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Homogeneous Linear ODEs of Second Order의 Fundamental Theorem인 중첩원리를 증명해보겠습니다.
지금까지는 1계 미분방정식 즉 y'가 들어간 미분방정식의 해를 구해보았다면, 이제 y''가 들어간 2계 미분방정식을 다루어봅시다. 2계 미분방정식의 활용도는 정말 높아서(F=ma라던지) 공대생이라면 필수적으로 알아야 하는 파트입니다. 그 기반이 되는 "2.1 Homogeneous Linear ODEs of Second Order"는 양 자체가 거대하기도 하고 나중에도 쓰이는 Basic Material이 많기 때문에 세 파트로 나눠서 포스팅 합니다.(i) 2계 선형방정식의 형태 2계 선형 상미분방정식(Linear ODEs of Second Order)의 형태는 다음과 같습니다.네 기본적인 형태는 1계 선형방정식과 크게 다름이 없죠? 이런 애들을 2계 선형 상.......
※본 이벤트는 모바일 예스24 도서앱에서 응모할 수 있는 이벤트입니다※ 예스24에서 9/29~10/4 기간 동안 추석 이벤트를 진행합니다. 이번 연휴동안 예스24에서 확정으로 받을 수 있는 쿠폰은 1,000원 상품권, 공연 5,000원 할인, e-book 10% 할인입니다. 이에 더해 EVENT03 : 100명을 선정하여 1,000원 할인쿠폰을 지급합니다. YES포인트를 YES머니로 환전할 수 있는 추석환전소나 중고매장 이벤트도 있으니 이것저것 긁어모아 이번 추석 연휴 기간에 책 한 권 시켜보는 건 어떨까 싶습니다 :) ※본 이벤트는 모바일 예스24 도서앱에서 응모할 수 있는 이벤트입니다※
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섭교수는 수식입력이 필요할 때 sciweavers.org의 Online Latex Equation 툴을 사용한다. window 기본 수식 입력기도 있고 네이버 수식 입력기도 있는데 이게 가장 손에 익기도 하고 무엇보다 간편하게 수식을 이미지화할 수 있다는 장점이 있어 본 툴을 이용한다. Latex 관련 문법은 아래 링크를 참조. 정말 보기 편하게 정리되어있는 양질의 정보글이다.사용방법(i) 폰트 설정Sciweavers.org에서 제공하는 수식 입력기는 폰트 설정이 자유로운데, 우리가 흔히 알고 있는 폰트의 수식을 입력하려면 Modern을 선택해주면 된다. 크기나 색상, 이미지의 확장자까지 설정가능하다(ii) 원하는 수식 입력 후 Convert 버튼 누르기.......
<문제> 해당 문제에 오타가 있어(실제 시험때는 없었는데, 홈페이지에 올라온 기출문제에 오타존재) 한 글자 고쳐서 수정배포합니다. <손글씨 해설>(+덤)수리논술 첨삭 무료로 해드립니다. 비용 문제 때문에 고민하고 계셨던 분이나, 주변에 마땅한 곳이 없어서 첨삭받지 못했던 분 등등 어떤 이유라도 상관 없습니다. 제가 재밌어서 하는 일이고 학생에게나 저에게나 좋은 경험이 될 거라고 생각하기 때문에 과감히 결정했습니다. 나름 과외 경력도 있다고 생각하고 수리논술에 관한 대학측의 정보도 알고 있기 때문에, 무엇보다 수리논술 전형으로 대학교에 진학한 귀중한 경험이 있기 때문에 자신있습니다. 해당.......
<문제><손글씨 해설> 총평을 하자면, 2020학년도 오전 문제는 그렇게 어려운 문제들은 아니었습니다. 문제 1은 공간에 대한 기본적인 이해와 삼각함수를 잘 다룰 수 있는 학생에게 매우 수월하게 풀리는 문제였을 것이고, 문제 2 또한 위치를 시간에 대해 미분하면 속도(벡터)가 나온다는 것과 가로등을 정사영적인 느낌으로 이해한다면 막힘 없었을 것으로 생각됩니다. 이럴 경우 점수는 누가 더 많이 가져가느냐. ①출제자가 원하는 개념을 들어서 논리적으로 서술한 인원이 높은 점수를 가져가구요, ②그러면서도 간결하게 서술해낸 인원이 더 높은 점수를 가져갑니다. 이 간결하게 서술한다는 것에는 읽.......
수학 가형과 나형에서 공통적으로 「실수 전체에서 미분가능한 함수 f(x)」 라던지, 「f(x)가 실수 전체에서 미분가능할 때」 같은 문장이 종종 등장한다. 공부를 제대로 하지 않은 학생은 이 문장을 그냥 "이 말은 맨날 나오네 문제 분량 채울 게 없나봐?" 혹은 "당연한 거 아냐? 어쩌라고!" 라고 생각하고 넘어가거나 생각조차 하지 않고 그냥 넘어가버린다. 하지만 이 문장은 정말 정말 정말 정말 중요한 문장이다. 문제를 푸는 어떤 "길"이 있다고 하자. 답으로 이르는 이 "길"은 중간중간에 답까지 잘 찾아갈 수 있도록 하는 중간중간에 "조건"이라는 장치가 있다. 일종의 표지판의 역할.......
지난 시간에 이어 수학 가형에서 제시해주는 '미분가능'조건을 어떻게 해석해야 좋은가를 알아보자. 솔직히 나형처럼 구간을 나눠서 미분가능->연속조건을 사용하는 호락호락한 문제는 그렇게 많지 않다. 오히려 미분가능하다는 것이 무엇인지 그 정의에 대해 알고있어야 하는 경우가 많다. 가형에서 미분가능 조건이 제시되는 경우는 최근 기출을 봤을 때 합성함수의 미분, 역함수의 미분이 자주 출제되고, 가끔 고난도문제에서 절댓값기호가 포함된 함수의 미분 정도? 일단 기출을 통해 어떤 방식으로 출제되는지 알아보자 수학 나형과 비교해봤을 때 미분가능이라는 조건이 훨씬 많이 등장한다. 핵심.......
슬슬 WOWOWOW 할 수준이 슬금슬금 보인다. 오늘 배울 완전미분방정식의 기반을 이루는 개념은 편미분과 관련이 있다. 편미분 관련 지식은 다음 블로그에서 참조하면 된다. 본 블로그와는 다르게 매우 친절히 소개하고있다. 솔직히 가독성은 조금 떨어지는데(..) 이번 1.4-1을 위해 알고있어야 하는 개념을 모두 담고있는 좋은 글이니 알고있던 사람도 한번 들어가볼것. (i) Basic Concept x, y에 관한 다변수함수 z를 위와 같이 정의할 때, 미분소 dz는 아래와 같이 정의된다. 이것이 알아야 하는 전제이고, 위와 같은 형태로 정리되는 어떤 식에 대해서 라고 정리할 수 있으므로, 라는 해를 얻을 수 있다. 라는 게 오늘의 결론이다. .......
지난 시간에는 완전미분방정식이 무엇인지, 어떻게 판별하는지, 어떻게 푸는지에 대해서 알아보았습니다. 풀이과정이 조금 Looong하기 때문에 예제 파트를 따로 나누었습니다. 이번 포스팅에서는 네 개의 미분방정식 예제를 소개하는데, 이를 통해 완전미분방정식에 대한 감이 잡히길 바랍니다..!(예제 1) 다음 미분방정식의 완전성을 검사하여라dx앞에 있는 놈들을 y에 대해 편미분해주고, dy앞에 있는 놈들을 x에 대해 편미분해줍니다.음! 뭔가 둘이 안맞네 하죠? 맞아요 완전미분방정식이 아닙니다. 이런 간단한 문제가 시험에 나올 일은 없지만 만약 나온다면 저는 이렇게 답안을 작성할 것 같네요해당 미분방정식에 대해 완전성.......
이번 챕터는 완전미분방정식이 아닌 애들을 완전미분방정식으로 만들어주는 적분인자에 대해서 알아봅시다. Basic Concept는 그러한 함수 F가 있다고 가정하고 완전성 검사를 통해서 F를 구하는 느낌입니다. 그 뒤는 완전미분방정식의 해를 구하는 방법과 동일합니다. 시작해봅시다!(i) Basic Concept Basic Concept는 이렇습니다. 완전미분방정식이 아닌 것에 완전성을 부여한다. 뭐로? F로 말입니다.위와 같은 미분방정식을 예로 들어봅시다. 완전성 검사를 시행했을 때, nonexactness임을 알 수 있는데요, 이 식의 양변에 1/x^2 즉 를 곱해줍시다. 그러면 다음과 같은 식이 되는데요이 식은 완전성을 가짐을 직접 해봄으로써 알 수 있습니다.......
조금은 충격적이었던 완전미분방정식이었습니다. 그에 비하면 오늘 배우는 선형 상미분방정식은 조금 낫습니다. 1.1 미분방정식 분류에서 선형/비선형에 따른 분류를 다들 기억하고 있지요? 가물가물하다면 위 파란 글씨 클릭하셔서 복습하시고 본 챕터 시작하시길 추천합니다. 앞서 배운 선형이라는 개념을 토대로 1.5 선형 상미분방정식을 배워봅시다. (i) Linear ODEs 1계 상미분 방정식이 다음과 같은 형태일 때, 선형성을 갖습니다.또는 둘 다 같은 의미의 식이지만, 이번 시간에서는 둘 중 (a)-1형태의 상미분방정식을 주로 다룹니다. r(x)를 우변에 홀로 두고 계산하는 것이 편하기 때문입니다. (ii) Homogeneous Linear ODE (제차 선.......
<COVID-19의 병원체에 대한 위키피디아 자료> 본론에 들어가기에 앞서 오늘 소개할 논문에 나오는 병원체 SARS-CoV-2 를 간략하게 설명합니다. 위 링크는 비교적 가독성이 좋은 형태로 CoV-2 에 대한 정보들을 정리한 위키피디아 문서입니다. 위키피디아의 신뢰도가 의심되시는 분들은 간단하게 코로나19를 일으키는 병원체의 이름이 SARS-CoV-2 라는 것만 참고하시면 됩니다. 아래 링크는 오늘 소개할 논문의 전체본문입니다. 본문을 읽으시다보면 CoV-2라는 게 계속 등장하는데 이는 COVID-19의 병원체임을 알고계셔야 혼동하지 않을 수 있습니다. 마치 AIDS의 병원체 이름이 HIV인 것처럼 감염병의 이름과 그 감염병을 일으키는 병원.......
#미분적분학 이건 스칼라함수고이건 벡터함수다.(i) 벡터함수의 미분 오늘은 벡터함수의 미분에 대해 알아봅시다. 우리가 고등학교과정까지 배우는 함수는 100% 스칼라함수입니다. 결괏값이 스칼라이면 스칼라함수, 결괏값이 벡터이면 벡터함수라고 취급합니다. 스칼라 함수의 미분은 다들 알듯이, 다음 정의를 이용합니다. 벡터함수의 경우에도 같은 방법으로 미분을 해주고 뒤에 단위벡터를 붙여주면 됩니다. 별 거 없어요. 도입부에 소개한 벡터함수를 미분해보면 다음과 같습니다. 단위벡터는 상수같은 느낌으로 다뤄주시면 됩니다. 상수같은 느낌? 그렇다면 벡터함수가 단위벡터의 상수배로 주어졌을 때는 어떻게 미분하면 될까요? .......
얼마 전에 몸이 아프다고 이야기를 했더니 친구가 독감 백신 맞아야 하는 거 아니냐는 말을 해주었습니다. 그 친구의 마음은 정말 고맙지만.. 솔직히 조금 불편하더라구요. 근데 많은 사람들이 이 백신에 대해서 잘못 알고 있는 부분이 있어서 그 오해를 해소하고 정확한 정보를 전달하고자 이 글을 씁니다.(i) 백신의 정의 결론부터 말하자면, 백신은 아플 때 투여하는 게 아닙니다. 예방접종이라고도 부르는 백신, 용어의 정의를 살펴봅시다. "미래에 침범하게 될 병원체에 대해~" 라고 세번째 줄에 나와있지요? 즉 이미 어떤 병원체에 감염되있다면, 백신을 투여하는 게 아니라 치료제를 투여해야 합니다. 백신은 병원성을 약.......
2020년 9월 16일(수)에 시행된 2021학년도 고3 9월 모의고사 수학 가형 30번 손글씨 해설입니다<문제><손글씨 해설>
2019년 11월 14일(목)에 시행된2020학년도 수능수학 가형 30번 손글씨 해설입니다<문제><손글씨 해설>
#미분적분학 오늘은 무한급수의 합이 수렴하는지, 발산하는지 알 수 있는 판정법(Test) 중 교대급수 판정법(alternating series test)에 대해 알아봅시다. (i)교대급수의 정의 교대급수는 양항 급수 즉 모든 향이 양수인 수열 an을 통해 정의됩니다. alternating 이라는 말에서도 알 수 있듯이 양수항과 음수항이 교대로 번갈아 나온다고 해서 교대급수라 합니다. 교대급수 판정법은 그러한 교대급수에 대해서 수렴과 발산을 조사할 수 있는 판정법입니다. 일단 조건 자체가 굉장히 간단하기 때문에 예제를 풀어보는 데에 문제는 없으나.. 대학교 시험문제의 경우 삼각함수 꼴로 교대급수가 주어질 수 있어 "어?? 이건 뭐지??"하.......
공업수학 포스팅은 Erwin Kreyszig 의 Advanced Engineering Mathematics 10th edition 즉 공업수학 10판을 기반으로 하며 상미분 방정식만을 다룬다. 교재의 로드맵을 이용해 보여주면 다음과 같다. 기회가 되면 PART B도 포스팅할 것 같은데 일단 계획은 상미분 방정식까지만. 편미분 방정식부터는 너무 괴랄하고 복잡한 데다가 필요한 사람의 풀(pool)이 너무 좁아지기 때문에 굳이 포스팅하지 않는다. (사실 내가 잘 몰라서_.._) 포스팅 목적 자체가 일반인들도 마치 잡지 읽듯이 부담감 없이 읽을 수 있도록 '소개'하는 것 그리고 쉬운 설명이 필요한 전공인들에게 '이해'를 돕는 것에 있기 때문에 PART A까지만 포스팅.......
미분방정식이란 말은 왠지 모르게 멋있다. 고등학교 들어와서 '미분방정식'푸는 공대 형들이 참 멋있어보였다. 나만 그런가..? 아무튼, 실제로 미분방정식은 "멋있다." 자동차를 굴리는 힘인 엔진에서도 미분방정식을 빼놓고 설명할 수 없으며 바짓주머니 속에 있는 스마트폰에서도, 릴라드가 던진 클러치 3점슛에서도 미분방정식은 등장한다. 공업수학을 배우고 나면 사회 전반에 미분방정식이 관여하고 있음을 깨닫는다. 도대체 미분방정식이란 게 뭘까?(i) 미분방정식? 미분방정식이라는 건 [미분]+[방정식] 같은 느낌으로 이해하면 된다. 고등학교 때 배우는 미적분과 초등학교 때 배우기 시작하는 방정식의 '.......
이번 시간에는 미분방정식을 분류하는 방법에 대해 알아보자. 마치 판사가 법정에서 이런 항목에 대해서 이러이러한 죄를 적용한다고 선언하는 것처럼, 유난히 격해지는 NBA플레이오프 시즌에 어떤 경우는 오펜스파울이고 어떤 경우는 디펜스파울인지 정하는 Rule이 있는 것처럼, 우리도 미분방정식을 잘 다루기 위해서는 그것들을 분류하는 Rule이 있어야 한다. 미분방정식을 푼다는것은 주어진 등식을 만족하는 y를 y=f(x)꼴의 함수로 정리하는 것을 의미한다.(상미분 방정식의 경우 한정) 그리고 우리가 분류하는 이유는 각 분류에 따라서 적용할 수 있는 쉬운 Solution이 다르기 때문이다. 간단하다. 몇 번 보면 익숙해지니 겁먹지 말도.......
드디어 시작이다. 간단한 변수분리형 1계 상미분 방정식을 풀어보자. 1.2는 방향장(direction field)에 관한 내용인데 깊게 들어가지 않고는 딱히 알 필요성이 적기 때문에 건너뛴다. 방향장이 뭔지 알고 싶은 사람은 아래 링크로(i) 변수분리형 상미분 방정식의 형태 이번 시간에 다루는 변수분리형 미분방정식은 1계 미분방정식이다. 영어로는 separable ODE 혹은 separation of variables 라고 한다. 챕터 1에서 다루는 미분방정식 대부분은 간단한 1계 미분방정식인데 그 중에서도 가장 간단한 형태가 이 변수분리형이다. 변수분리형 미분방정식을 보기에 앞서 1계 미분방정식의 예 몇가지를 보고 가자. 이런 애들이 1계 미분방정식이.......