베이지안 - 감마 포아송 분포

이전에 이항 분포와 베타 분포가 결합되었을 때 켤래 사전 분포가 되는 것을 확인했습니다. 베타 분포가 0과 1사이의 모수를 모델링 했다면, 감마 분포는 양의 실수를 가지는 모수의 사전 분포에 이용됩니다.

사후 분포 유도 포아송 분포의 모수 λ를 알고 있을 때 pmf는 다음과 같습니다. 람다의 사전 분포는 Gamma(α, β)로 지정하면, 람다의 pdf는 다음과 같습니다.

베이즈 룰을 적용해 사후 분포를 구합니다. 아래의 적분식은 감마 분포의 pdf 꼴인 점을 이용해 계산합니다.

그래서 사후 분포가 Gamma( α+x, β/(1+β) )가 됨을 알 수 있습니다. 이것을 여러 관측으로 확장하면 Gamma( α+Σxi, β/(1+nβ) ) 되겠습니다.

사후 분포의 기대값 사후 분포의 기대값을 보면 사전 분포의 모수와 표본 평균 둘의 가중 평균인 모습을 확인할 수 있습니다. 관측 수가 늘어나면서 관측 평균으로 이동하는 모습입니다.

이런 관점에서 베타는 사전 분포를 설정할 때 가진 데이터의 ...