루트 2로 가는 코시 수열 이야기

유리수로 이루어져 있으면서 limit은 유리수가 아닌 코시 수열 하면서 1.4, 1.41, 1.414, 1.4142 ... 이렇게 예시를 드는데, 조금 짜치는 것 같다.

좀 진법에 의존하는 것 같고. 느낌만이고, 이 글도 별다를건 없지만, 이미 그런 수가 존재한다고 가정하는 시점에서 약간 거슬린다.

그래서 생각하기 귀찮은 사람을 위해 그렇구나 끄덕, 하고 넘길만한 내용을 준비해 보았다(그러니까, 뉴턴 방법 말고): 이걸 참고해 보자. 그리고, 모든 유리수의 연분수는 유한한 단계로 표현된다.

위 표기는 유한할 수 없으므로, 이건 무리수다. 사실 신경 쓸 필요는 없다.

유명한 점화식이다. 뭔가 더 기초적이면서 그럴싸해 보이는 것 같다. a_1 = 1을 굳이 넣는 이유는, 1) a_n이 -1이 되지 않도록 하면서, 2) -sqrt(2)로 수렴하지 못하게 막기 위해서이고, 3) 각 항이 유리수가 되어야 하기 때문이다.

먼저, 이라 하자. 0. 여기선 미분을 1.

이것은 언제나 1보다 크다는...