Gram-Schmidt Orthogonalization

Non-orthogonal basis |x_n>으로부터 orthonormal basis |φ_n>를 얻는 방법인 Gram-Schmidt Orthogonalization에 대해 알아보자. 먼저 맨 처음 벡터 |x_0>를 normalize 해보자.

그러면 이제 φ0에 수직인 φ1을 만들어보자. 다음과 같은 형태의 벡터를 생각해보자.

이 벡터가 φ0에 수직이어야 하므로 이 벡터를 normalization하면 다음과 같은 orthonormal basis를 얻을 수 있다. 같은 방법으로 φ0, φ1에 수직인 φ2를 만들어보자.

다음 형태의 벡터에서 출발하자. 이 벡터가 φ0, φ1에 수직임을 이용하면 임을 알 수 있다.

이를 일반화하면 이다. 여기서 이다.

References [1] Jon Mathews and R.L Walker, Mathematical Methods of Physics 2nd Edition, W.A Benjamin INC. [2] Arfken, Weber, and Harr...