[KMO2023기출] 37회 중등부 2차(2023.11.4) 오전 기출문제의 풀이 및 해설

이 게시글은 2023년 11월 4일 토요일에 치른 제37회 한국수학올림피아드(KMO) 중등부 2차 오전 기출문제에 대한 풀이 및 해설입니다. 4개 문항에 제한시간 3시간 오후 문제는 별도의 게시글 [KMO2023기출] 37회 중등부 2차(2023.11.4) 오후 기출문제의 풀이 및 해설을 참조하십시오. [출처] 한국수학올림피아드 [문제 1]의 풀이 및 해설입니다...

유클리드 호제법에 의하여 (x+1, x2+x+1) = (x+1, x(x+1)+1) = (x+1, 1) = 1이므로 x+1과 x2+x+1은 서로소. 따라서 식 (※)에서 좌변이 제곱수이므로 x + 1, x2+x+1은 모두 제곱수.

그런데, x ≥ 1 범위의 정수 x 즉, 자연수 x에 대하여 x2 < x2+x+1 < (x + 1)2이므로 x2+x+1은 제곱수가 될 수 없습니다. 따라서 등식이 성립하려면 x = -1이거나 x = 0일 때뿐.

조사해보면 x = -1일 때 y = 0이면 등식 성립. x = 0일 때 y2 = 1이...

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