plusthemath의 티스토리 포스트 목록: 2 페이지

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과고2학년 2학기 프린트

2차곡선 1. 점 $\displaystyle \mathrm { P} \left ( 2,~a \right ) $에서 원 $\displaystyle x ^ {2} +y ^ {2} =1 $에 두 개의 접선을 긋고, 두 접점의 중점을 $\displaystyle \mathrm { Q} $라 한다. 점 $\displaystyle \mathrm { P }\left ( 2,~a \right ) $가 직선 $\displaystyle x=2 $ 위의 $\displaystyle y > 0 $인 부분을 움직일 때, 점 $\displaystyle \mathrm { Q} $가 그리는 도형의 방정식을 구하여라. 풀이 더보기 풀이1) 위의 그림처럼 점들을 정의하자. 직선 $\displaystyle\mathrm{\overleftrig..

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[더플러스수학학원] 울산과고 1학년 2학기 기말대비-미적분 극한~평균값정리 서술형 문제 [울산과학고]

1. 함수 $\displaystyle f ( x) $가 임의의 실수 $\displaystyle x,~y $에 대하여 $$\displaystyle f ( x+y)=f ( x)+f ( y)+xy $$ 를 만족시킨다. 다음을 보여라. (1) 함수 $\displaystyle f ( x) $가 $\displaystyle x=0 $에서 연속이면 $\displaystyle f ( x) $는 모든 실수에서 연속임을 보여라. (2) $\displaystyle f ' ( 0)=1 $이라 할 때, $\displaystyle f ( x) $가 모든 실수에서 미분가능함을 보이고 도함수 $\displaystyle f ' ( x) $를 구하여라. 정답 및 풀이 더보기 (1) \(\displaystyle f ( x+y)=f ( x)..

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[연세대논술]2020학년도 연세대학교 수시모집 논술시험-의학계열(오후)

https://youtu.be/6tirxblk4rs(구독과 좋아요!!) [문제 1] 합성함수가 정의될 수 있는 범위에서 함수 $\displaystyle f ( x) $에 대한 합성함수를 다음과 같이 나타내자. $\displaystyle \left ( f \circ f \right ) \left ( x \right ) =f ^ {} \left ( x \right ) $, $\displaystyle \left ( f \circ f \circ f \right ) \left ( x \right ) =f ^ {} \left ( x \right ) $, $\displaystyle \cdots $, $\displaystyle ( \underbrace {f \circ f \circ \cdots \circ f}_{n개}..

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[한양대수리논술] 2020학년도 한양대 자연계열 논술(오후1)[더플러스수학]

https://youtu.be/z5N_JG5fHWw(구독과 좋아요!!) [문제 1] 다음 물음에 답하시오. (50점) 1. 주사위를 $\displaystyle n $번 던질 때 $ 3 $의 눈이 나오는 횟수가 $\displaystyle 2 $의 배수일 확률을 구하시오. 2. 주사위를 $\displaystyle n $번(단, $\displaystyle n \geq 3 $) 던질 때 $\displaystyle 3 $의 눈이 나오는 횟수가 $\displaystyle k $이면 $\displaystyle 100k \left ( k-1 \right ) \left ( k-2 \right ) $원의 상금을 지급한다고 하자. 상금의 기댓값을 구하시오. 3. 주사위를 $\displaystyle n $번 던질 때 $\di..

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[성균관대 수리논술] 2020학년도 성균관대 수시 논술 자연계 2교시

https://youtu.be/Z7CtH4HR_So(구독과 좋아요!!) [ 수학 1 ] 다음 ~ 를 읽고 [수학 1 -ⅰ] ~ [수학 1 -ⅳ]를 문항별로 풀이와 함께 답하시오. 쌍곡선 $\displaystyle x ^ {2} -2y ^ {2} =-1 $의 윗부분을 $\displaystyle C _ {1} $으로 하고, 아랫부분을 $\displaystyle C _ {2} $라고 하자. 쌍곡선 밖의 한 점 $\displaystyle \rm P $에서 곡선 $\displaystyle C _ {1} $에 그은 접선의 접점을 $\displaystyle \rm Q $, 점 $\displaystyle \rm P $에서 곡선 $\displaystyle C _ {2} $에 그은 접선의 접점을 $\displaystyle..

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[수학의 기초] 생성함수에 대하여 (1) [더플러스수학]

수학1의 수열에서 수학적 귀납법 단원 중 수열의 점화식이 나오는 문제를 풀 때, 점화식 마다 풀이 방법을 외워야 해서 학생들이 많이 힘들어 합니다. 물론 이 과정은 교과에 빠졌지만 상위권학생은 풀이 과정을 이해하고 외워야 합니다. 이 문제를 다른 관점에서 해결하고자 "생성함수"(generating function)에 대해 가볍게 알아보고 이를 이용하여 점화식을 한번 풀어 보겠습니다. 일반적으로 수열 $\displaystyle \left\{ a_n \right\}~(n=0,~1,~2,~\cdots)$에 대하여 $$\displaystyle g(x)=a_0 +a_1 x+a_2 x^2 + \cdots+a_n x^n +\cdots =\sum_{\textcolor{red}{n=0}}^{\infty}a_n x^n$$..

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[더플러스수학] 과고2학년 2학기 고급수학 기출문제

1. 다음을 계산하시오. (5점) (1) $\displaystyle \left ( \matrix {1 & 2\\3 & 4} \right) + \left ( \matrix {3 & 4\\5 & 6} \right) $ (1점) (2) $\displaystyle \left ( \matrix {1 & 2\\0 & 1} \right) \left ( \matrix {1 & 2\\1 & 3} \right) $ (2점) (3) $\displaystyle \left ( \matrix {1 & 3 & 0\\2 & -1 & 2\\0 & 1 & 3} \right) ^ {2} $ (2점) 정답 및 해설 더보기 (1) $\displaystyle \left ( \matrix {4 & 6\\8 & 10} \right) $ (2) $..

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[연세대논술]2020학년도 연세대학교 수시모집 논술시험 오전

https://youtu.be/RF95YP4OYM0(구독과 좋아요!!) [문제 1] 그림과 같이 $\displaystyle \mathrm { \overline {AC}} =1 $, $\displaystyle \overline {\mathrm { BC }} =a $ ($\displaystyle a>0 $)이고 $\displaystyle \mathrm { \angle BCA}= \frac {\pi } {2} $인 삼각형 $\displaystyle \mathrm { ABC }$가 있다. 자연수 $\displaystyle n $에 대하여 선분 $\displaystyle \mathrm { CA} $를 $\displaystyle n $등분한 각 분점을 점 $\displaystyle \mathrm { C }$에서 가..

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[더플러스수학] 2013학년도 서울시립대 수리논술 (A)

2013학년도 수시모집 일반전형 논술고사 문제지 (자연계열A) 2012. 11. 20(화) 13:30 ~ 15:30 ※ 풀이과정을 반드시 기술할 것. 기술의 형식과 내용은 평가의 중요한 요소임. https://youtu.be/_-jlS67zTfM (구독과 좋아요를) [문제 1] 그림과 같이 좌표평면에 움직이는 점 A가 있다. 시각 $\displaystyle t \, \left( 0 < t < \frac {\pi } {4} \right)$에서 점 A의 좌표는 $\displaystyle ( 2\sin t,~0) $이다. 제 2사분면 위의 점 B는 직선 $\displaystyle y=-x $위에 있고, $\displaystyle \overline {\mathrm{AB}} = \sqrt {2} $이다. 선분 $..

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[수학의 기초] 사잇값정리의 응용-넓이의 3등분선의 존재

사잇값 정리와 넓이의 3등분 좌표평면 위에 있는 도형을 넓이가 똑같은 두 개의 도형으로 나누는 $\displaystyle y $축과 평행한 직선이 있는가? 또 넓이가 똑같은 3개의 도형으로 나누는 $\displaystyle y $축과 평행한 직선들이 있는가? https://youtu.be/1se7M7epQYI(구독과 좋아요)

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4회-2020학년도 울산과고1학년 2학기 중간대비

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[수리논술] 사이클로이드의 등시성과 최단강하곡선

[제시문] [가] 사이클로이드(cycloid)란 한 원이 일직선 위를 굴러갈 때, 이 원의 원둘레 위의 한 점이 그리는 자취이다. 예를 들어 자전거 바퀴의 한 점에 전구를 설치하고 자전거를 일정한 속력으로 움직일 때 전구가 그리는 자취는 사이클로이드가 된다. 사이클로이드는 바퀴라는 뜻의 그리스어로 갈릴레이가 붙였다고 한다. 사이클로이드는 매우 특이한 물리적 성질을 지니고 있어 흥미로운 대상이다. [나]1583년 성당에서 예배를 드리던 갈릴레이는 ‘천장에 매달린 진자의 주기가 진폭에 상관없이 일정하다’는 ‘진자의 등시성(等時性)’을 발견했다. 하지만 정확하게 이야기한다면 등시성은 진자의 진폭이 매우 작을 경우에만 성립한다. 일반적으로 진폭이 커지면 주기도 증가하기 때문에 진자의 등시성은 성립하지 않는데 정..

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[평가원기출]2021학년도 9월 평가원 가형 21번-킬러문항[더플러스수학]

닫힌구간 $\displaystyle [-2 \pi ,~2 \pi ] $에서 정의된 두 함수 $$\displaystyle f ( x)=\sin kx+2 ,~ g ( x)=3\cos 12x $$ 에 대하여 다음 조건을 만족시키는 자연수 $\displaystyle k $의 개수는? [$\displaystyle 4 $점] 실수 $\displaystyle a $가 두 곡선 $\displaystyle y=f ( x) $, $\displaystyle y=g ( x) $의 교점의 $\displaystyle y $좌표이면 $$\displaystyle \left\{ \,x\,|\,f ( x)=a\, \right\} \subset \left\{ \,x\,|\, g ( x)=a\, \right\} $$이다. ① $\displ..

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[수학의 기초] 기저변환행렬 (2) [더플러스수학]

기저변환행렬에 대한 정확한 이해!!! 기저 $\displaystyle \vec p , ~\vec q $의 집합을 $\displaystyle A$, 기저 $\displaystyle \vec {p'} , ~\vec {q'} $의 집합을 $\displaystyle B$라고 할 때, 기저 $\displaystyle A$를 $\displaystyle B$로 바꾸는 행렬 즉 기저변환행렬 $\displaystyle \left[ P \right]_{A}^{B}$은 다음과 같다. 기저 $\displaystyle A$에서의 좌표 $\displaystyle (x,~y)$를 기저 $\displaystyle B$에서의 좌표 $\displaystyle (x',~y') $로 바꾸는 행렬을 의미한다. 앞 글의 독자님의 질문을 예로 ..

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[과학고내신대비] 2020학년도 1학년 2학기 중간대비 3

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[연세대] 2020학년도 수시모집 특기자전형[과학인재] 면접구술시험문제 [더플러스수학]

https://youtu.be/ctyNtwAHoy8(구독과 좋아요!!) [문제1] $\displaystyle a

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[더플러스수학] 2회-2020학년도 울산과고1학년 2학기 중간대비

1. $\displaystyle 0 $이 아닌 세 실수 $\displaystyle a,~b,~c $와 양수 $\displaystyle x $가 다음 조건을 만족시킨다. $$\displaystyle \frac {1} {ab} + \frac {1} {bc} + \frac {1} {ca} = \frac {3} {abc} $$ $$\displaystyle a\log _ {15} x=b\log _ {10} x=c\log _ {6} x=1 $$ 이 때 $\displaystyle \sqrt {x} $의 값을 구하시오. [$\displaystyle 8.0 $점] https://youtu.be/uhW-3hO2_SU *해설: [정답] $\displaystyle {\sqrt {x} = \root {3} \of {30} } ..

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단원 2. 삼각함수 - 문제 (1)

안녕하세요, 더(THE) 플러스수학학원입니다.권도형원장님의 이 개설됨을 알려드립니다. 과고 1학년 특강반- 개강 : 2020년 8월 17일 월요일- 수업 : 오전 9:00~12:0 (3시간)- 교재 : 실력정석 수학1, 미적분 -수업 동영상 홈페이지(더플러스수학 홈페이지)에 게시 한달 간 볼 수 있슴 - 혜택 : 1) 페이스북의 광고를 통해 더플러스수학 유투브채널 구독, 블로그 비밀댓글로 신규수강신청한 것 확인시 - 문화상품권 1매 학생에게 증정 2) 기존 학생도 더플러스수학 유투브채널 구독, 블로그 비밀댓글로 수강신청한 것 확인시 - 문화상품권 1매 학생에게 증정 3) 기존 학생이 친구 추천, 학생 수강신청시 기존학생과 수강신청 학생에게 문화상품권 각각 1매 증정 * 최대 2매 받을 수 있음(기존학..

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[더플러스수학] 2020학년도 카이스트 면접문제-일반전형, 학교장추천

2020학년도 카이스트 심층면접-일반전형 https://youtu.be/OTYTHagYhzY(구독과 좋아요!!) [문제1] 자연수 $\displaystyle n $에 대하여 두 함수 $\displaystyle f ( x)=\sin ^ {3} ( nx) $와 $\displaystyle g ( x)=\cos ^ {3} ( nx) $를 생각하자. (5점) (1) 구간 $\displaystyle [0,~2 \pi ] $에서 두 평면 곡선 $\displaystyle y=f ( x) $와 $\displaystyle y=g ( x) $가 만나는 교점의 $\displaystyle x $좌표의 최솟값 $\displaystyle a $와 최댓값 $\displaystyle b $를 구하시오. [$\displaystyle 1..

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[더플러스수학] [1회] 2020학년도 과고1학년 2학기 중간대비

답안지에 학년, 계열, 반, 번호, 이름을 표기하고 해당란에 바르게 표한 후 답안을 작성하시오. 답안지에는 정답 외의 예비마킹을 하지 않도록 주의 바랍니다. 1. $$\displaystyle 6\sin ^ {2} \theta -\sin \theta \cos \theta -2\cos ^ {2} \theta =0 $$일 때, $\displaystyle \sin \theta $의 값을 구하시오. (단, $\displaystyle \frac {\pi } {2} < \theta < \pi $) [4.3점] [2008 과고1 1학기 기말 11 주관식변형] https://youtu.be/iKJnXK9UAsM(좋아요와 구독을...) 정답 및 풀이를 보려면 아래를 클릭하세요. 더보기 *해설: $\displaysty..

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단원 1. 수열의 극한 -예제 (1)

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단원 1. 수열의 극한 -문제 (1)

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단원 2. 삼각함수 - 예제 (1)

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[옥동수학학원][수학의 기초] 테일러 정리 증명-평균값 정리의 일반화[더플러스수학]

테일러 정리(Taylor Theorem)(1) 함수 $f(x)$가 닫힌 구간 $[a,~b]$에서 연속이고 열린 구간 $(a,~b)$에서 $n$번 미분가능하면 $$\displaystyle \begin{align} f(b) &= \sum_{k=0}^{n-1} \frac{(b-a)^k}{k!} f^{(k)}(a) + \frac{(b-a)^n}{n!} f^{(n)}(c)\\&= f(a)+ (b-a)f'(a)+ \cdots+ \frac{(b-a)^{n-1}}{(n-1)!}f^{(n-1)}(a)+\frac{(b-a)^n}{n!}f^{(n)}(c) \end{align}$$ 을 만족하는 $c \in(a,~b)$가 적어도 하나 존재한다.아래의 두번째 방법으로 증명하기 위해서는 함수 $f$의 $n$계 도함수인 $f^{(n..

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[더플러스수학] [3회] 2020과고 1학년 1학기 기말고사 대비

답안지에 학년, 계열, 반, 번호, 이름과 과목코드번호를 표기하고 해당란에 바르게 표한 후 답안을 작성하시오. 1. $\displaystyle \mathrm { A}= \left\{\, x \,|\,x>0\, \right\} $일 때, $\displaystyle \mathrm { A} $에서 $\displaystyle \mathrm { A} $로의 함수 $\displaystyle f,~g $를 $$\displaystyle f ( x)=x ^ {2} -x,~g ( x)= \sqrt {2x-1} $$라 한다. 이 때, $\displaystyle \left ( f \circ ( g \circ f) ^ {-1} \circ f ^ {-1} ) ( 6) \right . $의 값을 구하여라.[4.7점] [2008..

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과고3학년 수행평가 문제

세트1 1. 세 꼭짓점이 포물선 $\displaystyle y=x ^ {2} $ 위에 있는 정삼각형을 한 개 찾아 그 넓이를 구하시오. 풀이) 원점을 지나고 기울기가 $\pm \tan 60^{\circ}$인 직선과 $y=x^2$과 만나는 점이 정삼각형을 이룬다. 2. 미분가능한 함수 $\displaystyle f ( x),~g ( x) $는 다음 조건을 만족한다. 적분값 $\displaystyle \int _ {0} ^ {\pi } { \frac {3f \left ( x \right ) g ' \left ( x \right ) -f ' \left ( x \right ) g \left ( x \right )} {\left\{ f \left ( x \right ) \right\} ^ {2} g \left (..

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[더플러스수학 여름방학특강] 과고1학년 단기 방학 특강반 모집

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2020년 과고2학년 기말 프린트[기하 증명]

포물선 증명은 대수적인 식을 이용해도, 논증기하를 이용해도 좋습니다 [정리1] 포물선 위의 점 $\displaystyle \mathrm { P} $에서의 접선은 $\displaystyle \mathrm { \angle CPF }$를 이등분한다. ($\displaystyle \mathrm { F} $는 초점, $\displaystyle \mathrm { C} $는 점 $\displaystyle \mathrm { P }$에서 준선 $\displaystyle l $에 내린 수선의 발) [정리2] 원점 $\displaystyle \mathrm { O }$를 꼭짓점으로 하고 초점을 $\displaystyle \mathrm { F} $, 준선을 $\displaystyle l $인 포물선이 있다. 이 포물선 위의 점..

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[더플러스수학] 2020년 과고2학년 1학기 기말 프린트 풀이

심화수학 II 보충자료-경우의 수, 확률파트 정리 1. 다음 경우의 수를 구하시오. [$\displaystyle \mathbb2017 $학년도 서울대 일반전형 면접 및 구술고사] (1) $\displaystyle 9 $개의 좌석이 일렬로 배치되어 있는 롤러코스터에 3명의 학생을 다음의 조건 (*)를 만족하도록 태우는 경우의 수를 구하시오. (*) 연이은 두 좌석에 학생이 앉은 경우에는 앞좌석에 앉은 학생의 키가 더 작다. 단, $\displaystyle 3 $명이 모두 탑승하며, 어느 두 명의 학생도 키가 같지 않다고 가정한다. (2) $\displaystyle m $이 $\displaystyle n $보다 큰 자연수일 때, $\displaystyle m $개의 좌석이 일렬로 배치되어 있는 롤러코스터에 ..

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[더플러스수학]2019년 울산과고2 심화수학 기출 20번 -gambler's ruin

$n$개의 동전을 가지고 있는 $A$와 무한한 동전을 가지고 있는 $B$가 서로 게임을 한다. 한 게임마다 각자 $1$개의 동전을 걸고 게임에서 이긴 사람이 모두 가진다. $A$가 한 게임에서 이길 확률은 $p$이며 $A$와 $B$가 같은 게임을 무한히 반복한다고 하자. 이 때, $A$가 모든 동전을 잃을 확률을 아래와 같음을 증명하시오. $\displaystyle p \leq \frac{1}{2}$이면 $1$ $\displaystyle p > \frac{1}{2}$이면 $\displaystyle \left( \frac{1-p}{p}\right)^n$ $P_n$을 $A$가 현재 $n$개의 동전을 가지고 게임에 참가하여 모든 동전을 잃을 확률이라 하자. 또, $B$가 무한개의 동전을 가지고 있는 것으로 하..

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(1회) 2020학년도 울산과고 1학년 1학기 기말대비 1

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(2회) 2019년 울산과고 1학년 1학기 기말고사 수학

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[수학의 기초] $x^2+y^2+z^2 \geq xy+yz+zx$ 여러가지 증명 [더플러스수학]

고등학교 수학에서, 특히 고1과정에서 굉장히 중요한 공식이 $$\textcolor{red}{x^2+y^2+z^2 \ge xy+yz+zx}$$이다. 이것을 다양하게 증명해 보자. 1) 일반적인 부등식의 증명 $$\begin{align} x^2+y^2+z^2 -(xy+yz+zx) &= \frac{1}{2} \left\{ 2x^2 +2y^2 +2z^2 -2xy-2yz-2zx\right\} \\&= \frac{1}{2} \left\{ \left(x^2 -2xy+y^2 \right) +\left(y^2 -2yz+z^2 \right)+\left(z^2 -2zx+x^2 \right)\right\}\\&= \frac{1}{2} \left\{ (x-y)^2 +(y-z)^2 +(z-x)^2\right\} \geq 0 \e..

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[질문] $x^2+y^2+z^2 \geq k(xy+yz+zx)$를 만족하는 $k$의 범위?[더플러스수학]

[질문] $x^2+y^2+z^2 \geq k(xy+yz+zx)$를 만족하는 $k$의 범위를 구하자. 2019년 울산과고 1학년 1학기 기말고사 2번 문제입니다. https://youtu.be/OU20_sl-YbE

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[수학의 기초] 삼각수 증명 Proof without word $1+2+\cdots +n=\frac{n(n+1)}{2}$

VISUAL MATH 증명은 왼쪽링크를.....

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[질문과 답] $z^{10} =\bar{z}$인 실수가 아닌 복소수에 대하여....

(질문) 실수가 아닌 복소수 $\displaystyle z $에 대하여 $\displaystyle z ^ {10} - \overline {z} =0 $일 때, $\displaystyle 1+z+z ^ {2} + \cdots +z ^ {21} +z ^ {22} $의 값을 구하시오. https://youtu.be/M3PYqdiaf0Q 정답 및 풀이를 보려면 아래를 클릭하세요. 더보기 [정답] $\displaystyle 1 $ [풀이] $\displaystyle z ^ {10} = \overline {z} $에서 양변에 $\displaystyle \overline {z} ^ {10} =z $ 를 곱하면 $\displaystyle \left ( z \overline {z} \right ) ^ {10} =z \o..

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2020년 과고2 확률과 통계 - 비둘기집 원리 프린트

1. 한 변의 길이가 $\displaystyle 2 $인 정사각형에 $\displaystyle 5 $개의 점이 있으면, 두 점 사이의 거리가 $\displaystyle \sqrt {2} $이하인 두 점이 반드시 존재함을 보여라. https://youtu.be/iW0qIHKZMV8(구독과 좋아요) 오른쪽의 그림처럼 한 변이 $\displaystyle 2 $인 정사각형을 $\displaystyle 1 \times 1 $인 한 변의 길이가 정사각형 넷로 나누자. 이 $\displaystyle 4 $개의 정사각형에 $\displaystyle 5 $개의 점을 넣으면 정사각형 중에 두 개의 점이상을 가진 정사각형이 존재한다. 이 정사각형의 내부의 임의의 두점 사이의 거리는 $\displaystyle \sqrt {2..

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[수학의 기초] 확률과 통계 경우의 수 구하는 특이한 방법들('menage problem'을 해결하기 위해)-1

1. $1$부터 $n$까지의 서로 다른 정수 중에서 이웃하지 않는 서로 다른 $k$를 뽑는 방법의 수는 $$ \textcolor{red}{\displaystyle {}_{n-k+1} \mathrm{C}_{k}}$$ (증명) 서로 다른 $k$개의 수를 $x_1 ,~x_2 ,~\cdots,~x_k$라 두면 이 수들이 서로 이웃해서는 안되므로 $i=1,2,\cdots,{k-1}$인 $i$에 대하여 $x_i$ 와 $x_{i+1}$ 사이에는 적어도 $1$개의 숫자가 들어가야 한다. 그런데 $x_1$ 앞과 $x_k$ 뒤에는 $0$개 이상 들어 가도 된다. $n$개 중 $k$개의 수가 아닌 것의 개수는 $n-k$개이다. 이 $n-k$개를 모두 같은 빈 $\boxed{~~}$ 로 표시하자. 그러면 위의 그림에서 볼 수..

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인문계고3 수업

1. $\displaystyle x $에 대한 이차식 $\displaystyle x ^ {2} +ax+bc $와 $\displaystyle x ^ {2} +bx+ac $의 최대공약수가 $\displaystyle x $에 대한 일차식일 때, 다음 물음에 답하시오. (단, $\displaystyle abc \neq 0 $이다.) [총 $\displaystyle 8 $점] (1) $\displaystyle x $에 관한 이차식 $\displaystyle x ^ {2} +ax+bc $와 $\displaystyle x ^ {2} +bx+ac $의 최소공배수를 구하고, 그 과정을 서술하시오. [$\displaystyle 4 $점] (2) $\displaystyle \frac {\left ( a ^ {3} +b ^ ..

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[수학의 기초] 아폴로니우스의 원으로 가는 길(1)-삼각형에서 각이등분선의 성질 증명

아폴로니우스의 원 이에 대한 증명을 위해 먼저 각 이등분선의 성질을 아래의 3가지의 관점에서 증명해 보겠다. 중학교 2학년 2학기에 나오는 삼각형의 각 이등분선의 성질을 중학교 과정의 (1) 유클리드 기하의 관점에서 (2) 고1의 해석기하의 관점에서 (3) 기하에서 벡터의 관점에서 증명하고자 한다. 먼저 증명하고자 하는 것을 명제로 표현하면 다음과 같다. 삼각형 $\displaystyle \mathrm { ABC} $에서 $\displaystyle \angle A $의 내(외)각의 이등분선이 변 $\displaystyle \mathrm { \overline {BC} }$와 만나는 점을 $\displaystyle \mathrm { P }$라 하면 $$\displaystyle \mathrm { \overli..

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[질문과 답]삼차식을 $(x+1)^2$으로 나눈 몫과 나머지 같다.

삼차의 다항식 $\displaystyle f ( x) $가 다음 조건을 만족시킨다. $\displaystyle f ( x) $를 $\displaystyle \left ( x+1 \right ) ^ {3} $으로 나눈 나머지를 $\displaystyle R ( x) $라 하자. $\displaystyle R ( 0)=R ( 1) $일 때, $\displaystyle R ( 2) $의 값을 구하시오. $\displaystyle f ( -1)=3 $ $\displaystyle f ( x) $를 $\displaystyle \left ( x+1 \right ) ^ {2} $으로 나눈 몫과 나머지는 같다. (풀이) 다음 링크를 보세요. https://youtu.be/sP0Gd44-RTo 다항식을 표현하는 방법에 대..

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과고1학년수업 중 올리지 못한 동영상

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[질문과 답] $(x+2)^2$으로 나눈 나머지, $(x+3)^2$으로 나눈 나머지....

[질문] 최고차항의 계수가 $\displaystyle 2 $인 삼차다항식 $\displaystyle f ( x) $를 $\displaystyle \left ( x+2 \right ) ^ {2} $으로 나누었을 때의 나머지가 $\displaystyle 3x-2 $이고, $\displaystyle x+1 $로 나누었을 때의 나머지는 $\displaystyle 4 $이다. $\displaystyle f ( x) $를 $\displaystyle \left ( x+2 \right ) ^ {3} $으로 나누었을 때의 나머지를 $\displaystyle R ( x) $라고 했을 때, $\displaystyle R ( 2) $의 값을 구하시오. https://youtu.be/mKH3GrmPEbw [답] 상수 $\dis..

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[삼사기출] 2017학년도 나형 14번-일대일대응

두 집합 $\displaystyle A= \left\{ 1,~2,~3,~4 \right\} $, $\displaystyle B= \left\{ 2,~3,~4,~5 \right\} $에 대하여 두 함수 $\displaystyle f~:~A \rightarrow B $, $\displaystyle g~:~B \rightarrow A $가 다음 조건을 만족시킨다. (가) $\displaystyle f ( 3)=5 $, $\displaystyle g ( 2)=3 $ (나) 어떤 $\displaystyle x \in B $에 대하여 $\displaystyle g ( x)=x $이다. (다) 모든 $\displaystyle x \in A $에 대하여 $\displaystyle ( f \circ g \circ f) ..

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2019학년도 상산고 1학기 중간고사 및 풀이

1. $\displaystyle x ^ {3} +y ^ {3} +z ^ {3} +xy \left ( x+y \right ) +yz \left ( y+z \right ) +zx \left ( z+x \right ) $을 두 다항식의 곱으로 인수분해하시오. [3.2점] 정답 및 풀이를 보려면 아래를 클릭하세요. 더보기 $\displaystyle \left ( x ^ {2} +y ^ {2} +z ^ {2} \right ) \left ( x+y+z \right ) $ https://youtu.be/pbDXIQFyqgQ 2. 네 다항식 $\displaystyle A=x ^ {2} -2xy+3y ^ {2} ,B=y ^ {2} +3xy-2x ^ {2} $, $\displaystyle C=xy-4y ^ {2} +3x ..

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[킬러문항][더플러스수학] 2020년 3월 교육청 30번(4월24일시행)

30. 최고차항의 계수가 $4$ 인 삼차함수 $f(x)$ 와 실수 $t$ 에 대하여 함수 $g(x)$ 를 $$g(x)=\int_t^x f(s)ds$$ 라 하자. 상수 $a$에 대하여 두 함수 $f(x)$ 와 $g(x)$ 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) $f'(a)=0$ (나) 함수 $\left| g(x)-g(a) \right|$ 가 미분가능하지 않은 $x$ 의 개수는 $1$ 이다. 실수 $t$ 에 대하여 $g(a)$ 의 값을 $h(t)$ 라 할 때, $h(3)=0$ 이고 함수 $h(t)$ 는 $t=2$ 에서 최댓값 $27$ 을 가진다. $f(5)$의 값을 구하시오. [$4$점] https://youtu.be/bqNYjfLhEOY

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2018년 경기과학고 1-1학기 중간고사

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[수학의 기초] 함수에 대하여(3) - 일대일대응 역함수

Definition1.(일대일 대응) Let $X,~Y$ be sets, and let $f~ :~ X \longrightarrow Y$ be a function. We say that $f$ is bijective if $f$ is both injective and surjective. bijective는 일대일 대응이으로 치역과 공역이 같은 함수이면서 동시에 $1-1$ 함수이다. Proposition 2. Let $X,~Y$ be sets, and let $f~ :~ X \longrightarrow Y$ be a function. Then $f$ is bijective if and only if $\forall y \in Y$, $\exists! x \in X$ such that \(f(x) = y\..

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과고1학기 중간고사대비 심화문제 모음(2)

1. 다음 제시문을 읽고 물음에 답하시오. 다항식 $\displaystyle f ( x) $와 $\displaystyle g ( x) $에 대해 $\displaystyle f ( x) $라는 다항식을 $\displaystyle g ( x) $로 나누었을 때 몫을 $\displaystyle Q ( x) $, 나머지를 $\displaystyle R ( x) $라고 하면 다음과 같은 성질을 만족한다. (단, $\displaystyle f ( x) $의 차수가 $\displaystyle g ( x) $의 차수보다 크다.) $$\displaystyle \frac {f ( x)} {g ( x)} = \frac {g ( x)Q ( x)+R ( x)} {g ( x)} =Q ( x)+ \frac {R ( x)} {g (..

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[수학의 팁] 3차함수의 극대극소의 차 [더플러스수학]

수학2 극대극소편에서 3차함수 극대극소문제를 풀 때 알고 있으면 좋은 팁을 하나 소개하고 그것을 증명하도록 하겠다. 3차함수 $f(x)=ax^3 +bx^2 +cx +d$가 극대, 극소를 $x=\alpha,~x=\beta$에서 갖는다고 하면 $$\textcolor{red} {\mathrm{(극댓값)과~ (극솟값)의 ~차} =\frac { \left| a \right| }{2} \left| \beta-\alpha \right|^3 }$$ 증명을 보려면 아래를 클릭하세요. 더보기 (증명) 3차함수 $\displaystyle f(x)=ax^3 +bx^2 +cx +d$가 극대, 극소를 $\displaystyle x=\alpha,~x=\beta$에서 가지므로 $\displaystyle f'(x)=0$의 근은 $\d..

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[더플러스수학]2019학년도 서울대 심층면접 1 [서울대구술면접]

문제 1. 1-1. 좌표평면 위의 두 점 $\displaystyle \mathrm { A} $와 $\displaystyle \mathrm { B }$의 좌표는 각각 $\displaystyle \left ( -10,~2 \right ) $와 $\displaystyle \left ( 10,~2 \right ) $이며, 점 $\displaystyle \mathrm { C} $와 점 $\displaystyle \mathrm { D }$는 $\displaystyle x $축 위를 움직이고 있다. $\displaystyle \mathrm { \overline {AC} + \overline {CD} + \overline {DB} }$가 최소가 되는 점 $\displaystyle \mathrm { C} $와 점 $\d..

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과고1학기 중간고사대비 심화문제 모음

1. $\displaystyle k $가 자연수일 때, 모든 실수 $\displaystyle x $에 대하여 $$\displaystyle p ( p ( x))= \left\{ p ( x) \right\} ^ {k} $$ 을 만족하고 계수가 실수인 상수가 아닌 다항식 $\displaystyle p ( x) $를 모두 구하여라. 정답 및 풀이를 보려면 아래를 클릭하세요. 더보기 정답 및 풀이 $\displaystyle p ( x)=a _ {n} x ^ {n} +a _ {n-1} x ^ {n-1} + \cdots +a _ {1} x+a _ {0} $ ($\displaystyle a _ {0} ,~a _ {1} ,~ \cdots ,~a _ {n} $는 실수, $\displaystyle a _ {n} \neq 0..

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과학고 2020년도 1-1 중간고사대비(18회)

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[수학의 기초] 함수에 대하여(1) - 함수의 정의와 합성

Definition 1(함수의 정의). Let $X$ and $Y$ be sets. A function $f$ from $X$ to $Y$ is an object that, for each element $x \in X$, assigns an element $y \in Y$ . We use the notation $f ~:~ X \rightarrow Y$ to denote a function as described. We write $f(x) = y$ or $f ~: ~x \mapsto y $ to denote that the element in $Y$ assigned to $x$ is $y$. We call $X$ the domain(정의역) of $f$, and we call $Y$ the codom..

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[수학의 기초] 함수에 대하여(2) - 함수의 종류

Injectivity(단사) and Surjectivity(전사) injective와 surjective에 대한 용어가 교과과정이 바뀜에 따라 계속 바뀌어져 학생들이 많이 힘들어 한다. 예를들어 단사함수, 1-1함수, 전사함수, 위로의 함수, 치역과 공역이 같은 함수, 1-1대응, 전단사함수 등등 같은 용어가 서로 다르게 표현되어 많이 헷갈린다. 이 이용을 정리해보자. Definition 1.(일대일함수, 단사함수) Let $X,~Y$ be sets, and let $f ~:~ X \rightarrow Y$ be a function. We say that $f$ is injective(단사함수) (sometimes called one-to-one(일대일함수)) if for all $x_1 ,~x_2 \i..

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2020학년도 울산과고 1학년 1학기 중간대비(11회)

실수 $ a $와 함수 $ f \left ( x \right ) =\ln \left ( x ^ {4} +1 \right ) -c $ ($ c>0 $인 상수)에 대하여 함수 $ g \left ( x \right ) $를 $$ g \left ( x \right ) = \int _ {a} ^ {x} {f \left ( t \right ) dt} $$ 라 하자. 함수 $ y=g \left ( x \right ) $의 그래프가 $ x $축과 만나는 서로 다른 점의 개수가 $ 2 $가 되도록 하는 모든 $ a $의 값을 작은 수부터 크기순으로 나열하면 $ \alpha _ {1} ,~ \alpha _ {2} ,~ \cdots ,~ \alpha _ {m} $ ($ m $은 자연수)이다. $ a= \alpha _ {1}..

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2020학년도 울산과고 1학년 1학기 중간대비(12회)

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과고 시험

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과고 시험대비

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[킬러문항] 2018학년도 가형 6월 30번 [더플러스수학]

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과학고 2017년도 1학년 1학기 중간고사(10회)

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[평가원기출] 2010학년도 가형 6월 29번

함수 $ f ( x) $에 대하여 옳은 것만을 에서 있는 대로 고른 것은? [4점][2009년 6월] ㄱ. $ f ( x)=x ^ {2} ~ $이면 $ \lim\limits _ {x \rightarrow 0} {} {\large\frac {e ^ {f ( x)} -1} {x}} =0~ $이다. ㄴ. $ \lim\limits _ {x \rightarrow 0} {\large \frac {e ^ {x} -1} {f ( x)}} =1~ $이면 $ \lim\limits _ {x \rightarrow 0} {\large \frac {3 ^ {x} -1} {f ( x)} }=\ln 3~ $이다. ㄷ. $ \lim\limits _ {x \rightarrow 0} {} f ( x)=0~ $이면 $ \lim\limits..

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[더플러스수학] 2007년 과학고1 1학기 중간고사 (9회)

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[수학의 기초] 함수의 극대와 극소 정의

거의 모든 교과서에 나오는 극대, 극소의 정의는 아래와 같다. 극대와 극소의 정의에 대해 좀더 자세히 알아보자. 정의1. 극대와 극소 1) 함수 $f(x)$가 $x=a$를 포함하는 어떤 열린구간에 속하는 모든 $x$에 대하여 $$f(x) \leq f(a)$$이면 함수 $f(x)$는 $x=a$에서 극대라 하며, $f(a)$를 극댓값이라고 한다. 2) 함수 $f(x)$가 $x=a$를 포함하는 어떤 열린구간에 속하는 모든 $x$에 대하여 $$f(x) \geq f(a)$$이면 함수 $f(x)$는 $x=a$에서 극소라 하며, $f(a)$를 극솟값이라고 한다. 이 때, 극댓값과 극솟값을 통틀어 극값이라 한다. 이것을 영어로 표현해 보자. Definition : Local Maximum and Minimum A fu..

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[더플러스수학] 2017년 가 교육청 7월 30번

상수항을 포함한 모든 항의 계수가 유리수인 이차함수 $ f ( x) $가 있다. 함수 $ g ( x) $가 $$ g ( x)= \left | f ' ( x) \right | e ^ {f ( x)} $$ 일 때, 함수 $ g ( x) $는 다음 조건을 만족시킨다. (가) 함수 $ g ( x) $는 $ x=2 $에서 극솟값을 갖는다. (나) 함수 $ g ( x) $의 최댓값은 $ 4 \sqrt {e} $이다. (다) 방정식 $ g ( x)=4 \sqrt {e} $의 근은 모두 유리수이다. $ \left | f ( -1) \right | $의 값을 구하시오. [4점] https://youtu.be/TlgOb62KUmM 정답 및 풀이를 보려면 아래를 클릭하세요. 더보기 정답 71 [출제의도] 미분을 활용하여 함..

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[더플러스수학] 2007학년도 수능가 29번

실수 전체의 집합에서 이계도함수를 갖는 함수 $ f ( x) $에 대하여 점 $ \mathrm A ( a,~f ( a)) $를 곡선 $ y=f ( x) $의 변곡점이라 하고, 곡선 $ y=f ( x) $ 위의 점 $ \mathrm A $에서의 접선의 방정식을 $ y=g ( x) $라 하자. 직선 $ y=g ( x) $가 함수 $ f ( x) $의 그래프와 점 $ \mathrm B ( b,~f ( b)) $에서 접할 때, 함수 $ h ( x) $를 $ h ( x)=f ( x)-g ( x) $라 하자. 에서 항상 옳은 것을 모두 고른 것은? (단, $ a \neq b $이다.) [4점] [2007학년도 수능] ㄱ. $ h ' ( b)=0 $ ㄴ. 방정식 $ h ' ( x)=0 $은 $ 3 $개 이상의 실근을..

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[더플러스수학] 과학고 2015년도 1학년 1학기 중간지필고사(8회)

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[수학의 기초] 도함수의 모순-Derivative paradox

https://youtu.be/9vKqVkMQHKk 도함수의 모순

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[더플러스수학] 2015년 4월 21번

함수 $ f \left ( x \right ) = { \begin {cases} \left ( x-2 \right ) ^ {2} e ^ {x} +k _ { {} _ { {} _ {} } } & ~ \left ( x \geq 0 \right ) _ { {} _ { {} _ {} } } \\-x ^ {2 ^ { {} ^ { {} ^ {} } } } & ~ \left ( x

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[수학의 기초] 일차식 이차식 기저를 이용한 평균값의 정리 증명

https://plusthemath.tistory.com/295 [수학의 기초] 일차식 기저, 차원, 표준기저-1 직선의 표현 중2에서 시작하자. 두 점 $(1,~2),~(3,~-4)$을 지나는 직선을 어떻게 구할까? 먼저 직선은 $y=ax+b$ 꼴로 나타낼 수 있으므로 이 식에 $(1,~2),~(3,~-4)$를 대입하면 $$\begin{align}2&=a+b\\-4&=3a+b.. plusthemath.tistory.com 앞에서 일차다항식이 기저가 $1,~x$인 표준기저를 가짐을, 또 $a \neq b$일 때, $x-a,~x-b$를 기저로 가짐을 보였다. 이제 이것과 롤의 정리를 이용하여 평균값의 정리를 증명해 보자. 또, 평균값의 정리를 2계도함수까지 확장해보자. 롤의 정리 $f$가 $[a,~b]$에..

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[수학의 기초] 인수분해 응용 $a+b+c=0$이면 $a^3+b^3+c^3=3abc$

$\ast $ $a+b+c=0$이면 $a^3+b^3+c^3=3abc$ (증명) $a+b+c=0$이라 가정하자. 그러면 $$a^3 +b^3 +c^3 -3abc=(a+b+c)(a^2 +b^2 +c^2 -ab-bc-ca)=0$$ 따라서 $$a^3 +b^3 +c^3 =3abc$$ 예제 실력정석 수상 2-4의 (2)번 다음식을 인수분해하여라. 한번풀어보세요. $$ ( a-x) ^ {3} + ( b-x) ^ {3} - ( a+b-2x) ^ {3} $$ 정답 및 풀이를 보려면 아래를 클릭하세요. 더보기 (풀이) $$\begin{align} ( a-x) ^ {3} + ( b-x) ^ {3} - ( a+b-2x) ^ {3}=( a-x) ^ {3} + ( b-x) ^ {3} + ( -a-b+2x) ^ {3}\end{ali..

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[수학의 기초] 삼차함수 적분 공식[팁]

https://youtu.be/1LcKkT19nw8 공식 삼차함수 $f(x)=(x-\alpha)(x-\beta)(x-\gamma)$ 에 대하여 $$\int_{\alpha}^{\beta} a(x-\alpha)(x-\beta)(x-\gamma)dx= \frac{a}{6} (\beta-\alpha)^3 \left(\textcolor{blue}{ \gamma- \frac{\alpha+\beta}{2}}\right)$$ 이다. 이것을 증명하기 위해 다음을 먼저 보이자. $$\int_{a}^{b} a(x-\alpha) \left(x- \frac{\alpha+\beta}{2} \right)(x-\beta)dx=0~~\cdots\cdots~(\mathrm{i})$$ (증명) $t=x-\frac{\alpha+\beta}..

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과학고1학년 중간고사 대비6

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[수학의 기초] 이차곡선과 극선-1

원의 방정식에서 극선을 시작합니다. 예를 통해 원에서 극선을 정의할께요. 원의 극선 원 $x^2+y^2=1$과 원 밖의 점 $\mathrm {P} (2,~3)$을 생각하자. 다음 그림처럼 점 $\mathrm P$에서 원에 접선을 그으면 접선이 두 개 나오는데 그 접점을 $\mathrm A ,~\mathrm B$라 할 때, 두 점 $\mathrm A ,~\mathrm B$를 지나는 직선 $l$을 점 $\mathrm P$의 극선(polar line)이라고 하고 점 $\mathrm P$를 극(점)-pole이라고 합니다. 여기서 직선 $l$의 방정식이 마치 점 $\mathrm P$를 접점인 것처럼 원 $x^2+y^2=1$에 잘못 접선을 구한 직선이 극선 $l$이다. 즉 직선 $l$이 $$\textcolor{re..

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과학고1학년 중간고사 대비5

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[수학의 기초] 3차함수의 적분공식-부분적분 활용2

$f(x)=a(x-\alpha)^2 (x-\beta) $ $(\alpha

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과학고1학년 중간고사 대비3

2. 삼각행렬의 고윳값은 그 행렬의 대각원소들임을 보여라. https://youtu.be/1XNEOX-QZ9E YouTube www.youtube.com 3. $ A $를 $ n \times n $행렬이라 할 때, $ A $가 특이행렬이기 위한 필요충분조건은 $ \lambda =0 $이 $ A $의 고유값임을 증명하여라. https://youtu.be/z6ySn83qVE4 YouTube www.youtube.com 4. $ A $가 비특이행렬이고 $ \lambda $가 $ A $의 고윳값이라 하자. $ \large{\frac {1} {\lambda }} $가 $ A ^ {-1} $의 고윳값임을 증명하라. https://youtu.be/HgGecSWsUtI YouTube www.youtube.com 5. ..

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과학고1학년 중간고사 대비4

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[옥동수학학원][더플러스수학]##[수학의 기초] 일차식 기저, 차원, 표준기저-1

직선의 표현 중2에서 시작하자. 두 점 $(1,~2),~(3,~-4)$을 지나는 직선을 어떻게 구할까? 먼저 직선은 $y=ax+b$ 꼴로 나타낼 수 있으므로 이 식에 $(1,~2),~(3,~-4)$를 대입하면 $$\begin{align}2&=a+b\\-4&=3a+b\end{align}$$ 위의 두 식을 연립하면 $a=-3,~b= 5$이므로 $$y=-3x+5$$ 이다. 여기서 나의 고민은 "두 점을 지나는 직선"을 "세 점을 지나는 2차함수"로, "네 점을 지나는 3차함수로"로 계속 올라 간다면 계속 연립방정식을 풀어야 한다는 것이다. 꼭 일차함수는 $y=ax+b$로, 이차함수는 $y=ax^2 +bx+c$로, 삼차함수는 $y=ax^3 +bx^2 +cx+d$로 놓아야 하는가? 이 부분은 나만의 고민? 그럴리..

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[수학의 기초] 2013과고 중간고사 문제 - 함수방정식과 주기함수

22. 정의역과 공역이 실수 전체 집합인 함수 $ f ( x) $가 다음 두 조건을 만족한다. (가) $ f ( a)=0 $ (나) 임의의 실수 $ x $에 대하여, $$ f ( x+y)+f ( x-y)=2f ( x)f ( y) $$ 이 때, 다음을 증명하시오. [2013 과고1 1학기 중간 서술형7] https://youtu.be/lPr8-E8kOA4 (1) $ f ( x) $는 주기함수이다. [2점] 단, 주기함수란 모든 실수 $x$에 대하여 $$f(x+p)=f(x)$$를 만족하는 $0$이 아닌 실수 $p$가 존재할 때, 함수 $f$는 주기함수라 하고, 실수 $p$ 중 최소의 양수 $p$를 주기라고 한다. (2) $ f ( x) $는 우함수이다. [2점] 우함수란, 모든 실수 $x$에 대하여 $$f(..

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[중간고사 대비2] 2013학년도 과고1 1학기 중간고사

https://m.facebook.com/story.php?story_fbid=2244428215854713&id=1585733961724145

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[수학의 기초] 우함수 기함수 미분

우함수 미분하면 기함수? 기함수 미분하면 우함수? 증명은? 우함수란 모든 실수 $x$에 대하여 $$f(-x)=f(x)$$를 만족하는 함수이다. 영어로는 우함수(even-function)으로 여기서 even은 짝수를 의미한다. 즉 $y=x^{짝수}$인 함수는 $y$축에 대칭이므로 이 함수를 일반화하여 $y$축에 대칭인 함수를 우함수라고 한다. 마찬가지로 기함수(odd-function)도 $$f(-x)=-f(x)$$를 만족하는 함수이다. "우" 짝수(even), "기" 홀수(odd) 우함수 미분은 기함수 증명 함수 $\displaystyle f$가 미분가능하며 기함수이면 그 도함수 $f'$는 우함수 $$f'(-x)=f'(x)$$이다. (증명) 여기서 $$f'(-x)$$와 $$(f(-x))'$$을 구별해야 한..

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[더플러스수학]과학고2학년 고급수학 2학기기말대비 프린트

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[시험대비] 2019과고 1학년 2학기 기말고사대비문제(미적분,수1)

1. 다음 식의 값을 구하여라.[2.5점] $$ \cos ^ {2} \theta +\cos ^ {2} \left ( \theta + \frac {\pi } {3} \right ) -\cos \theta \cos \left ( \theta + \frac {\pi } {3} \right ) $$ [2011 과고1 심화수학 2학기 중간7] 2. $ x $의 방정식 $ 25x ^ {2} -ax+12=0 $의 두 근이 $ \sin 2 \theta ,~\cos 2 \theta $일 때, $ \tan \theta $의 값의 합을 구하여라.[2.5점] [2011 과고1 심화수학 2학기 중간8] 3. $ \alpha ,~ \beta $가 $ \tan \alpha -\tan \beta =1 $을 만족시킨다. $ \alph..

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컴퓨터 단축기 모음

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14단원

$ f ( x)=x ^ {3} +4x ^ {2} -8x+k,~g ( x)=x ^ {2} +x-2 $일 때, $ f ( x) $의 세 근을 $ \alpha ,~ \beta ,~ \gamma $라 하자. $ g ( \alpha )g ( \beta )g ( \gamma )=28 $일 때, $ k $의 값을 구하는 풀이과정과 답을 쓰시오. [4점] https://youtu.be/Mudum5GePIQ 2019/10/11 - [과학고/1학년1학기] - 2018학년도 1학년 1학기 중간고사 2018학년도 1학년 1학기 중간고사 plusthemath.tistory.com

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15단원

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걍

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[서술형 대비] 과학고 서술형 대비 미적분 증명

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[더플러스수학]중2부터 대입 자소서 폐지..학생부 비교과도 대폭 축소

https://news.v.daum.net/v/20191128100024167

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[더플러스수학] 2018 울산과고 중간 8번 문제

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12단원

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13단원

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[수학의 기초] 함수의 정의와 함수의 종류 -1

정의 함수 공집합이 아닌 두 집합 $X,~Y$가 존재하여 집합 $X$의 각 원소에 집합 $Y$의 원소가 하나씩 대응할 때 이 대응을 $X$에서 $Y$로의 함수 라 하고 문자 $f$를 써서 $f~:~X ~\longrightarrow~Y$ 또는 $\require{AMScd}\begin{CD} X @>{f}>> Y\end{CD}$ 또, 함수 $f$에 의하여 $X$의 원소 $x$에 $Y$의 원소 $y$가 대응하는 것을 $f~:~x ~\longrightarrow~y$ 또는 $\require{AMScd}\begin{CD} x @>{f}>> y\end{CD}$, $y=f(x)$ 등으로 나타내고, $y$는 $x$의 함수이다 라고 한다. 이때 $y$를 $f$에 의한 $x$ 의 함숫값이라 하고 $f(x)$ 로 나타낸다. ..

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[수학의 기초] 로그함수의 정의(대학에서)-3

https://plusthemath.tistory.com/267 [수학의 기초] 로그함수의 정의(대학에서)-2 https://plusthemath.tistory.com/263 [수학의 기초] 로그함수의 정의(대학에서)-1 고등학교 수학에서는 로그함수($\ln x$)를 정의하는 절차는 다음과 같다. 1. 중1에서 자연수에서 지수법칙을 정의하기 $\textcol.. plusthemath.tistory.com 전편에 있어 이제 자연상수 $e$를 정의할 수 있게 되었다. 정의 자연상수 $e$ $e$는 $\ln e=1$인 수이다. 수를 소수 $20$번째 자리까지 계산하면 $$e= 2.71828182845904523536$$ 이다. 이 수는 순환하지 않는 무한소수 즉, 무리수이다. $e$가 무리수임에 대한 증명은 ..

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[수학의 기초] 함수의 정의와 함수의 종류 -2

함수 $f~:~X~\longrightarrow ~Y$에 대하여 정의 일대일 함수 $X$의 서로 다른 원소에 $Y$의 서로 다른 원소가 대응되는 함수를 일대일 함수라고 한다. 즉 집합 $X$의 임의의 원소 $x_1 ,~x_2$에 대하여 $x_1 \neq x_2$이면 $f(x_1 ) \neq f(x_2 )$이다. $f(x_1 ) = f(x_2 )$이면 $x_1 = x_2$이다. De nition A function f is one-to-one or injective if and only if $f(x) =f(y)$ implies $x = y$ for all $x,~y$ in the domain $X$ of $f$. Formally: $$\forall x,~y \in X, f(x) = f(y) ~\longri..

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[수학의 기초] 로그함수의 정의(대학에서)-2

https://plusthemath.tistory.com/263 [수학의 기초] 로그함수의 정의(대학에서)-1 고등학교 수학에서는 로그함수($\ln x$)를 정의하는 절차는 다음과 같다. 1. 중1에서 자연수에서 지수법칙을 정의하기 $\textcolor{red}{m,~n}$ 은 자연수, $a>0,~a \ne 1$인 실수에 대해 $$\begin{align} &a^m \t.. plusthemath.tistory.com 이 과정의 한계지점 (1) 지수보다 수열을 나중에 배움 (2) 수열의 수렴은 미적분과정에서 배움 (3) 단조수렴정리 "증가수열이고 위로 유계면 수렴한다."는 대학과정 혹은 고급수학과정임 전편에서 본 위와 같은 한계를 극복하기 위해 대학에서는 먼저 모든 학생들이 이과면 미적분을 배웠기 때문에 $..

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연습

https://youtu.be/SA6YXrtr7ic https://youtu.be/mtmlNf1npLs https://youtu.be/mtmlNf1npLs

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[인하대수리논술] 2019학년도 인하대 수리논술 오후

[문제 1] (30점) 다음 제시문을 읽고 물음에 답하시오. (가) $ 0

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11단원

함수 $$ f ( x)= { \begin {cases} -x & & & \left ( x \leq 0 \right )\\x-1 & & & \left ( 02 \right )\end {cases} } $$ 와 상수가 아닌 다항식 $ p ( x) $에 대하여 에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? [$ 4 $점] | 보기 | ㄱ. 함수 $ p ( x)f ( x) $가 실수 전체의 집합에서 연속이면 $ p ( 0)=0 $이다. ㄴ. 함수 $ p ( x)f ( x) $가 실수 전체의 집합에서 미분가능하면 $ p ( 2)=0 $이다. ㄷ. 함수 $ p ( x) \left\{ f ( x) \right\} ^ {2} $이 실수 전체의 집합에서 미분가능하면 $ p ( x) $는 $ x ^ {2} ( x-2) ^ {2..

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