 책! 자기주도적으로 공부할 수 있는 책입니다! 수리논술 심층면접대비 미적분 제1부 권도형 저 서울대, 카이스트, 연세대 등 각 대학별 수리논술, 수학 심층면접을 어떻게 준비할까? 고민이 많는 학생들에게 드리는 전자책! 풀이 동영상이 있는 전자책! 수능수학! 수리논술! 서로 다르게 준비해야 할까? 아니다. 문제는 수학의 깊이!수능 수학 일등급을 맞고자 하는 학생은 반드시 수리논술 문제, 즉 서술형 주관식 문제를 반드시 풀어야 한다. 또 수능의 합답형 문제 ㄱ, ㄴ, ㄷ 선택하는 문제는 수리논술 문제이다. 이 문제의 풀이과정을 서술..

한 문제의 두 이야기 1 - 수학상 5-18번

(구독과 좋아요) $\displaystyle a,~b $가 유리수일 때, 모든 자연수 $ \displaystyle n $에 대하여 $$ \displaystyle( a+b \sqrt {5} ) ^ {n+2} = ( a+b \sqrt {5} ) ^ {n+1} + ( a+b \sqrt {5} ) ^ {n} $$이 성립하도록 $\displaystyle a,~b $의 값을 정하여라. 단, $\displaystyle b \neq 0 $이다. (풀이1) 더보기 정답 $\displaystyle {a= \frac {1} {2} ,~b=\pm \frac {1} {2} } $ $\displaystyle a $는 유리수이고 $\displaystyle b \neq 0 $이므로 $ \displaystyle( a+b \sqrt {..

[옥동수학학원][수학의 기초] 정적분의 정의(1)-리만합, 상합, 하합의 관계

미적분 수업을 하면서 정적분의 정의를 고등학교과정을 넘어 대학에서는 어떻게 정의하고 있는지를 학생들에게 알려 줄 필요가 있어서 이우출판사의 미적분학(저자 김정수, 박을용, 이을용, 윤옥경 등등) 1988년 책-오래된 책 ㅋㅋ 본인의 대학교 1학년교재-을 참조하여 정리해 나가고자 한다. 증명은 최대한 본인이 이해한 방식으로 적을 것이다. 그러므로 오류가 있다면 그것은 나로 인한 것이다. 고등학교에서는 구간 \(\displaystyle I=[a,~b] \) 를 \(\displaystyle n \) 등분-균등분할하여 구분구적법으로 정적분을 정리하지만 대학에서는 균등분할하지 않고 임의로 분할하여 정적분을 정리해 간다. 먼저 구간의 분할에서 출발하자. 정의1. 구간의 분할, 분할의 크기(norm of partit..

[옥동 수학학원] 2021년 울산과학고 중간고사 대비 1

https://m.blog.naver.com/plusthemath/222305635164[옥동 수학학원] 2021년 울산과학고 중간고사 대비 1개학 한지도 벌써 1달이 훌쩍 넘어 이제 중간고사가 얼마 남지 않았네요~#울산과학고등학교_1_2_3학년 친구...blog.naver.com개학 한지도 벌써 1달이 훌쩍 넘어 이제 중간고사가 얼마 남지 않았네요~ #울산과학고등학교_1_2_3학년 친구들 마음도 조금씩 조급해지는 듯합니다. 지금까지 차곡차곡 쌓아온 문제해결 능력을 최대한 끌어올려야 할 시기가 되었어요... 원장님 이하 #더THE플러스수학학원 선생님들은 항상 우리 친구들이 최선의 결과를 얻을 수 있게 노력합니다. 우리 학생들에게 공지한 것처럼 #주말_정규수업 이외에 #울산과학고_중간고사대비 #4월9일(금..

[옥동 수학학원] 2021년 1학기 울산과학고 중간고사

T.S ELIOT이 '황무지'라는 시에서 지칭한 잔인한 4월 (시에서는 생명과 관련한 이야기지만ㅎㅎ)이라 함은 대한민국 중고등학생들의 중간고사 기간을 미리 예견해서 일까요?ㅎㅎ 하지만 우리 #더플러스수학학원 친구들은 기분 좋게 5월을 맞이하고 있을 거라 믿습니다. #2021년_1학년_1학기_중간고사 문제를 보는 순간 눈에 익은 문제들이 많이 있었을 거예요. 중간고사 문제를 분석하면서 우리 친구들이 매 수업 전에 시행했던 #TEST 문제와 유사한 문항이 많아 우리 친구들의 이번 중간고사 결과에 큰 기대를 가지고 있습니다^^ #연조립제법 문항, #소수관련 #부정방정식 문항, #중간고사_파이널_수업에서 원장님께서 보여주셨던 #드모르간법칙_증명과 #대칭차집합의 증명 문제, 특히 #부분집합_원소_합에 관한 ..

[수학의 기초] 카발리에리의 원리-정적분의 활용

https://youtu.be/FnwgXBIVTOA(구독과 좋아요) 카발리에리의 원리(Cavalieri's Principle) 같은 높이를 갖는 입체들이 각 높이에서 동일한 넓이를 가진다면 똑같은 부피를 갖는다. 절단면의 넓이함수 $\displaystyle A ( x) $와 구간 $\displaystyle [a,~b] $가 두 입체들에 대해서 똑같은 조건이기 때문에 이 원리는 부피의 정의로부터 두 입체의 부피가 명백히 같다는 것을 말한다. 다음 문제를 읽고 물음에 답하여라.(카발리에리의 원리) (1) 곡선으로 둘러싸인 높이가 같은 두 개의 도형 $\displaystyle \mathrm {M,~N} $이 있다. 일정한 직선 $\displaystyle \mathrm {XY} $에 평행인 직선을 그렸을 때 $..

[수학의 기초] [정적분의 정의] 2008학년도 연세대 모의논술 [더플러스수학]

2008학년도 연세대 모의논술 문제를 통해 정적분의 정의를 이용하여 곡선의 길이를 구하는 공식을 여러가지 방식으로 유도해 본다. youtu.be/QuhLNX7rK4A(구독과 좋아요) 2008학년도 연세대 모의논술 제시문을 읽고 물음에 답하시오. (40점) 함수 $\displaystyle f ( x) $의 도함수 $\displaystyle f ' ( x) $가 닫힌구간 $\displaystyle \left [ a,~b \right ] $에서 연속이고, $\displaystyle y=f ( x) $의 그래프가 [그림 1]과 같을 때, 다음 물음에 답하시오. [문제 1-1] 곡선 $\displaystyle y=f ( x) $ 위의 점 $\displaystyle ( a,~f ( a)) $부터 점 $\displa..

[더플러스수학학원] 2021년 1월 4주 차 예비 과고 1학년 수업

어느새 1월 마지막 주 수업을 마쳤습니다. 2월 한 달 열심히 준비해서 3월부터 시작될 과학고 정규 수업 시 우리 학생들의 능력이 압도적으로 발휘되기를 바랍니다^^ 이번 1월 4주 TEST 결과, 이전 TEST와 같이 우리 친구들이 일반적인 연산(일반적이라고 하지만 어려웠죠?^^) 문제는 선생님도 놀랄 만큼 해결을 잘했답니다. 하지만 '증명하시오.'라는 문제에는 아직 적응이 덜 된 것인지 명쾌한 답안을 제시 못하는 경우가 있었어요. 물론 증명 문제는 많은 연습이 필요한 부분이기도 합니다. 우리 #더플러스수학학원 친구들이 좀 더 깊이 있는 학습을 통해 본인이 알고 있는 개념을 적재적소에 사용할 수 있기를 바랍니다. http://m.blog.naver.com/plusthemath/222224412590

[더플러스수학] 과고합격자반

합격을 축하합니다. 또 다른 한편 새로운 시작을 위해 준비해야 할 것이 많네요. 과학고1학년 1학기 중간고사가 과고생활을 결정합니다. 과고1기부터 학생을 가르쳐온 더플러스수학학원과 함께 준비합시다. 유투브에서 더플러스수학을 검색해보세요. 실력정석 연습문제 별해와 저의 모습을 보실 수 있습니다

[더플러스수학] \(\displaystyle x^n\) 미분 증명(실수까지)

\(\displaystyle \frac{d}{dx}x^n =n x^{n-1} ~ (n은~실수)\) https://youtu.be/G-uDnkUR6JQ (구독과 좋아요) 이것을 (i) \(n\)이 자연수일 때, (ii) \(n\)이 정수일 때, (iii) \(n\)이 유리수일 때, (iv) \(n\)이 실수일 때의 순으로 증명하자. 증명하는 과정에서 미분공식이 각각 필요하다. (i) \(n\)이 자연수 증명할 때, 필요한 미분공식은 곱미분법이다. 즉 함수 \(f(x),~g(x)\)가 각각 미분가능하면 \(f(x)\times g(x)\)도 미분가능하고, 도함수는 $$\left\{f(x)\times g(x)\right\}'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)$$ 또, 증명방법으로 수학적 귀납법이 필요하다. 이..

[울산과고기출] 에르미트 항등식과 그 증명방법들(1)[더플러스수학]

$$\displaystyle \left [ x \right ] + \left [ x+ \frac {1} {n} \right ] + \left [ x+ \frac {2} {n} \right ] + \cdots + \left [ x+ \frac {n-1} {n} \right ] = \left [ nx \right ] $$ 임을 보이시오. (단, $\displaystyle [x] $ 는 $\displaystyle x $ 를 넘지 않는 가장 큰 정수이다.)[6점] [2017 과고1 1학기 중간 주11] 위의 항등식을 샤를 에르미트가 만든 항등식으로 그 이름을 따서 '에르미트 항등식'이라고 한다. https://youtu.be/nAyjopeVhAU(구독과 좋아요!!) 크게 두가지 방법으로 증명하는데 (i) 가우스..

[울산과고기출] 에르미트 항등식과 그 증명방법들(2)[더플러스수학]

전편에서 가우스기호의 성질을 이용하여 에르미트 항등식을 증명한데 이어 2020/12/31 - [수학과 공부이야기] - [울산과고기출] 에르미트 항등식과 그 증명방법들(1)[더플러스수학] https://youtu.be/nAyjopeVhAU(구독과 좋아요!!) 이제는 주기함수임을 증명하고 이를 이용하여 에르미트 항등식을 증명하자. $$\displaystyle \left [ x \right ] + \left [ x+ \frac {1} {n} \right ] + \left [ x+ \frac {2} {n} \right ] + \cdots + \left [ x+ \frac {n-1} {n} \right ] = \left [ nx \right ] $$ 임을 보이시오. (단, $\displaystyle [x] $ 는..

[수학의 기초] 지수함수는 모두 아래로 볼록, 로그함수는 위로볼록, 아래로볼록 모두 있는 이유?

과고 학생의 질문? 학교 과제로 지수함수는 모두 아래로 볼록인 함수이지만 왜 그 역함수는 위로 볼록인 함수와 아래로 볼록인 함수가 있는지 그 이유를 알고 싶어 질문함. 젠센 부등식을 이용하여 보이는 것이 힌트임. 먼저 젠센 부등식에 대하여 알아 보자. 함수 $\displaystyle f$가 아래로 볼록인 함수이면 다음이 성립한다. 정의역에 속하는 임의의 $\displaystyle a,~b $에 대하여 $$\displaystyle f \left(\frac{a+b}{2} \right) \leq \frac{f(a)+f(b)}{2}$$ 부등호가 반대로 되면 위로볼록함수이다. 이것에 대한 자세한 설명은 아래의 링크를 따라가 보세요. 2019/10/23 - [수학과 공부이야기] - [수학의 기초] 곡선의 볼록성 정..