컴팩트 공간

이 글은 몇 년째 맨날 혼란에 빠지는 본인을 위해 작성된 노트입니다. 1. 정의 Every open cover has a finite sub-cover. 2.

반례 1) (0,1)의 open cover (1/n, 1)을 잡자. 그중 유한한 개수의 구간을 고르고 n의 max가 M이라 하면, (0,1/M)을 덮지 못한다. 2) R.iesz's lemma 같은 상황 3.

중요한 이유 예시 컴팩트가 보장되면, open cover로 표현되는 local 한 정보를 global로 옮길 수 있다. 즉, 유한한 횟수만큼 체크할 수 있다면, 전체에 대한 결론을 내릴 수 있다.

컴팩트를 연속함수에 집어넣으면 컴팩트로 유지된다. 다른 변형이 일어나지 않는 견고한 공간이 된다.

임의곱 역시 컴팩트가 된다. 곱한다고 혼종이 탄생하지 않는다.

닫힌 집합들이 FIP를 만족하면, 전체 교집합도 공집합이 아니다.(동치 조건) 이를 이용해 범위를 안전하게 좁혀나갈 수 있다.

주의) 틀릴 수 있음. 오해 살 수 있음....