Compact, Connected의 Complement

이런 문제가 있다. 라고 하자.

A와 B는 Compact이며, connected한데, 서로 homoemorphic하다고 하자. 그렇다면, 그 complement도 homeo할까?

일단, compact에서, closed and bounded를 끌어낼 수 있다. Complement가 open set들의 합집합이 될 것이다.

이 상황에서 bounded를 고려하면, unbounded component가 정확히 하나 있다는 것을 생각해 볼 수 있다. Connected를 생각해 보자.

그럼 나머지 Bounded open component들에는 구멍이 없다. 마지막으로 A와 B는 Homeo하므로, component의 수도 같을 것이다.

그럼 이제, 이 생각을 수식으로 옮겨보려는 시도를 해보았다. 1. 생각 편하게 하기 위해, 로 잡아버리자.

A가 compact이므로 닫혀있고, 여집합의 각 component들은 경계가 없는 2-manifold이다. 2. 그리고 잘 모르지만 이걸 집어와보자. htt...