Grassmann Gaussian Integral

Grassmann variable를 θ라 하면 이는 다음을 만족한다. 어떤 함수 를 생각해보자.

를 만족하므로 이다. Anything의 power가 2 이상인 항은 0이고, 1인 항은 미분했을 때 상수이므로 적분해서 0이 나온다.

또 상수인 항은 당연히 0이므로 위 식이 성립함을 알 수 있다. 이를 이용하면 다음과 같은 결과를 얻을 수 있다.

이제 이 결과를 유도해보자. N=1이면 이다.

N=2이면 이고 이므로 exp의 2차항은 이고 적분 값은 이다. 이제 N이 3 이상일 때를 생각해보자.

N차항에 대해서는 이다. 또 이므로, 적분 값은 다음과 같다.

References [1] David Tong, Supersymmetric Quantum Mechanics, Cambridge [2] J.Zinn-Justin, Path Integrals in Quantum Mechanics, Oxford Graduate Texts [3] Fred Cooper & Avinash Khare & Uday ...