Berry's Phase

1. Berry's Phase Dynamical phase factor를 무시하기 위해 groud state energy를 0으로 두자.

그러면 parameter λ에 대해 이다. 이제 라 두고 위의 식에 대입을 하면, 다음을 얻을 수 있다.

이때, 을 Berry connection이라 정의하자. 그러면 다음을 얻을 수 있다.

그리고 이로부터 다음을 얻을 수 있다. 이를 Berry phase라 부른다.

또, connection의 curvature는 이고, 이를 Berry curvature이라 한다. 또, Berry phase와 Berry curvature 사이에는 가 성립함을 Stoke's thm으로부터 알 수 있다.

Example) A Spin in a Magnetic Field 일 때, 각각의 eigenstate에 대해 다음이 성립한다. Spherical coordinate에 대해 전개하면, 각각의 eigenstate가 다음과 같음을 알 수 있다. spin-down state에 ...