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코로나 때문에 격리 및 싸지방 통제+전역후 싸돌아다니기 및 GTA로 인해 간만에 쓰는 포스트 이번 포스트에서는 지금껏 공부한 영공간 및 열공간에 전치행렬 A^T를 추가하여 A^T의 열공간과 영공간, 그리고 이..
이번 포스트에서는 선형대수학의 두 번째 기본정리를 공부한다. 그 전에 필요로 하는 개념들이 몇 가지 있기 때문에 먼저 그것들을 설명하면서 시작하자. 1. 직교여공간 저번 포스트에서 동일한 행렬에 대해 열공..
1. 행렬식 처음으로 행렬식(determinant)에 대해 알아보자. 행렬식이란 어떠한 행렬에 대해 유일하게 대응되는 숫자로서 다음과 같이 계산한다. 나중에 설명하겠지만 정사각행렬이 아닌 행렬의 행렬식은 무조건 0..
1. 직교 행렬 정규직교 행렬(standard orthogonal matrix) 혹은 직교 행렬은 행렬의 전치가 역행렬과 같은 정사각행렬이다. 즉 A^T = A^-1 이다. 여기서 한 가지 성질을 확인할 수 있다. 행렬이 정규직교행렬일..
1. 벡터공간과 부분공간 지금부터는 단순 계산을 넘어 벡터들이 이루는 "공간"에 대해서 공부한다. 첫번쨰로 선형결합(linear combination)과 벡터공간(vector space)의 의미와 예시를 공부한다. 선형결합: 선..
1. 행렬의 영공간 정의: 행렬 A의 영공간을 N(A)로 표시하며 방정식 Av = 0 의 모든 해 v의 집합을 의미한다. 행렬이 n개의 열을 가질 때, N(A) 는 R^n의 원소이다. 이에 대해 몇 가지 논의할 것이 있다. 첫..
저번 두 포스트에서 행렬의 영공간과 영공간 해, 열공간을 공부했다. 이번 포스트에서는 추가적으로 방정식의 특수해(special 말고 particular)를 구하고, 이를 바탕으로 연립방정식의 완전해를 구한다. 기본적..
이번 포스트에서는 선형독립을 정확하게 정의한 후 기저를 배우고 그를 통해 벡터공간의 차원을 명확하게 구한다. 1. 선형독립 "벡터들이 선형독립이다" 라는 문장에서 선형독립을 다음과 같이 정의한다. 선형독립..
이번 포스트에서는 행렬을 이용하여 선형 연립방정식을 푸는 방법인 "가우스 소거법"에 대해 공부한다. 1. 가우스 소거법으로 선형 연립방정식 풀기 저번 포스트에서 선형 연립방정식을 행렬로 표현하는 방법을..
1. 가우스 소거법이 올바른 해를 주는 이유 - 소거법의 행렬 표현 저번 포스트에서 공부한 가우스 소거법을 요약해 보자면 다음과 같다. 행 교환과 소거등 가우스 소거법의 일련의 과정이 정확히 어떠한 원리로..
1. 역행렬 임의의 가역인 정사각행렬 A가 있을 때, AX = XA = I 를 만족하는 행렬 X를 A의 역행렬(inverse matrix)이라 부르며 A^-1 이라 표현한다. 모든 정사각행렬이 역행렬을 가지는 것은 아니다. 오직 가역행..
이번 포스트에서는 행렬의 전치와 대칭 행렬을 공부하고 추가적으로 차분 행렬을 통해 선형대수와 미적분의 연관성을 공부한다. 1. 행렬의 전치 m X n 행렬 A를 생각해 보자. 행렬 A의 k행을 k열로, k열을 k행..
시작하기 전에 포스트에서 다음 예제를 많이 사용할 것이므로 첨부한다. 1. 부분분수 분해 포스트 라플라스 변환(1) 마지막 예제를 떠올려 보자. 풀이과정에서 Y(s) = 1 / (s - a)(s - 3)(s - 1) + y(0)(s - 4) /..
스트랭 미분방정식과 선형대수학 저자 Gilbert Strang|역자 한빛수학교재연구소|한빛아카데미 |2019.07.09 원제Differential Equations and Linear Algebra 페이지 552|ISBN 9791156644422|판형 규격외 변..
1. 행렬(matrix)의 뜻과 용어 수학에서 행렬이란 수, 문자, 함수를 괄호 안에 직사각형 형태로 배열한 것이다. 이때 각 성분들을 행렬의 원소(element)라 하며, 가로줄을 행(row), 세로줄을 열(column) 이라고 한..
1. 선형 연립방정식 풀기 - 그림 다음 연립방정식을 살펴보자. 주어진 방정식을 어떻게 풀 것인가? 첫 번째 방정식을 하나의 문자로 정리한 후, 두 번째 방정식에 대입하여 풀 수도 있지만, 이번에는 그래프를 그..
지금까지 일계 선형 미분방정식과 특정한 비선형 방정식, 그리고 몇 가지 수학적 사실에 대해 공부했다. 이제부터는 고계 선형 미분방정식에 대해 알아본다. 이번 포스트에서는 상수 계수를 가지는 이차 미분방정..
저번 포스트에서 n계 미분방정식의 영공간 해를 구하는 방법을 알아보았다. 이번에는 영공간 해를 구하는 방법을 사용하여 방정식이 특정 형태의 입력 q(t)를 가질 때 특수해를 구하는 방법을 공부한다. 1. 지수함..
저번 포스트에서 이계 미분방정식의 입력 항 q(t) 가 지수함수 꼴이거나 지수함수 꼴로 나타낼 수 있을 경우(코사인/사인함수)의 특수해를 찾는 방법에 대해 알아보았다. 이번 포스트에서는 q(t) 가 지수함수가 아..
지금까지 미분방정식을 푸는 방법에 대해 공부했고 주로 선형 미분방정식에 대해 다루었다. 영공간의 해를 지수함수 꼴이라 예측하고 풀었으며 입력이 지수함수 혹은 삼각함수(지수함수) 꼴일 때 또한 지수함수의..
1. 복소수의 성질 1.1. 복소평면 가로 축이 실수, 세로 축이 허수인 평면을 사용하여 복소수를 나타낼수 있다. 복소수 x+iy는 평면 위에서 직교좌표(x,y)로 표현되며, 극좌표 표현으로는 (r , ψ)로 나타낸다. 알..
이번 포스트에서는 비선형 미분방정식중 하나인 로지스틱 방정식을 소개하고 이를 사용하여 정상상태(steady state)와 안정성이 무엇인지 공부한다. 1. 로지스틱 방정식 다음과 같은 비선형 미분방정식을 로지스틱..
이번 포스트에서는 특정 형태의 일차 비선형 미분방정식을 푸는 방법에 대해 알아본다. 각각의 항으로 변수 분리가 가능한 방정식(변수분리형 미분방정식)과 불가능한 방정식 두 가지 경우를 공부한다. 1. 변수분..
지금까지 일계 선형 미분방정식과 특정한 비선형 미분방정식을 푸는 방법에 대하여 공부하였다. 이제부터는 일차 방정식을 넘어 이계 미분방정식 더 나아가 n계 미분방정식을 푸는 방법에 대해 공부한다. 교재..
스트랭 미분방정식과 선형대수학 저자 Gilbert Strang|역자 한빛수학교재연구소|한빛아카데미 |2019.07.09 원제Differential Equations and Linear Algebra 페이지 552|ISBN 9791156644422|판형 규격외 변형 ..
1. 선형성을 사용한 일차방정식 풀기 방정식 dy/dt = ay 는 y(t) = y(0)e^at 로 풀린다. ay가 함수 y의 도함수이므로, a>0 일 때 y는 증가하고, a 여기서 방정식의 우변에 새로운 인자 q(t) 를 추가해보자. 그러면..