몬테카를로 적분 Monte Carlo integration

몬테카를로 적분은 해석적으로 떨어지는 적분을 하기 힘들 때 그 값을 근사적으로 구하는 방법입니다. 원리는 적분식을 기댓값의 형태로 만들어 주는 것입니다.

이때 I(θ)는 [a, b] 안에 θ가 있으면 1, 아니면 0이 되는 함수입니다. 형태만 바뀐 것이지 아직 계산이 되지는 않았습니다.

이 기댓값은 분포로부터 생성된 샘플의 평균으로 근사할 수 있습니다. 균일 분포에서 아주 큰 N 개의 샘플을 얻고 각 값에 함수 h를 취합니다.

이것들의 평균을 구하면 기댓값의 근사가 됩니다. 예를 들어 지수 함수의 적분 값을 구해 봅시다. mcs <- runif(10000, 0,5) approx_val <- 5*mean(exp(-mcs)) print(approx_val) [1] 0.9845496 적분의 계산 값은 1-e^(-5)=0.99326입니다.

어느 정도 비슷하게 나오는 모습입니다. 편차는 N이 커질수록 줄어들게 됩니다. mcs <- runif(10000000, 0,5) approx_val <-...