소재 변형 이론 - 변형률 텐서

저번 글에서는 응력과 변형률에 대한 설명과 인장 시험을 통해 얻은 응력-변형률 곡선에서 얻을 수 있는 재료 상수들을 다루었다. 이번 글에서는 변형률의 텐서(tensor) 표현에 대해 작성하고자 한다.

텐서는 좌표계 변환에 따라 성분별로 특정한 변환 관계를 유지하는 물리량으로 정의한다. 텐서의 성분들은 좌표계에 따라 바뀔 수 있으며, 텐서로 표현되는 물리량은 바뀌지 않는다.

스칼라 물리량은 좌표계가 0번 관여하는 텐서로 좌표계와 무관한 물리량이며, 벡터는 좌표계가 1번 관여하는 1계 텐서이다. 아래 그림에서 R 벡터는 물체에 작용하는 힘 벡터라고 하자.

R 벡터는 기존 좌표계의 기저 벡터인 e1, e2와 기저 벡터의 방향에 따른 성분으로 정의된다. 좌표계가 회전하면 회전한 좌표계에 대해서도 유사하게 R 벡터를 정의할 수 있으며, 기존 좌표계와 변환 관계를 만들 수 있다.

한 질점은 여러 개의 변형률 성분을 가질 수 있으므로, 변형률은 좌표계가 2번 고려되는 2계 텐서로 나타낼 수 있다...