von Neumann stability analysis에 앞서, Matrix stability analysis에 대해 알아보자. 먼저 아래의 PDE를 SD해보자.
(CD2 이용) 그리고 시간에 대해서는 Explicit Euler를 적용해보겠다. stable하기 위해서는 위 행렬의 고유값의 크기가 1보다 작아야 한다. 이를 식으로 표현하면, 행렬 B의 고유값(λj)의 크기가 4일 때가 worst case임을 알 수 있다.
(λj는 cos(jπ/N)이 1보다 크지 않으므로 real & negative 하다) Δtmax는 Δx의 제곱항에 비례하므로 매우 제한적이다. 정확도를 올리기 위해 Δx를 1/2배로 하면, Δt는 1/4배가 되므로 계산은 8배가 늘어난다.
이제 von Neumann stability analysis에 대해 알아보자. 먼저 아래의 방정식을 CD2를 이용하여 공간에 대해 discretization하고 이후 EE를 이용하여 Full discretization해보면 그리고 ...
![[수치해석] Numerical Solution of PDE_von Neumann stability analysis](https://blogimgs.pstatic.net/nblog/mylog/post/og_default_image_160610.png)
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