[Graphics] 입체각(Solid angle)에 대한 유도

PBR을 작성하려면 이 입체각에 대한 개념이 필수적이다. 먼저 평면각부터 시작한다.

호의 길이로 각도를 표현하는 호도법을 사용한다 호의 길이는 반지름의 길이에 비례하기 때문에 이를 이용해서 각도로 표현할 수 있다. 이 개념을 가지고 3차원인 구형좌표계로 확장해보자.

호도법과 같이 입체각에 따라 발생하는 면적이 r^2에 비례하기 때문에 이를 각도로 표현할 수 있음. 여기서 이 ω가 바로 입체각인데 왜 이런 식을 사용하는지, 그리고 구의 면적이 왜 4πr^2인지 유도해보자.

우선 반지름r을 그리고 z축과의 각을 θ로 표기하고, x축과의 각을 Φ로 표시한다. 여기서 미소 면적 dA을 구하기 위해 d만큼 이동한 dθ각과 dΦ각을 표기한다. d만큼 이동한 방위와 천정각에 대해서 가이드라인을 그리면 파란색에 해당하는 부분이 미소 면적(dA)이다. dA를 구하기 위해선 단순히 가로x세로 계산으로 구하면 됨.

호도법으로 한쪽 변 즉, 호도의 길이는 rdθ가 된다. 이제 다른 하나의 길이를 구하기 ...