드 무아브르의 정리, 복소수 제곱근 예제

드 무아브르의 정리는 복소수의 거듭제곱과, 복소수의 제곱근을 간단히 표현할 때 사용합니다. Definition 크기가 1인 복소수 z에 대해 z의 n승은 다음과 같이 표현된다는 것이 드 무아브르의 정리입니다.

만약 크기가 1이 아닌 r이라면 다음과 같이 응용할 수 있습니다. 여러가지 증명방법이 있지만 가장 간단한 것은 오일러 공식을 이용합니다.

Example 복소수의 거듭제곱 또는 제곱근을 계산할 때는 복소수를 극형식(z=re^iθ) 로 표현하는 것이 용이합니다. (예제 1) 복소수의 거듭제곱을 계산하여라 드 무아브르의 정리를 이용하기 위해 먼저 z를 어떤 각도 θ를 사용해 극형식으로 표현해줍니다.

앞에 붙은 루트 2는 복소수의 크기이며 실수부와 허수부의 제곱합에 근호를 씌운 것입니다. z의 각도 θ는 다음과 같습니다. 따라서 z는 다음과 같이 표현할 수 있습니다.

이렇게 극형식으로 표현하면 드 무아브르의 정리를 적용해 z의 세제곱을 계산할 수 있습니다. 각도를 0에서 2π 사이로 ...