0과 1 사이에는 자연수가 없다. 당연한 말이다.
하지만 이 사실을 증명하라 한다면 어떻게 대답해야할까? 쉬워 보이지만 증명하려면 한 가지를 알고 있어야 한다.
그것은 바로 자연수의 정렬원리(Well-Ordering Principle)이다: 자연수의 공집합이 아닌 부분집합은 반드시 최소원소를 갖는다. 정렬원리 또한 자명해보이는 명제이다.
자연수를 아무거나 골라서 집합을 만들면, 당연히 그 안에 가장 작은 자연수가 있지 않겠는가? 이제 0과 1 사이에 자연수가 없음을 보이자.
다음 집합을 생각해보자. S = { x ∈ ℕ : 0 < x < 1 } 이 집합은 자연수 집합의 부분집합이다. 0 과 1 사이에 자연수가 없다는 주장은 S 가 공집합이란 주장과 같은 말이다.
모순을 유도하기 위해 S 가 공집합이 아니라고 가정하자. 그렇다면 앞서 언급한 정렬원리에 의해 S 는 최소원소 n 을 가져야 한다.
즉 0 < n < 1이다. n 이 자연수라면 n2 도 자연수이어야 한다. 그런데 0 < n ...
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